2017届广州市普通中学高三数学文理科试卷(2)
2017届广州市普通中学高三数学文科试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
(1)设全集，集合，集合，则 (A) (B) (C) (D)
(2)设，其中是实数，则
(A)1 (B) (C) (D)
(3)已知双曲线()的渐近线方程为, 则双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
(4)袋中有大小形状相同的红球黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸出一个球. 若摸到红球得2分，摸到黑球得1分，则3次摸球所得总分为5分的概率是
(A) (B) (C) (D)
(5)已知角的顶点与原点重合, 始边与轴正半轴重合, 终边过点, 则
(A) (B) (C) (D)
(6)已知菱形的边长为，, 则
(A) (B) (C) (D)
(7)已知函数 ，则函数的图象是
(8)曲线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为
(A) (B) (C) (D)
(9)阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为
(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11
(10)若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是( ).
(A) (B) (C) (D)
(11)如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某三棱锥
的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是
(A) (B)
(C) (D)
(12) 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本小题共4题，每小题5分。
(13)等比数列的前项和为，若，则公比________.
(14)已知函数，若，则 .
(15)设分别是圆和椭圆上的点，则两点间的最大
距离是 .
(16)已知锐角△的内角,,的对边分别为，，，若，
，则△的周长的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
等差数列中，，
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)表示不超过的最大整数，如，，
求数列的前2000项和.
(18)(本小题满分12分)
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用前卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级;在75微克/立方米以上的空气质量为超标.为了解甲乙两座城年的空气质量情况，从全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取20天的数据作为样本，监测值如以下茎叶图所示(十位为茎，个位为叶).
(Ⅰ)从甲乙两城市共采集的40个数据样本中，
从PM2.5日均值在范围内随机取2天
数据，求取到2天的PM2.5均超标的概率;
(Ⅱ)以这20天的PM2.5日均值数据来估计一年
的空气质量情况，则甲乙两城市一年(按365天计算)
中分别约有多少天空气质量达到一级或二级.
(19) (本小题满分12分)
在三棱锥中,△是等边三角形, ∠∠.
(Ⅰ)求证: ⊥;
(Ⅱ)若，，求三棱锥的体积.
(20) (本小题满分12分)
已知点是抛物线上相异两点，且满足.
(Ⅰ)若直线经过点，求的值;
(Ⅱ)是否存在直线，使得线段的中垂线交轴于点, 且? 若存
在，求直线的方程;若不存在，说明理由.
(21) (本小题满分12分)
设函数. 若曲线在点处的切线方程为
为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若，试比较与的大小，并予以证明.
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
(22)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线的参数方程为为参数, 曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ) 求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(II)设直线与曲线C相交于两点, 当变化时, 求的最小值.
(23)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知，不等式的解集是.
(Ⅰ)求的值;
(II)若存在实数解，求实数的取值范围.
201 (1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6)D
(7)D (8)C (9)B (10)C (11)D (12)A
二、填空题
(13) (14) (15) (16)
三、解答题
(17) 解：
(Ⅰ)由，，得 分
解得，， 分 所以. 分(Ⅱ)， 分当时; …………………………………………7分
当时; …………………………………………8分当时; …………………………………………9分当时. ………………………………………10分
数列的前2000项和为. 分
(18) 解:
(Ⅰ)从甲乙两城市共采集的40个数据样本中，PM2.5日均值在内的共有6天，而PM2.5日均值为超标(大于75微克/立方米)的有3天.记PM2.5日均值超标的3天为，不超标的3天为，则从这6天中随机取2天，共有如下15种结果(不记顺序)
，，分其中，抽出2天的PM2.5均超标的情况有3种.分由古典概型知，抽到2天的PM2.5均超标的概率.分(Ⅱ)各抽取的20天样本数据中，甲城市有15天达到一级或二级;分乙城市有16天达到一级或二级.分由样本估计总体知，甲乙两城市一年(按365天计算)中空气质量达到一级或二级的天数分别约为
， .分 (19) 解:
(Ⅰ)因为是等边三角形, ∠∠,
所以≌, 可得. 分
如图, 取中点, 连结,,
则,, 分
所以平面, 分平面,
所以. 分(Ⅱ)因为 ≌,
所以, . 分由已知在中, ,
………………………………………………8分
因为, ,
所以 ……………………………………………………………9分因为, ，的面积. 分
因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积
所以三棱锥的体积 ………………12分
(20) 解：
(I)①若直线的斜率不存在，则方程为. 联立方程组 解得 或
即，.分 所以. 分 ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程组 消去得，故，方程无解. 分所以. 过抛物线的焦点，根据抛物线的定义得，
，， …………………………………………………………2分. …………………………………………3分(II)符合题意，设的方程为，
联立方程组 消去得，(*)故，分所以.
所以. 分所以.
分
因为.
所以的中点为. 所以的中垂线方程为=，即. 分, 得.
所以的坐标为. ……………………………………………………………8分所以到直线的距离
因为，分所以 .
解得. 分
当时，;当时，.
把和分别代入(*)式检验, 得,不符合题意.分所以直线不存在. 分(21) 解:
(Ⅰ)函数的定义域为.
.分依题意得，即分所以.分所以，.
当时, ; 当时, .
所以函数的单调递减区间是, 单调递增区间是.分(Ⅱ)当时，.
等价于，
也等价于. 分不妨设，
设(), 则.分 当时，，所以函数在上为增函数，
即，分故当时，(当且仅当时取等
号).
令，则，分即(当且仅当时取等号)，分综上所述，当时，(当且仅当时取等号).分(22) 解:
(Ⅰ) 由消去得,分 所以直线的普通方程为.分由, 得,分把代入上式, 得,
所以曲线C的直角坐标方程为. 分 (II) 将直线l的参数方程代入, 得,分
设A、B两点对应的参数分别为,
则, ,分 所以 .分 当时, 的最小值为4. 分
(23) 解：
(Ⅰ)由|, 得，即.分 当时，.分因为不等式的解集是
所以 解得分 当时，.分因为不等式的解集是
所以 无解.分所以
(II)因为分 所以要使存在实数解，只需.分 解得或.分 所以实数的取值范围是.分
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