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初三年级上学期期中试题

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  距离中考还有一个半学期,我们要知道怎么学习哦,今天小编就给大家参考一下九年级数学,欢迎大家一起来收藏一下哦

  九年级数学上册期中试题参考

  一、选择题 (本题共16分,每小题2分)

  下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置.

  1.抛物线的对称轴是

  A.直线 B.直线 C.直线 D.直线

  2.点关于原点对称的点的坐标是

  A. B. C. D.

  3.下列App图标中,既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是

  A B C D

  4.用配方法解方程,配方正确的是

  A. B. C. D.

  5.如图,以为圆心的两个同心圆中,大圆的弦是小圆的切线,点为切点. 若大圆半径为2,小圆半径为1,则的长为

  A. B.

  C. D.2

  6.将抛物线向上平移个单位后得到的抛物线恰好与轴有一个交点,则的值为

  A. B.1 C. D.2

  7.下图是几种汽车轮毂的图案,图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是

  A B C D

  8.已知一个二次函数图象经过,,,四点,若,则的最值情况是

  A.最小,最大 B.最小,最大

  C.最小,最大 D.无法确定

  二、填空题(本题共16分,每小题2分)

  9.写出一个以0和2为根的一元二次方程:________.

  10.函数的图象如图所示,则 0.(填“>”,“=”,或“<”)

  11.若关于的方程有两个不相等的实数根,则的取值范围是 .

  12.如图,四边形内接于⊙O,E为直径CD延长线上一点,且AB∥CD,若∠C=70°,则∠ADE的大小为________.

  13.已知为△的外接圆圆心,若在△外,则

  △是________(填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”).

  14.在十三届全国人大一次会议记者会上,中国科技部部长表示,2017年我国新能源汽车保有量已居于世界前列.2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示.设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x,依题意,可列方程为 .

  15.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于(1,0),(3,0)两点,请写出一个满足的的值 .

  16.如图,⊙O的动弦,相交于点,且,.在①,

  ②,③中,一定成立的

  是 (填序号).

  三、解答题(本题共68分,第17~22题,每小题5分;第23~26小题,每小题6分;第27~28小题,每小题7分)

  17.解方程:.

  18.如图,将绕点旋转得到,且,,三点在同一条直线上.

  求证:平分.

  19.下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程.

  已知:⊙O.

  求作:⊙O的内接正三角形.

  作法:如图,

  ① 作直径AB;

  ② 以B为圆心,OB为半径作弧,与⊙O交于C,D两点;

  ③ 连接AC,AD,CD.

  所以△ACD就是所求的三角形.

  根据小董设计的尺规作图过程,

  (1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)

  (2)完成下面的证明:

  证明:在⊙O中,连接OC,OD,BC,BD,

  ∵ OC=OB=BC,

  ∴ △OBC为等边三角形(___________)(填推理的依据).

  ∴ ∠BOC=60°.

  ∴ ∠AOC=180°-∠BOC=120°.

  同理 ∠AOD=120°,

  ∴ ∠COD=∠AOC=∠AOD=120°.

  ∴ AC=CD=AD(___________)(填推理的依据).

  ∴ △ACD是等边三角形.

  20.已知是方程的一个根,求的值.

  21.生活中看似平常的隧道设计也很精巧.如图是一张盾构隧道断面结构图,隧道内部为以为圆心为直径的圆.隧道内部共分为三层,上层为排烟道,中间为行车隧道,下层为服务层.点到顶棚的距离为,顶棚到路面的距离是,点到路面的距离为.请你求出路面的宽度.(用含的式子表示)

  22.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点,.

  (1)求抛物线的解析式;

  (2)设抛物线的顶点为,直接写出点的坐标和的度数.

  23.用长为6米的铝合金条制成如图所示的窗框,若窗框的高为米,窗户的透光面积为平方米(铝合金条的宽度不计).

  (1)与之间的函数关系式为 (不要求写自变量的取值范围);

  (2)如何安排窗框的高和宽,才能使窗户的透光面积最大?并求出此时的最大面积.

  24.如图,在△ABC中,,以为直径作⊙O交于点,过点作的垂线交于点,交的延长线于点.

  (1)求证:与⊙O相切;

  (2)若,,求的长.

  25.有这样一个问题:探究函数的图象与性质.

  小东根据学习函数的经验,对函数的图象与性质进行了探究.

  下面是小东的探究过程,请补充完成:

  (1)化简函数解析式,当时,___________,当时____________;

  (2)根据(1)中的结果,请在所给坐标系中画出函数的图象;

  备用图

  (3)结合画出的函数图象,解决问题:若关于的方程只有一个实数根,直接写出实数的取值范围:___________________________.

  26.在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点,(点在点的左侧).

  (1)当时,求,两点的坐标;

  (2)过点作垂直于轴的直线,交抛物线于点.

  ①当时,求的值;

  ②若点B在直线左侧,且,结合函数的图象,直接写出的取值范围.

  27. 已知∠MON=,P为射线OM上的点,OP=1.

  (1)如图1,,A,B均为射线ON上的点,OA=1,OBOA,△PBC为等边三角形,且O,C两点位于直线PB的异侧,连接AC.

  ①依题意将图1补全;

  ②判断直线AC与OM的位置关系并加以证明;

  (2)若,Q为射线ON上一动点(Q与O不重合),以PQ为斜边作等腰直角△PQR,使O,R两点位于直线PQ的异侧,连接OR. 根据(1)的解答经验,直接写出△POR的面积.

  28.在平面直角坐标系xOy中,点A是x轴外的一点,若平面内的点B满足:线段AB的长度与点A到x轴的距离相等,则称点B是点A的“等距点”.

  (1)若点A的坐标为(0,2),点(2,2),(1,),(,1)中,点A的“等距点”是_______________;

  (2)若点M(1,2)和点N(1,8)是点A的两个“等距点”,求点A的坐标;

  (3)记函数()的图象为,的半径为2,圆心坐标为.若在上存在点M,上存在点N,满足点N是点M的“等距点”,直接写出t的取值范围.

  初三第一学期期中

  数 学 参 考 答 案 2018.11

  一、选择题(本题共16分,每小题2分)

  题号 1 2 3 4 5 6 7 8

  答案 C A B C A D B A

  二、填空题(本题共16分,每小题2分)

  9. (答案不唯一) 10.< 11. 12.110°

  13.钝角三角形 14. 15.2 (答案不唯一)

  16.①③(注:每写对一个得1分)

  三、解答题(本题共68分)

  17.解法一:

  解:,

  ,

  ,

  或,

  ,.

  解法二:

  解:方程化为 . ,.

  18.证明:∵ 将△ABC绕点B旋转得到△DBE,

  ∴△ABC≌△DBE

  ∴BA=BD.

  ∴∠A=∠ADB.

  ∵∠A=∠BDE,

  ∴ ∠ADB =∠BDE.

  ∴ DB平分∠ADE.

  19. 解:(1)

  (2)三条边都相等的三角形是等边三角形.

  在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等.

  20.解:∵是方程的一个根,

  .

  21.解:如图,连接OC.

  由题意知.

  .

  .

  由题意可知于,

  .

  在中,

  . 22.解:(1)∵抛物线经过点,

  ∴

  解得

  ∴.

  (2),.

  23.(1);

  注:没有化简不扣分.

  (2)当时,有最大值.

  答:当窗框的高为米,宽为米时,窗户的透光面积最大,最大面积为平方米.

  24.(1)证明:连接.

  ∵是⊙O的直径,∴与⊙O相切.

  (2)∵,,

  25.(1)化简函数解析式,当时,,当时 3 ;

  (2)根据(1)中的结果,画出函数的图象如下:

  (3)或或. (注:每得出一个正确范围得1分)

  26.(1)当时,有.

  令,得.

  解得.

  ∵点在点的左侧,

  ∴,.

  (2)①当时,有.

  令,得.

  解得.

  ∵点在点的左侧,

  ∴,.当时,.

  ∴.

  ∴.

  ②或.

  27.(1)①依题意,将图1补全;

  ②.

  证明:连接AP

  ∴△OAP是等边三角形.

  ∵△PBC是等边三角形,

  即.

  ∴△OBP≌△ACP.

  ∴. (2).

  28.(1),;

  (2)∵点和点是点A的两个“等距点” ,

  ∴.

  ∴点A在线段MN的垂直平分线上.

  设与其垂直平分线交于点,,

  ∴,.∴.

  ∴点的坐标为或.

  (3).

  九年级上学期数学期中试卷阅读

  一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分)

  1.下列函数是二次函数的是()

  A. B. C. D.

  2. 在平面直角坐标系中,抛物线 与 轴的交点的个数是()

  A.3 B.2 C.1 D.0

  3.在同一直角坐标系中,函数 与 的图像大致如图:()

  A B CD

  4.已知 ,那么 等于()

  A. B. C. D.

  5.已知点 在反比例函数 的图像上,下列正确的是(  )

  A. B. C. D.

  6.下图中阴影部分的面积与函数 的最大值相同的是(  )

  AB C D

  7.下列选项中正确的是:

  A.函数 的图像开口向上,函数 的图像开口向下

  B.二次函数 ,当 时, 随 的增大而增大

  C. 与 图像的顶点、对称轴、开口方向完全相同

  D.抛物线 与 的图像关于 轴对称

  8.二次函数 的图象如图所示,则下列结论:

  ① ② ③ ④ ⑤ 其中正确的个数是()

  A.1个 B.2个C.3个D.4个

  9. 若 ,则 的值为()

  A. B. C. D.

  10.已知二次函数 中,当 时, ,且 的平方等于 与 的乘积,则函数值有 ( )

  A.最大值 B.最小值 C.最大值 D.最小值

  二、填空题(本题共4小题,每小题5分,满分20分)+

  11. 把 米长的线段进行黄金分割,则分成的较长的线段长为.

  12. 把抛物线 先向右平移2个单位,再向下平移3个单位得到抛物线 ,那么原抛物线的解析式为________.

  13.在平面直角坐标系的第一象限内,边长为1的正方形 的边均平行于坐标轴, 点的坐标为 ,如图,若曲线 与此正方形的边有交点,则 的取值范围是 .

  14.已知二次函数 ,当 时, 的取值范围是 ,则 的值为______

  三、解答题(本题90分)

  15.(本题8分)已知抛物线 的图像经过点 和 .求这个二次函数的关系式.

  16.(本题8分)已知三个数 、 、 ,请你再添上一个数,使它们成比例,求出所有符合条件的数.

  17.(本题8分)抛物线 .

  (1)请把二次函数写成 的形式;

  (2) 取何值时, 随 的增大而减小?

  18.(本题8分)已知,矩形 中, , ,它在平面直角坐标系中的位置如图所示,反比例函数 的图象经过矩形 对角线的交点 .

  (1)试确定反比例函数的表达式;

  (2)若反比例函数 的图象与 交于点 ,求点 的坐标.

  19. (本题8分)如图,抛物线 与 轴交于 两点,与 轴交于 点,且 .

  (1)求抛物线的解析式;

  (2)判断 的形状,并证明你的结论.

  20.(本题10分)合肥三十八中为预防秋季疾病传播,对教室进行“薰药消毒”.已知药物在燃烧释放过程中,室内空气中每立方米含药量 (毫克)与燃烧时间 (分钟)之间的关系如图所示(即图中线段 和双曲线在 点及其右侧的部分),根据图象所示信息,解答下列问题:

  (1)写出从药物释放开始, 与 之间的函数关系式及自变量的取值范围;

  (2)据测定,只有当空气中每立方米的含药量不低于 毫克时,对预防才有作用,且至少持续作用 分钟以上,才能完全杀死这种病毒,请问这次消毒是否彻底?

  21.(本题12分)如图,一次函数 与反比例函数 的图象交于 , 两点.

  (1)求一次函数的解析式;

  (2)根据图象直接写出使 成立的 的取值范围;

  (3)求 的面积.

  22.(本题12分)创新需要每个人的参与,就拿小华来说,为了解决晒衣服的,聪明的他想到了一个好办法,在家宽敞的院内地面 上立两根等长的立柱 、 (均与地面垂直),并在立柱之间悬挂一根绳子.由于挂的衣服比较多,绳子的形状近似成了抛物线 ,如图 ,已知立柱 米, 米.

  (1)求绳子最低点离地面的距离;

  (2)为了防止衣服碰到地面,小华在离 为 米的位置处用一根垂直于地面的立柱 撑起绳子 (如图2),使左边抛物线 的最低点距 为 米,离地面 米,求 的长.

  23.(本题14分)某旅游风景区出售一种纪念品,该纪念品的成本为 元/个,这种纪念品的销售价格为 (元/个)与每天的销售数量 (个)之间的函数关系如图所示.

  (1)求 与 之间的函数关系式;

  (2)销售价格定为多少时,每天可以获得最大利润?并求出最大利润.

  (3)“十•一”期间,游客数量大幅增加,若按八折促销该纪念品,预计每天的销售数量可增加 ,为获得最大利润,“十•一”假期该纪念品打八折后售价为多少?

  合肥市瑶海区2018-2019学年九年级期中考试

  参考答案

  一、选择题

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

  A B C C B B D C D A

  1.【解析】A选项符合二次函数定义

  2.【解析】交点分别为 ,所以为两个

  3.【解析】二次函数的图像共存问题,当抛物线开口向上, , 时,对应一次函数过一二三象限,只有C选项符合题意

  4.【解析】由已知可得: , .

  5.【解析】画出反比例函数的系数小于0时的图像可得,

  6.【解析】二次函数的最大值为 ,B选项阴影图形的面积也为 ,所以选B

  7.【解析】抛物线 与 的图象关于 轴对称,所以D选项正确

  8.【解析】序号①, ,② ,③当 时, ,④ ⑤ ,故③④⑤是对的,选C

  9.【解析】 ,相加可得: ,当 ,当 ,所以选择D选项

  10.【解析】由题意可知: ,开口向下函数有最大值,又 ,所以函数有最大值 .故选项A正确

  二、填空题

  11. 米 12. 13. 14. -3或-2

  11.【解析】把2米长的线段进行黄金分割,则分成的较长线段的长为 ,所以为 米

  12.【解析】由题意可知:即将 先向上平移3个单位,再向左平移2个单位

  13.【解析】 ,当点 在双曲线上时, 解得 ,当点 在双曲线上时, 解得 ,

  14.【解析】由题意可知①当 时, , ,解得:

  ②当 时, ,解得: ,

  综上得: 或

  三、解答题

  15.【解析】把 和 代入抛物线 得 ,解得 , .

  故解析式为 .

  16.【解析】设添加的数为 ,当 时, ;当 时, ;

  当 时, ,所以可以添加的数有: , , .

  17.【解析】(1)由题意可得:

  (2) ,图像开口向下,对称轴 ,所以当 时, 随 的增大而减小.

  18.【解析】(1) 矩形 中, , , 点 坐标为 , 反比例函数 的图象经过点 , , , 反比例函数的表达式为 ;

  (2) 当 时, , 反比例函数 的图象与 的交点 的坐标是 .

  19.【解析】(1) 点坐标为 ,代入抛物线 得, ,解得 ,∴原抛物线的解析式为: ;

  (2)当 时, , ,当 时, ,解得 或 ,

  是直角三角形.

  20.【解析】(1)设反比例函数解析式为 ,将 代入解析式得, ,

  则函数解析式为 ,将 代入解析式得, ,解得 ,故 ,

  设正比例函数解析式为 ,将 代入上式即可求出 的值, ,

  则正比例函数解析式为 .综上:

  (2)将 代入 得 ,将 代入 得到 ,

  , 这次消毒很彻底.

  21.【解析】(1)∵点 , 两点在反比例函数 的图象上,

  , , .

  又 点 两点在一次函数 的图象上, .

  解得 ,则该一次函数的解析式为: ;

  (2)根据图象可知使 成立的 的取值范围是 或 ;

  (3)如图,分别过点 、 作 轴, 轴,垂足分别是 、 点.直线 交 轴于 点.

  令 ,得 ,即 . , ,

  .

  22.【解析】(1) 抛物线经过点 , , 解得, , , , 当 时, 取得最小值,此时 , 即绳子最低点离地面的距离 米;

  (2)由题意可得,抛物线 的顶点坐标为 , 设抛物线 的函数解析式为 ,

  点 在抛物线 上, ,得 ,

  抛物线 的函数解析式为 , 当 时, ,

  即 的长是 米.

  23.【解析】(1)设 ,根据函数图象可得: ,解得: ,

  ;

  (2)设每天获利 元,则 ,

  当 时, 最大,最大利润为 元;

  (3)设“十一”假期每天利润为 元,则 , ,开口向下 当 时, 最大.

  此时售价为 ,

  答:“十•一”假期该纪念品打八折后售价为 元.

  初中九年级数学上期中试题卷

  一、选择题(本大题有10小题,每小题4分,共40分.每小题都有四个选项,其中有且只有一个选项正确)

  1. 下列是二次函数的是( )

  A. B. C. D.

  2. 若关于 的一元二次方程 的一个根是 ,则 的值是( )

  A.1 B.0 C.–1 D.2

  3. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac>0)的根是( )

  A.b±b2-4ac2a B.-b+b2-4ac2a C.-b±b2-4ac2 D.-b±b2-4ac2a

  4.如图,在正方形网格中,将△ABC绕点A旋转后得到△ADE,则下列旋转方式中,符合题意的是( )

  A.顺时针旋转90º B.逆时针旋转90º

  C.顺时针旋转45º D.逆时针旋转45º

  5. 用配方法解方程 时,配方结果正确的是( )

  A. B. C. D.

  6.对于二次函数 的图象与性质,下列说法正确的是( )

  A.对称轴是直线 ,最大值是2 B.对称轴是直线 ,最小值是2

  C.对称轴是直线 ,最大值是2 D.对称轴是直线 ,最小值是2

  7. 若关于x 的一元二次方程ax2+2x-12=0(a<0)有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )

  A. a<-2 B. a>-2 C. -2

  8. 据某省统计局发布,2017年该省有效发明专利数比2016年增长22.1%.假定2018年的年增长率保持不变,2016年和2018年该省有效发明专利分别为 万件和 万件,则( )

  A. B.

  C. D.

  9.二次函数 图象上部分点的坐标 对应值列表如下:

  x … -2

  0 1 2 …

  y … 1

  1 4 9 …

  则该函数图象的对称轴是直线( )

  A. B. 轴 C. D.

  10.在同一平面直角坐标系中,函数 与 的图象可能是( )

  二、填空题(本大题有6小题,每小题4分,共24分)

  11. 方程 的解是 .

  12. 把一元二次方程 化成一般式是 ,

  13. 已知函数 的图象与 轴只有一个交点,则 的值为   .

  14.已知二次函数 ,在 内,函数的最小值为 .

  15.使代数式 的值为负整数的 的值有 个.

  16.已知二次函数 ,其函数 与自变量 之间的部分对应值如下表所示,则 =

  三、解答题(本大题有9小题,共86分)

  17. (本题满分8分)

  18.(本题满分8分)

  画出二次函数y=-x2的图象.

  19. (本题满分8分)已知抛物线的顶点为(1,4),与y轴交点为(0,3),求该抛物线的解析式.

  20.(本题满分8分)关于 的方程 有两个相等的实数根,求代数式 的值.

  21.(本题满分8分)

  如图7,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=60°,E是CD边上一点,连接BE,以BE为一边作等边三角形BEF.请用直尺在图中连接一条线段,使图中存在经过旋转可完全重合的两个三角形,并说明这两个三角形经过什么样的旋转可重合.

  22.(本题满分10分)

  己知:二次函数y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),点A,点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12=0的两个根.

  (1)求出点A,点B的坐标.

  (2)求出该二次函数的解析式.

  23.(本题满分11分)如图,在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.

  (1)若 ,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求所利用旧墙AD的长;

  (2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.

  24.(本题满分11分)小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆.售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元.调研发现:

  ①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;

  ②花卉的平均每盆利润始终不变.

  小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为 , (单位:元).

  (1)用含 的代数式分别表示 , ;

  (2)当 取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润 最大,最大总利润是多少?

  25.(本题满分14分)

  在平面直角坐标系xOy中,已知点A在抛物线y=x2+bx+c(b>0)上,且A(1,-1),

  (1)若b-c=4,求b,c的值;

  (2)若该抛物线与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点C,则命题“对于任意的

  一个k(0

  (3)将该抛物线平移,平移后的抛物线仍经过(1,-1),点A的对应点A1为

  (1-m,2b-1).当m≥-32时,求平移后抛物线的顶点所能达到的最高点的坐标.

  数学答案

  一、选择题(每小题4分,共计40分):

  题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

  答案 A B D B D A C C A B

  二、填空题(每小题4分,共计24分):

  11. 12. 13. 4

  14. 0 15. 5 16.

  三.解答题(本大题有9小题,共86分)

  17. (本题满分8分)

  解:

  18.(本题满分8分)

  ①每个坐标1分……5′

  ② 轴正确, 轴正确,……7′

  ③图形正确……8′

  19.(本题满分8分)

  解:

  20.(本题满分8分)

  解:

  21.(本题满分8分)

  解:如图3,连接AF. ………………3分

  将△CBE绕点B逆时针旋转60°,可与△ABF重合. …………8分

  22.(本题满分10分)

  解:

  23.(本题满分11分)

  解:(1)设AB=xm,则BC=(100﹣2x)m,……1′

  根据题意得x(100﹣2x)=450,……2′

  解得x1=5,x2=45,……3′

  当x=5时,100﹣2x=90>20,不合题意舍去;

  当x=45时,100﹣2x=10,……5′

  答:AD的长为10m;……6′

  (2)设AD=xm,

  ∴S= x(100﹣x)=﹣ (x﹣50)2+1250,……8′

  当a≥50时,则x=50时,S的最大值为1250;……9′

  当0

  综上所述,

  当a≥50时,S的最大值为1250;当0

  24.(本题满分11分)

  解:(1)设培植的盆景比第一期增加x盆,

  则第二期盆景有(50+x)盆,花卉有(50﹣x)盆,……1′

  所以W1=(50+x)(160﹣2x)=﹣2x2+60x+8000,……3′

  W2=19(50﹣x)=﹣19x+950;……5′

  (2)根据题意,得:

  W=W1+W2 ……6′

  =﹣2x2+60x+8000﹣19x+950

  =﹣2x2+41x+8950 ……7′

  =﹣2(x﹣ )2+ , ……8′

  ∵﹣2<0,且x为整数, ……9′

  ∴当x=10时,W取得最大值,最大值为9160,……10′

  答:当x=10时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是9160元.

  25.(本题满分14分)

  (1)(本小题满分3分)

  解:把(1,-1)代入y=x2+bx+c,可得b+c=-2, ………………1分

  又因为b-c=4,可得b=1,c=-3. ………………3分

  (2)(本小题满分4分)

  解:由b+c=-2,得c=-2-b.

  对于y=x2+bx+c,

  当x=0时,y=c=-2-b.

  抛物线的对称轴为直线x=-b2.

  所以B(0,-2-b),C(-b2,0).

  因为b>0,

  所以OC=b2,OB=2+b. ………………5分

  当k=34时,由OC=34OB得b2=34(2+b),此时b=-6<0不合题意.

  所以对于任意的0

  (3)(本小题满分7分)

  解:

  方法一:

  由平移前的抛物线y=x2+bx+c,可得

  y=(x+b2)2-b24+c,即y=(x+b2)2-b24-2-b.

  因为平移后A(1,-1)的对应点为A1(1-m,2b-1)

  可知,抛物线向左平移m个单位长度,向上平移2b个单位长度.

  则平移后的抛物线解析式为y=(x+b2+m)2-b24-2-b+2b. ………………9分

  即y=(x+b2+m)2-b24-2+b.

  把(1,-1)代入,得

  (1+b2+m)2-b24-2+b=-1.

  (1+b2+m)2=b24-b+1.

  (1+b2+m)2=(b2-1)2.

  所以1+b2+m=±(b2-1).

  当1+b2+m=b2-1时,m=-2(不合题意,舍去);

  当1+b2+m=-(b2-1)时,m=-b. ………………10分

  因为m≥-32,所以b≤32.

  所以0

  所以平移后的抛物线解析式为y=(x-b2)2-b24-2+b.

  即顶点为(b2,-b24-2+b). ………………12分

  设p=-b24-2+b,即p=-14 (b-2)2-1.

  因为-14<0,所以当b<2时,p随b的增大而增大.

  因为0

  所以当b=32时,p取最大值为-1716. ………………13分

  此时,平移后抛物线的顶点所能达到的最高点坐标为(34,-1716). ………………14分

  方法二:

  因为平移后A(1,-1)的对应点为A1(1-m,2b-1)

  可知,抛物线向左平移m个单位长度,向上平移2b个单位长度.

  由平移前的抛物线y=x2+bx+c,可得

  y=(x+b2)2-b24+c,即y=(x+b2)2-b24-2-b.

  则平移后的抛物线解析式为y=(x+b2+m)2-b24-2-b+2b. ………………9分

  即y=(x+b2+m)2-b24-2+b.

  把(1,-1)代入,得

  (1+b2+m)2-b24-2+b=-1.

  可得(m+2)(m+b)=0.

  所以m=-2(不合题意,舍去)或m=-b. ………………10分

  因为m≥-32,所以b≤32.

  所以0

  所以平移后的抛物线解析式为y=(x-b2)2-b24-2+b.

  即顶点为(b2,-b24-2+b). ………………12分

  设p=-b24-2+b,即p=-14 (b-2)2-1.

  因为-14<0,所以当b<2时,p随b的增大而增大.

  因为0

  所以当b=32时,p取最大值为-1716. ………………13分

  此时,平移后抛物线的顶点所能达到的最高点坐标为(34,-1716). ………………14分


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