上学期初三年级期中考试试题
不好好学习数学，在中考怎么取的好的成绩哦，今天小编就给大家参考一下九年级数学，有需要的就来看看吧
初三年级数学上期中试题
一.选择题(共12小题，满分48分)
1.下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
3.下列函数中，二次函数的是( )
A.y=2x2+1 B.y=2x+1
C.y= D.y=x2﹣(x﹣1)2
4.将抛物线y=﹣ x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后所得到的抛物线解析式是( )
A. B.
C. D.
5.抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过A(4，4)，B(2，m)两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0
A.m≤2或m≥3 B.m≤3或m≥4 C.2
6.图示为抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=2，若其与x轴的一交点为B(6，0)，则由图象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是( )
A.x>6 B.06
7.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是( )
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
A.﹣0.01
C.6.18
8.抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：]
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法中，错误的是( )
A.抛物线于x轴的一个交点坐标为(﹣2，0)
B.抛物线与y轴的交点坐标为(0，6)
C.抛物线的对称轴是直线x=0
D.抛物线在对称轴左侧部分是上升的
9.如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=( )
A. B. C. D.
10.关于x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，且较小的根为2，则下列结论：
①2a+b<0;②ab<0;③关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根;
④抛物线y=2x2+ax+b+2的顶点在第四象限.其中正确的结论有( )
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
11.如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
A. B.
C. D.
12.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=﹣1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4;②b2﹣4ac>0;③ab<0;④a2﹣ab+ac<0，其中正确的结论有( )个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二.填空题(共6小题，满分24分，每小题4分)
13.二次函数y=﹣x2﹣2x+3的最大值是 .
14.已知抛物线y=x2﹣(k﹣1)x﹣3k﹣2与x轴交于A (α，0)，B(β，0)两点，且α2+β2=17，则k= .
15.若二次函数y=x2+2m﹣1的图象经过原点，则m的值是 .
16.将点P(﹣1，3)绕原点顺时针旋转180°后坐标变为 .
17.已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm.
18.“a是 实数，|a|≥0”这一事件是 事件.
三.解答题(共7小题，满分64分)
19.(10分)已知二次函数y1=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.
(1)求出点A、B的坐标，并画出该二次函数的图象(不需要列表，但是要在图中标出A、B、C、D);
(2)设一次函数y2=kx+b的图象经过B、D两点，观察图象回答：
①当 时，y1、y2都随x的增大而增大;
②当 时，y1>y2.
20.(10分)如图，△ABC中，∠B=15°，∠ACB=25°，AB=4cm，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点.
(1)指出旋转中心，并求出旋转的度数;
(2)求出∠BAE的度数和AE的长.
21.(10分)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(﹣4，2)、B(0，4)、C(0，2)，
(1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C;平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，﹣4)，画出平移后对应的△A2B2C2;
(2)△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 .
22.(11分)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知△ABC三个定点坐标分别为A(﹣4，1)，B(﹣3，3)，C(﹣1，2).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A，B，C的对称点分别是点A1、B1、C1，直接写出点A1，B1，C1的坐标：A1( ， )，B1( ， )，C1( ， );
(2)画出点C关于y轴的对称点C2，连接C1C2，CC2，C1C，并直接写出△CC1C2的面积是 .
23.(11分)如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2.
(1)求AB的长;
(2)求⊙O的半径.
24.(12分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF.
(1)判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由;
(2)若∠A=30°，求证：DG= DA;
(3)若∠A=30°，且图中阴影部分的面积等于2 ，求⊙O的半径的长.
25.抛物线y=﹣ x2﹣ x+ 与x轴 交于点A，B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点.
(1)如图1，连接CD，求线段CD的长;
(2)如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+ EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标;
(3)如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与 直线AC，x轴交于点M，N.那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形?若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长;若不存在，请说明理由.
参考答案
一.选择题
1. B.2. D.3. A.4. C.5. B.6. D.
7. C.8.C 9. A.10. A.11. B.12. C.
二.填空题
13. 4.
14. 2.
15. .
16.(1，﹣3).
17. 2或14.
18.必然.
三.解答题
19.解：(1)令y1=0，得x2﹣2x﹣3=0，解得x1=3，x2=﹣1，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)，
令x=0，得y=﹣3，
∴C(0，﹣3)，
﹣ =﹣ =1，
= =﹣4，
∴D(1，﹣4);
(2)①由题意得，当x>1时y随x的增大而增大;
②当x<1或x>3时，y1>y2.
故答案为x>1，x<1或x>3.
20.解：(1)∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣15°﹣25°=140°，
即∠BAD=140°，
所以旋转中心为点A，旋转的度数为140°;
(2)∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
∴∠EAD=∠BAC=140°，AE=AC，AD=AB=4
∴∠BAE=360°﹣140°﹣140°=80°，
∵点C恰好成为AD的中点，
∴AC= AD=2，
∴AE=2.
21.解：(1)△A1B1C如图所示，
△A2B2C2如图所示;
(2)如图，对称中心为(2，﹣1).
22.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求.
A1(﹣4，﹣1)B1(﹣3，﹣3)，C1(﹣1，﹣2)，
故答案为：﹣4、﹣1、﹣3、﹣3、﹣1、﹣2;
(2)如图所示，△CC1C2的面积是 ×2×4=4，
故答案为：4.
23.解：(1)∵CD⊥AB，AO⊥BC
∴∠AFO=∠CEO=90°，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE，
∴CE=AF，
∵CE=2，
∴AF=2，
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴ ，
∴AB=4.
(2)∵AO是⊙O的半径，AO⊥BC
∴CE=BE=2，
∵AB=4，
∴ ，
∵∠AEB=90°，
∴∠A=30°，
又∵∠AFO=90°，
∴cosA= = = ，
∴ ，即⊙O的半径是 .
24.解：(1)连接 OE，
∵OA=OE，
∴∠A=∠AEO，
∵BF=EF，
∴∠B=∠BEF，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠AEO+∠BEF=90°，
∴∠OEG=90°，
∴EF是⊙O的切线;
(2)∵∠AED=90°，∠A=30°，
∴ED= AD，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠BEF=60°，
∵∠BEF+∠DEG=90°，
∴∠DEG=30°，
∵∠ADE+∠A=90°，
∴∠ADE=60°，
∵∠ADE=∠EGD+∠DEG，
∴∠DGE=30°，
∴∠DEG=∠DGE，
∴DG=DE，
∴DG= DA;
(3)∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，
∴∠EOD=60°，
∴∠EGO=30°，
∵阴影部分的面积= ×r× r﹣ =2 ﹣ π.
解得：r2=4，即r=2，
即⊙O的半径的长为2.
25.解：(1)如图1，过点D作DK⊥y轴于K，
当x=0时，y= ，
∴C(0， )，
y=﹣ x2﹣ x+ =﹣ (x+ )2+ ，
∴D(﹣ ， )，
∴DK= ，CK= ﹣ = ，
∴CD= = = ;
(2)在y=﹣ x2﹣ x+ 中，令 y=0，则﹣ x2﹣ x+ =0，
解得：x1=﹣3 ，x2= ，
∴A(﹣3 ，0)，B( ，0)，
∵C(0， )，
易得直线AC的解析式为：y= ，
设E(x， )，P(x，﹣ x2﹣ x+ )，
∴PF=﹣ x2﹣ x+ ，EF= ，
Rt△ACO中，AO=3 ，OC= ，
∴AC=2 ，
∴∠CAO=30°，
∴AE=2EF= ，
∴PE+ EC=(﹣ x2﹣ x+ )﹣( x+ )+ (AC﹣AE)，
=﹣ ﹣ x+ [2 ﹣( )]，
=﹣ ﹣ x﹣ x，
=﹣ (x+2 )2+ ，(5分)
∴当PE+ EC的值最大时，x=﹣2 ，此时P(﹣2 ， )，(6分)
∴PC=2 ，
∵O1B1=OB= ，
∴要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小，
如图2，将点P向右平移 个单位长度得点P1(﹣ ， )，连接P1B1，则PO1=P1B1，
再作点P1关于x轴的对称点P2(﹣ ，﹣ )，则P1B1=P2B1，
∴PO1+B1C=P2B1+B1C，
∴连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1，
∴B1(﹣ ，0)，
将B1向左平移 个单位长度即得点O1，
此时PO1+B1C=P2C= = ，
对应的点O1的坐标为(﹣ ，0)，(7分)
∴四边形PO1B1C周长的最小 值为 +3 ;(8分)
(3)O2M的长度为 或 或2 + 或2 .(12分)
理由是：如图3，∵H是AB的中点，
∴OH= ，
∵OC= ，
∴CH=BC=2 ，
∴∠HCO=∠BCO=30°，
∵∠ACO=60°，
∴将CO沿CH对折后落在直线AC上，即O2在AC上，
∴∠B2CA=∠CAB=30°，
∴B2C∥AB，
∴B2(﹣2 ， )，
①如图4，AN=MN，
∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3，
由旋转得：∠CB2C1=∠O2B2O3=30°，B2C=B2C1，
∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°，
过C1作C1E⊥B2C于E，
∵B2C=B2C1=2 ，
∴ =B2O2，B2E= ，
∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1，
∠B2O2M=∠C1EC=90°，
∴△C1EC≌△B2O2M，
∴O2M=CE=B2C﹣B2E=2 ﹣ ;
②如图5，AM=MN，此时M与C重合，O2M=O2C= ，
③如图6，AM=MN，
∵B2C=B2C1=2 =B2H，即N和H、C1重合，
∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°，
∴O2M= AO2= ;
④如图7，AN=MN，过C1作C1E⊥AC于E，
∴∠NMA=∠NAM=30°，
∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA，
∴C1B2∥AC，
∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°，
∵∠C1EC=90°，
∴四边形C1EO2B2是矩形，
∴EO2=C1B2=2 ， ，
∴EM= ，
∴O2M=EO2+EM=2 + ，
综上所述，O2M的长是 或 或2 + 或2 .
数学九年级上册期中模拟试卷
一.选择题(共12小题，满分48分)
1.下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转55°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
3.下列函数中，二次函数的是( )
A.y=2x2+1 B.y=2x+1
C.y= D.y=x2﹣(x﹣1)2
4.将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后所得到的抛物线解析式是( )
A. B.
C. D.
5.抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过A(4，4)，B(2，m)两点，点B到抛物线对称轴的距离记为d，满足0
A.m≤2或m≥3 B.m≤3或m≥4 C.2
6.图示为抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=2，若其与x轴的一交点为B(6，0)，则由图象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是( )
A.x>6 B.06
7.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是( )
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04
A.﹣0.01
C.6.18
8.抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法中，错误的是( )
A.抛物线于x轴的一个交点坐标为(﹣2，0)
B.抛物线与y轴的交点坐标为(0，6)
C.抛物线的对称轴是直线x=0
D.抛物线在对称轴左侧部分是上升的
9.如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=( )
A. B. C. D.
10.关于x的方程2x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，且较小的根为2，则下列结论：
①2a+b<0;②ab<0;③关于x的方程2x2+ax+b+2=0有两个不相等的实数根;
④抛物线y=2x2+ax+b+2的顶点在第四象限.其中正确的结论有( )
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
11.如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
A. B.
C. D.
12.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=﹣1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4;②b2﹣4ac>0;③ab<0;④a2﹣ab+ac<0，其中正确的结论有( )个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二.填空题(共6小题，满分24分，每小题4分)
13.二次函数y=﹣x2﹣2x+3的最大值是 .
14.已知抛物线y=x2﹣(k﹣1)x﹣3k﹣2与x轴交于A (α，0)，B(β，0)两点，且α2+β2=17，则k= .
15.若二次函数y=x2+2m﹣1的图象经过原点，则m的值是 .
16.将点P(﹣1，3)绕原点顺时针旋转180°后坐标变为 .
17.已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是 cm.
18.“a是实数，|a|≥0”这一事件是 事件.
三.解答题(共7小题，满分64分)
19.(10分)已知二次函数y1=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.
(1)求出点A、B的坐标，并画出该二次函数的图象(不需要列表，但是要在图中标出A、B、C、D);
(2)设一次函数y2=kx+b的图象经过B、D两点，观察图象回答：
①当 时，y1、y2都随x的增大而增大;
②当 时，y1>y2.
20.(10分)如图，△ABC中，∠B=15°，∠ACB=25°，AB=4cm，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点.
(1)指出旋转中心，并求出旋转的度数;
(2)求出∠BAE的度数和AE的长.
21.(10分)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(﹣4，2)、B(0，4)、C(0，2)，
(1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C;平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，﹣4)，画出平移后对应的△A2B2C2;
(2)△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 .
22.(11分)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知△ABC三个定点坐标分别为A(﹣4，1)，B(﹣3，3)，C(﹣1，2).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A，B，C的对称点分别是点A1、B1、C1，直接写出点A1，B1，C1的坐标：A1( ， )，B1( ， )，C1( ， );
(2)画出点C关于y轴的对称点C2，连接C1C2，CC2，C1C，并直接写出△CC1C2的面积是 .
23.(11分)如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2.
(1)求AB的长;
(2)求⊙O的半径.
24.(12分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF.
(1)判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由;
(2)若∠A=30°，求证：DG=DA;
(3)若∠A=30°，且图中阴影部分的面积等于2，求⊙O的半径的长.
25.抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点.
(1)如图1，连接CD，求线段CD的长;
(2)如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标;[来源:学#科#网]
(3)如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N.那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形?若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M的长;若不存在，请说明理由.
参考答案
一.选择题
1. B.2. D.3. A.4. C.5. B.6. D.
7. C.8.C 9. A.10. A.11. B.12. C.
二.填空题
13. 4.
三.解答题
19.解：(1)令y1=0，得x2﹣2x﹣3=0，解得x1=3，x2=﹣1，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)，
令x=0，得y=﹣3，
∴C(0，﹣3)，
﹣=﹣=1，
==﹣4，
∴D(1，﹣4);
(2)①由题意得，当x>1时y随x的增大而增大;
②当x<1或x>3时，y1>y2.
故答案为x>1，x<1或x>3.
20.解：(1)∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣15°﹣25°=140°，
即∠BAD=140°，
所以旋转中心为点A，旋转的度数为140°;
(2)∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
∴∠EAD=∠BAC=140°，AE=AC，AD=AB=4
∴∠BAE=360°﹣140°﹣140°=80°，
∵点C恰好成为AD的中点，
∴AC=AD=2，
∴AE=2.
21.解：(1)△A1B1C如图所示，
△A2B2C2如图所示;
(2)如图，对称中心为(2，﹣1).
22.解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求.
A1(﹣4，﹣1)B1(﹣3，﹣3)，C1(﹣1，﹣2)，
故答案为：﹣4、﹣1、﹣3、﹣3、﹣1、﹣2;
(2)如图所示，△CC1C2的面积是×2×4=4，
故答案为：4.
23.解：(1)∵CD⊥AB，AO⊥BC
∴∠AFO=∠CEO=90°，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE，
∴CE=AF，
∵CE=2，
∴AF=2，
∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴，
∴AB=4.
(2)∵AO是⊙O的半径，AO⊥BC
∴CE=BE=2，
∵AB=4，
∴，
∵∠AEB=90°，
∴∠A=30°，
又∵∠AFO=90°，
∴cosA===，
∴，即⊙O的半径是.
24.解：(1)连接OE，
∵OA=OE，
∴∠A=∠AEO，
∵BF=EF，
∴∠B=∠BEF，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠AEO+∠BEF=90°，
∴∠OEG=90°，
∴EF是⊙O的切线;
(2)∵∠AED=90°，∠A=30°，
∴ED=AD，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠BEF=60°，
∵∠BEF+∠DEG=90°，
∴∠DEG=30°，
∵∠ADE+∠A=90°，
∴∠ADE=60°，
∵∠ADE=∠EGD+∠DEG，
∴∠DGE=30°，
∴∠DEG=∠DGE，
∴DG=DE，
∴DG=DA;
(3)∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，
∴∠EOD=60°，
∴∠EGO=30°，
∵阴影部分的面积=×r×r﹣=2﹣π.
解得：r2=4，即r=2，
即⊙O的半径的长为2.
25.解：(1)如图1，过点D作DK⊥y轴于K，
当x=0时，y=，
∴C(0，)，
y=﹣x2﹣x+=﹣(x+)2+，
∴D(﹣，)，
∴DK=，CK=﹣=，
∴CD===;
(2)在y=﹣x2﹣x+中，令y=0，则﹣x2﹣x+=0，
解得：x1=﹣3，x2=，
∴A(﹣3，0)，B(，0)，
∵C(0，)，
易得直线AC的解析式为：y=，
设E(x，)，P(x，﹣x2﹣x+)，
∴PF=﹣x2﹣x+，EF=，
Rt△ACO中，AO=3，OC=，
∴AC=2，
∴∠CAO=30°，
∴AE=2EF=，
∴PE+EC=(﹣x2﹣x+)﹣(x+)+(AC﹣AE)，
=﹣﹣x+ [2﹣()]，
=﹣﹣x﹣x，
=﹣(x+2)2+，(5分)
∴当PE+EC的值最大时，x=﹣2，此时P(﹣2，)，(6分)
∴PC=2，
∵O1B1=OB=，
∴要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小，
如图2，将点P向右平移个单位长度得点P1(﹣，)，连接P1B1，则PO1=P1B1，
再作点P1关于x轴的对称点P2(﹣，﹣)，则P1B1=P2B1，
∴PO1+B1C=P2B1+B1C，
∴连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1，
∴B1(﹣，0)，
将B1向左平移个单位长度即得点O1，
此时PO1+B1C=P2C==，
对应的点O1的坐标为(﹣，0)，(7分)
∴四边形PO1B1C周长的最小值为+3;(8分)
(3)O2M的长度为或或2+或2.(12分)
理由是：如图3，∵H是AB的中点，
∴OH=，
∵OC=，
∴CH=BC=2，
∴∠HCO=∠BCO=30°，
∵∠ACO=60°，
∴将CO沿CH对折后落在直线AC上，即O2在AC上，
∴∠B2CA=∠CAB=30°，
∴B2C∥AB，
∴B2(﹣2，)，
①如图4，AN=MN，
∴∠MAN=∠AMN=30°=∠O2B2O3，
由旋转得：∠CB2C1=∠O2B2O3=30°，B2C=B2C1，
∴∠B2CC1=∠B2C1C=75°，
过C1作C1E⊥B2C于E，
∵B2C=B2C1=2，
∴=B2O2，B2E=，
∵∠O2MB2=∠B2MO3=75°=∠B2CC1，
∠B2O2M=∠C1EC=90°，
∴△C1EC≌△B2O2M，
∴O2M=CE=B2C﹣B2E=2﹣;
②如图5，AM=MN，此时M与C重合，O2M=O2C=，
③如图6，AM=MN，
∵B2C=B2C1=2=B2H，即N和H、C1重合，
∴∠CAO=∠AHM=∠MHO2=30°，
∴O2M=AO2=;
④如图7，AN=MN，过C1作C1E⊥AC于E，
∴∠NMA=∠NAM=30°，
∵∠O3C1B2=30°=∠O3MA，
∴C1B2∥AC，
∴∠C1B2O2=∠AO2B2=90°，
∵∠C1EC=90°，
∴四边形C1EO2B2是矩形，
∴EO2=C1B2=2，，
∴EM=，
∴O2M=EO2+EM=2+，
综上所述，O2M的长是或或2+或2.
九年级数学上册期中试题参考
一.选择题(共10小题，满分30分)
1.下面给出的是一些产品的图案，从几何图形的角度看，这些图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.点A(a，3)与点B(﹣4，b)关于原点对称，则a+b=( )
A.﹣1 B.4 C.﹣4 D.1
3.用配方法方程x2+6x﹣5=0时，变形正确的方程为( )
A.(x+3)2=14 B.(x﹣3)2=14 C.(x+6)2=4 D.(x﹣6)2=4
4.若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是( )
A. B.﹣ C.﹣ D.
5.将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为( )
A.y=(x﹣8)2+5 B.y=(x﹣4)2+5
C.y=(x﹣8)2+3 D.y=(x﹣4)2+3
6.在抛物线y=ax2﹣2ax﹣7上有A(﹣4，y1)、B(2，y2)、C(3，y3)三点，若抛物线开口向下，则y1、y2和y3的大小关系为( )
A.y1
7.设A(﹣2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2
8.如图，△ABC中，BC=8，AD是中线，将△ADC沿AD折叠至△ADC′，发现CD与折痕的夹角是60°，则点B到C′的距离是( )
A.4 B. C. D.3
9.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为( )
A.a2(a﹣4)2=10(a﹣4)+a﹣4
B.a2+(a+4)2=10a+a﹣4﹣4
C.a2+(a+4)2=10(a+4)+a﹣4
D.a2+(a﹣4)2=10a+(a﹣4)﹣4
10.已知两点A(﹣5，y1)，B(3，y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上，点C(x0，y0)是该抛物线的顶点.若y1
A.x0>﹣1 B.x0>﹣5 C.x0<﹣1 D.﹣2
二.填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)
11.若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一个根为x=﹣1，则a+b= .
12.如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A= °.
13.若二次函数y=(2﹣m)x|m|﹣3 的图象开口向下，则m的值为 .
14.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+3=0有实数根，则实数k的取值范围为 .
15.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：米)与小球运动时间t(单位：秒)的函数关系式是h=9.8t﹣4.9t2.若小球的高度为4.9米，则小球的运动时间为 .
16.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，下列结论中：①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2;正确的有 (填序号)
三.解答题(共9小题，满分74分)
17.解方程：x2﹣4x﹣5=0.
18.如图，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标.
19.淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病，牵动了全校师生的心，该校开展了“献爱心”捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率;
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款?
20.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E，F分别在边AB和BC上，△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形.
(Ⅰ)旋转中心是点 .
(Ⅱ)旋转角是 度，∠EDM= 度.
(Ⅲ)若∠EDF=45°，求证△EDF≌△MDF，并求此时△BEF的周长.
21.从甲、乙两题中选做一题.如果两题都做，只以甲题计分.
题甲：若关于x一元二次方程x2﹣2(2﹣k)x+k2+12=0有实数根a，β.
(1)求实数k的取值范围;
(2)设，求t的最小值.
题乙：如图所示，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q.
(1)若=，求的值;
(2)若点P为BC边上的任意一点，求证：﹣=.
我选做的是 题.
22.小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%.
(1)设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围.
(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润?每月的最大利润是多少?
(3)如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量)
23.(12分)如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点.
(1)抛物线与x轴的交点坐标为 ;
(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=6，并求出此时P点的坐标.
24.如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C.A(1，1)、B(3，1).动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒(0
(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在，直接写出t的值;若不存在，请说明理由.
25.已知：二次函数y=ax2﹣2x+c的图象与x于A、B，A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴是直线x=1，平移一个单位后经过坐标原点O
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)直线交y轴于D点，E为抛物线顶点.若∠DBC=α，∠CBE=β，求α﹣β的值;
(3)在(2)问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC，在y轴右侧的抛物线上是否存在点M，使得△BDM的面积等于PA2?若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.
参考答案
一.选择题
1.下面给出的是一些产品的图案，从几何图形的角度看，这些图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形;
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形;
C、是轴对称图形，也是中心对称图形;
D、不是轴对称图形，是中心对称图形.
故选：C.
2.点A(a，3)与点B(﹣4，b)关于原点对称，则a+b=( )
A.﹣1 B.4 C.﹣4 D.1
【解答】解：∵点A(a，3)与点B(﹣4，b)关于原点对称，
∴a=4，b=﹣3，
∴a+b=1，
故选：D.
3.用配方法方程x2+6x﹣5=0时，变形正确的方程为( )
A.(x+3)2=14 B.(x﹣3)2=14 C.(x+6)2=4 D.(x﹣6)2=4
【解答】解：方程移项得：x2+6x=5，
配方得：x2+6x+9=14，即(x+3)2=14，
故选：A.
4.若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则+的值是( )
A. B.﹣ C.﹣ D.
【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，
∴α+β=﹣，αβ=﹣3，
∴+====﹣.
故选：C.
5.将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为( )
A.y=(x﹣8)2+5 B.y=(x﹣4)2+5
C.y=(x﹣8)2+3 D.y=(x﹣4)2+3
【解答】解：y=x2﹣6x+21
=(x2﹣12x)+21
= [(x﹣6)2﹣36]+21
=(x﹣6)2+3，
故y=(x﹣6)2+3，向左平移2个单位后，
得到新抛物线的解析式为：y=(x﹣4)2+3.
故选：D.
6.在抛物线y=ax2﹣2ax﹣7上有A(﹣4，y1)、B(2，y2)、C(3，y3)三点，若抛物线开口向下，则y1、y2和y3的大小关系为( )
A.y1
【解答】解：
∵A(﹣4，y1)、B(2，y2)、C(3，y3)三点在抛物线y=ax2﹣2ax﹣7上，
∴y1=16a+8a﹣7=24a﹣7，y2=4a﹣4a﹣7=﹣7，y3=9a﹣6a﹣7=3a﹣7，
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴24a<3a<0，
∴24a﹣7<3a﹣7<﹣7，
∴y1
故选：A.
7.设A(﹣2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为( )
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2
【解答】解：
∵A(﹣2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=﹣x2﹣2x+2上的三点，
∴y1=﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+2=2，y2=﹣1﹣2+2=﹣1，y3=﹣22﹣2×2+2=﹣6，
∴y1>y2>y3，
故选：A.
8.如图，△ABC中，BC=8，AD是中线，将△ADC沿AD折叠至△ADC′，发现CD与折痕的夹角是60°，则点B到C′的距离是( )
A.4 B. C. D.3
【解答】解：∵△ABC中，BC=8，AD是中线，
∴BD=DC=4，
∵将△ADC沿AD折叠至△ADC′，发现CD与折痕的夹角是60°，
∴∠C′DA=∠ADC=60°，DC=DC′，
∴∠C′DB=60°，
∴△BDC′是等边三角形，
∴BC′=BD=DC′=4.
故选：A.
9.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为( )
A.a2(a﹣4)2=10(a﹣4)+a﹣4
B.a2+(a+4)2=10a+a﹣4﹣4
C.a2+(a+4)2=10(a+4)+a﹣4
D.a2+(a﹣4)2=10a+(a﹣4)﹣4
【解答】解：依题意得：十位数字为：a+4，这个数为：a+10(x+4)
这两个数的平方和为：a2+(a+4)2，
∵两数相差4，
∴a2+(a+4)2=10(a+4)+a﹣4.
故选：C.
10.已知两点A(﹣5，y1)，B(3，y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上，点C(x0，y0)是该抛物线的顶点.若y1
A.x0>﹣1 B.x0>﹣5 C.x0<﹣1 D.﹣2
【解答】解：∵点C(x0，y0)是该抛物线的顶点.且y1
∴a<0，x0﹣(﹣5)>|3﹣x0|，
∴x0>﹣1.
故选：A.
二.填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)
11.若一元二次方程ax2﹣bx﹣2018=0有一个根为x=﹣1，则a+b= 2018 .
【解答】解：把x=﹣1代入方程有：
a+b﹣2018=0，
即a+b=2018.
故答案是：2018.
12.如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A= 55 °.
【解答】解：∵三角形△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C′
∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°
∴∠A′=55°，
∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，
∴∠A=55°;
故答案为：55°.
13.若二次函数y=(2﹣m)x|m|﹣3 的图象开口向下，则m的值为 5 .
【解答】解：
∵y=(2﹣m)x|m|﹣3 是二次函数，
∴|m|﹣3=2，解得m=5或m=﹣5，
∵抛物线图象开口向下，
∴2﹣m<0，解得m>2，
∴m=5，
故答案为：5.
14.若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+3=0有实数根，则实数k的取值范围为 k≤4且k≠1 .
【解答】解：∵关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+6x+3=0有实数根，
∴，
解得：k≤4且k≠1.
故答案为：k≤4且k≠1.
15.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：米)与小球运动时间t(单位：秒)的函数关系式是h=9.8t﹣4.9t2.若小球的高度为4.9米，则小球的运动时间为 1s .
【解答】解：由题意知，
小球的高度h与小球运动时间t的函数关系式是：
h=9.8t﹣4.9t2.
令h=4.9，
解得t=1s，
故答案为：1s.
16.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，下列结论中：①∠DAF=45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2=DE2;正确的有 ①③④ (填序号)
【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB=AC， ]
∴∠B=∠ACB=45°，
①由旋转，可知：∠CAF=∠BAE，
∵∠BAD=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°，
∴∠CAF+∠BAE=∠DAF=45°，故①正确;
②由旋转，可知：△ABE≌△ACF，不能推出△ABE≌△ACD，故②错误;
③∵∠EAD=∠DAF=45°，
∴AD平分∠EAF，故③正确;
④由旋转可知：AE=AF，∠ACF=∠B=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠DCF=90°，
由勾股定理得：CF2+CD2=DF2，
即BE2+DC2=DF2，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD(SAS)，
∴DE=DF，
∴BE2+DC2=DE2，
故答案为：①③④.
三.解答题(共9小题，满分74分)
17.(10分)解方程：x2﹣4x﹣5=0.
【解答】解：(x+1)(x﹣5)=0，
则x+1=0或x﹣5=0，
∴x=﹣1或x=5.
18.(9分)如图，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标.
【解答】解：如图所示，△A1B1C1即为所求，
A1(3，﹣2)，B1(2，1)，C1(﹣2，﹣3).
19.(9分)淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病，牵动了全校师生的心，该校开展了“献爱心”捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率;
(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款?
【解答】解：(1)捐款增长率为x，根据题意得：
10000(1+x)2=12100，
解得：x1=0.1，x2=﹣2.1(舍去).
则x=0.1=10%.
答：捐款的增长率为10%.
(2)根据题意得：12100×(1+10%)=13310(元)，
答：第四天该校能收到的捐款是13310元.
20.(10分)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E，F分别在边AB和BC上，△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形.
(Ⅰ)旋转中心是点 D .
(Ⅱ)旋转角是 90 度，∠EDM= 90 度.
(Ⅲ)若∠EDF=45°，求证△EDF≌△MDF，并求此时△BEF的周长.
【解答】解：(Ⅰ)∵△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形，
∴旋转中心是点D.
故答案为D;
(Ⅱ)∵△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形，
∴∠ADC=∠EDM=90°
∴旋转角是90度，∠EDM=90度.
故答案为90，90;
(Ⅲ)∵∠EDF=45°，∠EDM=90°，
∴∠MDF=45°.
∵△DCM是由△ADE逆时针旋转得到的图形，
∴△DCM≌△DAE，
∴DM=DE，CM=AE.
在△EDF与△MDF中，
，
∴△EDF≌△MDF，
∴EF=MF=MC+CF，
∴△BEF的周长=BE+EF+BF
=BE+MC+CF+BF
=(BE+AE)+(CF+BF)
=AB+BC
=2.
21.(12分)从甲、乙两题中选做一题.如果两题都做，只以甲题计分.
题甲：若关于x一元二次方程x2﹣2(2﹣k)x+k2+12=0有实数根a，β.
(1)求实数k的取值范围;
(2)设，求t的最小值.
题乙：如图所示，在矩形ABCD中，P是BC边上一点，连接DP并延长，交AB的延长线于点Q.
(1)若=，求的值;
(2)若点P为BC边上的任意一点，求证：﹣=.
我选做的是 甲 题.
【解答】题甲
解：(1)∵一元二次方程x2﹣2(2﹣k)x+k2+12=0有实数根a，β，
∴△≥0，
即4(2﹣k)2﹣4(k2+12)≥0，
得k≤﹣2.
(2)由根与系数的关系得：a+β=﹣[﹣2(2﹣k)]=4﹣2k，
∴，
∵k≤﹣2，
∴﹣2≤<0，
∴，
即t的最小值为﹣4.
题乙：
(1)解：∵AB∥CD，∴==，即CD=3BQ，
∴===;
(2)证明：四边形ABCD是矩形
∵AB=CD，AB∥DC
∴△DPC∽△QPB
∴=
﹣=﹣=1+﹣=1
∴﹣=1.
22.(12分)小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%.
(1)设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围.
(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润?每月的最大利润是多少?
(3)如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量)
【解答】解：(1)由题意，得：w=(x﹣20)•y=(x﹣20)•(﹣10x+500)=﹣10x2+700x﹣10000，即w=﹣10x2+700x﹣10000(20≤x≤32)
(2)对于函数w=﹣10x2+700x﹣10000的图象的对称轴是直线.
又∵a=﹣10<0，抛物线开口向下.∴当20≤x≤32时，W随着X的增大而增大，
∴当x=32时，W=2160
答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元.
(3)取W=2000得，﹣10x2+700x﹣10000=2000
解这个方程得：x1=30，x2=40.
∵a=﹣10<0，抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2000.
∵20≤x≤32
∴当30≤x≤32时，w≥2000.
设每月的成本为P(元)，由题意，得：P=20(﹣10x+500)=﹣200x+10000
∵k=﹣200<0，
∴P随x的增大而减小.
∴当x=32时，P的值最小，P最小值=3600.
答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元.
23.(12分)如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点.
(1)抛物线与x轴的交点坐标为 (﹣1，0)或(3，0) ;
(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=6，并求出此时P点的坐标.
【解答】解：(1)当y=0时，
x2﹣2x﹣3=0，
解得，x1=﹣1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(﹣1，0)或(3，0)，
故答案为：(﹣1，0)或(3，0);
(2)∵点A(﹣1，0)，点B(3，0)，y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4，
∴此抛物线有最小值，此时y=﹣4，AB=3﹣(﹣1)=4，
∵S△PAB=6，抛物线上有一个动点P，
∴点P的纵坐标的绝对值为：，
∴x2﹣2x﹣3=3或x2﹣2x﹣3=﹣3，
解得，x1=1+，x2=1﹣，x3=0，x4=2，
∴点P的坐标为(1+，3)、(1﹣，3)、(0，﹣3)、(2，﹣3).
24.如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C.A(1，1)、B(3，1).动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间为t秒(0
(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在，直接写出t的值;若不存在，请说明理由.
【解答】解：(1)解法一：由图象可知：抛物线经过原点，
设抛物线解析式为y=ax2+bx(a≠0).
把A(1，1)，B(3，1)代入上式得，
解得，
∴所求抛物线解析式为y=﹣x2+x;
解法二：∵A(1，1)，B(3，1)，∴抛物线的对称轴是直线x=2.
设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+h(a≠0)，
把O(0，0)，A(1，1)代入得
解得∴所求抛物线解析式为：y=﹣(x﹣2)2+.
(2)分三种情况：
①当0
∵A(1，1)，在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，
在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，
∴PQ=OQ=tcos45°=t，
∴S=(t)2=t2.
②当2
作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，则四边形OAGP是等腰梯形，
重叠部分的面积是S梯形OAGP.
∴AG=FH=t﹣2，
∴S=(AG+OP)AF=(t+t﹣2)×1=t﹣1.
③当3
重叠部分的面积是S五边形OAMNC.
因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，
所以重叠部分的面积是S五边形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN.
∵B(3，1)，OP=t，
∴PC=CN=t﹣3，
∴BM=BN=1﹣(t﹣3)=4﹣t，
∴S=(2+3)×1﹣(4﹣t)2 S=﹣t2+4t﹣;
(3)存在t1=1，t2=2.
将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，此时Q(t+，)，O(t，t)
①当点Q在抛物线上时， =×(t+)2+×(t+)，解得t=2;
②当点O在抛物线上时，t=﹣t2+t，解得t=1.
25.已知：二次函数y=ax2﹣2x+c的图象与x于A、B，A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴是直线x=1，平移一个单位后经过坐标原点O
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)直线交y轴于D点，E为抛物线顶点.若∠DBC=α，∠CBE=β，求α﹣β的值;
(3)在(2)问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC，在y轴右侧的抛物线上是否存在点M，使得△BDM的面积等于PA2?若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.
【解答】解：(1)由题意，A(﹣1，0)，
∵对称轴是直线x=1，
∴B(3，0);(1分)
把A(﹣1，0)，B(3，0)分别代入y=ax2﹣2x+c
得;(2分)
解得.
∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3.
(2)∵直线与y轴交于D(0，1)，
∴OD=1，
由y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4得E(1，﹣4);
连接CE，过E作EF⊥y轴于F(如图1)，则EF=1，
∴OC=OB=3，CF=1=EF，
∴∠OBC=∠OCB=∠45°，
BC==，
;
∴∠BCE=90°=∠BOD，，
，
∴，
∴△BOD∽△BCE，(6分)
∴∠CBE=∠DBO，
∴α﹣β=∠DBC﹣∠CBE=∠DBC﹣∠DBO=∠OBC=45°.(7分)
(3)设P(1，n)，
∵PA=PC，
∴PA2=PC2，即(1+1)2+(n﹣0)2=(1+0)2+(n+3)2
解得n=﹣1，
∴PA2=(1+1)2+(﹣1﹣0)2=5，
∴S△EDW=PA2=5;(8分)
法一：设存在符合条件的点M(m，m2﹣2m﹣3)，则m>0，
①当M在直线BD上侧时，连接OM(如图1)，
则S△BDM=S△OBM+S△ODM﹣S△BOD=5，
即，
，
整理，得3m2﹣5m﹣22=0，
解得m1=﹣2(舍去)，，
把代入y=m2﹣2m﹣3得;
∴;(10分)
②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，连接OM1(如图1)，
则S△BDM1=S△BOD+S△BOM1﹣S△DOM1=5，
即，
，
整理，得3m2﹣5m﹣2=0，
解得，(舍去)
把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3，
∴M1(2，﹣3);
综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或(2，﹣3).(12分)
法二：设存在符合条件的点M(m，m2﹣2m﹣3)，则m>0，
①当M在直线BD上侧时，过M作MG∥y轴，
交DB于G;(如图2)
设D、B到MG距离分别为h1，h2，则
S△BDM=S△DMG﹣S△BMG=5，
即，
整理，得3m2﹣5m﹣22=0;
解得m1=﹣2(舍去)，;
把代入y=m2﹣2m﹣3
得;
∴.(10分)
②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，过M1作M1G1∥y轴，交DB于G1(如图2)
设D、B到M1G1距离分别为h1、h2，则S△BDM=S△DM1G1+S△BM1G1=5，
即，
，
，
整理，得3m2﹣5m﹣2=0，
解得，(舍去)
把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3，
∴M1(2，﹣3);
综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或(2，﹣3).(12分)
法三：①当M在直线BD上侧时，过M作MH∥BD，交y轴于H，连接BH;(如图3)
则S△DHB=S△BDM=5，
即，，
∴DH=，
∴;
∴直线MH解析式为;
联立
得或;
∵M在y轴右侧，
∴M坐标为.(10分)
②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，过M1作M1H1∥BD，交y轴于H1，
连接BH1(如图3)，同理可得，
∴，
∴直线M1H1解析式为，
联立
得或;
∵M1在y轴右侧，
∴M1坐标为(2，﹣3)
综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为或(2，﹣3).(12分)
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