秋季学期理科高二年级数学期中题
我们在学习数学的时候要把知道什么方法是最适合自己的，今天小编就给大家分享一下高二数学，欢迎大家阅读哦
理科高二数学上学期期中试卷
一. 选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.)
1.直线 的倾斜角大小( )
A. B. C. D.
2.已知正 的边长为 ，那么用斜二测画法得到的 的直观图 的面积为( )
A. B. C. D.
3.设 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,下列命题是真命题的是( )
A. 若 则 B. 若 则
C. 若 则 D. 若 则
4. 方程 所表示的直线( )
A. 恒过定点 B. 恒过定点
C. 恒过点 和 D. 都是平行直线
5.在空间直角坐标系中,已知点 , ,点 在 轴上,若 ,则点 的坐标为( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
6.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位 ),可得这个几何体的体积是( )
A. B. C. D.
7.如图,在正三棱柱 中, , 、 分别是 和 的中点,则直线 与 所成角的余弦值等于( )
A. B. C. D.
8.如图,在正方体 中,棱长为 , 、 分别为 与 的中点, 到平面 的距离为( )
A. B.
C. D.
9.过正方形 的顶点 ,引 平面 .若 ,则平面 和平面 所成的二面角的大小是( )
A. B.
C. D.
10.在三棱锥 中, 平面 , , , 分别是 , 的中点, ,且 .设 与 所成角为 , 与平面 所成角为 ,二面角 为 ,则( )
A. B.
C. D.
11.如图1,直线 将矩形纸 分为两个直角梯形 和 ,将梯形 沿边 翻折,如图2,在翻折的过程中(平面 和平面 不重合),下面说法正确的是( )
图1 图2
A. 存在某一位置,使得 平面
B. 存在某一位置,使得 平面
C. 在翻折的过程中, 平面 恒成立
D. 在翻折的过程中, 平面 恒成立
12.在三棱锥 中, 平面 , , , , 是边 上的一动点,且直线 与平面 所成角的最大值为 ,则三棱锥 的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二. 填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分.)
13.已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则它的体积是________.
14.已知直线 经过点 且与以 , 为端点的线段 有公共点,则直线 的倾斜角的取值范围为________.
15.在棱长为 的正方体 中， 的中点是 ，过 作与截面 平行的截面，则该截面的面积为________.
16.已知四棱锥 的底面 是矩形, 底面 ,点 、 分别是棱 、 的中点,则
①棱 与 所在直线垂直;
②平面 与平面 垂直;
③ 的面积大于 的面积;
④直线 与平面 是异面直线.
以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)
三.解答题(本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17.直线 过点 和第一、二、四象限,若直线 的横截距与纵截距之和为 ,求直线 的方程.
18. 如图,三棱锥 中, 两两垂直, 分别是 的中点.
(1)证明：平面 面 ;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
19.如图,在四棱锥 中,底面 是菱形, ,侧面 是正三角形,平面 平面 , , 为 的中点.
(1)求证 平面 .
(2)求二面角 的余弦值.
20.如图,由直三棱柱 和四棱锥 构成的几何体中, ,平面 平面 .
(1)求证: ;
(2)若 为 中点,求证: 平面 ;
(3)在线段 上(含端点)是否存在点 ,使直线 与平面 所成的角为 ?若存在,求 得值,若不存在,说明理由.
数学参考答案(理科)
考查时间：90分钟 满分：100分
二. 选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.)
BDCAA CDDBA CB
三. 填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分.)
13. 14. 15. 16. ①③
三.解答题(本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17.(本小题10分)
解：设直线 的横截距为 ，由题意可得纵截距为 .
∴直线 的方程为 .
∵点 在直线 上，∴ ， ，解得 或 .
当 时，直线的方程为 ，直线经过第一、二、四象限.
当 时，直线的方程为 ，直线经过第一、二、四象限.
综上所述，所求直线方程为 和 . ------10分
18.(本小题12分)
(1)证明：∵ 分别是 的中点,
∴ ,又 平面 , 平面
∴ 平面 ,
同理可得： 平面 ,
又 平面 , 平面 , ,
∴平面 平面 . ------5分
(2)以 为坐标原点,以 为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则 ,
∴ ,
设平面 的法向量 ,则 ,
∴ ,令 可得 .
∴ .
设 与面 所成角为 ,则 .
∴ 与面 所成角的正弦值为 . ------12分
19.(本小题12分)
解：(1)取 中点 ,连接 ,∵侧面 是正三角形,平面 平面 ,
∴ 底面 ,因为底面 为菱形,且 , ,
∴ , ,以 为原点,
分别以 所在直线为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系,
则 ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,又 ,
∴ 平面 . ------5分
(2) ,设平面 的一个法向量 ,
则 ,
取 ,得 ,
由(1)知平面 的法向量为 ,
∴ ,
由图象得二面角 是钝角,所以二面角 的余弦值为 .
------12分
20.(本小题14分)
(1)证明：在直三棱柱 中,
∵ 平面 ∴
∵平面 平面 ,且平面 平面
∴ 平面
∴ ------4分
(2)在直三棱柱 中,
∵ 平面 ,∴ ,
又 ,
建立如图所示的空间直角坐标系,由已知可得 ,
,
设平面 的法向量
∵ ∴ ,
令 则 ,
∵ 为 的中点,∴ ,
∵ ∴
又 平面 ,∴ 平面 ------8分
(3)由(2)可知平面 的法向量 ,
设 ,
则 ,
若直线 与平面 所成的角为 ,
则
解得 , 故不存在这样的点 ,使得直线 与平面 所成的角为 .
------14分
高二数学上学期期中试题带答案
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.直线x+√3 y-2=0的倾斜角为( )
A. 150° B. 120° C. 60° D. 30°
2.在空间直角坐标系O-xyz中，若点A(1,2,1)，B(-3,-1,4)，点C是点A关于xOy平面的对称点，则|BC|=( )
A. √22 B. √26 C. √42 D. 5√2
3.若直线(1-a)x+ay-3=0与(2a+3)x+(a-1)y-2=0互相垂直，则a等于( )
A. -3 B. 1 C.1或-3 D. 0或-3/2
4.如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为 1 cm 的正方形，则原图形的周长是( )
A. 6cm B. 8cm C. 2(1+√3)cmD. 2(1+√2)cm
5.设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若 α⊥β，m⊂α，n⊂β，则 m⊥nB. 若 α"∥" β，m⊂α，n⊂β，则 m"∥" n
C. 若 m⊥n，m⊂α，n⊂β，则 α⊥βD. 若 m⊥α，m"∥" n，n"∥" β，则 α⊥β
6.过点p(5,3)作圆 的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线AB的方程为( )A. B.
C. D.
7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，题中描绘的器具的三视图如图所示(单位：寸).若在某天某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为 6 寸，则这天该地的降雨量约为()(注：平均降雨量等于器具中积水除以器具口面积.
参考公式：V= 1/3(S_上+S_下+√(S_上 S_下 ))h,其中S_上,S_下分别表示上、下底面的面积,h为高)
A. 2 寸 B. 3 寸 C. 4 寸 D. 5 寸
8.已知两点 A(0,-3)，B(4,0)，若点 P 是圆 x^2+y^2-2y=0 上的动点，则 △ABP 面积的最小值是( )
A. 6B. 11/2C. 8D.21/2
9.已知过球面上 、 、 三点的截面和球心 的距离等于球半径的一半,AB=BC=CA=2,则球 的体积为( )
A. B. C. D.
10.已知圆C:x^2+y^2=3，从点A(-2,0)观察点 B(2,a)，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-4/3 √3)∪(4/3 √3,+∞)B. (-∞,-2)∪(2,+∞)
C. (-∞,-2√3)∪(2√3,+∞)D. (-∞,-4√3)∪(4√3,+∞)
11.已知圆 C:x^2+y^2=2，直线 l:x+2y-4=0，点 P(x_0,y_0 ) 在直线l上，若存在圆 C 上的点Q，使得∠OPQ=〖45〗^°(O 为坐标原点)，则 x_0 的取值范围是 ( )
A. [0,1]B. [0,8/5]C. [-1/2,1]D. [-1/2,8/5]
12.如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线 DE翻转为∆A_1 DE.若M为线段A_1 C的中点，则在△ADE翻转过程中，有下列命题：
① BM 是定值;
②点M 在圆上运动;
③一定存在某个位置，使 DE⊥A_1 C;
④若 ，则MB"∥" 平面A_1 DE.
其中正确的个数为( )
A、1 B、2 C、3 D、4
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13.圆 的一条经过点(-2，1)的切线方程为 .
14.设圆C_1的方程为〖(x-5)〗^2+〖(y-3)〗^2=9，圆C_2的方程x^2+y^2-4x+2y-9=0，则两圆的关系为___________.
15.已知圆锥的顶点为S，母线 SA，SB 互相垂直，SA与圆锥底面所成角为 〖30〗^°，若△SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为 .
16.M是直线x+2y-4=0上的一个动点，点A、B的坐标分别为(-1，0)、B(1，0)，则|MA|+|MB|的最小值为.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
如图,在四棱锥 中,四边形 为直角梯形, , ,
底面 ,且 , , 为 的中点.
(Ⅰ) 求证: 平面 ;
(Ⅱ)求证: .
(本小题满分12分)
如图,已知四边形 是矩形, 是坐标原点, 、 、 、 按逆时针排列, 的坐标是(4,3), .
(1)求点 的坐标;
(2)求 所在直线的方程;
(3)求ABC的外接圆方程.
(本小题满分12分)
已知图 1 中，四边形 ABCD 是等腰梯形，AB"∥" CD，EF"∥" CD，DM⊥AB 于 M 、交 EF 于点 N，DN=3√3，MN=√3，现将梯形 DCFE 沿 EF 折起，记折起后 C，D 为 Cʹ，Dʹ 且使 DʹM=2√6，如图 2 示.
(1)证明：DʹM⊥平面ABFE;
(2)若图 1 中，∠A=〖60〗^°，求点 M 到
平面 AEDʹ 的距离.
20、(本小题满分12分)
如图，在四棱锥 中，底面 是平形四边形，设 ， ，点 为 的中点，且 .
(1)若 ，求二面角 的正切值;
(2)是否存在 使 ，若存在求出 ，若不存在请说明理由。
21.(本小题满分12分)
如图，在正方体ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1中，E,F,G分别是AB,CC_1,AD的中点.
(1)求异面直线EG与B_1 C所成角的大小;
(2)棱CD上是否存在点T，使AT//平面B_1 EF?若存在，求出 的值;若不存在，请说明理由.
22.(本小题满分12分)
如图，过点E(1,0)的直线与圆O:x^2+y^2=4相交于A,B两点，过点C(2,0)且与AB垂直的直线与圆O的另一交点为D.
(1)当点B坐标为(0,-2)时，求直线CD的方程;
(2)求四边形ACBD面积S的最大值.
考试答案
数学(理科)
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A D C B D C A B A D B C
填空题
13. 2x-y+5=0 14. 相交 15. 8π 16. 4
解答题
17. 解:(Ⅰ) 取 的中点 ,连结 ,…………1分
因为 为 的中点,所以 ,又 …………2分
所以 ,所以四边形 为平行四边形,
所以 ,………………………………………4分
又 平面 , 平面 ,
所以 平面 .………………………………5分
(Ⅱ)在直角梯形 中, , ,
, ,过 作 于 ,
由平几知识易得 ,
所以 ,所以 ……………………7分
又 底面 , 底面 ,
所以 …………………9分
又 ,所以 平面 .
，所以有 .…………………10分
18.解：(1)因为四边形 是矩形, 所在直线的斜率
所以 的斜率为 , 所在的直线方程为 ,………………1分
因为 ,设 ,
则 , ……………………3分
所以 (舍去),所以点 的坐标为 .……………………4分
(2)因为 与 平行, 所以 所在直线的斜率 …………6分
所以 所在直线的方程为 ,即 ………8分
(3)解法一：由题意知ABC的外接圆也是矩形ABCO的外接圆，所以线段AC的中点即为圆心，半径 ………………………………9分
因为 ，所以圆心坐标为 …………………10分
又 ，所以半径 ……………11分
所以ABC外接圆的方程为 …………………12分
解法二：因为AB所在直线方程为 ，即
联立直线AB与BC的方程 得点B的坐标为
又线段BC的中点坐标为 ，其中垂线 的斜率 ，
故 ，同理得线段AB的中垂线
联立直线 和 的方程得ABC外接圆圆心坐标为 ，设半径为r,
则
所以ABC外接圆的方程为
给分说明:第 (Ⅱ)问中的直线若正确地写成一般式或斜截式均给满分.
19.解：(1) 因为 AB"∥" CD，EF"∥" CD，DM⊥AB，
所以 DM⊥EF，即 DʹN⊥EF，MN⊥EF，…………………1分
又 DʹN∩MN=N，MN⊂平面DʹMN，DʹN⊂平面DʹMN，
所以 EF⊥平面MNDʹ，又因为 DʹM⊂平面DʹMN，
所以 EF⊥DʹM，…………………3分
因为 DʹM=2√6，DʹN=3√3，MN=√3，
所以 DʹM^2+MN^2=DʹN^2，所以 DʹM⊥MN，…………………5分
又 MN∩EF=N，MN⊂平面ABFE，EF⊂平面ABFE，
所以 DʹM⊥平面ABFE.…………………6分
(2) 在 Rt△ADM 中，因为 ∠A=〖60〗^°，DM=4√3，
所以 AM=4，AD=8，…………………7分
因为 EF"∥" AB，所以 DE/AE=DN/MN=3，
所以 DE=6，AE=2，…………………8分
所以
■(V_(Dʹ-AEM)&=1/3 S_(△AEM)⋅DʹM@&=1/3×1/2×4×2×sin〖60〗^°×2√6@&=4√2,)…………………9分
在 Rt△ADʹM 中，ADʹ=√(AM^2+DʹM^2 )=2√10，所以 DʹE^2+AE^2=ADʹ^2，
所以 DʹE⊥AE，S_(△AEDʹ)=1/2 AE⋅DʹE=6，…………………10分
设点 M 到平面 AEDʹ 的距离为 h，
则 V_(M-AEDʹ)=1/3 S_(△AEDʹ)⋅h=2h，
所以 2h=4√2，解得 h=2√2，
所以点 M 到平面 AEDʹ 的距离为 2√2.…………………12分
20.解：(1)连接 ，因为 是平形四边形，所以 ，
又 ， ，由余弦定理得 ，所以
所以 ，即 …………………2分
又因为 ， ，所以 ，
又 ，所以
因为 ，所以
所以 是二面角 的平面角，…………………4分
在 中， ，即二面角 的正切值为2.…6分
(2)解法一：假设存在 使
由(1)知 ， ，所以 ，
因为 ，所以 …………………………8分
设 在平行四边形 中，
所以 ……………………9分
设 ，由 得
解得 ，故 …………………10分
所以
所以有 ，故
即存在 ，使 …………………12分
解法二：假设存在 使
由(1)知 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，设
在 中，
在 中，
在平行四边形 中， ，所以
所以
因为 ，所以 ，
即 ，解得
又 ，所以 .
即存在 ，使
21.解：(1)连接BD,B_1 D,CD_1.
因为E,G分别是AB,AD的中点，所以EG//BD.………………2分
又因为B_1 D_1//BD.所以∠CB_1 D_1为异面直线EG与B_1 C所成角.
在ΔCB_1 D_1中，因为CB_1=B_1 D_1=CD_1,所以∠CB_1 D_1=60°.……………5分
(2)在棱CD上取点T，使得DT=1/4 DC，则AT//平面B_1 EF.……………6分
证明如下:延长BC,B_1 F交于H，连EH交DC于K. …………………7分
因为CC_1//BB_1，F为CC_1中点，所以C为BH中点.
因为CD//AB，所以KC//AB，且KC=1/2 EB=1/4 CD. …………………9分
因为DT=1/4 DC，E为AB中点，所以TK//AE且TK=AE，
即四边形AEKT为平行四边形，
所以AT//EK，即AT//EH. …………………11分
又EH⊂平面B_1 EF，AT⊄平面B_1 EF，
所以AT//平面B_1 EF.此时 …………………12分
22.解：(1)当点B坐标为(0,-2)时，直线AB的斜率为(0-(-2))/(1-0)=2，
因为CD与AB垂直，所以直线CD的斜率为-1/2，…………………3分
所以直线CD的方程为y=-1/2 (x-2)，即x+2y-2=0.…………………4分
(2)当直线AB与x轴垂直时，AB=2√3,CD=4，
所以四边形ACBD面积S= 1/2 AB•CD=4√3.…………………6分
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=k(x-1)，即kx-y-k=0，
则直线CD方程为y=-1/k (x-2)，即x+ky-2=0…………………7分
点O到直线AB的距离为(|k|)/√(k^2+1)，
所以AB=2√(4-〖((|k|)/√(k^2+1))〗^2 )=2√((3k^2+4)/(k^2+1))，
点O到直线CD的距离为2/√(k^2+1)，所以CD=2√(4-〖(2/√(k^2+1))〗^2 )=4√(k^2/(k^2+1))，………………9分
则四边形ACBD面积S= 1/2 AB•CD= 1/2•2√((3k^2+4)/(k^2+1))•4√(k^2/(k^2+1))=4√(((3k^2+4)k^2)/〖(k^2+1)〗^2 )，………10分
令k^2+1=t>1(当k=0时四边形ACBD不存在)，
所以S=4√((3t+1)(t-1)/t^2 )=4√(4-〖(1/t+1)〗^2 )∈(0,4√3)，…………………11分
故四边形ACBD面积S的最大值为4√3.…………………12分
理科高二上学期数学期中试题
第I卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上.
1. 将121化为六进制数为( )
A. B. C. D.
2. 某学校要从高一年级的752名学生中选取15名学生代表去敬老院慰问老人，若采用系统抽样方法，首先要随机剔除2名学生，再从余下的750名学生中抽取15名学生，则其中学生甲被选中的概率为( )
A. B. C. D.
3. 如图所示茎叶图记录了甲乙两组各5名同学的数学成绩 甲组成绩中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示 若两个小组的平均成绩相同，则下列结论正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 条件p： ，条件q： ，若p是q的必要条件，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 从包含小华的4位同学中依次任选3人参加知识竞赛，则其中小华不是第一个被选中的概率是( )
A. B. C. D.
6. 如图，给出的是计算 值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是( )
A. B. . C. D.
7.一动圆P过定点 ，且与已知圆N：外切，则动圆圆心
P的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
8.设 是椭圆 的左、右焦点，过 的直线 交椭圆于 两点，若 的最大值为 ，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
9.点 是椭圆 上一点， 分别是椭圆的左、右焦点，若 ，则 的正弦值为( )
A. B. C. D.
10.已知双曲线C: ，过点 的直线 与双曲线C只有一个公共点，则符合这样条件的直线 共有( )
A.1条 B.2条 C. 3条 D. 4条
11.以下四个命题中，正确的个数是( )
命题“若 是周期函数，则 不是三角函数”的否命题是“若 是周期函数，则 是三角函数”;
命题“存在 ， ”的否定是“对于任意 ， ”;
“ ”是“ ”成立的充要条件;
命题 ： 且 ，命题 ： ，则p是q的必要不充分条件.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
12.已知抛物线 的焦点为 ，设 是抛物线上的两个动点，如满足 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卷相应位置上.
13.抛物线 的准线方程为 .
14.若样本数据 ， ， ， 的标准差为4，则数据 ， ， ， 的方差为_____ .
15.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，若双曲线上存在点 使 ，则离心率的取值范围是 .
16.已知命题 ：对 都 ,使得函数 至少有一个零点。命题 ：方程 为双曲线方程，若 为真，则实数 的取值范围为 .
三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答过程要有必要文字说明与推理过程.)
17.(本小题满分10分)
已知命题 实数 满足 ;命题 实数 满足 若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
18. (本小题满分12分)
已知命题 命题 使方程 表示焦点在 轴上的椭圆.
(1)若命题 为真命题，求实数 的取值范围;
(2)若命题“ ”为真，命题“ ”为假，求实数 的取值范围.
19. (本小题满分12分)
(1)设关于 的一元二次方程 若 是从 这四个数中任取的一个数， 是从 这三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率.
(2)某校早上 开始上课，假设该校学生小张与小王在早上 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，求小张比小王至少早 分钟到校的概率.
20. (本小题满分12分)
某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：
日 期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日
昼夜温差x(°C) 8 13 11 12 10 6
就诊人数y(个) 16 28 25 27 22 12
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率;
(2)若选取的是5月与6月的两组数据，请根据1至4月份的数据，求出 关于 的线性回归方程 ;
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问(2)中所得线性回归方程是否理想?
参考公式： ，
21.(本小题满分12分)
已知椭圆 的对称轴为坐标轴，焦点是 ，又点P 在椭圆 上.
求椭圆 的方程;
设 为抛物线 上一动点，过点 作抛物线 的切线交椭圆 于 两点，求 面积的最大值.
22. (本小题满分12分)
设抛物线的顶点在坐标原点，焦点 在 轴正半轴上，过点 的直线交抛物线于 两点，线段 的长是 的中点到 轴的距离是 .
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过点 作斜率为 的直线与抛物线交于 两点，直线 交抛物线于 ，
①求证： 轴为 的角平分线;
②若 交抛物线于 ，且 ，求 的值.
试题答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 14. 15. 16.
三、解答题(本大题共6小题，满分70分)
17. ，…………2分
即 …………4分
记 …………5分
是 的充分不必要条件 的充分不必要条件…………6分
…………7分
…………8分
实数 的取值范围为 …………10分
表示焦点在x轴上的椭圆，
∴ ，解得： ， 故 为真命题： ;…………5分
(2) 解得： ，
故 为真时： ………………7分
若命题“ ”为真，命题“ ”为假，则 一真一假，
故 ，…………………9分
解得： …………………12分
19. (1)解：设事件 为“方程 有实数根”
则 ，即 …………2分
基本事件共12个：
其中第一个数表示 的取值，第二个数表示 的取值.…………4分
事件 中含有6个基本事件，
事件 发生的概率 .…………6分
设小张到校的时间为 ，小王到校的时间为 可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域Ω 是一个矩形区域，
对应的面积 = …………8分
则小张比小王至少早10分钟到校事件 作出符合题意的图象(图略)
满足A事件的面积 .…………10分
由几何概率概型可知 …………12分
20. 解：(1)设抽到相邻两个月的数据为事件 .因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，抽到相邻两个月份的数据的情况有5种，
所以 …………3分
(2) 由数据求得 …………6分
代入公式可得 再由 …………8分
所以 关于 的线性回归方程为 …………9分
(3)当 时， 同样，当 时， …………11分
所以该小组所得线性回归方程是理想的.…………12分
21.解：(1)由椭圆的定义可知 …………2分
易知椭圆的焦点在 轴上，且
所以椭圆 的方程是 .…………4分
(2)设曲线 上的点 ，易知 的斜率存在，设 将它代入 .消去 并整理得 ， 与抛物线相切
. …………6分
将 代入 整理得 …………7分
设 ， .则 ，
，∴ …………9分
设点 到直线 的距离为 ，则 .
∴ .…………11分
当 时取到等号，满足题意.∴ .…………12分
22.解(1)设抛物线方程为 ，由抛物线定义可知, …………1分
又 中点到 轴距离为3，则 ，故 ，…………2分
所以抛物线的方程 .…………3分
①设 直线 为 …………4分
…………6分
而 = …………7分
故 ，所以 轴为 的角平分线.…………8分
②同理可得 轴为 的角平分线，故 三点共线,
由抛物线的对称性知 ,
则 …………9分
又 则 ………10分
设直线 为
………11分
故 则 ,又 ………12分
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