理科高二年级数学期中考试题
我们从一分科开始我们的数学就文科理科不一样的了，今天小编就给大家来分享一下高二数学，就给大家来多多阅读一下哦
高二数学下学期期中试题理科
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.极坐标方程(ρ-1)•( )=0(ρ 0)表示的图形是( )
(A)两个圆 (B)两条直线(C)一个圆和一条射线 (D)一条直线和一条射线
2.将曲线y=sin 2x按照伸缩变换x′=2xy′=3y后得到的曲线方程为( )
A.y=3sin x B.y=3sin 2x C.y=3sin12x D.y=13sin 2x
3. 若复数 ( 为虚数单位)是纯虚数，则实数 的值为( )
A. B. C. D.
4.六把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A.144 B.120 C.72 D.24
5.盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从中随机地抽取4只，那么 为( )
A.恰有1只坏的概率 B.恰有2只好的概率
C.4只全是好的概率 D.至多2只坏的概率
6. 某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，设X表示击中目标的次数，则 等于( )
A. B. C. D.
7.设 ，则 等于( )
A.1.6 B.3.2 C.6.4 D.12.8
8.设随机变量X的分布列如下表，且 ，则 ( )
0 1 2 3
0.1 0.1
A.0.2 B.0.1 C. D.
9. 已知 、 取值如下表：
0 1 4 5 6
1.3
5.6 7.4
画散点图分析可知： 与 线性相关，且求得回归方程为 ，则 的值(精确到0.1)为( ) A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8
10.如果随机变量ξ～N(-1，σ2)，且P(-3≤ξ≤-1)=0.4，则P(ξ≥1)=( )
A.0.2 B .0.3 C.0.4 D.0.1
11. 用 数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=n2n2+13时，从n=k到n=k+1时，等式左边应添加的式子是( )
A.(k-1)2+2k2 B.(k+1)2+k2 C.(k+1)2 D.13(k+1)[2(k+1)2+1]
12.调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表：
晚上 白天 合计
男婴 24 31 55
女婴 8 26 34
合计 32 57 89
你认为婴儿的性别与出生时间有关系的把握为 ( )
A.80% B.90% C.95% D.99%
参考公式及数据：
P( )
0.25 0.15 0.1 0 0.05 0.025
k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：(把答案填在答题纸对应的横线上，每小题5分，共20分。)
13.已知x，y∈R，且x+y<2，则x，y中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________.
14.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，T16T12成等比数列.
15. 有4名优秀学生 ， ， ， 全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有 种.
16.设(2x-1)6=a6x6+a5x5+…+a1x+a0，则|a0|+|a1|+…+|a6|=________.
三、解答题：本大题6个题，共70分。解答应写出文字说明及演算步骤
17. (本小题满分10分)
已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ，ρ=-4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的极坐标方程.
18.(本题满分12分)
抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6)，
求：(1)连续抛掷2次，求向上的数不同的概率;
(2)连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率;
(3)连续抛掷5次，求恰好出现3次向上的数为奇数的概率.
19.(本题满分12分)
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;
②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;
③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°;
④sin2(-18°)+cos248°-si n(-18°)cos 48°;
⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数;
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.
20.(本题满分12分)
设f(x)=(1+x)m+(1+x)n展开式中x的系数是19(m，n∈N+).
(1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值;
(2)当f(x)展开式中x2的系数取最小值时，求f(x)展开式中x7的系数.
21.(本题满分12分)
一盒中有12个乒乓球，其中9个新的， 3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，求X的分布列及数学期望.
22.(本题满分12分)
某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m处射击，如果命中记3分，且停止射击;若第一次射击未命中，可以进行第 二次射击，但目标已在150m处，这时命中记2分，且停止射击;若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m处，若第三次命中则记1分，并停止射击;若三次都未命中，则记0分.已知射手甲在100m处击中目标的概率为 ，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的.
(1)求这位射手在三次射击中命中目标的概率;
(2)求这位射手在这次射击比赛中得分的均值.
高二年级理科数学试题
答案 1-12 CAADB ACCCD BB 13.x，y都大于1 14. T8T4 T12T8 15.36
16.解析 由(2x-1)6=C06(2x)6+C16(2x)5•(-1)+…+C66(-1)6，
可知x6，x5，…，x0的系数正、负相间，且|a0|+|a1|+…+|a6|
=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6.令x=-1，有a6x6+a5x5+…+a1x+a0
=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=(-3)6=36.答案 36
17.以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.
(1)由ρ=4cos θ，得ρ2=4ρcos θ，所以x2+y2=4x.
即x2+y2-4x=0为⊙O1的直角坐 标方程，同理x2+y2+4y=0为⊙O2的直角坐标方程.
(2)由x2+y2-4x=0，x2+y2+4y=0，解得x1=0，y1=0，x2=2，y2=-2.
即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2，-2)，故过交点的直线的极坐标方程为θ=1350 (ρ属于R)
18.解：(1)设A表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则P(A)=6×56×6=56.
(2)设B表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”.
∵向上的数之和为6的结果有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)5种，∴P(B)=56×6=536.
(3)设C表示事件“抛掷5次，恰好出现3次向上的数为奇数”.∴P(C)=C35362363=516.
19. 法一 (1)选择②式，计算如下：
sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-12sin 30°=1-14=34.
(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(3 0°-α)=34.
证明如下：sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)
=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)
=sin2α+34cos2α+32sin αcos α+14sin2α-32sin αcos α-12sin2α=34sin2α+34cos2α=34.
法二 (1)同法一.
(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34.
证明如下：sin2α+cos2( 30°-α)-sin αcos(30°-α)
=1-cos 2α2+1+cos60°-2α2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)
=12-12cos 2α+12+12(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)-32sin αcos α-12sin2α
=12-12cos 2α+12+14cos 2α+34sin 2α-34sin 2α-14(1-cos 2α)=1-14cos 2α-14+14cos 2α=34.
20解：(1)由题设条件，得m+n=19.∴m=19-n，x2的系数为C2m+C2n=C219-n+C2n=19-n18-n2+nn-12=n2-19n+171=n-19 2 2+3234，∵n∈N+.[]∴当n=9或n=10时，x2的系数取最小值1 2 2+3234=81.
(2)当n=9，m=10或n=10，m=9时，x2的系数取最小值，此时x7的系数为C710+C79=C310+C29=156.
21解 ：由题意知旧球个数X的所有可能取值为3，4，5，6.
则P(X=3)=C33C312=1220 ，P(X=4)=C23•C19C312=27220，P(X=5)=C29•C13C312=108220=2755，
P(X=6)=C39C312=84220=2155.故X的分布列为
X 3 4 5 6
p 1220
27220
2755
2155
Ex=214
22.解：记第一、二、三次射击命中目标分别为事件 ，三次都未击中目标为事件D，依题意 ，设在 m处击中目标的概率为 ，则 ，且 ，
，即 ， ， ， .
(1) 由于各次射击都是相互独立的，
∴该射手在三次射击中击中目标的概率
.
(2)依题意，设射手甲得分为X，则 ，
， ， ，
.
高二年级理科数学答案
1-12 CAADB ACCCD BB 13.x，y都大于1 14. T4(T8) T8(T12) 15.36
16.解析 由(2x-1)6=C6(0)(2x)6+C6(1)(2x)5•(-1)+…+C6(6)(-1)6，
可知x6，x5，…，x0的系数正、负相间，且|a0|+|a1|+…+|a6|
=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6.令x=-1，有a6x6+a5x5+…+a1x+a0
=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=(-3)6=36.答案 36
17.以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.
(1)由ρ=4cos θ，得ρ2=4ρcos θ，所以x2+y2=4x.
即x2+y2-4x=0为⊙O1的直角坐标方程，同理x2+y2+4y=0为⊙O2的直角坐标方程.
(2)由x2+y2+4y=0，(x2+y2-4x=0，)解得y1=0，(x1=0，)y2=-2.(x2=2，)
即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2，-2)，故过交点的直线的极坐标方程为θ=1350 (ρ属于 R)
18.解：(1)设A表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则P(A)=6×6(6×5)=6(5).
(2)设B表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”.
∵向上的数之和为6的结果有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)5种，∴P(B)=6×6(5)=36(5).
(3)设C表示事件“抛掷5次，恰好出现3次向上的数为奇数”.∴P(C)=C5(3)6(3)6(3)=16(5).
19. 法一 (1)选择②式，计算如下：
sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-2(1)sin 30°=1-4(1)=4(3).
(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=4(3).
证明如下：sin2α+cos2(30°-α)-si n αcos(30°-α)
=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α )
=sin2α+4(3)cos2α+2(3)sin αcos α+4(1)sin2α-2(3)sin αcos α-2(1)sin2α=4(3)sin2α+4(3) cos2α=4(3) .
法二 (1)同法一.
(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=4(3).
证明如下：sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)
=2(1-cos 2α)+2(1+cos(60°-2α)-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)
=2(1)-2(1)cos 2α+2(1)+2(1)(cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)-2(3)sin αcos α-2(1)sin2α
=2(1)-2(1)cos 2α+2(1)+4(1)cos 2α+4(3)sin 2α-4(3)sin 2α-4(1)(1-cos 2α)=1-4(1)cos 2α-4(1)+4(1)cos 2α=4(3).
20解：(1)由题设条件，得m+n=19.∴m=19-n，x2的系数为Cm(2)+Cn(2)=C19-n(2)+Cn(2)=2((19-n(18-n)+2(n(n-1)=n2-19n+171= 2 (19 )2+4(323)，∵n∈N+.[]∴当n=9或n=10时，x2的系数取最小值 2 (1 )2+4(323)=81.
(2)当n=9，m=10或n=10，m=9时，x2的系数取最小值，此时x7的系数为C10(7)+C9(7)=C10(3)+C9(2)=156.
21解 ：由题意知旧球个数X的所有可能取值为3，4，5，6.
则P(X=3)=3(3)12(3)12(3)=220(1) ，P(X=4)=3(2)9(1)12(3)12(3)=220(27)，P(X=5)=9(2)3(1)12(3)12(3)=220(108)=55(27)，
P(X=6)=9(3)12(3)12(3)=220(84)=55(21).故X的分布列为
X 3 4 5 6
p 220(1)
220(27)
55(27)
55(21)
Ex=214
22.解：记第一、二、三次射击命中目标分别为事件 ，三次都未击中目标为事件D，依题意 ，设在 m处击中目标的概率为 ，则 ，且 ，
，即 ， ， ， .
(1) 由于各次射击都是相互独立的，
∴该射手在三次射击中击中目标的概率
.
(2)依题意，设射手甲得分为X，则 ，
， ， ，
高二下学期数学(理)期中试卷
第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的)
→ → → →
1.三棱柱 ABC—A1B1C1 中，若CA=a，CB=b，CC1=c，则A1B等于( )
A.a+b-c B.a-b+c
C.-a+b+c D.-a+b-c
2.函数 f ( x) sin x ex ，则 f '(0)
的值为( )
第 1 题图
A.1 B.2 C.3 D.0
3. 已知 m，n 表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是( ) A.若 m∥α，n∥α，则 m∥n B.若 m⊥α，n⊂α，则 m⊥n C.若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α D.若 m∥α，m⊥n，则 n⊥α
x
4.函数 f ( x) 的单调递减区间是( )
ln x
A. (0, e)
B. (e,)
C. (0,1), (1, e)
D. (, e)
5.在棱长为 2 的正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，O 是底面 ABCD 的中心，E、F 分别是
CC1 、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于( )
A. 15 B. 10 C. 4 D. 2
5 5 5 3
-π，π
6.已知函数 f(x)=x-sin x，若 x1，x2∈
2 2 ，且 f(x1)+f(x2)>0，则下列不等
式中正确的是( )
A.x1>x2 B.x1
C.x1+x2>0 D.x1+x2<0
7. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3， 则正视图中的 x 的值是( )
A. 3 B. 9
2
C.3 D.2
2
第 7 题图
8.若对任意的 x>0，恒有 lnx≤px-1(p>0)，则 p 的取值范围是( )
A.(0,1] B.(1，+∞) C.(0,1) D.[1，+∞)
9.甲、乙两人约定在下午 4:30 5:00 间在某地相见，且他们在 4:30 5:00 之间 到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人 20 分钟，若另一人
仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是( )
3 8
A. B.
4 9
7 11
C. D.
16 12
10.如图在一个 60 的二面角的棱上有两个点 A，B，线段分别 AC、BD 在这个二面 角的两个面内，并且都垂直于棱 AB，且 AB=AC= a ，BD= 2a ，则 CD 的长为
( ) C
A. 2a B. 5a A B
C. a D. 3a D
11.已知函数 f ( x) ax3 bx2 cx d 的图象如图所示，则
b 1 的取值范围是( )
a 1
第 10 题图
y
A. ( 3 , 1 )
B. ( 2 ,1) 1 2
2 2 5
-1 0 x
C. ( 1 , 3 )
D. ( 3 ,1)
2 2 2
第 11 题图
x 2 y 2
12.已知 F1 ， F2 分别为双曲线C ：
a 2 b 2
1 的左、右焦点， 若存在过 F1 的直分别交
双曲线C 的左、右支于 A ， B 两点，使得 BAF2 BF2 F1 ，则双曲线C 的离心率e 的 取值范围是( )
A. 3,
B. 1,2 5
C. 3,2 5
D. 1,3
第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13. 1 x2dx = .
0
第 12 题图
2 2
2 2
14.已知椭圆 C1 : 2 2
a b
1(a b 0) 与双曲线 C2 : x y
4 有相同的右焦点
F2 ，点 P 是 C1 和 C2 的一个公共点，若 PF2
2 ，则椭圆 C1 的离心率等于 .
15.四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都
相等，且两两夹角为 60°.则线段 AC1 与平面 ABC 所成角的正弦值为 .
mex
16.已知函数 f x 1
x2 x 1
，若存在唯一的正整数 x0 ，使得 f x0 0 ，则
实数 m 的取值范围为 .
三、解答题(本大题共 6 小题，第 17 题满分 10 分，18-22 每题满分 12 分，共 70 分; 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC BC ，点 D 是 AB 的中点，求证：
(Ⅰ) AC BC1 ;
(Ⅱ) AC1 // 平面 B1CD .
18.某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于 50 分的试
卷中随机抽取 100 名学生的成绩(得分均为整数，满分 100 分)进行统计，请根据频率 分布表中所提供的数据，解答下列问题：
组号 分组 频数 频率
第 1 组 [50，60) 5 0.05
第 2 组 [60，70) a 0.35
第 3 组 [70，80) 30 b
第 4 组 [80，90) 20 0.20
第 5 组 [90，100] 10 0.10
合计 100 1.00
(Ⅰ)求 a、b 的值;
(Ⅱ)若从成绩较好的第 3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取 6 人参加市汉字听 写比赛，并从中选出 2 人做种子选手，求 2 人中至少有 1 人是第 4 组的概率.
19.已知函数 f(x)=x2+2aln x.
(Ⅰ)若函数 f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为 1，求实数 a 的值;
(Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间;
2
(Ⅲ)若函数 g(x)=
+f(x)在[1,2]上是减函数，求实数 a 的取值范围.
x
20.在四棱锥 P -
ABCD 中，△ PAB 为正三角形，四边形 ABCD 为矩形，平面
PAB 平面 ABCD ， AB =
2 AD ， M ,N 分别为 PB,PC 的中点.
(Ⅰ)求证： MN //平面 PAD ;
(Ⅱ)求二面角 B—AM—C 的大小;
(Ⅲ)在 BC 上是否存在点 E ，使得 EN ⊥平面 AMN ?
BE
若存在，求
BC
的值;若不存在，请说明理由.
21.已知椭圆 C : x y
1 a b 0 经过点 P(1, 3 ) ，离心率 e 3
a b
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;
2 2 .
(Ⅱ)设过点 E 0 , 2 的直线l 与C 相交于 P, Q 两点，求 OPQ 面积的最大值.
22.已知 f ( x) 1 x2 ， g ( x) a ln x(a 0) .
2
(Ⅰ)求函数 F ( x)
(Ⅱ)若函数 G( x)
取值范围;
f ( x) g ( x) 的极值;
f ( x) g ( x) (a 1) x 在区间 (1 , e) 内有两个零点，求的
e
(Ⅲ)函数 h( x) g x x 1 ，设 x (0,1) ， x (1, ) ，若 h( x ) h( x )
x 1 2 2 1
存在最大值，记为 M (a) ，则当 a e 1 时，M (a) 是否存在最大值?若存在，求出
e
其最大值;若不存在，请说明理由.
数学(理科)参考答案及评分建议
一、 选择题：(每小题5分，共60分)
1.D; 2.B; 3.B; 4.C; 5.A; 6.C;
7.A; 8.D; 9.B; 10.A; 11.D; 12.C;
二、 填空题(每小题5分，共20分)
13. ; 14. ; 15 . ; 16 . ;
三、 解答题(共70分)
17.证明：(1)在直三棱柱 中， 平面 ，
所以， ，
又 ， ，
所以， 平面 ，
所以， . ………..………(5分)
(2)设 与 的交点为 ，连结 ，
为平行四边形，所以 为 中点，又 是 的中点，
所以 是三角形 的中位线， ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .………(10分)
18.(1)a=100-5-30-20-10=35，b=1-0.05-0.35-0.20-0.10=0.30. ………(4分)
(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：660×30=3人，第4组：660×20=2人，第5组：660×10=1人，所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人.……..………(6分)
设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1).其中第4组被入选的有9种，所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为915=35.……………(12分)
19. (1)f′(x)=2x+2ax=2x2+2ax，
由已知f′(2)=1，解得a=-3. ……… 4分
(2)函数f(x)的定义域为(0，+∞). ……… 5分
①当a≥0时，f′(x)>0，
f(x)的单调递增区间为(0，+∞); ……… 6分
②当a<0时，f′(x)=2(x+-a)x--ax.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x (0，-a)
-a
(-a，+∞)
f′(x) - 0 +
f(x) ?
极小值 ?
由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，-a);
单调递增区间是(-a，+∞). ……… 8分
(3)由g(x)=2x+x2+2aln x，
得g′(x)=-2x2+2x+2ax，
由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，
则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，
即-2x2+2x+2ax≤0在[1,2]上恒成立.
即a≤1x-x2在[1,2]上恒成立. ………10分
令h(x)=1x-x2，
在[1,2]上h′(x)=-1x2-2x=-(1x2+2x)<0，
所以h(x)在[1,2]上为减函数，
h(x)min=h(2)=-72，所以a≤-72.
故实数a的取值范围为{a|a≤-72}. ……… 12分
20. (Ⅰ)证明：∵M，N分别是PB，PC中点
∴MN是△ABC的中位线
∴MN∥BC∥AD
又∵AD⊂平面PAD，MN 平面PAD
所以MN∥平面PAD. ……………….4分
(Ⅱ)过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，
因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，
如图建立空间直角坐标系
设AB=2，则A(-1,0，0)，C(1,1，0),M( ,0， ),
B(1,0，0)，N( , ， )，则 ，
设平面CAM法向量为 ，由 可得
，令 ，则 ，即
平面 法向量
所以，二面角 的余弦值
因为二面角 是锐二面角，
所以二面角 等于 ……………….8分
(Ⅲ)存在……………….9分
设 ，则 ，由 可得 ，
所以在 存在点 ，使得 平面 ，
此时 .……………….12分
21.
(Ⅰ)由点 在椭圆上得， ①
②
由①②得 ，
故椭圆 的标准方程为 ……………….5分
......................9分
22.：(1)解：
∴ ………1分
由 得 ，
由 ，得
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ， 无极大值. ………3分
(2)解：
∴
又 ，易得 在 上单调递减，在 上单调递增，
要使函数 在 内有两个零点，
需 ，即 ，………5分
∴ ，
∴ ，即的取值范围是 . ………7分
(3)若 ，∵ 在 上满足 ，
∴ 在 上单调递减，∴ .
∴ 不存在最大值. ………8分
则 .
∴方程 有两个不相等的正实数根，令其为 ，且不妨设
则 .
在 上单调递减，在 上调递增，在 上单调递减，
对 ，有 ;对 ，有 ，
∴ .
∴
.
将 ， 代入上式，消去 得
∵ ，∴ ， .
据 在 上单调递增，得 .
设 ， .
， .
∴ ，即 在 上单调递增.
∴
∴ 存在最大值为 .………12分
高二数学下册期中调研测试题参考
一、选择题(共12小题，每小题5分，共计60分)
1.已知复数z满足 ，那么 的虚部为( )
A.1 B. -i C. D.i
2.定积分 的值为( )
A. B. C. D.
3.观察下列各式： ， ， ，….若 ，则 =( )
A.43 B. 73 C.57 D.91
4.按ABO血型系统学说，每个人的血型为A，B，O，AB型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女的血型一定不是O型，若某人的血型的O型，则父母血型的所有可能情况有( )
A.12种 B.6种 C.9种 D.10种
5.曲线 与坐标轴所围成图形面积是( )
A.4 B.2 C. D.3
6. 的展开式中常数项是( )
A. 160 B.-20 C.20 D.-160
7.用数学归纳法证明“ ，从 “ 到 ”时，左边应增添的式子是 ( )
A. B.
C. D.
8.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q=8300-170P-P2，则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( )
A.3 0元 B.60元
C.23000元 D.28000元
9.若 ，则 等于( )
A.-2 B. 4 C.2 D.-4
10.用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是( )
A.12 B.24 C.36 D.30
11.若不等式2xln x≥-x2+ax-3对x∈(0，+∞)恒成立，则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞，0) B.(0，+∞)
C. (-∞，4] D.[4，+∞)
12. 是定义在 上的函数, 若存在区间 ， 使函数 在 上的值域恰为 ，则称函数 是 型函数.给出下列说法：
① 不可能是 型函数;
②若函数 是 型函数, 则 ， ;
③设函数 是 型函数, 则 的最小值为 ;
④若函数 是 型函数, 则 的最大值为 .
下列选项正确的是( )
A.②④ B.②③ C.①③ D.①④
二、填空题(共4小题，每小题5分，共计20分)
13、已知函数 在 处有极大值，在 处极小值，
则 ，
14. 设 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 的值为 .
15. 在平面直角坐标系 中，若曲线 在 (e为自然对数的底数)处的切线与直线 垂直，则实数a的值为 .
16. 已知集合 ，以下命题正确的序号是 .
①如果函数 ，其中 ，那么 的最大值为 。
②数列 满足首项 , ，当 且 最大时，数列 有2048个。
③数列 满足 ， ， ，如果数列 中的每一项都是集合M的元素，则符合这些条件的不同数列 一共有33个。
④已知直线 ，其中 ，而且 ，则一共可以得到不同的直线196条。
三、解答题(共6小题，17题10分，18至22题每题12分，共计70分)
17. 已知复数
(1)m取什么值时，z是实数?
(2)m 取什么值时，z是纯虚数?
18.(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，求
(1)a1+a2+a3+a4.
(2)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2.
1 9. 6个人坐在一排10个座位上,问
(1)空位不相邻的坐法有多少种?
(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?
(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种?
20. 用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少?
21. 设 ，其中 为正整数.
(1)求 的值;
(2)猜想满足不等式 的正整数 的范围，并用数学归纳法证明你的猜想
22. 已知函数 ，其中 为常数.
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程;
(2)若 ，求证： 有且仅有两个零点;
(3)若 为整数，且当 时， 恒成立，求 的最大值.
答案部分
一、选择题(共12小题，每小题5分，共计60分)
ABBCD DCCDD CA
二、填空题(共4小题，每小题5分，共计20分)
13. -3， -9 14. 15. 16. ②③④
三、解答题(共6小题，17题10分，18至22题每题12分，共计70分)
17.(本小题满分10分)
(1)解
当 时，z为实数 5分
(2)解：
当 时，z为纯虚数 10分
18. (本小题满分12分)
解：(1)由(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，
令x=1得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4，
令x=0得(0-3)4=a0，
所以a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4-a0=(2-3)4-81=-80. 6分
(2)在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中，
令x=1得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4.①
令x=-1得(-2-3)4=a0-a1+a2-a3+a4.②
所以由①②有(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2
=(a0-a1+a2-a3+a4)(a0+a1+a2+a3+a4)
=(-2-3)4(2-3)4=(2+3)4(2-3)4=625. 12分
19. (本小题满分12分)
解：(1) 4分
(2) 8分
(3) 12分
20. (本小题满分12分)
解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，
则有 V=(90﹣2x)(48﹣2x)x=4x3﹣276x2+4320x，(0
求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320 6分
由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36.
所以当0
当10
所以当x=10，V有最大值V(10)=19600 11分
答：当高为10，最大容积为19600. 12分
21. (本小题满分12分)
解：(1)
3分
(2)猜想： 5分
证明：①当 时， 成立 6分
②假设当 时猜想正确，即
∴ 7分
由于
∴ ，即 成立 11分
由①②可知，对 成立 12分
22. (本小题满分12分)
解：(1)当k=0时，f(x)=1+lnx.
因为f′(x)= ，从而f′(1)=1.
又f(1)=1，
所以曲线y=f(x)在点 (1，f(1))处的切线方程y-1=x-1，
即x-y=0. 3分
(2)当k=5时，f(x)=lnx+ -4.
因为f ′(x)= ，从而
当x∈(0，10)，f ′(x)<0，f(x)单调递减;
当x∈(10，+∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增.
所以当x=10时，f(x)有极小值.
因f(10)=ln10-3<0，f(1)=6>0，所以f(x)在(1，10)之间有一个零点.
因为f(e4)=4+ -4>0，所以f(x)在(10，e4)之间有一个零点. 7分
从而f(x)有两个不同的零点.
(3)方法一：由题意知，1+lnx- >0对x∈(2，+∞)恒成立，
即 k< 对x∈(2，+∞)恒成立.
令h(x)= ，则h′(x)= .
设v(x)=x-2lnx-4，则v′(x)= .
当x∈(2，+∞)时， v′(x)(x)>0，所以v(x)在(2，+∞)为增函数.
因为v(8)=8-2ln8-4=4-2ln8<0，v(9)=5-2ln9>0，
所以存在x0∈(8，9)，v(x0)=0，即x0-2lnx0-4=0.
当x∈(2，x0)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当x∈(x0，+∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增.
所以当x=x0时，h(x)的最小值h(x0)= .
因为lnx0= ，所以h(x0)= ∈(4，4.5).
故所求的整数k的最大值为4. 12分
方法二：由题意知，1+lnx- >0对x∈(2，+∞)恒成立.
f(x)=1+lnx- ，f ′(x)= .
①当2k≤2，即k≤1时，f′(x)>0对x∈(2，+∞) 恒成立，
所以f(x)在(2，+∞)上单调递增.
而f(2)=1+ln2>0成立，所以满足要求.
②当2k>2，即k>1时，
当x∈(2，2k)时，f ′(x)<0， f(x)单调递减，
当x∈(2k，+∞)，f ′( x)>0，f(x)单调递增.
所以当x=2k时，f(x)有最小值f(2k)=2+ln2k-k.
从而f(x)>0在x∈(2，+∞)恒成立，等价于2+ln2k-k>0.
令g(k)=2+ln2k-k，则g′(k)= <0，从而g(k) 在(1，+∞)为减函数.
因为g(4) =ln8-2>0，g(5) =ln10-3<0 ，
所以使2+ln2k-k<0成立的最大正整数k=4.
综合①②，知所求的整数k的最大值为4.
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4.高二数学试卷分析
