初三年级数学上册期末试卷题
学习数学其实是有很多的技巧的，今天小编就给大家来分享一下九年级数学，欢迎大家来多多参考一下哦
关于九年级数学上册期末试卷题
一、单选题(共10题;共30分)
1.把标有1~10的10个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，号码为小于7的奇数的概率是( )
A. 3/10 B. 7/10 C. 3/5 D. 2/5
2.已知圆锥侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36º，圆锥的母线长为( )
A. 100cm B. 10cm C. √10cm D. √10/10cm
3.已知⊙O的半径是10cm，(AB) ⃯是120°，那么弦AB的弦心距是( )
A. 5cm B. 5√3 cm C. 10√3 cm D. 5/2 √3cm
4.某中学周末有40人去体育场观看足球赛，40张票分别为A区第2排1号到40号，小明同学从40张票中随机抽取一张，则他抽取的座位号为10号的概率是
A. 1/40 B. 1/39 C. 1/2 D. 1/4
5.经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是
A. 1/9 B. 1/6 C. 1/3 D. 1/2
6.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为( )
A. 8/3 B. 3/2 C. 3 D. 8/3或3/2
7.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，∠APD=30°，则∠ADP的度数为( )
A. 45° B. 40° C. 35° D. 30°
8.四位同学在研究函数y=ax^2+bx+c(b，c是常数)时，甲发现当x=1时，函数有最小值;乙发现-1是方程ax^2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时，y=4.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
9.若△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，则S△ABC：S△DEF=( )
A. 1：3 B. 1：9 C. 1：√3 D. 1：1.5
10.已知如图，圆锥的母线长6cm，底面半径是3cm，在B处有一只蚂蚁，在AC中点P处有一颗米粒，蚂蚁从B爬到P处的最短距离是( )
A. 3 √3 cm B. 3 √5 cm C. 9cm D. 6cm
二、填空题(共10题;共30分)
11.将抛物线y=x2-2向上平移一个单位后，得一新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是________.
12.质地均匀的正四面体骰子的四个面上分别写有数字：2，3，4，5.投掷这个正四面体两次，则第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的概率是________
13.若A(-13/4，y_1)，B(-5/4，y_2)，C(1，y_3)为二次函数y= x^2 +4x﹣5的图象上的三点，则y_1、y_2、y_3的大小关系是________.
14.(2015•上海)在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于________ .(只需写出一个符合要求的数)
15.如图，在正方形ABCD中，边AD绕点A顺时针旋转角度m(0°
16.已知抛物线C1：y=﹣x2+4x﹣3，把抛物线C1先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线C2，
将抛物线C1和抛物线C2这两个图象在x轴及其上方的部分记作图象M.若直线y=kx+ 1/2与图象M至少有2个不同
的交点，则k的取值范围是________.
17.如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为________.
18.如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么BC/CE的值等于________.
19.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=________°.
20.如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD.有下列结论：①FD=FE;②AH=2CD;③BC•AD= √2 AE2;④S△ABC=2S△ADF.其中正确结论的序号是________.(把你认为正确结论的序号都填上)
三、解答题(共8题;共60分)
21.如图⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12，求⊙O的半径.
22.某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.问如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?
23.一个口袋中有黑球10个，白球若干个，小明从袋中随机一次摸出10只球，记下其中黑球的数目，再把它们放回，搅均匀后重复上述过程20次，发现共有黑球18个，由此你能估计出袋中的白球是多少个吗?
24.已知一抛物线与抛物线y=- 1/2 x2+3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(-5，0)，根据以上特点，试写出该抛物线的解析式.
25.如图，在△ABC中，EF∥CD ， DE∥BC .求证：AF：FD=AD：DB .
26.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平移抛物线y=x2﹣2x+3，使平移后的抛物线经过点A(﹣2，0)，且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，求平移后的抛物线的解析式.
27.如图,已知□ABCD的面积为S，点P、Q时是▱ABCD对角线BD的三等分点，延长AQ、AP，分别交BC，CD于点E，F，连结EF。甲，乙两位同学对条件进行分析后，甲得到结论①：“E是BC中点”.乙得到结论②：“四边形QEFP的面积为5/24 S”。请判断甲乙两位同学的结论是否正确，并说明理由.
28.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动.点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动.如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】A
【考点】概率公式
【解析】【解答】∵所有机会均等，共有10种结果，而号码小于7的奇数有1，3，5共3种情况，
∴号码为小于7的奇数的概率为：3/10.
故答案为：A.
【分析】根据概率公式即可求出答案.
2.【答案】B
【考点】扇形面积的计算，圆锥的计算
【解析】【分析】圆锥侧面是一个扇形，扇形的面积公式=(nπr^2)/360，代入求值即可。
【解答】设母线长为r，圆锥的侧面积(nπr^2)/360 =10π，
∴R=10cm.
故选B.
【点评】本题利用了扇形的面积公式求解。
3.【答案】A
【考点】垂径定理，圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵OC⊥AB，∴AC=CB.
在"Rt"△OAC和"Rt"△OBC中，
AC=BC，OA=OB
△OAC≌△OBC.
∴∠AOC=∠BOC=〖60〗^°.
∴∠OAC=〖30〗^°.
∴OC=1/2 OA=5.
所以弦AB的弦心距是5cm.
故答案为：A.
【分析】由垂径定理可得AC=BC，用斜边直角边定理可证△OAC≌△OBC.根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可得∠AOB=120°，所以可得∠AOC=∠BOC=〖60〗^°，由直角三角形的性质可得OC=1/2OA即可求解。
4.【答案】A
【考点】概率公式
【解析】【分析】小明同学从40张票中随机抽取一张为独立事件，故抽到任何一个号的概率都会1/40.
【点评】本题难度较低，主要考查学生对随机概率和知识点的掌握,判断每个抽取为独立事件为解题关键.
5.【答案】A
【考点】列表法与树状图法，概率公式
【解析】
【分析】列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的情况占总情况的多少即可.
【解答】列表得：
∴一共有9种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，
∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是1/9
，故选A.
【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
6.【答案】D
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A是公共角，
∴当AE/AB=AD/AC即AE/8=2/6时，△AED∽△ABC，
解得：AE=3/2;
当AE/AC=AD/AB即AE/6=2/8时，△ADE∽△ABC，
解得：AE=3/2，
∴AE的长为：8/3或3/2.
故选D.
【分析】由∠A是公共角，分别从当AE/AB=AD/AC即AE/8=2/6时，△AED∽△ABC与当AE/AC=AD/AB即AE/6=2/8时，△ADE∽△ABC，去分析求解即可求得答案.
7.【答案】D
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵⊙O的内接四边形ABCD，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
∵∠BCD=120°，
∴∠DAB=60°，
∴∠PAD=120°，
又∵∠APD=30°，
∴∠ADP=180°﹣120°﹣30°=30°.
故答案为：D.
【分析】根据圆内接四边形的性质，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，得到∠DAB的值，再根据三角形内角和定理得到∠ADP的度数.
8.【答案】B
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值
【解析】【解答】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为:(1,3)且图像经过(2，4)
设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2+3
∴a+3=4
解之：a=1
∴抛物线的解析式为：y=(x-1)2+3=x2-2x+4
当x=-1时，y=7，
∴乙说法错误
故答案为：B
【分析】根据甲和丙的说法，可知抛物线的顶点坐标，再根据丁的说法，可知抛物线经过点(2,4)，因此设函数解析式为顶点式，就可求出函数解析式，再对乙的说法作出判断，即可得出答案。
9.【答案】B
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，
∴S△ABC：S△DEF=1：9.
故选B.
【分析】由△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案.
10.【答案】B
【考点】勾股定理，弧长的计算，圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为n，
则：nπr/180 = 1/2 ×2×3π，其中r=3，
∴n=180°，如图所示：
由题意可知，AB⊥AC，且点P为AC的中点，
在Rt△ABP中，AB=6，AP=3，
∴BP= √(AB^2+AP^2 ) =3 √5 cm，
故蚂蚁沿线段BP爬行，路程最短，最短的路程是3 √5 cm.
【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，根据弧长公式求出展开扇形的圆心角的度数，由题意可知AB⊥AC，且点P为AC的中点，在Rt△ABP中，运用勾股定理，求出BP的长，即可求出蚂蚁从B爬到P处的最短距离。
二、填空题
11.【答案】y=x2-1
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=x2-2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是，y=x2-2+1，即y=x2-1.【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减上加下减”即可求解。
12.【答案】5/16
【考点】列表法与树状图法，概率公式
【解析】【解答】由树状图
可知共有4×4=16种可能，第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的有5种，所以概率是5/16.
故答案为：5/16.
【分析】列表法与树状图法可以不重不漏的列出所有等可能结果是16种，再找出符合第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的结果有5种，概率=可能结果数比所有情况数，即是P=5/16
13.【答案】y_2
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】将二次函数y= x^2 +4x﹣5配方得y=〖(x+2)〗^2-9，所以抛物线开口向上，对称轴为x=﹣2，因为A、B、C三点中，B点离对称轴最近，C点离对称轴最远，所以y_2
故答案为：y_2
【分析】先将抛物线配成顶点式，，然后根据抛物线的开口向上，对称轴判断出A、B、C三点中，B点离对称轴最近，C点离对称轴最远，从而得出 y2< y1< y3 .
14.【答案】14(答案不唯一)
【考点】点与圆的位置关系，圆与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，
∴AC=BD=13，
∵点A在⊙B上，
∴⊙B的半径为5，
∵如果⊙D与⊙B相交，
∴⊙D的半径R满足8
∵点B在⊙D内，
∴R>13，
∴13
∴14符合要求，
故答案为：14(答案不唯一).
【分析】首先求得矩形的对角线的长，然后根据点A在⊙B上得到⊙B的半径为5，再根据⊙D与⊙B相交，得到⊙D的半径R满足8
15.【答案】30°或60°或150°或300°
【考点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图1，当m=30°时，
BP=BC，△BPC是等腰三角形;
如图2，当m=60°时，
PB=PC，△BPC是等腰三角形;
如图3，当m=150°时，
PB=BC，△BPC是等腰三角形;
如图4，当m=300°时，
PB=PC，△BPC是等腰三角形;
综上所述，m的值为30°或60°或150°或300°，
故答案为30°或60°或150°或300°.
【分析】分别画出m=30°或60°或150°或300°时的图形，根据图形即可得到答案.
16.【答案】0≤k<7/10
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：y=﹣x2+4x﹣3=﹣(x﹣2)2+1，
∴顶点(2，1)
则将抛物线y=﹣x2+4x﹣3先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，
得到的新的抛物线的解析式为：y=(x﹣5)2+4.
∴顶点(5，4)，
把(2，1)代入y=kx+ 1/2(k≥0)得，1=2k+ 1/2，
解得k= 1/4，
把(5，4)代入y=kx+ 1/2(k≥0)得，4=5k+ 1/2，
解得k= 7/10，
∴直线y=kx+ 1/2(k≥0)与图象M至少有2个不同的交点，则k的取值范围是0≤k<7/10.
故答案为：0≤k<7/10.
【分析】首先配方得出二次函数顶点式，求得抛物线C1的顶点坐标，进而利用二次函数平移规律得出抛物线C2，求得顶点坐标，把两点顶点坐标代入即可求得.
17.【答案】110°
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，
∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，
故答案为：110°.
【分析】先根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=100°，再由外角性质得∠BDC=70°，再邻补角的定义即可求得∠ADC的度数.
18.【答案】3/5
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴ BC/CE=AD/DF=(AG+GD)/DF=3/5 ，故答案为：3/5.【分析】根据平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例;计算即可.
19.【答案】58
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB=32°，
∴∠OAB=∠OBA=32°，
∴∠AOB=116°，
∴∠C=58°.
答案为58.
【分析】要运用圆周角定理，需构造出弧所对的圆心角，因此需连接半径OB，再利用等腰三角形的内角和，求出∠AOB，进而求出∠C=58°.
20.【答案】①②③
【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，
∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，
∵点F是AB的中点，
∴FD= 1/2 AB，
∵点F是AB的中点，
∴FE= 1/2 AB，
∴FD=FE，①正确;
∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，
∵∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE。
在△AEH和△BEC中，
∵∠AEH=∠CEB,
AE=BE,
∠EAH=∠CBE，
∴△AEH≌△BEC(ASA)，
∴AH=BC=2CD，②正确;
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，
∴△ABD～△BCE，
∴ BE/AD=CB/AB，即BC•AD=AB•BE，
∵ √2 AE2=AB•AE=AB•BE，
∴BC•AD= √2 AE2;③正确;
∵F是AB的中点，BD=CD，∴
S△ABC=2S△ABD=4S△ADF. ④错误;
故答案为：①②③.
【分析】①△ABE和△ABD都是直角三角形，且点F是斜边AB上的中点，由斜边上的中线长是斜边的一半可知;
②要证明AH=2CD，则可猜想BC=2CD，AH=BC;要证明BC=2CD，结合AD⊥BC，则需要证明AB=AC;要证明AH=BC，则需要证明△AEH≌△BEC;
③由√2AE2=AB•AE=AB•BE，则BC•AD=√2AE2，可转化为BC•AD=AB•BE，则BE/AD=BC/AB，那么只需证明△ABD～△BCE即可;
④由三角形的中线平分三角形的面积，依此推理即可。
三、解答题
21.【答案】解：如图，连接OB.
∵AD是△ABC的高.
∴BD= 1/2 BC=6
在Rt△ABD中，AD= √(AB^2-BD^2 ) = √(100-36) =8.
设圆的半径是R.
则OD=8﹣R.
在Rt△OBD中，根据勾股定理可以得到：R2=36+(8﹣R)2
解得：R= 25/4.
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【分析】连接OB，根据垂经定理求出BD的长，在Rt△ABD中由勾股定理求得AD=8，设圆的半径是R，则OD=8-R，在Rt△OBD中由勾股定理可求得R的值.解答此题的关键是作出辅助线OB.注意：垂径定理和勾股定理常常在一起中应用.
22.【答案】解：设销售单价为x元，销售利润为y元.
根据题意，得y=(x-20)[400-20(x-30)]=(x-20)(1000-20x)=-20x2+1400x-20000
当x= -1400/(2×(-20)) =35时，才能在半月内获得最大利润.
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，根据总利润=每件日用品的利润×可卖出的件数，即可得到y与x的函数关系式，利用公式法可得二次函数的最值.
23.【答案】解：黑球概率近似等于频率，设白球有m个，则10/(100+m)=18/(20×10)解得m=101.11
故袋中的白球大约有101个.
【考点】利用频率估计概率
【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根据题中条件求出黑球的频率，再近似估计白球数量.
24.【答案】解：∵顶点坐标是(-5，0)，
∴可设函数解析式为y=a(x+5)2，
∵所求的抛物线与y=- 1/2 x2+3形状相同，开口方向相反，
∴a= 1/2，
∴所求抛物线解析式为y= 1/2 (x+5)2
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据顶点坐标设出抛物线的顶点式，再根据抛物线的图像与系数的关系，由抛物线与抛物线y=- 1/2x2+3形状相同，开口方向相反，故得出所求抛物线二次项系数的值，从而得出答案。
25.【答案】证明：∵EF∥CD， DE∥BC，
∴ ， ，
∴ ，
即AF：FD=AD：DB.
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ， ，推出 即可.
26.【答案】解：∵点B在y轴上，且△AOB是等腰直角三角形，A(﹣2，0)， ∴点B的坐标为(0，2)或(0，﹣2)，
根据题意设平移后抛物线解析式为y=x2+bx+c，
将(﹣2，0)、(0，2)代入得：
，
解得： ，
∴此时抛物线解析式为y=x2+3x+2;
将(﹣2，0)、(0，﹣2)代入得：
，
解得： ，
∴此时抛物线解析式为y=x2+x﹣2，
综上，平移后抛物线解析式为y=x2+3x+2或y=x2+x﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换，等腰直角三角形
【解析】【分析】利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式.
27.【答案】解:甲和乙的结论都成立，理由如下：
①∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴△BEQ∽△DAQ，
又∵点P、Q是线段BD的三等分点，
∴BE：AD=BQ：DQ=1：2，
∵AD=BC，
∴BE：BC=1：2，
∴点E是BC的中点，即结论①正确;
②和①同理可得点F是CD的中点，
∴EF∥BD，EF= 1/2 BD，
∴△CEF∽△CBD，
∴S△CEF= 1/4 S△CBD= 1/8 S平行四边形ABCD= 1/8 S，
∵S四边形AECF=S△ACE+S△ACF= 1/2 S平行四边形ABCD= 1/2 S，
∴S△AEF=S四边形AECF-S△CEF= 3/8 S，
∵EF∥BD，
∴△AQP∽△AEF，
又∵EF= 1/2 BD，PQ= 1/3 BD，
∴QP：EF=2：3，
∴S△AQP= 4/9 S△AEF= 1/6 s，
∴S四边形QEFP=S△AEF-S△AQP= 3/8 S- 1/6 s = 5/24 S，即结论②正确.
综上所述，甲、乙两位同学的结论都正确.
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 ① 利用平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，易证△BEQ∽△DAQ，再由点P、Q是线段BD的三等分点，可得BE：AD=BQ：DQ=1：2，继而可证得E是BC中点;易证F是CD的中点，利用三角形的中位线定理，可得出EF∥BD，EF=1/2 BD，再证明△CEF∽△CBD，利用相似三角形的性质，可推出S△CEF= 1/8 S，S△AEF= 3/8S，然后再证明S△AQP=1/6 s，根据S四边形QEFP=S△AEF-S△AQP，可求出结果，可对 ②作出判断，即可得出结论。
28.【答案】解：∵PB=6﹣t，BE+EQ=6+t， ∴S= PB•BQ= PB•(BE+EQ)
= (6﹣t)(6+t)
=﹣ t2+18，
∴S=﹣ t2+18(0≤t<6)
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】△BPQ的面积= 1/2 BP×BQ，把相关数值代入即可求解，注意得到的相关线段为非负数即可.
九年级数学上册期末考试题
一、单选题(共10题;共30分)
1.一元二次方程x2﹣3x=0的根是( )
A. x=3 B. x1=0，x2=﹣3 C. x1=0，x2= √3 D. x1=0，x2=3
2.下表中，若平均数为2，则x等于( ).
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.下列方程中是一元二次方程的有( )
①9x^2=7x ②y^2/3=8 ③3y(y-1)=y×(3y+1)
④x^2-2y+6=0 ⑤ √2 (x^2+1)=√10⑥4/x^2 -x-1=0
A. ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ①⑤⑥
4.在体检中，12名同学的血型结果为：A型3人，B型3人，AB型4人，O型2人，若从这12名同学中随机抽出2人，这两人的血型均为O型的概率为( )
A. 1/66 B. 1/33 C. 15/22 D. 7/22
5.一个在圆内的点，它到圆上的最近距离为3cm，到最远距离为5cm，那么圆的半径为( ).
A. 5cm B. 3cm C. 8cm D. 4cm
6.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字-1、1、2.随机摸出一个小球(不放回)其数字记为P ，再随机摸出另一个小球其数字记为q ，则满足关于的方程 x2+Px+q=0 有实数根的概率是( )
A. 1/2 B. 1/3 C. 2/3 D. 5/6
7.如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为 ，求道路的宽.如果设小路宽为x，根据题意，所列方程正确的是( )
A. (20-x)(32-x)=540 B. (20-x)(32-x)=100
C. (20+x)(32+x)=540 D. (20+x)(32-x)=540
8.如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上两点，且(AF) ̂ = (FC) ̂ = (CB) ̂，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D，垂足为D，若CD=2 √3，则⊙O的半径为( )
A. 2 √3 B. 4 √3 C. 2 D. 4
9.一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
10.已知如图，点O为△ABD的外心，点C为直径BD下方弧BCD上一点，且不与点B，D重合，∠ACB=∠ABD=45°，则下列对AC，BC，CD之间的数量关系判断正确的是( )
A. AC=BC+CD B. √2 AC=BC+CD C. √3AC=BC+CD D. 2AC=BC+CD
二、填空题(共10题;共33分)
11.若一元二次方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是________.
12.若关于x的一元二次方程(k-1)x^2+2x-2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.
13.如图，△ABC 内接于⊙O，连结 OA，OC，若∠ABC=50°，则∠AOC=________度.
14.如图，小明利用正五边形ABCDE以对角线AC、BD、CE、DA、EB为边，在正五边形内作了一个五角星，则这个五角星的∠CAD的度数为________ .
15.在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是7环，其中甲的成绩的方差为1.2，乙的成绩的方差为3.9，由此可知________ 的成绩更稳定.
16.已知圆锥的底面直径和母线长都是10 cm，则圆锥的面积为________.(结果保留π).
17.如图，A，B，C是⊙O上三点，已知∠ACB=α，则∠AOB=________.(用含α的式子表示)
18.为提高学生足球水平，某市将开展足球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).现计划安排28场比赛，应邀请________多少个球队参赛?
19.已知α、β是关于x的一元二次方程x^2+(2m+3)x+m^2=0的两个不相等的实数根，且满足1/α+1/β=-1，则m的值是________.
20.如图，⊙O的直径AB的长12，长度为4的弦DF在半圆上滑动，DE⊥AB于点E，OC⊥DF于点C，连接CE，AF，则sin∠AEC的值是________，当CE的长取得最大值时AF的长是________.
三、解答题(共8题;共57分)
21.解方程：
(1)3x(x﹣1)=2x﹣2(2)x2+3x+2=0.
22.现有小莉，小罗，小强三个自愿献血者，两人血型为O型，一人血型为A型.若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所抽血的血型均为O型的概率.(要求：用列表或画树状图的方法解答)
23.某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上(含100个)为优秀，下表是成绩最好的甲、乙两班各5名学生的比赛数据.(单位：个)
1号 2号 3号 4号 5号 总数
甲班 89 100 96 118 97 500
乙班 100 96 110 90 104 500
统计发现两班总数相等，此时有人建议，可以通过考查数据中的其他信息来评判.试从两班比赛数据的中位数、方差、优秀率三个方面考虑，你认为应该选定哪一个班为冠军?
24.如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=8cm，求：△PEF的周长.
25.如图，在△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠A=70°，求∠FDE.
26.小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元;如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元.按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元.请问她购买了多少件这种服装?
27.在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540m2，求道路的宽.
28.如图，等边三角形ABC的边长为6cm，点P自点B出发，以1cm/s的速度向终点C运动;点Q自点C出发，以1cm/s的速度向终点A运动.若P，Q两点分别同时从B，C两点出发，问经过多少时间△PCQ的面积是2 √3 cm2?
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
【考点】一元二次方程的解
【解析】【解答】解：x2﹣3x=0
x( x﹣3)=0
x1=0，x2=3.
故选D.
【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式x(x﹣3)=0，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题.
2.【答案】B
【考点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】根据题意得： ，解得：x=1.
【分析】根据加权平均数的概念进行解答即可.
3.【答案】C
【考点】一元二次方程的定义
【解析】【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程。
①9x^2=7x;②y^2/3=8;⑤√2 (x^2+1)=√10，符合一元二次方程的定义;
③3y(y-1)=y×(3y+1);3y^2-3y=3y^2+y，4y=0，是一元一次方程;
④x^2-2y+6=0是二元二次方程;⑥4/x^2 -x-1=0是分式方程;
故选C。
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握一元二次方程的定义，即可完成。
4.【答案】A
【考点】概率公式
【解析】【解答】P(A)= 2/(3+3+4+2)×1/(3+3+4+2) = 1/66，故答案为：A.【分析】可利用连线图，12人选两人，有(11+10+9+...+2+1)=(11+1)/2×11=66,两个均为O型的有1种，因此概率为1/66.
5.【答案】D
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质
6.【答案】A
【考点】根的判别式，列表法与树状图法
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的情况，继而利用概率公式即可求得答案.
【解答】画树状图得：
∵x2+px+q=0有实数根，
∴△=b2-4ac=p2-4q≥0，
∵共有6种等可能的结果，满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有(1，-1)，(2，-1)，(2，1)共3种情况，
∴满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是：3/6=1/2.
故选A.
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与一元二次方程判别式的知识.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;注意此题是放回实验还是不放回实验;注意概率=所求情况数与总情况数之比
7.【答案】A
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】本题根据题意表示出种草部分的长为(32-x)m，宽为(20-x)m，再根据题目中的等量关系建立起式子就可以了。
【解答】由题意，得
种草部分的长为(32-x)m，宽为(20-x)m，
∴由题意建立等量关系，得
(20-x)(32-x)=540.
故选A.
8.【答案】D
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理
【解析】【解答】解：连结BC，如图， ∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵ (AF) ̂ = (FC) ̂ = (CB) ̂，
∴∠BOC= 1/3 ×180°=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，CD=2 √3，
∴AC=2CD=4 √3，
在Rt△ACB中，BC2+AC2=AB2，
即(4 √3)2+(1/2 AB)2=AB2，
∴AB=8，
∴⊙O的半径为4.
故选D.
【分析】连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由F，C，B三等分半圆得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=8，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得⊙O的半径.
9.【答案】A
【考点】根的判别式
【解析】【解答】∵a=1，b=-2，c=1，∴△=b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0，
∴方程有两个相等的实数根.
选：A
【分析】把a=1，b=-2，c=1代入△=b2-4ac ，然后计算△，最后根据计算结果判断方程根的情况
10.【答案】B
【考点】全等三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：在CD的延长线上截取DE=BC，连接EA，
∵∠ABD=∠ACB=∠ABD=45°，
∴AB=AD，
∵∠ADE+∠ADC=180°，
∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
{█(AB=AD@∠ABC=∠ADE@BC=DE)，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠ACD=∠ABD=45°，
∴△CAE是等腰直角三角形，
∴ √2 AC=CE，
∴ √2 AC=CD+DE=CD+BC，
故选：B.
【分析】在CD延长线上截取DE=BC，连接EA，证明△ABC≌△ADE，得到△EAF是等腰直角三角形即可得出结论.
二、填空题
11.【答案】4
【考点】根的判别式
【解析】【解答】∵一元二次方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=16﹣4c=0，解得c=4.
故答案为：4.
【分析】由一元二次方程根的判别式可以得出c的值.
12.【答案】 且
【考点】一元二次方程的定义及相关的量，一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】根据题意得k-1≠0且△= 2^2-4×(k-1)×(-2)>0，解得：k>1/2且k≠1.
故答案为：k>1/2且k≠1.
【分析】根据此一元二次方程有两个不相等的实数根得出△>0且k-1≠0，求出即可.
13.【答案】100
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC=50°，
∴∠AOC=2∠ABC=100°.
故答案为：100.
【分析】利用圆周角定理，可得∠AOC=2∠ABC=100°.
14.【答案】36°
【考点】正多边形和圆
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE=((5-2)×180°)/5=108°，
∵BC=CD=DE，
∴∠CAD=1/3∠BAE=1/3×108°=36°.
故答案为：36°.
【分析】先根据正五边形的内角和定理求出∠BAE的度数，再根据BC=CD=DE可知∠CAD=1/3∠BAE，进而可求出答案.
15.【答案】甲
【考点】方差
【解析】【解答】解：因为S甲2=1.2
故答案为：甲;
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定.
16.【答案】75πcm2
【考点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面直径和母线长都是10 cm，
∴圆锥的侧面积=π×5×10=50πcm2，
圆锥的面积=50π+π×52=50π+25π=75πcm2.
故答案为：75πcm2.
【分析】圆锥的表面积包括侧面积和底面积，侧面积公式S=π•r•a=π×5×10(r是底面半径，a是母线长).
17.【答案】360°﹣2α
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：在优弧AB上取点D，连接AD、BD，
∵∠ACB=α，
∴∠D=180°﹣α，
根据圆周角定理，∠AOB=2(180°﹣α)=360°﹣2α.
故答案为：360°﹣2α.
【分析】在优弧AB上取点D，连接AD、BD，根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数，再根据圆周角定理求出∠AOB的度数.
18.【答案】8
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：有x个球队比赛，每队都要赛(x-1)场，由题意得：
1/2 x(x-1)=28，
解得：x_1=8，x_2=-7 (不符合题意，舍去)，
故答案为：8 .
【分析】有x个球队比赛，每队都要赛(x-1)场，由于赛制为单循环形式，故共需要进行的比赛场次为1/2 x(x-1)场，由安排的总场次是28，根据用两个不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等，列出方程，求解并检验即可。
19.【答案】
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：得α + β =-2m-3，αβ =m2，又因为1/α "+" 1/β "=" (α"+" β)/αβ "=" "-2m-3" /"m" ^2 "=-" 1，所以m2-2m-3=0，得m=3或m=-1，因为一元二次方程x^2+(2m+3)x+m^2=0的两个不相等的实数根，所以△>0，得(2m+3)2-4×m2=12m+9>0，所以m>"-" 4/3，所以m=-1舍去，综上m=3.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得α + β =-2m-3，αβ =m2，然后将1/α+1/β=-1左边利用异分母分式加法法则通分计算，再整体代入去分母就可得出关于m的方程，求解得出m的值;再根据一元二次方程x^2+(2m+3)x+m^2=0的两个不相等的实数根，故△>0，从而列出不等式，求解得出m的取值范围，综上所述即可得出m的值。
20.【答案】(2√2)/3;4√3
【考点】垂径定理的应用，圆周角定理
【解析】【解答】解：如图1，
连接OD，∴ DO=1/2 AB=6，
∵ OC⊥DF，
∴ ∠OCD=90°，CD=CF=1/2 DF=2，
在"Rt"△OCD中，根据勾股定理得，OC=√(OC^2-CD^2 )=4√2，
∴sin∠ODC =OC/OD=(4√2)/6=(2√3)/3，
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DEO=90°=∠OCD，
∴点O，C，D，E是以OD为直径的圆上，
∴ ∠AEC=∠ODC ，
∴ "sin" ∠AEC="sin" ∠ODC=(2√3)/3，
如图2，
∵CD是以OD为直径的圆中的弦，CE要最大，
即：CE是以OD为直径的圆的直径，
∴ CE=OD=6，∠COE=90°，
∵ ∠OCD=∠OED=90°，
∴四边形OCDE是矩形，∴DF∥AB，
过点F作FG⊥AB于G，
易知，四边形OCFG是矩形，
∴ OG=CF=2，FG=OC=4√2，
∴ AG=OA-OG=4,
连接AF，
在"Rt"△AFG中，根据勾股定理得，AF=√(AG^2+FG^2 )=4√3,
故答案为: (2√3)/3，4√3.
【分析】(1)连接OD，根据垂径定理及已知条件可求出OC的长;在 Rt△OCD 中，可求sin∠ODC;由四点共圆的条件可知点O，C，D，E在以OD为直径的圆上;根据同弧所对的圆周角相等可得∠ A E C = ∠ O D C ;所以∠ A E C 的正弦值也就是 ∠ODC 的正弦值。(2)因为点O，C，D，E在以OD为直径的圆上，所以CE最大时应与OD相等;由三个角是直角的四边形是矩形可得四边形 OCDE 是矩形;过点F作 FG⊥AB 于G，AF的长可在 Rt△AFG 中求出。
三、解答题
21.【答案】解：(1)3x(x﹣1)﹣2(x﹣1)=0，
(x﹣1)(3x﹣2)=0，
x﹣1=0或3x﹣2=0，
所以x1=1，x2=2/3;
(2)(x+1)(x+2)=0，
x+1=0或x+2=0，
所以x1=﹣1，x2=﹣2.
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)先变形得到3x(x﹣1)﹣2(x﹣1)=0，然后利用因式分解法解方程;
(2)利用因式分解法解方程.
22.【答案】解：
共有9种情况，两次都为O型的有4种情况，所以概率是4/9.
【考点】列表法与树状图法，概率公式
【解析】【分析】根据题意列出树状图知：共有9种情况，两次都为O型的有4种情况，根据概率公式计算即可。
23.【答案】解：甲班5名学生比赛成绩的中位数是97个，乙班5名学生比赛成绩的中位数是100个;
x┴-甲=1/5×500=100(个)，x┴-乙=1/5×500=100(个);
S2甲=1/5[(89﹣100)2+(100﹣100)2+(96﹣100)2+(118﹣100)2+(97﹣100)2]=94;
S2乙=1/5[(100﹣100)2+(96﹣100)2+(110﹣100)2+(90﹣100)2+(104﹣100)2]=46.4，
甲班的优秀率为：2÷5=0.4=40%，乙班的优秀率为：3÷5=0.6=60%;
乙班定为冠军.因为乙班5名学生的比赛成绩的中位数比甲班大，方差比甲班小，优秀率比甲班高，综合评定乙班踢毽子水平较好.
【考点】方差
【解析】【分析】平均数=总成绩÷学生人数;中位数是按次序排列后的第3个数.根据方差的计算公式得到数据的方差.
24.【答案】解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，
∴PA=PB，EA=EQ，FB=FQ，
∵PA=8cm，
∴△PEF的周长为：PE+EF+PF=PA+PB=8+8=16(cm).
【考点】切线的性质
【解析】【分析】直接利用切线长定理进而求出PA=PB，EA=EQ，FB=FQ，即可得出答案.
25.【答案】解：连接IE，IF，
∵内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴∠AEI=∠AFI=90°，
∵∠A=70°，
∴∠EIF=110°，
∴∠FDE=55°.
答：∠FDE的度数为55°.
【考点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】连接IE，IF，根据切线的性质，可得出∠AEI和∠AFI等于90°，再由∠A=70°，从而得出∠EIF，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求得∠FDE.
26.【答案】解：设购买了x件这种服装且多于10件，根据题意得出：
[80﹣2(x﹣10)]x=1200，
解得：x1=2 0，x2=30，
当x=20时，80﹣2(20﹣10)=60元>50元，符合题意;
当x=30时，80﹣2(30﹣10)=40元<50元，不合题意，舍去;
答：她购买了20件这种服装.
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设购买了x件这种服装且多于10件，根据题意列出一元二次方程，解之即可得出答案，再根据单价不得低于50元检验即可.
27.【答案】解：设道路的宽为xm，根据题意得：
(32﹣x)(20﹣x)=540，
解得：x1=2，x2=50(不合题意，舍去)，
答：道路的宽是2m.
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】根据题意使草坪的面积为540m2和矩形面积公式，得到等式，求出道路的宽的值;注意要符合实际情况.
28.【答案】解：设经过xs△PCQ的面积是2 √3 cm2，由题意得
1/2(6﹣x)× √3/2 x=2 √3
解得：x1=2，x2=4，
答：经过2s或4s△PCQ的面积是2 √3 cm2.
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设经过xs△PCQ的面积是2√3cm2，由三角形的面积=1/2底×高=1/2×CP×CP边上的高=2√3;列方程即可求解。
九年级数学上册期末综合检测试题
一、单选题(共10题;共30分)
1.在x轴上，且到原点的距离为2的点的坐标是( )
A. (2，0) B. (-2，0) C. (2，0)或(-2，0) D. (0，2)
2.要使式子√(a-2)在实数范围内有意义，字母a的取值必须满足( )
A. a≥2 B. a≤2 C. a≠2 D. a≠0
3.下列各式中，与√2是同类二次根式的是( )。
A. √3 B. √6 C. √27 D. √8
4.四边形ABCD相似四边形A'B'C'D'，且AB:A'B'=1:2,已知BC=8，则B'C'的长是
A. 4 B. 16 C. 24 D. 64
5.如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为( )
A. 1.5米 B. 2.3米 C. 3.2米 D. 7.8米
6.下列命题中，假命题是 ( )
A. 三角形两边之和大于第三边
B. 三角形外角和等于360°
C. 三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分
D. 等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形
7.有两边相等的三角形的两边长为3cm,5cm,则它的周长为 ( )
A. 8cm B. 11cm C. 13cm D. 11cm或13cm
8.如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，则m的取值范围是( )
A. 10
9.一个地图上标准比例尺是1∶300000，图上有一条形区域，其面积约为24 cm2，则这块区域的实际面积约为( )平方千米。
A. 2160 B. 216 C. 72 D. 10.72
10.一个物体从A点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B，AB=30米时，物体升高( )米.
A. 30/7 B. 3√2 C. 30/6 D. 以上的答案都不对
二、填空题(共10题;共30分)
11.若x/2=y/3=z/4≠0，则(2x+3y)/z =________.
12.已知关于x的一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根是x1、x2,那么x1+x2=________.
13.某药品原价为每盒25元，经过两次连续降价后，售价为每盒16元.若该药品平均每次降价的百分数是x，则可列方程为________.
14.若式子√(x-3)/5有意义，则x的取值范围是________.
15.线段c是线段a，b的比例中项，其中a=4，b=5，则c=________
16.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的1/4，那么点B′的坐标是________.
17.计算：√45﹣√(2/5) × √50 =________.
18.坐标系中，△ABC的坐标分别是A(-1，2)，B(-2，0)，C(-1，1)，若以原点O为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C′，那么落在第四象限的A′的坐标是________.
19.掷一枚均匀的硬币，前两次抛掷的结果都是正面朝上，那么第三次抛掷的结果正面朝上的概率为 ________
20.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE，BC的延长线相交于点F，若AE=10，则S△ADE+S△CEF的值是________ .
三、解答题(共8题;共60分)
21.张老师担任初一(2)班班主任，她决定利用假期做一些家访，第一批选中8位同学，如果他们的住处在如图所示的直角坐标系中，A(-1，-2)，B(0，5)，C(-4，3)，D(-2，5)，E(-4，0)，F(1，5)，G(1，0)，H(0，-1)，请你在图中的直角坐标系中标出这些点，设张老师家在原点O，再请你为张老师设计一条家访路线。
22.计算：√12-|-2|+〖(1-√3)〗^0-9tan30°
23.小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知第一条边长为m米，由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米. ①用含m的式子表示第三条边长;
②第一条边长能否为10米?为什么?
③若第一条边长最短，求m的取值范围.
24.探究与发现：如图①，在△ABC中，∠B=∠C=45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE=∠AED，连结DE.
(1)当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数;
(2)当点D在BC(点B、C除外)边上运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系;
(3)深入探究：如图②，若∠B=∠C，但∠C≠45°，其它条件不变，试继续探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
25.某学校为美化校园，准备在长35米，宽20米的长方形场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计了一种方案，图纸分别如图l、图2和图3所示(阴影部分为草坪).
请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解.
①甲方案设计图纸为图l，设计草坪的总面积为600平方米.
②乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600平方米.
③丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540平方米.
26.在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5m的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E. 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度.
(参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7)
27.已知:如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°,∠ABC的平分线交AC于D，
(1)求证：△ABC∽△BCD;
(2)若BC=2，求AB的长。
28.课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.
(1)加工成的正方形零件的边长是多少mm?
(2)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图 ，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少?请你计算.
(3)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【考点】点的坐标
【解析】【分析】找到纵坐标为0，且横坐标为2的绝对值的坐标即可。
【解答】∵点在x轴上，
∴点的纵坐标为0，
∵点到原点的距离为2，
∴点的横坐标为±2，
∴所求的坐标是(2，0)或(-2，0)，
故选C
【点评】解答本题的关键是掌握x轴上的点的纵坐标为0;绝对值等于正数的数有2个。
2.【答案】A
【考点】二次根式有意义的条件
【解析】【分析】使式子√(a-2)在实数范围内有意义，必须有a-2≥0，解得a≥2。
故选A.
3.【答案】D
【考点】同类二次根式
【解析】【分析】化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式。
A、√3;B、√6;C、√27=3√3，与√2均不是同类二次根式，故错误;
D、√8=2√2，与√2是同类二次根式，本选项正确。
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握同类二次根式的定义，即可完成。
4.【答案】B
【考点】相似多边形的性质
【解析】【分析解答】
四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D' ，AB:A'B'=BC:B'C'=1:2 ，因为BC=8 ，所以B'C'=16
故选：B
5.【答案】C
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，
∴BC/AB=(B^' C^')/(A^' B^' )，
∴BC/5=1.6/2.5，
∴BC=1.6/2.5×5=3.2米.
故选：C.
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.
6.【答案】D
【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形三边关系，三角形内角和定理，等边三角形的性质
【解析】【分析】根据三角形的性质即可作出判断.
【解答】A正确，符合三角形三边关系;
B正确;三角形外角和定理;
C正确;
D错误，等边三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形.
故选D.
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，外角和定理，中位线的性质及命题的真假区别.
7.【答案】D
【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质
【解析】【分析】此题要分情况考虑，再根据三角形的三边关系“任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边”进行分析判断是否能够组成三角形，最后求得它的周长即可.
【解答】当相等的两边是3时，3+3>5，能够组成三角形，则它的周长是3+3+5=11(cm);
当相等的两边是5时，3+5>5，能够组成三角形，则它的周长是5+5+3=13(cm).
故选D.
【点评】此题要注意分情况考虑，还要注意看是否满足三角形的三边关系.
8.【答案】C
【考点】三角形三边关系，平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD
∴OA=OC=6，OB=OD=5
∵在△OAB中：OA﹣OB
∴1
故选C.
【分析】根据平行四边形的性质知：AO=1/2AC=6，BO=1/2BD=5，根据三角形中三边的关系有，6﹣5=1
9.【答案】B
【考点】比例的性质，相似多边形的性质
【解析】【分析】设实际面积约为x平方千米，再根据比例尺及相似图形的性质即可列方程求解.
【解答】设实际面积约为xcm2，由题意得，
24/x=(1/300000)^2
解得x=2160000000000
2160000000000 cm2=216000000 m2=216 km2
故选B.
【点评】比例尺的问题是中考常见题，一般难度不大，学生只需正确理解比例尺的定义即可.
10.【答案】B
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵坡度为1：7，
∴设坡角是α，则sinα=1/√(1^2+7^2 )=1/(5√2)=√2/10，
∴上升的高度是：30×√2/10=3√2米.
故选B.
【分析】根据坡度即可求得坡角的正弦值，根据三角函数即可求解.
二、填空题
11.【答案】13/4
【考点】代数式求值，比例的性质
【解析】【解答】解：根据题意，设x=2k，y=3k，z=4k，
则(2x+3y)/z = 13/4，
故答案为：13/4
【分析】根据比例设x=2k，y=3k，z=4k，然后代入式子化简求值即可.
12.【答案】4
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】根据一元二次方程中两根之和等于-b/a,所以x1+x2=4.
故答案是4.
【分析】根据根与系数的关系计算即可。
13.【答案】25(1-x)2=16
【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，
故25(1﹣x)2=16，
故答案为：25(1-x)2=16
【分析】首先设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意列一元二次方程25(1﹣x)2=16，即为求解。
14.【答案】x≥3
【考点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】依题可得：
x﹣3≥0，
∴x≥3，
故答案为：x≥3.
【分析】根据二次根式有意义的条件：根号里面的数大于或等于0即可得出答案.
15.【答案】2√5
【考点】比例线段
【解析】【解答】解：∵线段c是线段a，b的比例中项，
∴c2=ab，
∵a=4，b=5，
∴c2=20，
∴c=2√5(负数舍去)，
故答案是2√5.
【分析】根据比例中项的定义可得c2=ab，从而易求c.
16.【答案】(3，2)或(﹣3，﹣2)
【考点】位似变换
【解析】【解答】解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的1/4，
∴两矩形的相似比为1：2，
∵B点的坐标为(6，4)，
∴点B′的坐标是(3，2)或(﹣3，﹣2)
【分析】可考虑位似图形在位似中心的同侧或异侧，两种情况，由面积比的算数平方根等于相似比，可求出位似坐标.
17.【答案】√5
【考点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=3 √5﹣√(2/5×50)
=3 √5﹣2 √5
= √5.
故答案为：√5.
【分析】先算二次根式的乘法，再将二次根式化成最简最简二次根式，再合并同类二次根式。
18.【答案】(2，-4)
【考点】位似变换
【解析】【解答】∵A(-1，2)，以原点O为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C′，
∴落在第四象限的A′的坐标是：(2，-4).
故答案为：(2，-4).
【分析】根据位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k ，即可得出A′的坐标.
19.【答案】1/2
【考点】概率的意义
【解析】【解答】解：掷一枚均匀的硬币，前两次抛掷的结果都是正面朝上，那么第三次抛掷的结果正面朝上的概率为1/2，
故答案为：1/2.
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案.
20.【答案】30、48
【考点】一元二次方程的解，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】
解：如图，延长DA，过B作BM⊥DA，交其延长线于M.
∴四边形DCBM是正方形，
∴DM=BC=CD=12，再把△BEC旋转到△BMN的位置，
∴BN=BE，∠EBC=∠MBN，CE=MN.
∵∠ABE=45°
∴∠EBC+∠ABM=90°﹣45°=45°
∴∠ABN=∠ABM+∠MBN=45°，AB公共
∴△ABN≌△ABE
∴AN=AE=10，设CE=x，那么MN=x，DE=CD﹣CE=12﹣x，AM=10﹣x，AD=12﹣AM=2+x，
在Rt△ADE中：AD2+DE2=AE2
∴(2+x)2+(12﹣x)2=102
∴x1=4，x2=6，
当x=4时，CE=4，DE=8，AD=6
∵AD∥CF
∴△ADE∽△FCE，
∴AD/CF=DE/CE
∴CF=3，
∴S△ADE+S△CEF=30;
当x=6时，CE=6，DE=6，AD=8
∵AD∥CF
∴△ADE∽△FCE
∴AD/CF=DE/CE
∴CF=8
∴S△ADE+S△CEF=48.
综上所述，S△ADE+S△CEF的值是30或48.
故答案为：30或48.
【分析】如图，首先把梯形补成正方形，然后把△BEC旋转到△BMN的位置，根据它们条件容易证明：△ANB和△ABE全等，故AE=AN=10，设CE=x，然后用x表示AM，AD，DE在根据△ADE是直角三角形利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x，就可以求出S△ADE+S△CEF的值.
三、解答题
21.【答案】解：描出各点，如下图所示。设计家访路线时，以路程较短为原则，如：O→G→H→A→E→C→D→B→F
【考点】点的坐标，坐标确定位置
【解析】【分析】根据已知条件在平面直角坐标系中描出各点，再根据路程最短来设计家教路线.
22.【答案】
-1-√3
【考点】绝对值及有理数的绝对值，实数的运算，0指数幂的运算性质，二次根式的性质与化简，特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式=2√3-2+1-9×√3/3
=2√3-2+1-3√3
=-1-√3
【分析】本题涉及零指数幂，绝对值，二次根式化简，特殊角的三角函数值，再根据实数的运算法则求得计算结果。
23.【答案】解：①∵第二条边长为(3m﹣2)米， ∴第三条边长为50﹣m﹣(3m﹣2)=(52﹣4m)米;
②当m=10时，三边长分别为10，28，12，
由于10+12<28，所以不能构成三角形，即第一条边长不能为10米;
③由题意，得 ，
解得
【考点】列代数式，三角形三边关系
【解析】【分析】①本题需先表示出第二条边长，即可得出第三条边长;②当m=10时，三边长分别为10，28，12，根据三角形三边关系即可作出判断;③根据第一条边长最短以及三角形的三边关系列出不等式组，即可求出m的取值范围.
24.【答案】解：(1)∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=105°，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC，
∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠ADC﹣∠EDC=105°﹣∠EDC=45°+∠EDC，
解得：∠EDC=30°.
(2)∠EDC=1/2∠BAD.
证明：设∠BAD=x，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+x，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC，
∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠ADC﹣∠EDC=∠45°+x﹣∠EDC=45°+∠EDC，
解得：∠EDC=1/2∠BAD.
(3)∠EDC=1/2∠BAD.
证明：设∠BAD=x，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+x，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC，
∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠ADC﹣∠EDC=∠B+x﹣∠EDC=∠B+∠EDC，
解得：∠EDC=1/2∠BAD.
【考点】三角形三边关系
【解析】【分析】(1)先根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°=105°，∠AED=∠C+∠EDC，再根据∠B=∠C，∠ADE=∠AED即可得出结论;
(2)(3)利用(1)的思路与方法解答即可.
25.【答案】解：①设道路的宽为x米.依题意得：
(35﹣2x)(20﹣2x)=600;
②设道路的宽为x米.依题意得：(35﹣x)(20﹣x)=600;
③设道路的宽为x米.依题意得：(35﹣2x)(20﹣x)=540.
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】①设道路的宽为x米.长应该为35﹣2x，宽应该为20﹣2x;那么根据草坪的面积为600m2，即可得出方程.
②如果设路宽为xm，草坪的长应该为35﹣x，宽应该为20﹣x;那么根据草坪的面积为600m2，即可得出方程.
③如果设路宽为xm，草坪的长应该为35﹣2x，宽应该为20﹣x;那么根据草坪的面积为540m2，即可得出方程.
26.【答案】解：由题意得，四边形ACDB，ACEN为矩形，
∴EN=AC=1.5，AB=CD=15，
在"Rt"△MED中，
∠MED=90°，∠MDE=45°，
∴∠EMD=∠MDE=45°，
∴ME=DE，
设ME=DE=x，则EC=x+15，
在"Rt"△MEC中，∠MEC=90°，
∠MCE=35°，
∵ ME=EC⋅"tan" ∠MCE，
∴ x≈0.7(x+15) ，∴ x≈35 ，
∴ ME≈35 ，
∴ MN=ME+EN≈36.5，
∴人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米
【考点】锐角三角函数的定义，解直角三角形，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意可知四边形ACDB，ACEN为矩形，根据矩形的性质得出EN、DC的长，再根据已知证明△MED是等腰直角三角形，得出ME=DE=x，从而表示出EC的长，然后在Rt△MEC中，根据ME=EC⋅tan∠MCE ，求出ME的长，根据MN=ME+EN，计算即可得出答案。
27.【答案】解：(1)∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°.
∴∠DBC=∠A=36°.
又∵∠ABC=∠C，
∴△ABC∽△BCD.
(2)∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD，∠BDC=∠C=72°.
∴BD=BC=AD.
∵△ABC∽△BCD，
∴AB/BC=BC/CD.
即AB/2=2/(AB-2).
解得：AB=(1+√5)/2或(1-√5)/2(不符合题意).
∴AB=(1+√5)/2.
【考点】三角形的角平分线、中线和高，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】
(1)根据角平分线的性质得到∠DBC=∠A，已知有一组公共角，则根据有两组角对应相等则两三角形相似可得到△ABC∽△BCD;
(2)相似三角形的对应边对应成比例，且由已知可得到BD=BC=AD，从而便可求得AB的长.
28.【答案】(1)解：如图1，
设正方形的边长为xmm，则PN=PQ=ED=x，
∴AE=AD-ED=80-x，
∵ PN∥BC，
∴ △APN∼△ABC，
∴ PN/BC=AE/AD，即x/120=(80-x)/80，
解得x=48.
∴加工成的正方形零件的边长是48mm
(2)解：如图2，
设PQ=x，则PN=2x，AE=80-x，
∵ PN∥BC，
∴ △APN∼△ABC，
∴ PN/BC=AE/AD，即2x/120=(80-x)/80，
解得：x=240/7，
∴ 2x=480/7，
∴这个矩形零件的两条边长分别为240/7 mm，480/7 mm
(3)解：如图3，
设PN=x(mm)，矩形PQMN的面积为S (mm^2)，
由条件可得△APN∼△ABC，
∴ PN/BC=AE/AD，
即x/120=(80-PQ)/80，
解得：PQ=80-2/3 x.
则S=PN⋅PQ=x(80-2/3 x)=-2/3 x^2+80x=-2/3 〖(x-60)〗^2+2400，
故S的最大值为2400mm^2，此时PN=60mm，PQ=80-2/3×60=40(mm)
【考点】相似三角形的判定与性质，配方法的应用
【解析】【分析】(1)设正方形的边长为x，则PN=PQ=ED=x，AE=AD-ED=80-x，由△APN ∼ △ABC，根据相似三角形的性质可得PN/BC=AE/AD,代入可得x。
(2)设PQ=x，则PN=2x，AE=80-x，由△APN∼△ABC，根据相似三角形性质可得，PN/BC=AE/AD，代入求得PQ，再求得PN。
(3)根据相似三角形的性质可得PN/BC=AE/AD，用含有x的代数式表示PQ，再表示面积S，最后配方求得S的最大值。
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