高二年级数学理科下学期期末试题
学生学习期间，在课堂的时间占了一大部分。因此听课的效率如何，决定着学习的基本状况，今天小编就给大家分享了高二数学，仅供参考哦
高二数学下学期期末试题带答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 是实数集 ,集合 , ,则图中阴影部分所表示的集合是 ( )
A. B.
C. D.
2.下面是关于复数 的四个命题：其中的真命题为( )
①在复平面内，复数 对应的点位于第二象限 ②复数 的虚部是-2
③复数 是纯虚数 ④
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
3.设 ,则( )
A. B. C. D.
4.已知向量a=(1，- )，b=(1，2 )且a⊥b，则 等于( )
A.-1 B.0 C. 12 D. 22
5.在 中，角A、B、C所对的边分别是 、 、 ，若 ， ，则 等于( )
A. B. C. D.
6.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )
A.18 B.24 C.30 D.36
7. 若下框图所给的程序运行结果为 ，那么判断框中应填入的关于 的条件是( )
A. B. C. D.
8.若某几何体的三视图(单位： )如图所示，则该几何体的
体积等于( )
A. B.
C. D.
9.下列说法中，正确的是( )
A.命题“若 ，则 ”的逆命题是真命题
B.命题“存在 ”的否定是：“任意 ”
C.命题“ 或 ”为真命题，则命题“ ”和命题“ ”均为真命题
D.“ ”是“函数 是偶函数”的充分不必要条件
10.右图是函数y=Asin(ωx+φ)( ， )图像的一部分.为了得到这个函数的图像，只要将y=sin x(x∈R)的图像上所有的点 ( )
.向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变.
.向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.
.向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变.
.向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.
11.已知定义在 上的函数 对任意 都满足 ，且当 时， ，则函数 的零点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
12.定义在 上的函数 满足： 则不等式 (其中 为自然对数的底数)的解集为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是__¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬______
14.已知 ，则 的展开式中的常数项为 .
15.函数 的图像恒过定点A，若点A在直线 上，其中 则 得最小值为 .
16.已知函数 若方程 有三个不同的实数根，则 的取值范围是 .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17. (本小题共12分)设数列 9，
(1)求证： 是等比数列;
(2)若数列 满足 ,
求数列 的前 项和 ;
18.(本小题满分12分)如图，三棱柱 中，侧棱 平面 ， 为等腰直角三角形， ，且 分别是 的中点.
(Ⅰ)求证： 平面 ;
(Ⅱ)求锐二面角 的余弦值.
19.某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取 名学生的笔试成绩(被抽取学生的
成绩均不低于 分,且不高于 分)，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.
(1) 请先求出 、 、 、 的值，再在答题纸上补全频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?
(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，
第4组中有ξ名学生被考官A面试，求ξ的分布列和数学期望.
组号 分组 频数 频率
第1组 5 0.050
第2组
第3组 30
第4组 20 0.200
第5组 10 0.100
20.(本小题共12分)已知椭圆 的一个焦点 与抛物线 的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为 ，倾斜角为 的直线 过点 .
(Ⅰ)求该椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的另一个焦点为 ，问抛物线 上是否存在一点 ，使得 与 关于直线 对称，若存在，求出点 的坐标，若不存在，说明理由.
21. (本小题共12分)已知函数
(Ⅰ)求 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)若存在 ，满足 成立，求 的取值范围;
(Ⅲ)当 时， 恒成立，求 的取值范围.
选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.(本小题满分10分)选修4—4：极坐标系与参数方程.
在直角坐标系 中，曲线C1的参数方程为 (t为参数).曲线C2: ，以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点P的极坐标为( ).
(I)求曲线C2的极坐标方程;
(Ⅱ)若C1与C2相交于M、N两点，求 的值.
23.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知 .
(I)当m=0时，求不等式 的解集;
(Ⅱ)对于任意实数 ，不等式 成立，求m的取值范围.
数学试题(理科)答案
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
CCABB CDBBA BA
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 2 16.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.(本小题共12分)解：(1)依题意， ，故 ，
当 ①
又 ②
②-①整理得： ，故 是等比数列，
(2)由(1)知，且 ， ，
18. (本小题满分12分)
(Ⅰ)连结 ，∵ 是等腰直角三角形 斜边 的中点，∴ .
又 三棱柱 为直三棱柱，
∴面 面 ，
∴ 面 ， .
设 ，则 .
∴ ，∴ .
又 ，∴ 平面 .
(Ⅱ)以 为坐标原点， 分别为 轴建立直角坐标系如图，设 ，
则 ，
， .
由(Ⅰ)知， 平面 ，
∴可取平面 的法向量 .
设平面 的法向量为 ，
由
∴可取 .
设锐二面角 的大小为 ，
则 .
∴所求锐二面角 的余弦值为 .
19. (本小题共12分)【解】：(1)由第1组的数据可得 ，第2组的频率 = ，第2组的频数为 = 人,
第3组的频率为 = ,
频率分布直方图如右:
(2)因为第3、4、5组共有60名学生,
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组: 人,… 6分
第4组: 人, …7分
第5组: 人, …8分
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.
(3)由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2
该变量符合超几何分布，
∴
ξ 0 1 2
P
∴分布列是
∴
20. (本小题共12分)解：(Ⅰ)抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
∴ ①
又椭圆截抛物线的准线 所得弦长为 ，
∴ 得上交点为 ，∴ ②
由①代入②得 ，解得 或 (舍去)，
从而
∴ 该椭圆的方程为该椭圆的方程为
(Ⅱ)∵ 倾斜角为 的直线 过点 ，
∴ 直线 的方程为 ，即 ，
由(Ⅰ)知椭圆的另一个焦点为 ，设 与 关于直线 对称，则得 ，解得 ，即 ，
又 满足 ，故点 在抛物线上.所以抛物线 上存在一点 ，使得 与 关于直线 对称.
21. (本小题共12分)
解：(Ⅰ)
在 处的切线方程为：
即
(Ⅱ) 即 令
时， ， 时，
在 上减，在 上增
又 时， 的最大值在区间端点处取到.
在 上最大值为 ，
故 的取值范围是： < .
(Ⅲ)由已知得 时 恒成立，设
由(Ⅱ)知 ，当且仅当 时等号成立，
故 从而当
即 时， ， 为增函数，又
于是当 时， 即 时符合题意。
由 可得 ，从而当 时，
故当 时， ， 为减函数，又 ，
于是当 时， 即
故 ，不符合题意.综上可得 的取值范围为
高二数学下学期期末模拟试题
第I卷(选择题 60分)
一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 (i为虚数单位)的共轭复数是
A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i
2.有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
A. B. C. D.
3.设变量x，y满足约束条件 则目标函数 的最大值为
A. 6 B. 19 C. 21 D. 45
4. 的展开式中 的系数为
A. -80 B. -40 C. 40 D. 80
5.三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，其中一个直角三角形中较小的锐角 满足 ，现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是( )
A. B. C. D.
6.函数 的大致图像是( )
A. B. C. D.
7.下列函数中，其图像与函数 的图像关于直线 对称的是
A. B. C. D.
8.直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是
A. B. C. D.
9.设函数 .若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为
A. B. C. D.
10.设 , 是双曲线 ( )的左、右焦点， 是坐标原点.过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 .若 ，则 的离心率为
A. B. C. D.
11.在 中，点 满足 ，过点 的直线与 ， 所在直线分别交于点 ， ，若 ， ，则 的最小值为( )
A. 3 B. 4 C. D.
12.已知函数 ， 若关于 的方程 有两个不等实根 ，且 ，则 的最小值是( )
A. 2 B. C. D.
第II卷(非选择题 90分)
二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.执行下面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 _______________.
14.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为__________(用数字作答).
15.已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱) 各顶点都在同一球面上，且 ， ，若此球的表面积等于 ，则 _______.
16.若存在两个正实数 ， 使等式 成立(其中 )，则实数 的取值范围是__________.
三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(本小题满分12分)
华中师大附中中科教处为了研究高一学生对物理和数学的学习是否与性别有关，从高一年级抽取 名同学(男同学30名，女同学30名)，给所有同学物理题和数学题各一题，让每位同学自由选择一题进行解答。选题情况如下表：(单位：人)
物理题 数学题 总计
男同学
女同学
总计
(I)在犯错误的概率不超过 的条件下，能否判断高一学生对物理和数学的学习与性别有关?
(II)经过多次测试后发现，甲每次解答一道物理题所用的时间为5—8分钟，乙每次解答一道物理题所用的时间为6—8分钟，现甲、乙解同一道物理题，求甲比乙先解答完的概率;
(III)现从选择做物理题的8名女生中任意选取两人，对她们的解答情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附表及公式
18.(本小题满分12分)已知函数 .
(I)求函数 的单调区间;(II)当 时， 恒成立，求 的取值范围.
19.(本小题满分12分)
已知四棱锥 的底面 是直角梯形， 平行 ， ， 为 的中点， .
(I)证明:平面 平面 ;
(II)若 与平面 所成的角为 ，
求二面角 的余弦值.
20.(本小题满分12分)
椭圆 ，其右焦点为 ,点 在椭圆 上,直线的方程为 .
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程;
(Ⅱ)若过椭圆左焦点 的直线(不过点 )交椭圆于 两点,直线 和直线 相交于点 ,记 ， ， 的斜率分别为 ， ， 求证:
21.(本小题满分12分)
设函数 , .
(Ⅰ)当 时，函数 有两个极值点，求 的取值范围;
(Ⅱ)若 在点 处的切线与 轴平行，且函数 在 时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)[选修4–4：极坐标和参数方程选讲]
在极坐标系中.曲线 的极坐标方程为 点 的极坐标为 以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴.建立平面直角坐标系，
(Ⅰ)求曲线 的直角坐标方程和点 的直角坐标;
(Ⅱ)过点 的直线 与曲线 相交于 两点.若 ,求 的值.
23.(本小题满分10分)[选修4–5：不等式选讲]
已知 .
(Ⅰ)当 时，求不等式 的解集;
(Ⅱ)若 时不等式 成立，求 的取值范围.
数学(理科)参考答案
一.选择题
1.B 2.C 3.C 4.C 5.D 6.C
7.B 8.A 9.D 10.C 11.A 12.D
二.填空题
13.6. 14.36 15.2 16.
17.(1) 在犯错误的概率不超过 的前提下，不能判断高一学生对物理题和数学题的学习与性别有关.
(2) . (3)分布列省略， .
18.(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 ;(2)
19.(1)见解析;(2)
20.(1)椭圆方程为 ;(2)省略.
21.(1) ;(2)
22.(1)省略.(2) .
23.(1) . (2) .
有关于高二数学下学期期末试卷
一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)
1. 已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2. 设复数z满足 ，则
A. B. C. D. 2
3. 已知下表所示数据的回归直线方程为 ，则实数a的值为
x 2 3 4 5 6
y 3 7 11 a 21
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
4. 方程 表示双曲线的一个充分不必要条件是
A. B. C. D.
5. 设等比数列 的前n项和为 ，且满足 ，则
A. 4 B. 5 C. 8 D. 9
6. 如图所示，一个几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积是
A. B. C. D.
7. 在如图所示的计算 的值的程序框图中，判断框内应填入
A.
B.
C.
D.
8. 抛物线 上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是
A. B. C. D.
9. 函数 的部分图象大致为
A. B.
C. D.
10. 如图，在三棱锥 中，侧面 底面BCD， ， ， ， ，直线AC与底面BCD所成角的大小为
A. B. C. D.
11. 经过椭圆 的一个焦点作倾斜角为 的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则 等于
A. B. C. D.
12. 已知函数 ，给出下列四个说法：
; 函数 的周期为 ;
在区间 上单调递增; 的图象关于点 中心对称
其中正确说法的序号是
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
13. 已知向量 ，若 与 垂直，则m的值为______ .
14. 的展开式中常数项为______ .
15. 设 ，函数f 是偶函数，若曲线 的一条切线的斜率是 ，则切点的横坐标为______ .
16. 若直线l： 与x轴相交于点A，与y轴相交于B，被圆 截得的弦长为4，则 为坐标原点 的最小值为______.
三、解答题(本大题共7小题，共84.0分)
17. 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 ， ， .
求c的值;
Ⅱ 求 的面积.
18. 如图，斜三棱柱 中，侧面 为菱形，底面 是等腰直角三角形， ， C.
求证：直线 直线 ;
若直线 与底面ABC成的角为 ，求二面角 的余弦值.
19. 在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在 内的选手可以参加复活赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛.
Ⅰ 已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，求a的值及估计这200名参赛选手的成绩平均数;
Ⅱ 根据已有的经验，参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率为 ，假设每名选手能否通过复活赛相互独立，现有3名选手进入复活赛，记这3名选手在复活赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.
20. 如图，已知椭圆C： 的离心率是 ，一个顶点是 .
Ⅰ 求椭圆C的方程;
Ⅱ 设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且 试问：直线PQ是否恒过一定点?若是，求出该定点的坐标;若不是，说明理由.
21. 已知函数 .
Ⅰ 当 时，求函数 的单调区间和极值;
Ⅱ 若 在 上是单调增函数，求实数a的取值范围.
22. 已知直线l的参数方程为 为参数 ，曲线C的极坐标方程为 ，直线l与曲线C交于A，B两点，点 ，
求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
求 的值.
23. 已知函数 .
当 时，解不等式 ;
若存在 满足 ，求实数a的取值范围.
答案和解析
【答案】
1. D 2. C 3. B 4. A 5. D 6. C 7. D 8. B
9. D 10. A 11. C 12. B
13.
14. 15
15.
16.
17. 本题满分为12分
解： ， ， ，
，
在 中，由正弦定理 ，
可得 ，可得： ，即： ，
解得： 分
Ⅱ 在 中，由余弦定理 ，可得 ，
故 分
18. 证明：连接 ，
侧面 为菱形，
，
又 与 相互垂直， ，
平面 ，
，又 ， ，
平面 ，
平面 ， 直线 直线 ;
解：由 知，平面 平面 ，由 作AB的垂线，垂足为D，则 平面ABC，
，得D为AB的中点，
过A作 的平行线，交 于E点，则 平面ABC，
建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，
则 为平面 的一个法向量，
则 0， ， 2， ， ，
设平面 的法向量 ，
由 ，取 ，得 ，
，
故二面角 的余弦值为 .
19. 解： Ⅰ 由题意： ，
估计这200名选手的成绩平均数为 .
Ⅱ 由题意知， X B 3 ， 1 3 ，X可能取值为0，1，2，3，
，
所以X的分布列为 ：
X的数学期望为 .
20. 本小题满分14分
Ⅰ 解：设椭圆C的半焦距为 依题意，得 ， 分
且 ， 分
解得 分
所以，椭圆C的方程是 分
Ⅱ 证法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为 分
将直线PQ的方程代入 ，
消去y，整理得 分
设 ， ，
则 ， 分
因为 ，且直线BP，BQ的斜率均存在，
所以 ，整理得 分
因为 ， ，
所以 ，
将 代入 ，整理得 分
将 代入 ，整理得 分
解得 ，或 舍去 .
所以，直线PQ恒过定点 分
证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为 分
将直线BP的方程代入 ，消去y，得 分
解得 ，或 分
设 ，所以 ， ，
所以 分
以 替换点P坐标中的k，可得 分
从而，直线PQ的方程是 .
依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上 分
在上述方程中，令 ，解得 .
所以，直线PQ恒过定点 分
21. 解： Ⅰ 函数 ， 函数 的定义域为 .
当 时， .
当x变化时， 和 的值的变化情况如下表：
x 1
0
递减 极小值 递增
由上表可知，函数 的单调递减区间是 、单调递增区间是 、极小值是 .
Ⅱ 由 ，得 .
若函数 为 上的单调增函数，则 在 上恒成立，
即不等式 在 上恒成立.
也即 在 上恒成立.
令 ，则 .
当 时， ，
在 上为减函数， .
.
的取值范围为 .
22. 【解答】
解： 直线l的参数方程为 为参数 ，消去参数，可得直线l的普通方程 ，
曲线C的极坐标方程为 ，即 ，曲线C的直角坐标方程为 ，
直线的参数方程改写为 ，
代入 ， ， ， ，
.
23. 解： 当 时， ，
当 时，不等式等价于 ，解得 ，即 ;
当 时，不等式等价于 ，解得 ，即 ;
当 时，不等式等价于 ，解得 ，即 .
综上所述，原不等式的解集为 或 .
由 ，即 ，
得 ，
又 ，
，即 ，
解得 .
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