九年级数学秋季学期期末试题

　　…

　　根据探究请用m的代数式表示线段n的取值范围：　

　　[拓广探究]

　　由二维的平面我们可以联想到三维的立体空间，类比上面问题解决的方法解决如下问题.

　　问题(1)：把棱长为4个单位长的大正方体，切成棱长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切　6　次.

　　问题(2)：把棱长为8个单位长的大正方体，切成棱长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切　9　次，

　　问题(3)：把棱长为n (n 为正整数) 个单位长的大正方体，切成边长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切　 ，n≤ 　次.

　　请用m的代数式表示线段n的取值范围：　

　　【分析】解决此题的关键之一是熟悉截取线段的过程，得出n与m的数量关系，其次是截取二维平面图形，三维立体图形次数之间的关系.

　　【解答】解：由截取一维线段所得到的图标可知当8

　　故答案是：8.

　　然后观察左列n的值与右列m的值的关系可以得到2m﹣1

　　故答案是：2m﹣1

　　当n=1180时，通过计算可知符合条件的m的值等于11.

　　故答案是11.

　　熟悉了截取的过程很容易得到当n的值相等时，截取二维图形的次数是一维图形的次数的2倍，截取三维图形的次数是截取一维线段的次数的三倍.

　　当8

　　故答案是：8.

　　截取一维线段时用m的代数式表示线段n的取值范围：2m﹣1

　　所以，截取二维图片时，m的代数式表示线段n的取值范围是：

　　同理，截取三维立体图形时，n为4时，要切6次，故答案是：6.

　　n为8时，要切9次，故答案时9.

　　用m的代数式表示线段n的取值范围：

　　故答案是

　　【点评】熟悉截取线段的方法和截取过程，仔细观察线段长度和截取次数的关系，然后找到截取不同的图形，当边长相等时，截取次数的关系是解决问题的关键.

　　24.(12分)如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB=10.AC=6.动点P在线段BC上从点B出发沿BC方向以每秒1个单位长的速度匀速运动;动点Q在线段DC上从点D出发沿DC 的力向以每秒1个单位长的速度匀速运动，过点P作PE⊥BC.交线段AB于点E.若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之停止，设运动时间为t秒.

　　(1)当t为何值时，QE∥BC?

　　(2)设△PQE的面积为S，求出S与t的函数关系式：

　　(3)是否存在某一时刻t，使得△PQE的面积S最大?若存在，求出此时t的值; 若不存在，请说明理由.

　　(4)是否存在某一时刻t，使得点Q在线段EP的垂直平分线上?若存在，求出此时t的值;若不存在，请说明理由.

　　【分析】(1)先用勾股定理求出BC，进而得出CD=AB=10，利用锐角三角函数得出∠B的相关三角函数，再判断出△CGQ∽△CAD，利用得出的比例式建立方程即可得出结论;

　　(2)同(1)的方法，利用三角函数求出CH，QH，最后利用面积的差即可得出结论;

　　(3)借助(2)的结论即可得出结论;

　　(4)先由垂直平分线得出PM= t，再表示出CN，用PM=CN建立方程即可得出结论.

　　【解答】解：(1)如图1，记EQ与AC的交点为G，

　　∵AC⊥BC，

　　∴∠ACB=90°，

　　在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，

　　根据勾股定理得，BC=8，

　　tanB= = ，

　　∵四边形ABCD是平行四边形，

　　∴CD=AB=10，AD=BC=8，

　　由运动知，BP=t，DQ=t，

　　∴PC=8﹣t，CQ=10﹣t，

　　∵PE⊥BC，

　　∴∠BPE=90°，

　　在Rt△BPE中，sinB= ，cosB= ，tanB= = = ，

　　∴PE= t，

　　∵EQ∥BC，

　　∴∠PEQ=∠BPE=90°，

　　∴四边形CPEG是矩形，

　　∴CG=PE= t，

　　∵EQ∥BC，

　　∴△CGQ∽△CAD，

　　∴ ，

　　∴ .

　　∴t= ;

　　(2)如图2，

　　过点Q作QH⊥BC交BC的延长线于H，

　　∵四边形ABCD是平行四边形，

　　∴AB∥CD，

　　∴∠DCH=∠B，

　　在Rt△CHQ中，sin∠QCH= = = ，

　　∴QH= (10﹣t)，cos∠HCQ= = = ，

　　∴CH= (10﹣t)，

　　∴PH=PC+CH=8﹣t+ (10﹣t)=16﹣ t，

　　∴S=S梯形QHPE﹣S△QPH= [ (10﹣t)+ t]×(16﹣ t)﹣ ×(16﹣ t)× (10﹣t)=﹣ (t﹣ )2+ ，

　　∵点E在线段AB上，

　　∴点P在线段BC上，

　　∴0

　　点Q在CD上，

　　∴0

　　∴0

　　即：S=﹣ (t﹣ )2+ (0

　　(3)由(2)知，S=﹣ (t﹣ )2+ (0

　　∴t= 时，S最大= ;

　　(4)如图3，

　　过点Q作QM⊥PE于M，交AC于N，

　　∵点Q在线段EP的垂直平分线上，

　　∴PM= PE= t，

　　同(2)的方法得，CN= (10﹣t)，

　　易知，四边形PCNM是矩形，

　　∴PM=CN，

　　∴ t= (10﹣t)，

　　∴t= .

　　关于九年级数学上学期期末试卷

　　一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项，请将这个正确的选项填在下面的表格中)

　　1.如图所示的几何体的俯视图是(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　2.一元二次方程x2+4x=5配方后可变形为(　　)

　　A.(x+2)2=5 B.(x+2)2=9 C.(x﹣2)2=9 D.(x﹣2)2=21

　　3.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则I与R的函数表达式为(　　)

　　A.I= B.I= C.I= D.I=

　　4.如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子DA恰好与甲影子CA在同一条直线上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙两同学相距(　　)米.

　　A.1 B.2 C.3 D.5

　　5.一次函数y=ax+b与反比例函数y= ，其中ab<0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　6.如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD中点，BE交AC于点F，DF的长为(　　)

　　A. B. C. D.

　　二、填空题(每小题3分，共18分)

　　7.若关于x的方程x2+3x+k=0的一个根是1，则k的值为　 　.

　　8.某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数是　 　.

　　9.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为　 　.

　　10.关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足　 　.

　　11.如图，反比例函数y= (k≠0，x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D，若矩形OABC的面积32，则k的值为　 　.

　　12.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=6，E为BC中点，F是AB上一点，G为AD上一点，且BF=2，∠FEG=60°，EG交AC于点H，下列结论正确的是　 　.(填序号即可)

　　①△BEF∽△CHE

　　②AG=1

　　③EH=

　　④S△BEF=3S△AGH

　　三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共计30分)

　　13.用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6=0.

　　14.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D是AB的中点，AE∥CD，AC∥ED，求证：四边形ACDE是菱形.

　　15.如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图.

　　(1)在图1中，作AD的中点P;

　　(2)在图2中，作AB的中点Q.

　　16.已知关于x的一元二次方程x2﹣(k+2)x+2k=0.

　　(1)求证：无论k取何值，原方程总有实数根;

　　(2)若原方程的两实根都小于4，且k为正整数，直接写出k的值.

　　17.小乐放学回家看到桌上有一盘包子，其中有豆沙包、肉包各1个，萝卜包2个，这些包子除馅外无其他差别.

　　(1)小乐随机地从盘子中取出一个包子，取出的是肉包的概率是多少?

　　(2)请用树状图或表格表示小乐随机地从盘中取出两个包子的所有可能结果，并求取出的两个包子都是萝卜包的概率.

　　四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

　　18.如图，郑明同学站在A处，测得他在路灯OC下影子AP的长与他的身高相等，都为1.5m，他向路灯方向走1m到B处时发现影子刚好落在A点.

　　(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定光源O的位置;

　　(2)求路灯OC的高.

　　19.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(3，0)，C(1，﹣1)，AC交x轴于点P.

　　(1)∠ACB的度数为　 　;

　　(2)P点坐标为　 　;

　　(3)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，请在图中画出所有符合条件的三角形.

　　20.某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：

　　销售单价x(元∕件) … 30 40 50 60 …

　　每天销售量y(件) … 500 400 300 200 …

　　(1)研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式;

　　(2)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元?

　　五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

　　21.如图，已知矩形ABCD和▱BCEF，AF=BE，AF与BE交于点G，∠AGB=60°.

　　(1)求证：AF=DE;

　　(2)若AB=6，BC=8，求AF.

　　22.如图，已知一次函数y= x﹣3与反比例函数y= 的图象相交于点A(4，n)，与x轴相交于点B.

　　(1)填空：n的值为　 　，k的值为　 　;

　　(2)以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标;

　　(3)观察反比例函数y= 的图象，当y≥﹣3时，请直接写出自变量x的取值范围.

　　六、解答题(本大题共12分)

　　23.阅读下列材料，并按要求解答.

　　【模型介绍】

　　如图①，C是线段A、B上一点E、F在AB同侧，且∠A=∠B=∠ECF=90°，看上去像一个“K“，我们称图①为“K”型图.

　　【性质探究】

　　性质1：如图①，若EC=FC，△ACE≌△BFC

　　性质2：如图①，若EC≠FC，△ACE～△BFC且相似比不为1.

　　【模型应用】

　　应用1：如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD=1，CD=2，BC=2 ，AB=5.求BD.

　　应用2：如图③，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作正方形ABGF、正方形ACDE，AH⊥BC，连接EF.交AH的反向延长线于点K，证明：K为EF中点.

　　(1)请你完成性质1的证明过程;

　　(2)请分别解答应用1，应用2提出的问题.

　　参考答案与试题解析

　　一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项，请将这个正确的选项填在下面的表格中)

　　1.如图所示的几何体的俯视图是(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　【分析】根据俯视图的作法即可得出结论.

　　【解答】解：从上往下看该几何体的俯视图是D.

　　故选：D.

　　【点评】本题考查的是简单几何体的三视图，熟知俯视图的作法是解答此题的关键.

　　2.一元二次方程x2+4x=5配方后可变形为(　　)

　　A.(x+2)2=5 B.(x+2)2=9 C.(x﹣2)2=9 D.(x﹣2)2=21

　　【分析】两边配上一次项系数一半的平方可得.

　　【解答】解：∵x2+4x=5，

　　∴x2+4x+4=5+4，即(x+2)2=9，

　　故选：B.

　　【点评】本题主要考查解一元二次方程的基本技能，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和根据不同方程灵活选择方法是解题的关键.

　　3.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则I与R的函数表达式为(　　)

　　A.I= B.I= C.I= D.I=

　　【分析】根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为I= ，再把(6，2)代入可得k的值，进而可得函数解析式.

　　【解答】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为I= ，

　　∵过(6，2)，

　　∴k=6×2=12，

　　∴I= ，

　　故选：A.

　　【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式.

　　4.如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子DA恰好与甲影子CA在同一条直线上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙两同学相距(　　)米.

　　A.1 B.2 C.3 D.5

　　【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答.

　　【解答】解：设两个同学相距x米，

　　∵△ADE∽△ACB，

　　∴ ，

　　∴ ，

　　解得：x=1.

　　故选：A.

　　【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据身高与影长的比例不变，得出三角形相似，运用相似比即可解答.

　　5.一次函数y=ax+b与反比例函数y= ，其中ab<0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a﹣b确定符号，确定双曲线的位置.

　　【解答】解：A、由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，

　　满足ab<0，

　　∴a﹣b>0，

　　∴反比例函数y= 的图象过一、三象限，

　　所以此选项不正确;

　　B、由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴正半轴，则b>0，

　　满足ab<0，

　　∴a﹣b<0，

　　∴反比例函数y= 的图象过二、四象限，

　　所以此选项不正确;

　　C、由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，

　　满足ab<0，

　　∴a﹣b>0，

　　∴反比例函数y= 的图象过一、三象限，

　　所以此选项正确;

　　D、由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴负半轴，则b<0，

　　满足ab>0，与已知相矛盾

　　所以此选项不正确;

　　故选：C.

　　【点评】本题考查了一次函数与反比例函数图象与系数的关系，熟练掌握两个函数的图象的性质是关键.

　　6.如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD中点，BE交AC于点F，DF的长为(　　)

　　A. B. C. D.

　　【分析】先在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE= ，再证明△AFE∽△CFB，根据相似三角形对应边成比例得出BF= BE= ，然后证明△ADF≌△ABF，即可得出DF=BF= .

　　【解答】解：∵在正方形ABCD中，AB=2，E是AD中点，

　　∴∠BAE=90°，AE= AD= AB=1，

　　∴BE= = .

　　∵AE∥BC，

　　∴△AFE∽△CFB，

　　∴ = = ，

　　∴BF=2EF，

　　∵BF+EF=BE，

　　∴BF= BE= .

　　在△ADF与△ABF中，

　　，

　　∴△ADF≌△ABF，

　　∴DF=BF= .

　　故选：C.

　　【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形、全等三角形的判定与性质，勾股定理，求出BF= BE= 是解题的关键.

　　二、填空题(每小题3分，共18分)

　　7.若关于x的方程x2+3x+k=0的一个根是1，则k的值为　﹣4　.

　　【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.把x=1代入原方程就可以得到一个关于k的方程，解这个方程即可求出k的值.

　　【解答】解：把x=1代入方程x2+3x+k=0得到1+3+k=0，解得k=﹣4.

　　故本题答案为k=﹣4.

　　【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.

　　8.某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数是　5　.

　　【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行3列，故可得出该几何体的小正方体的个数.

　　【解答】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有4个小正方体，第二层应该有1个小正方体，

　　因此搭成这个几何体的小正方体的个数为4+1=5个;

　　故答案为：5.

　　【点评】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查.如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案.

　　9.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为　10%　.

　　【分析】设该商品每次降价的百分率为x，根据该商品的标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中小于1的值即可得出结论.

　　【解答】解：设该商品每次降价的百分率为x，

　　根据题意得：400(1﹣x)2=324，

　　解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去).

　　答：该商品每次降价的百分率为10%.

　　故答案为：10%.

　　【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

　　10.关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足　a≥1　.

　　【分析】由于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根，那么分两种情况：(1)当a﹣5=0时，方程一定有实数根;(2)当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围.

　　【解答】解：(1)当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根;

　　(2)当a﹣5≠0即a≠5时，

　　∵关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根

　　∴16+4(a﹣5)≥0，

　　∴a≥1.

　　所以a的取值范围为a≥1.

　　故答案为：a≥1.

　　【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.

　　11.如图，反比例函数y= (k≠0，x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D，若矩形OABC的面积32，则k的值为　8　.

　　【分析】过点D作DE⊥OA于点E，连接OD，由矩形的性质可知：S△AOC= S矩形OABC=16，从而可求出△ODE的面积，利用反比例函数中k的几何意义即可求出k的值.

　　【解答】解：过点D作DE⊥OA于点E，连接OD，

　　由矩形的性质可知：S△AOC= S矩形OABC=16，

　　又∵ED是△ACO的中位线，

　　∴ED= CO，

　　∴S△ODE= S△ACO=4

　　∴ |k|=4，

　　∵k>0

　　∴k=8，

　　故答案为：8

　　【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是求出△ODE的面积，本题属于中等题型.

　　12.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=6，E为BC中点，F是AB上一点，G为AD上一点，且BF=2，∠FEG=60°，EG交AC于点H，下列结论正确的是　①②③　.(填序号即可)

　　①△BEF∽△CHE

　　②AG=1

　　③EH=

　　④S△BEF=3S△AGH

　　【分析】依据∠B=∠ECH=60°，∠BEF=CHE，即可得到△BEF∽△CHE;依据△AGH∽△CEH，可得 ，即可得出AG= CE=1;过F作FP⊥BC于P，依据EF= ， ，即可得到EH= EF= ;依据S△CEH=9S△AGH，S△CEH= S△BEF，可得9S△AGH= S△BEF，进而得到S△BEF=4S△AGH.

　　【解答】解：∵菱形ABCD中，∠B=60°，∠FEG=60°，

　　∴∠B=∠ECH=60°，∠BEF=CHE=120°﹣∠CEH，

　　∴△BEF∽△CHE，故①正确;

　　∴ = ，

　　又∵BC=6，E为BC中点，BF=2，

　　∴ ，即CH=4.5，

　　又∵AC=BC=6，

　　∴AH=1.5，

　　∵AG∥CE，

　　∴△AGH∽△CEH，

　　∴ ，

　　∴AG= CE=1，故②正确;

　　如图，过F作FP⊥BC于P，则∠BFP=30°，

　　∴BP= BF=1，PE=3﹣1=2，PF= ，

　　∴Rt△EFP中，EF= = ，

　　又∵ ，

　　∴EH= EF= ，故③正确;

　　∵AG= CE，BF= CE，△△BEF∽△CHE，△AGH∽△CEH，

　　∴S△CEH=9S△AGH，S△CEH= S△BEF，

　　∴9S△AGH= S△BEF，

　　∴S△BEF=4S△AGH，故④错误;

　　故答案为：①②③.

　　【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的性质的综合运用.在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.

　　三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共计30分)

　　13.用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6=0.

　　【分析】方程利用公式法求出解即可.

　　【解答】解：方程2x2﹣7x+6=0，

　　这里a=2，b=﹣7，c=6，

　　∵△=49﹣48=1，

　　∴x= ，

　　则x1=2，x2=1.5.

　　【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键.

　　14.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D是AB的中点，AE∥CD，AC∥ED，求证：四边形ACDE是菱形.

　　【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质和等边三角形的判定定理推知△ACD为等边三角形，则平行四边形ACDE是菱形.

　　【解答】证明：∵AE∥CD，AC∥ED，

　　∴四边形ACDE是平行四边形，

　　∵∠ACB=90°，D为AB的中点，

　　∴CD= AB=AD，

　　∵∠ACB=90°，∠B=30°，

　　∴∠CAB=60°，

　　∴△ACD为等边三角形，

　　∴AC=CD，

　　∴平行四边形ACDE是菱形.

　　【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质;熟练掌握菱形的判定与性质，证明四边形ACDE是平行四边形是解决问题的关键.

　　15.如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图.

　　(1)在图1中，作AD的中点P;

　　(2)在图2中，作AB的中点Q.

　　【分析】(1)连接AC、BD交于点O，作直线OM交AD于点P，点P即为所求;

　　(2)在(1)的基础上，连接PB交AC与K，作直线DK交AB于点Q，点Q即为所求;

　　【解答】解：(1)如图点P即为所求;

　　(2)如图点Q即为所求;

　　【点评】本题考查作图﹣基本作图，矩形的性质，三角形的中线交于一点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

　　16.已知关于x的一元二次方程x2﹣(k+2)x+2k=0.

　　(1)求证：无论k取何值，原方程总有实数根;

　　(2)若原方程的两实根都小于4，且k为正整数，直接写出k的值.

　　【分析】(1)利用根的判别式证明即可;

　　(2)利用因式分解法求出两个解，然后根据k为正整数写出k的值即可.

　　【解答】(1)证明：△=b2﹣4ac，

　　=(k+2)2﹣4×1×2k，

　　=k2+4k+4﹣8k，

　　=k2﹣4k+4，

　　=(k﹣2)2，

　　∵无论k取何值，(k﹣2)2≥0，

　　∴△≥0，

　　∴无论k取何值，原方程总有实数根;

　　(2)解：因式分解得，(x﹣2)(x﹣k)=0，

　　于是得，x﹣2=0，x﹣k=0，

　　x1=2，x2=k，

　　∵原方程的两实根都小于4，

　　∴k<4，

　　∵k为正整数，

　　∴k=1、2、3.

　　【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，难点在于(2)求出方程的两个根.

　　17.小乐放学回家看到桌上有一盘包子，其中有豆沙包、肉包各1个，萝卜包2个，这些包子除馅外无其他差别.

　　(1)小乐随机地从盘子中取出一个包子，取出的是肉包的概率是多少?

　　(2)请用树状图或表格表示小乐随机地从盘中取出两个包子的所有可能结果，并求取出的两个包子都是萝卜包的概率.

　　【分析】(1)直接利用概率公式求出取出的是肉包的概率;

　　(2)直接列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案.

　　【解答】解：(1)∵有豆沙包、肉包各1个，蜜枣包2个，

　　∴随机地从盘中取出一个粽子，取出的是肉包的概率是： ;

　　(2)如图所示：

　　，

　　一共有12种可能，取出的两个都是萝卜包的有2种，

　　故取出的两个都是萝卜包概率为： = .

　　【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有的可能是解题关键.

　　四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

　　18.如图，郑明同学站在A处，测得他在路灯OC下影子AP的长与他的身高相等，都为1.5m，他向路灯方向走1m到B处时发现影子刚好落在A点.

　　(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定光源O的位置;

　　(2)求路灯OC的高.

　　【分析】(1)作射线PE，AF交于点O，点O即为所求;

　　(2)设OC=x.由AE∥OC，可得 = ，推出PC=x，AC=x﹣1.5，再由BF∥OC，可得 = ，由此构建方程即可解决问题;

　　【解答】解：(1)光源O的位置如图所示;

　　(2)设OC=x.

　　∵AE∥OC，

　　∴ = ，

　　∴ = ，

　　∴PC=x，

　　∴AC=x﹣1.5，

　　∵BF∥OC，

　　∴ = ，

　　∴ = ，

　　∴x=4.5，

　　答：路灯OC的高为4.5米.

　　【点评】本题考查相似三角形的应用、中心投影、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

　　19.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(3，0)，C(1，﹣1)，AC交x轴于点P.

　　(1)∠ACB的度数为　45°　;

　　(2)P点坐标为　( ，0)　;

　　(3)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，请在图中画出所有符合条件的三角形.

　　【分析】(1)由题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，即可确定出所求角度数;

　　(2)利用待定系数法求出直线AC解析式，即可确定出P坐标;

　　(3)以为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，画出相应图形，如图所示.

　　【解答】解：(1)∵∠ABC=90°，AB=CB= ，

　　∴△ABC为等腰直角三角形，

　　∴∠ACB=45°;

　　故答案为：45°;

　　(2)由题意得：A(2，2)，C(1，﹣1)，

　　设直线AC解析式为y=kx+b，

　　把A与C坐标代入得： ，

　　解得： ，即直线AC解析式为y=3x﹣4，

　　令y=0，得到x= ，

　　则P的坐标为( ，0);

　　故答案为：( ，0);

　　(3)如图所示：△A1B1C1和△A2B2C2为所求三角形.

　　【点评】此题考查了作图﹣位似变换，待定系数法求一次函数解析式，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键.

　　20.某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：

　　销售单价x(元∕件) … 30 40 50 60 …

　　每天销售量y(件) … 500 400 300 200 …

　　(1)研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式;

　　(2)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元?

　　【分析】(1)利用待定系数法求解可得;

　　(2)根据“总利润=单件利润×销售量”可得关于x的一元二次方程，解之即可得.

　　【解答】解：(1)设y=kx+b，

　　根据题意可得 ，

　　解得： ，

　　则y=﹣10x+800;

　　(2)根据题意，得：(x﹣20)(﹣10x+800)=8000，

　　整理，得：x2﹣100x+2400=0，

　　解得：x1=40，x2=60，

　　∵销售单价最高不能超过45元/件，

　　∴x=40，

　　答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元.

　　【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系.

　　五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

　　21.如图，已知矩形ABCD和▱BCEF，AF=BE，AF与BE交于点G，∠AGB=60°.

　　(1)求证：AF=DE;

　　(2)若AB=6，BC=8，求AF.

　　【分析】(1)欲证明AF=DE，只要证明四边形ADEF是平行四边形即可;

　　(2)连接BD.利用勾股定理求出BD，再证明△BDE是等边三角形即可;

　　【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

　　∴AD∥BC，AD=BC，

　　∵四边形BCEF是平行四边形，

　　∴BC∥EF，BC=EF，

　　∴AD=EF，AD∥EF，

　　∴四边形ADEF是平行四边形，

　　∴AF=DE.

　　(2)连接BD.

　　∵四边形ABCD是矩形，

　　∴∠BCD=90°，CD=AB=6，

　　∵BC=8，

　　∴BD= =10，

　　∵四边形ADEF是平行四边形，

　　∴AF∥DE，

　　∴∠AGB=∠BED=60°，

　　∵AF=DE=BE，

　　∴△BDE是等边三角形，

　　∴AF=BE=BD=10.

　　【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

　　22.如图，已知一次函数y= x﹣3与反比例函数y= 的图象相交于点A(4，n)，与x轴相交于点B.

　　(1)填空：n的值为　3　，k的值为　12　;

　　(2)以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标;

　　(3)观察反比例函数y= 的图象，当y≥﹣3时，请直接写出自变量x的取值范围.

　　【分析】(1)把点A(4，n)代入一次函数y= x﹣3，得到n的值为3;再把点A(4，3)代入反比例函数y= ，得到k的值为12;

　　(2)根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为(2，0)，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，根据勾股定理得到AB= ，根据AAS可得△ABE≌△DCF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐标;

　　(3)根据反比例函数的性质即可得到当y≥﹣3时，自变量x的取值范围.

　　【解答】解：(1)把点A(4，n)代入一次函数y= x﹣3，

　　可得n= ×4﹣3=3;

　　把点A(4，3)代入反比例函数y= ，

　　可得3= ，

　　解得k=12.

　　故答案为：3，12.

　　(2)∵一次函数y= x﹣3与x轴相交于点B，

　　∴ x﹣3=0，

　　解得x=2，

　　∴点B的坐标为(2，0)，

　　如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，

　　过点D作DF⊥x轴，垂足为F，

　　∵A(4，3)，B(2，0)，

　　∴OE=4，AE=3，OB=2，

　　∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2，

　　在Rt△ABE中，

　　AB= = = ，

　　∵四边形ABCD是菱形，

　　∴AB=CD=BC= ，AB∥CD，

　　∴∠ABE=∠DCF，

　　∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，

　　∴∠AEB=∠DFC=90°，

　　在△ABE与△DCF中，

　　，

　　∴△ABE≌△DCF(ASA)，

　　∴CF=BE=2，DF=AE=3，

　　∴OF=OB+BC+CF=2+ +2=4+ ，

　　∴点D的坐标为(4+ ，3).

　　(3)当y=﹣3时，﹣3= ，

　　解得x=﹣4.

　　故当y≥﹣3时，自变量x的取值范围是x≤﹣4或x>0.

　　【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质和全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解即可.

　　六、解答题(本大题共12分)

　　23.阅读下列材料，并按要求解答.

　　【模型介绍】

　　如图①，C是线段A、B上一点E、F在AB同侧，且∠A=∠B=∠ECF=90°，看上去像一个“K“，我们称图①为“K”型图.

　　【性质探究】

　　性质1：如图①，若EC=FC，△ACE≌△BFC

　　性质2：如图①，若EC≠FC，△ACE～△BFC且相似比不为1.

　　【模型应用】

　　应用1：如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD=1，CD=2，BC=2 ，AB=5.求BD.

　　应用2：如图③，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作正方形ABGF、正方形ACDE，AH⊥BC，连接EF.交AH的反向延长线于点K，证明：K为EF中点.

　　(1)请你完成性质1的证明过程;

　　(2)请分别解答应用1，应用2提出的问题.

　　【分析】(1)根据AAS即可证明;

　　(2)①应用1：如图2中，连接AC，作BH⊥DC交DC的延长线与H.首先证明符合“k模型”，利用性质2根据相似三角形的性质即可解决问题;

　　②应用2：如图③中，作FM⊥KH于M，EN⊥HN于N.由性质1可知：△ABH≌△FAM，△AHC≌△ENA，推出FM=AH，AH=EN，推出FM=EN，再证明△FKN≌△EKN即可解决问题;

　　【解答】解：(1)如图①中，

　　∵∠A=∠ECF=∠B=90°，

　　∴∠ACE+∠BCF=90°，∠BCF+∠F=90°，

　　∴∠ACE=∠F，∵EC=CF，

　　∴△ACE≌△BFC.

　　(2)①应用1：如图2中，连接AC，作BH⊥DC交DC的延长线与H.

　　在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=1，CD=2，

　　∴AC= = ，

　　∵AC2+BC2=5+20=25，AB2=52=25，

　　∴AC2+BC2=AB2，

　　∴∠ACB=90°，

　　∴∠ADC=∠ACB=∠CHB=90°，

　　∴符合“K”型图，

　　∴△ACD∽△CBH，

　　∴ = = ，

　　∴ = = ，

　　∵CH=2，BH=4，

　　∴DH=4，

　　在Rt△BDH中，BD= =4 .

　　②应用2：如图③中，作FM⊥KH于M，EN⊥HN于N.

　　由性质1可知：△ABH≌△FAM，△AHC≌△ENA，

　　∴FM=AH，AH=EN，

　　∴FM=EN，

　　∵∠FKM=∠EKN，∠M=∠ENK=90°，

　　∴△FKN≌△EKN，

　　∴FK=KE，

　　∴K为EF中点.

　　九年级上学期数学期末试题阅读

　　一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)

　　1.如图，小明同学将一个圆锥和一个三棱柱组成组合图形，观察其三视图，其俯视图是(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　2.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则它的宽约为(　　)

　　A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm

　　3.把方程x2﹣8x+3=0化成(x+m)2=n的形式，则m，n的值是(　　)

　　A.4，13 B.﹣4，19 C.﹣4，13 D.4，19

　　4.某学校有320名学生，现对他们的生日进行统计(可以不同年)，下列说法正确的是(　　)

　　A.至少有两人生日相同

　　B.可能有两人生日相同，且可能性较大

　　C.不可能有两人生日相同

　　D.可能有两人生日相同，但可能性较小

　　5.如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=(　　)

　　A.2：5 B.2：3 C.3：5 D.3：2

　　6.一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是(　　)

　　A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

　　C.无实数根 D.无法确定

　　7.如图.若要使平行四边形ABCD成为菱形.则需要添加的条件是(　　)

　　A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD

　　8.已知直线y=kx(k>0)与双曲线y= 交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1y2+x2y1的值为(　　)

　　A.﹣6 B.﹣9 C.0 D.9

　　9.某超市举行购物“翻牌抽奖”活动，如图所示，四张牌分别对应价值5，10，15，20(单位：元)的四件奖品，如果随机翻两张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，则所获奖品总价值不低于30元的概率为(　　)

　　A. B. C. D.

　　10.如果反比例函数 的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是(　　)

　　A.m> B.m< C.m≤ D.m≥

　　二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)

　　11.若 = = ≠0，则 =　 　.

　　12.请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一小题计分.

　　(1)方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为

　　(2)如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是(请填写正确答案的序号)　 　.

　　13.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE的度数是　 　度.

　　14.如图，在平面直角坐标系中，直线l∥x轴，且直线l分别与反比例函数y= (x>0)和y=﹣ (x<0)的图象交于点P、Q，连结PO、QO，则△POQ的面积为　 　.

　　三、解答题(本大题共9小题，共58分)

　　15.(5分)如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形(保留作图痕迹，不写作法)

　　16.(6分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：点A(1，3)，点B(4，2)，点C(2，1).

　　(1)作出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1;

　　(2)以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使 ，并写出点A2，B2，C2的坐标.

　　17.(6分)在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：

　　小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米;

　　小丽：测量甲树的影长为4米(如图1);

　　小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图2)，墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米.

　　(1)请直接写出甲树的高度为　 　米;

　　(2)求乙树的高度.

　　18.(7分)如图，已知菱形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.

　　(1)求证：四边形CODE是矩形.

　　(2)若AB=5，AC=6，求四边形CODE的周长.

　　19.(7分)有三张正面分别标有数字：﹣1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽出一张记下数字.

　　(1)请用列表或画树状图的方法(只选其中一种)，表示两次抽出卡片上的数字的所有结果;

　　(2)将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点(x，y)落在双曲线y= 上的概率.

　　20.(7分)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.

　　(1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率;

　　(2)如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务?如果不能，请问至少需要增加几名业务员?

　　21.(7分)在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，点E为DC的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为点F.

　　(1)求证：△BEC∽△ABF;

　　(2)求AF的长.

　　22.(6分)我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种.如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线 的一部分.请根据图中信息解答下列问题：

　　(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时?

　　(2)求k的值;

　　(3)当x=16时，大棚内的温度约为多少度?

　　23.(7分)如图，四边形ABCD为正方形，点A坐标为(0，1)，点B坐标为(0，﹣2)，反比例函数y= (k≠0)的图象经过点C，一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过A、C两点.

　　(1)求反比例函数与一次函数的表达式;

　　(2)若点P是反比例函数y= (k≠0)图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标.

　　参考答案与试题解析

　　一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分)

　　1.如图，小明同学将一个圆锥和一个三棱柱组成组合图形，观察其三视图，其俯视图是(　　)

　　A. B.

　　C. D.

　　【分析】根据组合图形的俯视图，对照四个选项即可得出结论.

　　【解答】解：由题意得：俯视图与选项B中图形一致.

　　故选：B.

　　【点评】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是会画简单组合图形的三视图.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，掌握简单组合体三视图的画法是关键.

　　2.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则它的宽约为(　　)

　　A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm

　　【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值( )叫做黄金比.

　　【解答】解：方法1：设书的宽为x，则有(20+x)：20=20：x，解得x=12.36cm.

　　方法2：书的宽为20×0.618=12.36cm.

　　故选：A.

　　【点评】理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键.

　　3.把方程x2﹣8x+3=0化成(x+m)2=n的形式，则m，n的值是(　　)

　　A.4，13 B.﹣4，19 C.﹣4，13 D.4，19

　　【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数.

　　【解答】解：∵x2﹣8x+3=0

　　∴x2﹣8x=﹣3

　　∴x2﹣8x+16=﹣3+16

　　∴(x﹣4)2=13

　　∴m=﹣4，n=13

　　故选：C.

　　【点评】配方法的一般步骤：

　　(1)把常数项移到等号的右边;

　　(2)把二次项的系数化为1;

　　(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

　　选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.

　　4.某学校有320名学生，现对他们的生日进行统计(可以不同年)，下列说法正确的是(　　)

　　A.至少有两人生日相同

　　B.可能有两人生日相同，且可能性较大

　　C.不可能有两人生日相同

　　D.可能有两人生日相同，但可能性较小

　　【分析】依据可能性的大小的概念对各选项进行逐一分析即可.

　　【解答】解：A、因为每年有365天而某学校只有320人，所以至少有两名学生生日相同是随机事件.故本选项错误;

　　B、因为 = >50%，所以可能性较大.正确;

　　C、两人生日相同是随机事件，故本选项错误;

　　D、由B可知，可能性较大，故本选项错误.

　　故选：B.

　　【点评】本题主要考查可能性大小的比较，关键是确定所给事件的类型;随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件;概率较小的事件发生的可能性较小.

　　5.如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=(　　)

　　A.2：5 B.2：3 C.3：5 D.3：2

　　【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE：AB的值，由AB=CD即可得出结论.

　　【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

　　∴AB∥CD，

　　∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，

　　∴△DEF∽△BAF，

　　∵S△DEF：S△ABF=4：25，

　　∴DE：AB=2：5，

　　∵AB=CD，

　　∴DE：EC=2：3.

　　故选：B.

　　【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.

　　6.一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是(　　)

　　A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

　　C.无实数根 D.无法确定

　　【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况.

　　【解答】解：△=12﹣4×1=﹣3<0，

　　所以方程无实数根.

　　故选：C.

　　【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根;当△=0时，方程有两个相等的实数根;当△<0时，方程无实数根.

　　7.如图.若要使平行四边形ABCD成为菱形.则需要添加的条件是(　　)

　　A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD

　　【分析】菱形的判定方法有三种：

　　①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形;

　　②四边相等;

　　③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.∴可添加：AB=AD或AC⊥BD.

　　【解答】解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，

　　那么可添加的条件是：AB=BC.

　　故选：C.

　　【点评】本题考查菱形的判定，答案不唯一.有一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

　　8.已知直线y=kx(k>0)与双曲线y= 交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1y2+x2y1的值为(　　)

　　A.﹣6 B.﹣9 C.0 D.9

　　【分析】先根据点A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线y= 上的点可得出x1•y1=x2•y2=3，再根据直线y=kx(k>0)与双曲线y= 交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点可得出x1=﹣x2，y1=﹣y2，再把此关系代入所求代数式进行计算即可.

　　【解答】解：∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线y= 上的点

　　∴x1•y1=x2•y2=3①，

　　∵直线y=kx(k>0)与双曲线y= 交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

　　∴x1=﹣x2，y1=﹣y2②，

　　∴原式=﹣x1y1﹣x2y2=﹣3﹣3=﹣6.

　　故选：A.

　　【点评】本题考查的是反比例函数的对称性，根据反比例函数的图象关于原点对称得出x1=﹣x2，y1=﹣y2是解答此题的关键.

　　9.某超市举行购物“翻牌抽奖”活动，如图所示，四张牌分别对应价值5，10，15，20(单位：元)的四件奖品，如果随机翻两张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，则所获奖品总价值不低于30元的概率为(　　)

　　A. B. C. D.

　　【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所获奖品总价值不低于30元的情况，再利用概率公式即可求得答案.

　　【解答】解：画树状图得：

　　∵共有12种等可能的结果，所获奖品总价值不低于30元的有4种情况，

　　∴所获奖品总价值不低于30元的概率为： = .

　　故选：C.

　　【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

　　10.如果反比例函数 的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是(　　)

　　A.m> B.m< C.m≤ D.m≥

　　【分析】根据反比例函数的性质可得1﹣2m>0，再解不等式即可.

　　【解答】解：∵反比例函数 的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，

　　∴1﹣2m>0，

　　解得：m< ，

　　故选：B.

　　【点评】此题主要考查了反比例函数的性质.对于反比例函数y= ，当k>0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小;当k<0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大.

　　二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)

　　11.若 = = ≠0，则 =　 　.

　　【分析】根据已知比例关系，用未知量k分别表示出a、b和c的值，代入原式中，化简即可得到结果.

　　【解答】解：设 = = =k≠0，

　　则a=2k，b=3k，c=4k，

　　所以 = = .

　　故答案是： .

　　【点评】本题考查了比例的性质.已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元.

　　12.请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一小题计分.

　　(1)方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　15

　　(2)如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是(请填写正确答案的序号)　②　.

　　【分析】(1)求出方程的解，分为两种情况：①当等腰三角形的三边是3，3，6时，②当等腰三角形的三边是3，6，6时，看看是否符合三角形的三边关系定理，若符合求出即可.

　　(2)根据相似多边形的定义逐一进行判断后即可确定正确的选项.

　　【解答】解：(1)x2﹣9x+18=0，

　　∴(x﹣3)(x﹣6)=0，

　　∴x﹣3=0，x﹣6=0，

　　∴x1=3，x2=6，

　　当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，

　　∴此时不能组成三角形，

　　当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15，

　　故答案为：15.

　　(2)由题意得，①中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似;

　　③，④中正方形，菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似;

　　而②中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，

　　所以②中矩形不是相似多边形，

　　故答案为：②.

　　【点评】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理及相似图形，关键是确定三角形的三边的长度及相似图形的定义.

　　13.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE的度数是　22.5　度.

　　【分析】根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45°;等腰△CAE中，根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE的度数.

　　【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

　　∴∠CAB=∠BCA=45°;

　　△ACE中，AC=AE，则：

　　∠ACE=∠AEC= (180°﹣∠CAE)=67.5°;

　　∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°.

　　故答案为22.5.

　　【点评】此题主要考查的是正方形、等腰三角形的性质及三角形内角和定理.

　　14.如图，在平面直角坐标系中，直线l∥x轴，且直线l分别与反比例函数y= (x>0)和y=﹣ (x<0)的图象交于点P、Q，连结PO、QO，则△POQ的面积为　7　.

　　【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义得到S△OQM=4，S△OPM=3，然后利用S△POQ=S△OQM+S△OPM进行计算.

　　【解答】解：如图，

　　∵直线l∥x轴，

　　∴S△OQM= ×|﹣8|=4，S△OPM= ×|6|=3，

　　∴S△POQ=S△OQM+S△OPM=7.

　　故答案为7.

　　【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y= 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.

　　三、解答题(本大题共9小题，共58分)

　　15.(5分)如图，已知△ABC，∠BAC=90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形(保留作图痕迹，不写作法)

　　【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C，则可判断△ABD与△CAD相似.

　　【解答】解：如图，AD为所作.

　　【点评】本题考查了作图﹣相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.解决本题的关键是利用有一组锐角相等的两直角三角形相似.

　　16.(6分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：点A(1，3)，点B(4，2)，点C(2，1).

　　(1)作出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1;

　　(2)以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使 ，并写出点A2，B2，C2的坐标.

　　【分析】(1)分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接可得;

　　(2)根据位似图形的定义作出点A、B、C在原点的另一侧的对应点，再顺次连接即可得.

　　【解答】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求;

　　(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，

　　点A2的坐标为(﹣2，﹣6)，B2的坐标为(﹣8，﹣4)，C2的坐标为(﹣4，﹣2).

　　【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换、位似变换，解题的关键是根据轴对称变换和位似变换的定义作出变换后的对应点.

　　17.(6分)在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的两棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：

　　小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米;

　　小丽：测量甲树的影长为4米(如图1);

　　小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图2)，墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米.

　　(1)请直接写出甲树的高度为　5.1　米;

　　(2)求乙树的高度.

　　【分析】(1)根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用比例式直接得出树高;

　　(2)根据辅助线作法得出假设没有墙时影子长度，即可求出答案.

　　【解答】解：(1)根据题意得：

　　= ，

　　解得：x=5.1(米)，

　　故答案为：5.1.

　　(2)假设AB是乙树，

　　∴BC=2.4m，CD=1.2m，

　　∴ = ，

　　∴ = ，

　　∴CE=0.96(m)，

　　∴ = ，

　　∴AB=4.2(m)，

　　答：乙树的高度为4.2m.

　　【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键.

　　18.(7分)如图，已知菱形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.

　　(1)求证：四边形CODE是矩形.

　　(2)若AB=5，AC=6，求四边形CODE的周长.

　　【分析】(1)由条件可证得四边形CODE为平行四边形，再由菱形的性质可求得∠COD=90°，则可证得四边形CODE为矩形;

　　(2)由菱形的性质可求得AO和OC，在Rt△AOB中可求得BO，则可求得OD的长，则可求得答案.

　　【解答】(1)证明：

　　∵CE∥BD，DE∥AC，

　　∴四边形CODE为平行四边形，

　　∵四边形ABCD为菱形，

　　∴AC⊥BD，

　　∴∠COD=90°，

　　∴平行四边形CODE是矩形;

　　(2)解：

　　∵四边形ABCD为菱形，

　　∴AO=OC= AC= ×6=3，OD=OB，∠AOB=90°，

　　在Rt△AOB中，由勾股定理得BO2=AB2﹣AO2，

　　∴BO= =4，

　　∴DO=BO=4，

　　∴四边形CODE的周长=2×(3+4)=14.

　　【点评】本题主要考查矩形、菱形的判定和性质，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键.

　　19.(7分)有三张正面分别标有数字：﹣1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽出一张记下数字.

　　(1)请用列表或画树状图的方法(只选其中一种)，表示两次抽出卡片上的数字的所有结果;

　　(2)将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点(x，y)落在双曲线y= 上的概率.

　　【分析】(1)画出树状图即可得解;

　　(2)根据反比例函数图象上点的坐标特征判断出在双曲线y= 上的情况数，再根据概率公式列式计算即可得解.

　　【解答】解：(1)根据题意画出树状图如下：

　　(2)当x=﹣1时，y= =﹣2;当x=1时，y= =2;当x=2时，y= =1.

　　∴一共有9种等可能的情况，点(x，y)落在双曲线y= 上有2种情况：(1，2)，(2，1)，

　　∴点(x，y)落在双曲线y= 上的概率为： .

　　【点评】本题考查了列表法与树状图法以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据抽卡的规律用树状图表示两次抽出卡片上的数字的所有结果是解题的关键.

　　20.(7分)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.

　　(1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率;

　　(2)如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务?如果不能，请问至少需要增加几名业务员?

　　【分析】(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可;

　　(2)首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数.

　　【解答】解：(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得

　　10(1+x)2=12.1，

　　解得x1=0.1，x2=﹣2.1(不合题意舍去).

　　答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%;

　　(2)今年6月份的快递投递任务是12.1×(1+10%)=13.31(万件).

　　∵平均每人每月最多可投递0.6万件，

　　∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6<13.31，

　　∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务

　　∴需要增加业务员(13.31﹣12.6)÷0.6=1 ≈2(人).

　　答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员.

　　【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.

　　21.(7分)在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，点E为DC的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为点F.

　　(1)求证：△BEC∽△ABF;

　　(2)求AF的长.

　　【分析】(1)在矩形ABCD中，有∠C=∠ABC=∠ABF+∠EBC=90°，由于AF⊥BE，所以∠AFB=∠C=90°，∠BAF=∠EBC，从而得证;

　　(2)在矩形ABCD中，AB=10，可知CD=AB=10，由于E为DC的中点，CE=5，由勾股定理可求得：BE=13，最后由△ABF∽△BEC得： ，从而可求出答案.

　　【解答】解：(1)在矩形ABCD中，

　　有∠C=∠ABC=∠ABF+∠EBC=90°

　　∵AF⊥BE，

　　∴∠AFB=∠C=90°，

　　∴∠BAF=∠EBC

　　∴△BEC∽△ABF

　　(2)在矩形ABCD中，AB=10，

　　∴CD=AB=10，

　　∵E为DC的中点，

　　∴CE=5，

　　又BC=12，

　　在Rt△BEC中，

　　由勾股定理得：BE=13，

　　由△ABF∽△BEC得：

　　即： = ，

　　∴解得：AF=

　　【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键熟练运用相似三角形的判定方法以及矩形的性质，本题属于中等题型.

　　22.(6分)我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种.如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线 的一部分.请根据图中信息解答下列问题：

　　(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时?

　　(2)求k的值;

　　(3)当x=16时，大棚内的温度约为多少度?

　　【分析】(1)根据图象直接得出大棚温度18℃的时间为12﹣2=10(小时);

　　(2)利用待定系数法求反比例函数解析式即可;

　　(3)将x=16代入函数解析式求出y的值即可.

　　【解答】解：(1)恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为12﹣2=10小时.

　　(2)∵点B(12，18)在双曲线y= 上，

　　∴18= ，

　　∴解得：k=216.

　　(3)当x=16时，y= =13.5，

　　所以当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃.

　　【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键.

　　23.(7分)如图，四边形ABCD为正方形，点A坐标为(0，1)，点B坐标为(0，﹣2)，反比例函数y= (k≠0)的图象经过点C，一次函数y=ax+b(a≠0)的图象经过A、C两点.

　　(1)求反比例函数与一次函数的表达式;

　　(2)若点P是反比例函数y= (k≠0)图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标.

　　【分析】(1)先根据A点和B点坐标得到正方形的边长，则BC=3，于是可得到C(3，﹣2)，然后利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式;

　　(2)设P(t，﹣ )，根据三角形面积公式和正方形面积公式得到 ×1×|t|=3×3，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标.

　　【解答】解：(1)∵点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(0，﹣2)，

　　∴AB=1+2=3，

　　∵四边形ABCD为正方形，

　　∴Bc=3，

　　∴C(3，﹣2)，

　　把C(3，﹣2)代入y= 得k=3×(﹣2)=﹣6，

　　∴反比例函数解析式为y=﹣ ，

　　把C(3，﹣2)，A(0，1)代入y=ax+b得 ，

　　解得 ，

　　∴一次函数解析式为y=﹣x+1;

　　(2)设P(t，﹣ )，

　　∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，

　　∴ ×1×|t|=3×3，解得t=18或t=﹣18，

　　∴P点坐标为(18，﹣ )或(﹣18， ).