初中八年级下册数学期中试卷
数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题，今天小编就给大家分享一下八年级数学，一起来参考吧
初中八年级下数学期中试卷
一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)
1.(2分)下列汽车的徽标中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.(2分)下列运算正确的是( )
A.a3•a2=a6 B.a12÷a3=a4 C.a2+b2=(a+b)2 D.(a2)3=a6
3.(2分)下列调查适合普查的是( )
A.了解一批灯泡的使用寿命
B.了解“长征三号丙运载火箭”零部件的状况
C.了解“朗读者”的收视率
D.了解公民保护环境的意识
4.(2分)下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB=CD，AD=BC B.AB∥CD，∠B=∠D C.AB∥CD，AD=BC D.AB∥CD，AB=CD
5.(2分)一只不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出三个球，下列事件是必然事件的是( )
A.摸出的三个球中至少有一个黑球
B.摸出的三个球中至少有一个白球
C.摸出的三个球中至少有两个黑球
D.摸出的三个球中至少有两个白球
6.(2分)如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD需要满足的条件是( )
A.AB∥CD B.AC⊥BD C.AD=BC D.AC=BD
7.(2分)如图，将△ABC按逆时针方向旋转130°得到△AB′C，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为( )
A.95° B.100° C.105° D. 110°
8.(2分)我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为( )
A.( ，1) B.(2，1) C.(1， ) D.(2， )
二、填空题(共8小题，每小题2分，满分16分)
9.(2分)计算：20= ， = .
10.(2分)分解因式：a2b﹣b3= .
11.(2分)‘同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是13’这一事件是 .(填‘必然事件’、‘不可能事件’、‘随机事件’)
12.(2分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度.
13.(2分)菱形的边长为2，一个内角等于120°，则这个菱形的面积为 .
14.(2分)从一副扑克牌中拿出6张：3张“J”、2张“Q”、1张“K”，洗匀后将它们背面朝上.从中任取1张，恰好取出 的可能性最大(填“J”或“Q”或“K”).
15.(2分)如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、 F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.若AE=1，则FM的长为 .
16.(2分)如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是 .
三、解答题(本大题共10小题，共68分)
17.(4分)计算：22+|﹣1|+
18.(5分)先化简，再求值：2(3a2b﹣ab2)﹣(﹣ab2+2a2b)，其中a=2，b=﹣1.
19.(5分)解方程组
20.(6分)在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只.某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球几下颜 色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.64 0.58 0.605 0.601
(1)请将表中的数据补充完整.
(2)请估计：当n很大时，摸到白球的概率约是 .(精确到0.01)
21.(8分)如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF=AE，连接DF.
(1)求证DF∥BF;
(2)若∠ABC=70°，求∠CDF的度数.
22.(6分)初中生进入到八年级学习阶段，在数学学习上往往会出现比较明显的两级 分化现象.某区教委对部分学校的七年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查(把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣;B级：对学习较感兴趣;C级：对学习不感兴趣)，并将调查结果绘制成图①和图②的统计图(不完整).
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)此次抽样调查中，共调查了 名学生;
(2)并将图①补充完整;
(3)求出图中C级所占的圆心角的度数.
23.(8分)数学课上，老师要求同学们用直尺和圆规作出一个菱形.
(1)证明小丽作出的四边形ABDC是菱形;
(2)请你按照老师的要求再用一种不同于小丽的方法作一个菱形.(保留作图痕迹，不写作法)
小丽的方法：
(1)作线段BC
(2)作BC的垂直平分线l，交BC于点O;
(3)在直线l上，且在点O的两侧分别取点A、点D，使OA=OD;
(4)顺次连接A、B、C、D.则四边形ABDC为所求作菱形.
24.(8分)如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF.
(1)求证：D是BC的中点;
(2)若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.
25.(8分)在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，连接DF.
(1)说明△BEF是等腰三角形;
(2)折痕EF的长为 .
26.(10分)数学概念
我们把对角线相等的四边形称为等对角线四边形.
回忆旧知
(1)在我们学习过的四边形中，找出一个等对角线四边形，写出它的名称.
知识运用
(2)已知四边形ABCD是等对角线四边形，图①中四边形EFGH的四个顶点分别是四边形ABCD四条边的中点，图②中四边形KLMN的边KL∥MN∥AC，边ML∥NK∥BD，则
A.四边形EFGH、KLMN都是等对角线四边形
B.四边形EFGH、KLMN都不是等对角线四边形
C.四边形EFGH是等对角线四边形，四边形KLMN不是等对角线四边形
D.四边形EFG H不是等对角线四边形，四边形KLMN是等对角线四边形
概念证明
(3)规定：一组对边平行且不相等，另一组对边相等的四边形为“等腰梯形”，请尝试证明等腰梯形是等对角线四边形.
已知：如图③，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，AB=CD.
求证：等腰梯形ABCD是等对角线四边形.
类比迁移
在七年级(下)学习三角形的时候，我们曾用来揭示三角形和一些特殊三角形之间的关系：
(4)请用类似的方法揭示四边形、等对角线四边形、平行四边形、矩形、正方形、等腰梯形之间的关系.
2017-2018学年江苏省南京市秦淮区八年级(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)
1.(2分)下列汽车的徽标中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【解答】解：根据中心对称图形的概念，知：
A是中心对称图形，符合题意;
B、C、D不是中心对称图形，不符合题意.
故选：A.
2.(2分)下列运算正确的是( )
A.a3•a2=a6 B.a12÷a3=a4 C.a2+b2=(a+b)2 D.(a2)3=a6
【解答】解：A、a3•a2=a5，故此选项错误;
B、a12÷a3=a9，故此选项错误;
C、a2+b2，无法计算，故此选项错误;
D、(a2)3=a6，故此选项正确;
故选：D.
3.(2分)下列调查适合普查的是( )
A.了解一批灯泡的使用寿命
B.了解“长征三号丙运载火箭”零部件的状况
C.了解“朗读者”的收视率
D.了解公民保护环境的意识
【解答】解：A、了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故此选项错误;
B、了解“长征三号丙运载火箭”零部件的状况，适合全面调查，故此选项正确;
C、了解“朗读者”的收视率，适合抽样调查，故此选项错误;
D、了解公民保护环境的意识，适合抽样调查，故此选项错误;
故选：B.
4.(2分)下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.AB=CD，AD=BC B.AB∥CD，∠B=∠D C.A B∥CD，AD=BC D.AB∥CD，AB=CD
【解答】解：A、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故A可以判断四边形ABCD是平行四边形;
B、∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠D+∠C=180°，
∴AC∥BD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故B可以判断四边形ABCD是平行四边形;
C、∵AB∥CD，AD=BC，
∴四边形ABCD可能是平行四边形，有可能是等腰梯形.
故C不可以判断四边形ABCD是平行四边形
D、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故D可以判断四边形ABCD是平行四边形;
故选：C.
5.(2分)一只不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出三个球，下列事件是必然事件的是( )
A.摸出的三个球中至少有一个黑球
B.摸出的三个球中至少有一个白球
C.摸出的三个球中至少有两个黑球
D.摸 出的三个球中至少有两个白球
【解答】解：一只不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸3个球，至少有一个球是黑球的事件是必然事件.
故选：A.
6.(2分)如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD需要满足的条件是( )
A.AB∥CD B.AC⊥BD C.AD=BC D.AC=BD
【解答】解：还应满足AD=BC.
理由如下：∵E，F分别是AB，BD的中点，
∴EF∥AD且EF= AD，
同理可得：GH∥AD且GH= AD，EH∥BC且EH= BC，
∴EF∥GH且EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AD=BC，
∴ AD= BC，
即EF=EH，
∴▱EFGH是菱形.
故选：C.
7.(2分)如图，将△ABC按逆时针方向旋转130°得到△AB′C，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为( )
A.95° B.100° C.105° D.110°
【解答】解：∵△ABC按逆时针方向旋转130°得到△AB′C，
∴BA=B′A，∠BAB′=∠CAC′=130°，
∴∠AB′B=∠ABB′= (180°﹣130°)=25°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=25°，
∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠CAB′=130°﹣25°=105°.
故选：C.
8.(2分)我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为( )
A.( ，1) B.(2，1) C.(1， ) D.(2， )
【解答】解：∵AD′=AD=2，
AO= AB=1，
∴OD′= = ，
∵C′D′=2，C′D′∥AB，
∴C′(2， )，
故选：D.
二、填空题(共8小题，每小题2分，满分16分)
9.(2分)计算：20= 1 ， = 2 .
【解答】解：20=1，
=2
故答案为：1，2
10.(2分)分解因式：a2b﹣b3= b(a+b)(a﹣b) .
【解答】解：原式=b(a2﹣b2)=b(a+b)(a﹣b)，
故答案为：b(a+b)(a﹣b)
11.(2分)‘同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是13’这一事件是 不可能事件 .(填‘必然事件’、‘不可能事件’、‘随机事件’)
【解答】解：同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是13，是不可能事件.
故答案为：不可能.
12.(2分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 22.5 度.
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB═OC，
∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∵∠EAC=2∠CAD，
∴∠EAO=∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°，
∴∠AOE=45°，
∴∠OAB=∠OBA= =67.5°，
∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°.
故答案为22.5°.
13.(2分)菱形的边长为2，一个内角等于120°，则这个菱形的面积为 2 .
【解答】解：作AE⊥BC于E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=2，
∴AE=AB•sinB=2×sin60°=2× = ，
∴菱形的面积S=BC•AE=2× =2 .
故答案为2 .
14.(2分)从一副扑克牌中拿出6张：3张“J”、2张“Q”、1张“K”，洗匀后将它们背面朝上.从中任取1张，恰好取出 J 的可能性最大(填“J”或“Q”或“K”).
【解答】解：∵从一副扑克牌中拿出6张：3张“J”、2张“Q”、1张“K”，洗匀后将它们背面朝上，
∴从中任取1张，得到“J”的概率为： = ，从中任取1张，得到“Q”的概率为： = ，
从中任取1张，得到“K”的概率为： ，
∴从中任取1张，恰好取出J的可能性最大.
故答案为：J.
15.(2分)如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.若AE=1，则FM的长为 .
【解答】解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF(SAS) ，
∴EF=MF，
设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，
∴BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x，
∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，
即22+(4﹣x)2=x2，
解得：x= ，
∴FM= .
故答案为： .
16.(2分)如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是 5+ .
【解答】解：作AM⊥BC于M，如图，
∵∠ABC=60°，
∴BM= AB=1，AM= BM= ，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，AD∥CB，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中
，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴四边形ABFE周长=AB+BF+EF+AE=AB+BF+FC+EF=AB+BC+EF=5+EF，
当EF的值最小时，四边形ABFE周长有最小值，此时EF⊥BC，即EF的最小值为 ，
∴四边形ABFE周长的最小值是5+ .
故答案为5+ .
三、解答题(本大题共10小题，共68分)
17.(4分)计算：22+|﹣1|+
【解答】解：原式=4+1+3
=8.
18.(5分)先化简，再求值：2(3a2b﹣ab2)﹣(﹣ab2+2a2b)，其中a=2，b=﹣1.
【解答】解：当a=2，b=﹣1时，
原式=6a2b﹣2ab2+ab2﹣2a2b
=4a2b﹣ab2
=4×4×(﹣1)﹣2×1
=﹣16﹣2
=﹣18
19.(5分)解方程组
【解答】解： ，
①×3，得：3x+9y=﹣3 ③，
③﹣①，得：11y=﹣11，
解得：y=﹣1，
将y=﹣1代入①，得：x﹣3=﹣1，
解得：x=2，
则方程组的解为 .
20.(6分)在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只.某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球几下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
(1)请将表中的数据补充完整.
(2)请估计：当n很大时，摸到白球的概率约是 0.60 .(精确到0.01)
【解答】解：(1)填表如下：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
故答案为：0.58，0.59;
(2)当n很大时，摸到白球的概率约是0.60，
故答案为：0.60.
21.(8分)如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF=AE，连接DF.
(1)求证DF∥BF;
(2)若∠ABC=70°，求∠CDF的度数.
【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵CF=AE，
∴DE=BF，∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DF∥BE.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF= ∠ABC=35°，
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴∠EBF=∠EDF=35°，
∴∠CDF=∠ADC﹣∠ EDF=35°.
22.(6分)初中生进入到八年级学习阶段，在数学学习上往往会出现比较明显的两级分化现象.某区教委对部分学校的七年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查(把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣;B级：对学习较感兴趣;C级：对学习不感兴趣)，并将调查结果绘制成图①和图②的统计图(不完整).
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)此次抽样调查中，共调查了 200 名学生;
(2)并将图①补充完整;
(3)求出图中C级所占的圆心角的度数.
【解答】解：(1)此次调查的学生总人数为50÷25%=200人，
故答案为：200;
(2)∵C层级的百分比为1﹣25%﹣60%=15%，
∴C层级的人数为200×15%=30人，
补全条形图如下：
(3)图中C级所占的圆心角的度数为360°×15%=54°.
23.(8分)数学课上，老师要求同学们用直尺和圆规作出一个菱形.
(1)证明小丽作出的四边形ABDC是菱形;
(2)请你按照老师的要求再用一种不同于小丽的方法作一个菱形.(保留作图痕迹，不写作法)
小丽的方法：
(1)作线段BC
(2)作BC的垂直平分线l，交BC于点O;
(3)在直线l上，且在点O的两侧分别取点A、点D，使OA=OD;
(4)顺次连接A、B、C、D.则四边形ABDC为所求作菱形.
【解答】(1)证明：∵BO=OC，AO=OD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∵AD⊥BC，
∴四边形ABDC是菱形;
(2)菱形ABDC如图所示：
24.(8分 )如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF.
(1)求证：D是BC的中点;
(2)若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.
【解答】(1)证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵点E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD，
∴D是BC的中点;
(2)解：若AB=AC，则四边形AFBD是矩形.理由如下：
∵△AEF≌△DEC，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD;
∵AF∥BD，AF= BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AFBD是矩形.
25.(8分)在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，连接DF.
(1)说明△BEF是等腰三角形;
(2)折痕EF的长为 .
【解答】解：(1)∵现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，
∴∠DEF=∠BEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
即△BEF是等腰三角形;
(2)过E作EM⊥BC于M，则四边形ABME是矩形，
所以EM=AB=6，AE=BM，
∵现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，
∴DE=BE，DO=BO，BD⊥EF，
∵四边形ABCD是矩形，BC=8，
∴AD=BC=8，∠BAD=90°，
在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，
即(8﹣BE)2+62=BE2，
解得：BE= =DE=BF，
AE=8﹣DE=8﹣ = =BM，
∴FM= ﹣ = ，
在Rt△EMF中，由勾股定理得：EF= = ，
故答案为： .
26.(10分)数学概念
我们把对角线相等的四边形称为等对角线四边形.
回忆旧知
(1)在我们学习过的四边形中，找出一个等对角线四边形，写出它的名称.
知识运用
(2)已知四边形ABCD是等对角线四边形，图①中四边形EFGH的四个顶点分别是四边形ABCD四条边的中点，图②中四边形KLMN的边KL∥MN∥AC，边ML∥NK∥BD，则 B
A.四边形EFGH、KLMN都是等对角线四边形
B.四边形EFGH、KLMN都不是等对角线四边形
C.四边形EFGH是等对角线四边形，四边形KLMN不是等对角线四边形
D.四边形EFGH不是等对角线四边形，四边形 KLMN是等对角线四边形
概念证明
(3)规定：一组对边平行且不相等，另一组对边相等的四边形为“等腰梯形”，请尝试证明等腰梯形是等对角线四边形.
已知：如图③，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，AB=CD.
求证：等腰梯形ABCD是等对角线四边形.
类比迁移
在七年级(下)学习三角形的时候，我们曾用来揭示三角形和一些特殊三角形之间的关系：
(4)请用类似的方法揭示四边形、等对角线四边形、平行四边形、矩形、正方形、等腰梯形之间的关系.
【解答】解：(1)在我们学习过的四边形中，矩形属于等对角线四边形.
(2)∵四边形ABCD是等对角线四边形，
∴AC=BD，
又∵图①中四边形EFGH的四个顶点分别是四边形ABCD四条边的中点，图②中四边形KLMN的边KL∥MN∥AC，边ML∥NK∥BD，
∴四边形EFGH是菱形，四边形KLMN是菱形，
∴四边形EFGH、KLMN都不是等对角线四边形，
故选：B;
(3)证明：过点D作DE∥AB，交BC于点E.
∴∠ABE=∠DEC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE，
又∵AB=DC，
∴DE=DC，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠ABE=∠DCE，即∠ABC=∠DCB，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠BAD=∠CDA，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
∴AC=BD.
方法二：
证明：分别过点A、D作AE⊥BC于点E、DF⊥BC于点F.
∴∠AEF=∠DFC=90°，
∴AE∥DF，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE=DF，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
∴∠ABE=∠DCF，即∠ABC=∠DCB，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠BAD=∠CDA，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
∴AC=BD.
(4)四边形、等对角线四边形、平行四边形、矩形、正方形、等腰梯形之间的关系，如图所示.
八年级数学下期中考试题参考
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.(3分)方程x(x﹣2)=3x的解为( )
A.x=5 B.x1=0，x2=5 C.x1=2，x2=0 D.x1=0，x2=﹣5
2.(3分)在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 2 3 2 3 4 1
则这些运动员成绩的中位数、众数分别为( )
A.1.65、1.70 B.1.65、1.75 C.1.70、1.75 D.1.70、1.70
3.(3分)不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A.AB∥CD，AD=BC B.AB∥CD，∠A=∠C C.AD∥BC，AD=BC D.∠A=∠C，∠B=∠D
4.(3分)实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是( )
A.﹣2a+b B.2a﹣b C.﹣b D.b
5.(3分)如图，在平行四边形ABCD中，都不一定成立的是( )
①AO=CO;②AC⊥BD;③AD∥BC;④∠CAB=∠CAD.
A.①和④ B.②和③ C.③和④ D.②和④
6.(3分)若关于x的方程mx2﹣mx+2=0有两个相等的实数根，则m的值为( )
A.0 B.8 C.4或8 D.0或8
7.(3分)利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设( )
A.直角三角形的每个锐角都小于45°
B.直角三角形有一个锐角大于45°
C.直角三角形的每个锐角都大于45°
D.直角三角形有一个锐角小于45°
8.(3分)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为( )
A.14 B.13 C.12 D.10
9.(3分)摩拜共享单车计划2017年10、11、12月连续3月对深圳投放新型摩拜单车，计划10月投放深圳3000台，12月投放6000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x，则可列方程( )
A.3000(1+x)2=6000
B.3000(1+x)+3000(1+x)2=6000
C.3000(1﹣x)2=6000
D.3000+3000(1+x)+3000(1+x)2=6000
10.(3分)如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且∠AED=90°+ ∠C，则BC+2AE等于( )
A.AB B.AC C. AB D. AC
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.(3分)计算：( + )× = .
12.(3分)已知一组数据：3，3，4，5，5，则它的方差为 .
13.(3分)已知x2+6x=﹣1可以配成(x+p)2=q的形式，则q= .
14.(3分)某公司前年缴税200万元，今年缴税338万元，则该公司这两年缴税的年均增长率为 .
15.(3分)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，则△ADE的面积是 .
16.(3分)如图，在▱ABCD中，∠D=100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE.若AE=AB，则∠EBC的度数为 .
17.(3分)如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为 °.
18.(3分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F.则四边形AFBD的面积为 .
三、解答题(本大题共7小题，19-23每题6分，24-25每题8分，共46分)
19.(6分)计算：
(1)3 ﹣ ﹣
(2) (2 +4 ﹣3 )
20.(6分)解方程：
(1)3(x﹣1)2=x(x﹣1)
(2)x2+1=3x.
21.(6分)为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击成绩进行了测试，5次打靶命中的环数如下：
甲：8，7，9，8，8;乙：9，6，10，8，7;
(1)将下表填写完整：
平均数 中位数 方差
甲 8
乙 8 2
(2)根据以上信息，若你是教练，你会选择谁参加射击比赛，理由是什么?
(3)若乙再射击一次，命中8环，则乙这六次射击成绩的方差会 .(填“变大”或“变小”或“不变”)
22.(6分)某化肥厂去年四月份生产化肥500吨，因管理不善，五月份的产量减少了10%，从六月起强化管理，该厂产量逐月上升，七月份产量达到648吨.
(1)该厂五月份的产量为 吨;(直接填结果)
(2)求六、七两月产量的平均增长率.
23.(6分)如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC.
(1)求证：△ABC≌△DFE;
(2)连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形.
24.(8分)△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG.
25.(8分)如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：(画出图形，把截去的部分打上阴影)
①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了180°.
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等.
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°.
(2)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数.
四、附加题(本题有2小题，每题10分，共20分)
26.(10分)如图所示中的几个图形是五角星和它的变形.
(1)图甲中是一个五角星形状，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°;
(2)图甲中的点A向下移到BE上时(如图乙)五个角的和(即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E)有无变化?试说明理由
(3)把图乙中的点C向上移动到BD上时(如图丙所示)，五个角的和(即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E)有无变化?试说明理由.
27.(10分)如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF=BE，连接EC并延长，使CG=CE，连接FG.H为FG的中点，连接DH.
(1)求证：四边形AFHD为平行四边形;
(2)若CB=CE，∠EBC=75°，∠DCE=10°，求∠DAB的度数.
2017-2018学年浙江省衢州市八年级(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.(3分)方程x(x﹣2)=3x的解为( )
A.x=5 B.x1=0，x2=5 C.x1=2，x2=0 D.x1=0，x2=﹣5
【解答】解：x(x﹣2)=3x，
x(x﹣2)﹣3x=0，
x(x﹣2 ﹣3)=0，
x=0，x﹣2﹣3=0，
x1=0，x2=5，
故选：B.
2.(3分)在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 2 3 2 3 4 1
则这些运动员成绩的中位数、众数分别为( )
A.1.65、1.70 B.1.65、1.75 C.1.70、1.75 D.1.70、1.70
【解答】解：共15名学生，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳高成绩为1.70m，故中位数为1.70;
跳高成绩为1.75m的人数最多，故跳高成绩的众数为1.75;
故选：C.
3.(3分)不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A.AB∥CD，AD=BC B.AB∥CD，∠A=∠C C.AD∥BC，AD=BC D.∠A=∠C，∠B=∠D
【解答】解：A、“AB∥CD，AD=BC”是四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，该四边形可以是等腰梯形，不可以判定四边形ABCD是平行四边形.故本选项符合题意;
B、根据“AB∥CD，∠A=∠C”可以判定AD∥BC，由“两组对边相互平行的四边形为平行四边形”可以判定四边形ABCD为平行四边形.故本选项不符合题意;
C、“AD∥BC，AD=BC”是四边形ABCD的一组对边平行且相等，可以判定四边形ABCD是平行四边形.故本选项不符合题意;
D、“∠A=∠C，∠B=∠D”是四边形ABCD的两组对角相等，可以判定四边形ABCD是平行四边形;故本选项不合题意;
故选：A.
4.(3分)实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是( )
A.﹣2a+b B.2a﹣b C.﹣b D.b
【解答】解：由图可知：a<0，a﹣b<0，
则|a|+
=﹣a﹣(a﹣b)
=﹣2a+b.
故选：A.
5.(3分)如图，在平行四边形ABCD中，都不一定成立的是( )
①AO=CO;②AC⊥BD;③AD∥BC;④∠CAB=∠CAD.
A.①和④ B.②和③ C.③和④ D.②和④
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，故①成立;
AD∥BC，故③成立;
利用排除法可得②与④不一定成立，
∵当四边形是菱形时，②和④成立.
故选：D.
6.(3分)若关于x的方程mx2﹣m x+2=0有两个相等的实数根，则m的值为( )
A.0 B.8 C.4或8 D.0或8
【解答】解：根据题意得△=(﹣m)2﹣4•m•2=0，解得m1=0，m2=8，
而m≠0，
所以m的值为8.
故选：B.
7.(3分)利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设( )
A.直角三角形的每个锐角都小于45°
B.直角三角形有一个锐角大于45°
C.直角三角形的每个锐角都大于45°
D.直角三角形有一个锐角小于45°
【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于45°.
故选：A.
8.(3分)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为( )
A.14 B.13 C.12 D.10
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18，
∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，AD∥BC，
∴CD+AD=9，∠OAE=∠OCF，
在△AEO和△CFO中， ，
∴△AEO≌△CFO(ASA)，
∴OE=OF=1.5，AE=CF，
则EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=(DE+CF)+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12.
故选：C.
9.(3分)摩拜共享单车计划2017年10、11、12月连续3月对深圳 投放新型摩拜单车，计划10 月投放深圳3000台，12月投放6000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x，则可列方程( )
A.3000(1+x)2=6000
B.3000(1+x)+3000(1+x)2=6000
C.3000(1﹣x)2=6000
D.3000+3000(1+x)+3000(1+x)2=6000
【解答】解：设增长率为x，由题意得
3000(1+x)2=6000.
故选：A.
10.(3分)如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且∠AED=90°+ ∠C，则BC+2AE等于( )
A.AB B.AC C. AB D. AC
【解答】解：如图，过点B作BF∥DE交AC于点F.则∠BFC=∠DEF.
又∵点D是AB的中点，
∴EF=AE.
∵∠DEF=∠BFC=180°﹣∠AED=180°﹣(90°+ ∠C)=90°﹣ ∠C，
∴∠FBC=∠BFC，
∴BC=FC，
∴BC+2AE=AC.
故选：B.
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.(3分)计算：( + )× = 13 .
【解答】解：原式=(2 + )×
= ×
=13.
故答案为13.
12.(3分)已知一组数据：3，3，4，5，5，则它的方差为 .
【解答】解：这组数据的平均数是：(3+3+4+5+5)÷5=4，
则这组数据的方差为： [(3﹣4)2+(3﹣4)2+(4﹣4)2+(5﹣4)2+(5﹣4)2]= .
故答案为：
13.(3分)已知x2+6x=﹣1可以配成(x+p)2=q的形式，则q= 8 .
【解答】解：x2+6x+9=8，
(x+3)2=8.
所以q=8.
故答案为8.
14.(3分)某公司前年缴税200万元，今年缴税338万元，则该公司这两年缴税的年均增长率为 30% .
【解答】解：设该公司这两年缴税的年均增长率为x，
依题意得：200(1+x)2=338，
解得x=0.3=30%.
故答案是：30%.
15.(3分 )如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，则△A DE的面积是 6 .
【解答】解：∵D、E分别为AC、AB的中点，
∴AD= AC=4，DE= BC=3，DE∥BC，
∴∠ADE=∠C=90°，
∴△ADE的面积= ×AD×DE=6，
故答案为：6.
16.(3分)如图，在▱ABCD中，∠D=100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE.若AE=AB，则∠EBC的度数为 30° .
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=100°，AB∥CD，
∴∠BAD=180°﹣∠D=80°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE=80°÷2=40°，
∵AE=AB，
∴∠ABE=(180°﹣40°)÷2=70°，
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=30°;
故答案为：30°.
17.(3分)如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为 95 °.
【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=100°，∠C=70°，
∴∠BMF=100°，∠FNB=70°，
∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，
∴∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，
∴∠F=∠B=180°﹣50°﹣35°=95°，
∴∠D=360°﹣100°﹣70°﹣95°=95°.
故答案为：95.
18.(3分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC、AD的中点，AF∥BC交CE的延长线于F.则四边形AFBD的面积为 12 .
【解答】解：∵AF∥BC，
∴∠AFC=∠FCD，
在△AEF与△DEC中，
∴△AEF≌△DEC(AAS).
∴AF=DC，
∵BD=DC，
∴AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴S四边形AFBD=2S△ABD，
又∵BD=DC，
∴S△ABC=2S△ABD，
∴S四边形AFBD=S△ABC，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，
∴S△ABC= AB•AC= ×4×6=12，
∴S四边形AFBD=12.
故答案为：12
三、解答题(本大题共7小题，19-23每题6分，24-25每题8分，共46分)
19.(6分)计算：
(1)3 ﹣ ﹣
(2) (2 +4 ﹣3 )
【解答】解：(1)原式=6 ﹣3 ﹣
= ;
(2)原式= (4 + ﹣12 )
= ( ﹣8 )
=2﹣8 .
20.(6分)解方程：
(1)3(x﹣1)2=x(x﹣1)
(2 )x2+1=3x.
【解答】解：(1)方程整理，得
3(x﹣1)2﹣x(x﹣1)=0
因式分解，得
(x﹣1)[3(x﹣1)﹣x]=0
于是，得
x﹣1=0或2x﹣3=0，
解得x1=1，x2= ;
(2)方程整理，得
x2﹣3x+1=0
∵a=1，b=﹣3，c=1，
∴△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×1=5>0，
∴x= = ，
即x1= ，x2= .
21.(6分)为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击成绩进行了测试，5次打靶命中的环数如下：
甲：8，7，9，8，8;乙：9，6，10，8，7;
(1)将下表填写完整：
平均数 中位数 方差
甲 8 8 0.4
乙 8 8 2
(2)根据以上信息，若你是教练，你会选择谁参加射击比赛，理由是什么?
(3)若乙再射击一次，命中8环，则乙这六次射击成绩的方差会 变小 .(填“变大”或“变小”或“不变”)
【解答】解：(1)甲平均数为(8+7+9+8+8)÷5=8，
甲的方差为： [(8﹣8)2+(7﹣8)2+(9﹣8)2+(8﹣8)2+(8﹣8)2]=0.4，
乙的环数排序后为：6，7，8，9，10，故中位数为8;
故答案为：8，0.4，8;
(2)选择甲.理由是甲的成绩较稳定.
(3)若乙 再射击一次，命中8环，则乙这六次射击成绩的方差为：
[(9﹣8)2+(6﹣8)2+(10﹣8)2+(8﹣8)2+(7﹣8)2+(8﹣8)2]= <2，
∴方差会变小.
故答案为：变小.
22.(6分)某化肥厂去年四月份生产化肥500吨，因管理不善，五月份的产量减少了10%，从六月起强化管理，该厂产量逐月上升，七月份产量达到648吨.
(1)该厂五月份的产量为 450 吨;(直接填结果)
(2)求六、七两月产量的平均增长率.
【解答】解 ：(1)500(1﹣10%)=450(吨)，
故答案为：450;
(2)设六、七两个月的产量平均增长率为x，依题意得：
450(1+x)2=648，
(1+x)2=1.44，
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2=﹣220%(不合题意舍去)，
答：六、七两月产量的平均增长率为20%.
23.(6分)如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC.
(1)求证：△ABC≌△DFE;
(2)连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形.
【解答】证明：(1)∵BE=FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DFE中， ，
∴△ABC≌△DFE(SSS);
(2)解：如图所示：
由(1)知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB∥DF，
∵AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形.
24.(8分)△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG.
【解答】证明：连接DE，FG，
∵BD，CE是△ABC的中位线，
∴D，E是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE= BC，
同理：FG∥BC，FG= BC，
∴DE∥FG，DE=FG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴EF∥DG，EF=DG.
25.(8分)如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：(画出图形，把截去的部分打上阴影)
①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了1 80°.
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等.
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°.
(2)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为2520°，求原多边形的边数.
【解答】解：(1)如图所示：
(2)设新多边形的边数为n，
则(n﹣2)•180°=2520°，
解得n=16，
①若截去一个 角后边数增加1，则原多边形边数为15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
故原多边形的边数可以为15，16或17.
四、附加题(本题有2小题，每题10分，共20分)
26.(10分)如图所示中的几个图形是五角星和它的变形.
(1)图甲中是一个五角星形状，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°;
(2)图甲中的点A向下移到BE上时(如图乙)五个角的和(即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E)有无变化?试说明理由
(3)把图乙中的点C向上移动到BD上时(如图丙所示)，五个角的和(即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E)有无变化?试说明理由.
【解答】解：(1)如图：
由三角形外角的性质，得
∠C+∠E=∠1，∠B+∠D=∠2.
由三角形的内角和定理，得∠A+∠1+∠2=180°，
等量代换，得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180゜;
(2)如图：
由三角形外角的性质，得∠C+∠E=∠1，∠A+∠D=∠2，
由三角形的内角和定理，得∠B+∠1+∠2=180°，
等量代换，得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180゜;
(3)∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD=∠B+∠E(三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和)，
∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠CAD+∠ACE+∠D+∠ECD=∠CAD+∠ACD+∠D=180°，
故∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E等于180°，没有变化.
27.(10分)如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF=BE，连接EC并延长，使CG=CE，连接FG.H为FG的中点，连接DH.
(1)求证：四边形AFHD为平行四边形;
(2)若CB=CE，∠EBC=75°，∠DCE=10°，求∠DAB的度数.
【解答】(1)证明：∵BF=BE，CG=CE，
∴BC为△FEG的中位线，
∴BC∥FG，BC= FG，
又∵H是FG的中点，
∴FH= FG，
∴BC=FH.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AD∥FH，AD=FH，
∴四边形AFHD是平行四边形;
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠DCB，
∵CE=CB，
∴∠BEC=∠EBC=75°，
∴∠BCE=180°﹣75°﹣75°=30°，
∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=10°+30°=40°，
∴∠DAB=40°.
八年级数学下学期期中试卷
一、选择题：(本大题共8小题，每小题2分，共16分.)
1.(2分)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.(2分)若分式 的值为零，则( )
A.x=3 B.x=﹣3 C.x=2 D.x=﹣2
3.(2分)若反比例函数的图象经过点(﹣2，3)，则该反比例函数图象一定经过点( )
A.(2，﹣3) B.(﹣2，﹣3) C.(2，3) D.(﹣1，﹣6)
4.(2分)一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球，这些球除了颜色外其余都相同，从中随机摸出3个小球，则事件“所摸3个球中必含有红球”是( )
A.确定事件 B.必然事件 C.不可能事件 D.随机事件
5.(2分)如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C，且点A在边A′B′上，则旋转角的度数为( )
A.65° B.60° C.50° D.40°
6.(2分)如图，在平行四边形ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且DM=2，平行四边形ABCD的周长是14，则BC的长等于( )
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
7.(2分)如图，P为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出以下4个结论：①AP=EF;②AP⊥EF;③EF最短长度为 ;④若∠BAP=30°时，则EF的长度为2.其中结论正确的有( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
8.(2分)如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y= (x>0)与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k= ( )
A. B. C. D.12
二、填空题：(本大题共10小题，每小题2分，共20分.)
9.(2分)分式 有意义的x的取值范围为 .
10.(2分)分式 、 的最简公分母是 .
11.(2分)在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干只.某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放回袋中，不断重复.下表是活动中的一组数据，则摸到白球的概率约是 .
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率m/n 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
12.(2分)关于x的方程 +1= 有增根，则a的值为 .
13.(2分)若点A(a，b)在反比例函数y= 的图象上，则代数式ab﹣4的值为 .
14.(2分)▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB= .
15.(2分)已知一个菱形的边长为5，其中一条对角线长为8，则这个菱形的面积为 .
16.(2分)如图，菱形ABCD中，P为AB中点，∠A=60°，折叠菱形ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经 过点D的折痕DE，则∠DEC的大小为 °.
17.(2分)函数yl=x(x≥0)， (x>0)的图象如图所示，则结论：
①两函数图象的交点A的坐标为(3，3);
②当x>3时，y2>y1;
③当x=1时，BC=8;
④当x逐渐增大时，yl随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小.
其中正确结论的序号是 .
18.(2分)如图，矩形△ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD中点，P为AB边上一动点(含端点)，F为CP中点，则△CEF的周长最小值为 .
三、解答题：(本大题共10小题，共64分)
19.(6分)化简
(1) ﹣ ;
(2)1﹣ .
20.(4分)解方程： ﹣ =1;
21.(5分)先化简，再求值： ÷(1﹣ )[其中，x= ]
22.(5分)2015年3月30日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩(得分取正整数，满分为100分)进行统计.请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
频率分布表
分数段 频数 频率
50.5～60.5 16 0.08
60.5～70.5 40 0.2
70.5～80.5 50 0.25
80.5～90.5 m 0.35
90.5～100.5 24 n
(1)这次抽取了 名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m= ，n= ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若成绩在70分以下(含70分)的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人?
23.(6分)如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE.
(1)求证：△ABC≌△EAD;
(2)若∠B=65°，∠EAC=25°，求∠AED的度数.
24.(6分)已知，在平面直角坐标系xOy中，函数y= (x>0)的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的交点为A(m，2).
(1)求一次函数的解析式;
(2)设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B，若P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是6，求点P的坐标.
25.(7分)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥BC且DE= AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F.
(1)求证：OE=CD;
(2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°.求AE的长.
26.(7分)某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x(元)与日销售量y(个)之间有如下关系：
日销售单价x(元) 3 4 5 6
日销售量y(个) 20 15 12 10
(1)猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象;
(2)设经营此贺卡的销售利润为W元，求出W与x之间的函数关系式，
(3)若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润?最大利润是多少元?
27.(9分)如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E(3，4).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线 过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标;
(3)连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明.
28.(9分)在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA=3 .分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.
(1)求点B的坐标;
(2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，直线DE交x轴于点F，过点E作EG⊥x轴于G，且EG：OG=2.求直线DE的解析式;
(3)点M是(2)中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在，请求出点N的坐标;若不存在，请说明理由.
参考答案与试题解析
一、选择题：(本大题共8小题，每小题2分，共16分.)
1.(2分)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意;
B、不是轴对称图形，也不是中心对称的图形，故本选项不符合题意;
C、不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意;
D、是轴对称图形，也是中心对称的图形，故本选项符合题意.
故选：D.
2.(2分)若分式 的值为零，则( )
A.x=3 B.x=﹣3 C.x=2 D.x=﹣2
【解答】解：由题意得：x+2=0，且x﹣3≠0，
解得：x=﹣2，
故选：D.
3.(2分)若反比例函数的图象经过点(﹣2，3)，则该反比例函数图象一定经过点( )
A.(2，﹣3) B.(﹣2，﹣3) C. (2，3) D.(﹣1，﹣6)
【解答】解：设反比例函数的解析式为：y= ，
反比例函数的图象经过点(﹣2，3)，
∴k=﹣6，即解析式为y=﹣ ，
A、满足;B、不满足;C、不满足;D、不满足，
故选：A.
4.(2分)一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球，这些球除了颜色外其余都相同，从中随机摸出3个小球，则 事件“所摸3个球中必含有红球”是( )
A.确定事件 B.必然事件 C.不可能事件 D.随机事件
【解答】解：∵盒子中装有3个红球，2个黄球，
∴从中随机摸出3个小球，则事件“所摸3个球中必含红球”是必然事件，
故选：B.
5.(2分)如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C，且点A在边A′B′上，则旋转角的度数为( )
A.65° B.60° C.50° D.40°
【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=25°，
∴∠BAC=65°，
∵以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C，且点A在边A′B′上，
∴CA=CA′，∠A′=∠BAC=65°，∠ACA′等于旋转角，
∴∠CAA′=∠A′=65°，
∴∠ACA′=180°﹣65°﹣65°=50°，
即旋转角的度数为50°.
故选：C.
6.(2分)如图，在平行四边形ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且DM=2，平行四边形ABCD的周长是14，则BC的长等于( )
A.2 B.2.5 C.3 D.3.5
【解答】解：∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM=∠CBM，
∵AB∥CD，
∴∠ABM=∠BMC，
∴∠BMC=∠CBM，
∴BC=MC，
∵▱ABCD的周长是14，
∴BC+CD=7，
∴BC+BC+DM=7，
∵DM=2，
∴BC=2.5，
故选：B.
7.(2分)如图，P为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出以下4个结论：①AP=EF;②AP⊥EF;③EF最短长度为 ;④若∠BAP=30°时，则EF的长度为2.其中结论正确的有( )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
【解答】解：
①如图，连接PC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中
∴△ABP≌△CBP(SAS)，
∴AP=PC，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，且∠FCE=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC=EF，
∴AP=EF，故①正确;
②延长AP交BC于点G，
由①可得∠PCE=∠PFE=∠BAP，
∵PE∥AB，
∴∠EPG=∠BAP，
∴∠EPG=∠PFE，
∵∠EPF=90°，
∴∠EPG+∠PEF=∠PEG+∠PFE=90°，
∴AP⊥EF，故②正确;
③当AP⊥BD时，AP有最小值 ，此时P为BD的中点，
由①可知EF=AP，
∴EF的最短长度为 ，故③正确;
④当点P在点B或点D位置时，AP=AB=2，
∴EF=AP≤2，
∴当∠BAP=30°时，AP<2，
即EF的长度不可能为2，故④不正确;
综上可知正确的结论为①②③，
故选：A.
8.(2分)如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y= (x>0)与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=( )
A. B. C. D.12
【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
设B点的坐标为(a，b)，
∵BD=3AD，
∴D( ，b)，
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴ =k，∴E(a， )，
∵S△ODE=S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE=ab﹣ ﹣ k﹣ •(b﹣ )=9，
∴k= ，
故选：C.
二、填空题：(本大题共10小题，每小题2分，共20分.)
9.(2分)分式 有意义的x的取值范围为 x≠1 .
【解答】解：当分母x﹣1≠0，即x≠1时，分式 有意义.
故答案是：x≠1.
10.(2分)分式 、 的最简公分母是 6x3y2 .
【解答】解：分式 、 的最简公分母是6x3y2，
故答案为6x3y2.
11.(2分)在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干只.某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放回袋中 ，不断重复.下表是活动中的一组数据，则摸到白球的概率约是 0.6 .
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率m/n 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
【解答】解：观察表格得：通过多次摸球实验后发现其中摸到白球的频率稳定在0.6左右，
则P白球=0.6.
故答案为0.6.
12.(2分)关于x的方程 +1= 有增根，则a的值为 2 .
【解答】解：方程两边都乘(x﹣2)，得
x+x﹣2=a，即a=2x﹣2.
分式方程的增根是x=2，
∵原方程增根为x=2，
∴把x=2代入整式方程，得a=2，
故答案为：2.
13.(2分)若点A(a，b)在反比例函数y= 的图象上，则代数式ab﹣4的值为 ﹣2 .
【解答】解：∵点A(a，b)在反比例函数y= 的图象上，
∴b= ，即ab=2，
∴ab﹣4=2﹣4=﹣2.
故答案为：﹣2.
14.(2分)▱ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB= 9 .
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD;
又∵△OAB的周长比△OBC的周长大3，
∴AB+OA+OB﹣(BC+OB+OC)=3
∴AB﹣BC=3，
又∵▱ABCD的周长是30，
∴AB+BC=15，
∴AB=9.
故答案为9.
15.(2分)已知一个菱形的边长为5，其中一条对角线长为8，则这个菱形的面积为 24 .
【解答】解：如图，∵菱形ABCD中，BD=8，AB=5，
∴AC⊥BD，OB= BD=4，
∴OA= =3，
∴AC=2OA=6，
∴这个菱形的面积为： AC•BD= ×6×8=24.
故答案为：24.
16.(2分)如图，菱形ABCD中，P为 AB中点，∠A=60°，折叠菱形ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC的大小为 75 °.
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30° ，
∴∠PDC=90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，
在 △DEC中，∠DEC=180°﹣(∠CDE+∠C)=75°.
故答案为：75.
17.(2分)函数yl=x(x≥0)， (x>0)的图象如图所示，则结论：
①两函数图象的交点A的坐标为(3，3);
②当x>3时，y2>y1;
③当x=1时，BC=8;
④当x逐渐增大时，yl随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小.
其中正确结论的序号是 ①③④ .
【解答】解：①根据题意列解方程组 ，
解得 ， ;
∴这两个函数在第一象限内的交点A的坐标为(3，3)，故①正确;
②当x>3时，y1在y2的上方，故y1>y2，故②错误;
③当x=1时，y1=1，y2= =9，即点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(1，9)，所以BC=9﹣1=8，故③正确;
④由于y1=x(x≥0)的图象自左向右呈上升趋势，故y1随x的增大而增大，
y2= (x>0)的图象自左向右呈下降趋势，故y2随x的增大而减小，故④正确.
因此①③④正确，②错误.
故答案为 ：①③④.
18.(2分)如图，矩形△ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD中点，P为AB边上一动点(含端点)，F为CP中点，则△CEF的周长最小值为 +1 .
【解答】解：∵E为CD中点，F为CP中点，
∴EF= PD，
∴C△CEF=CE+CF+EF=CE+ (CP+PD)= (CD+PC+PD)= C△CDP，
∴当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小;
即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小;
如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，
∵AD=AD′=BC，AD′∥BC，
∴四边形AD′BC是平行四边形，
∴AP=PB=1，PD′=PC，
∴CP=PD= ，
∴C△CEF= C△CDP= +1，
故答案为： +1.
三、解答题：(本大题共10小题，共64分)
19.(6分)化简
(1) ﹣ ;
(2)1﹣ .
【解答】解：(1)原式=
=
=a﹣1;
(2)原式=1﹣ •
=1﹣
= ﹣
=﹣ .
20.(4分)解方程： ﹣ =1;
【解答】解：去分母得：x2+4x+4﹣4=x2﹣4，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解.
21.(5分)先化简，再求值： ÷(1﹣ )[其中，x= ]
【解答】解：原式= ÷ = • = ，
当x= 时，原式= = .
22.(5分)2015年3月30日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩(得分取正整数，满分为100分)进行统计.请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题：
频率分布表
分数段 频数 频率
50.5～60.5 16 0.08
60.5～70.5 40 0.2
70.5～80.5 50 0.25
80.5～90.5 m 0.35
90.5～100.5 24 n
(1)这次抽取了 200 名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m= 70 ，n= 0.12 ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若成绩在70分以下(含70分)的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人?
【解答】解：(1)16÷0.08=200，
m=200×0.35=70，n=24÷200=0.12;
故答案为200，70;0.12;
(2)如图，
(3)1500×(0.08+0.2)=420，
所以该校安全意识不强的学生约有420人.
23.(6分)如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE.
(1)求证：△ABC≌△EAD;
(2)若∠B=65°，∠EAC=25°，求∠AED的度数.
【解答】(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC=AD，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠B=∠EAD，
在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD(SAS).
(2)解：∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠BAE=50°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=50°+25°=75°，
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED=∠BAC=75°.
24.(6分)已知，在平面直角坐标系xOy中，函数y= (x>0)的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的交点为A(m，2).
(1)求一次函数的解析式;
(2)设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B，若P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是6，求点P的坐标.
【解答】解：(1)根据题意，将点A(m，2)代入y= ，
得：2= ，
解得：m=2，
即点A(2，2)，
将点A(2，2)代入y=kx﹣k，得：2=2k﹣k，
解得：k=2，
∴一次函数的解析式为y=2x﹣2;
(2)如图，
∵一次函数y=2x﹣2与x轴的交点为C(1，0)，与y轴的交点为B(0，﹣2)，
S△ABP=S△ACP+S△BPC，
∴ ×2CP+ ×2CP=6，
解得CP=3，
则P点坐标为(4，0)，(﹣2，0).
25.(7分)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥BC且DE= AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F.
(1)求证：OE=CD;
(2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°.求AE的长.
【解答】(1)证明：在菱形ABCD中，OC= AC.
∴DE=OC.
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形.
∴OE=CD.
(2)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=2.
∴在矩形OCED中，
CE=OD= .
在Rt△ACE中，
AE= .
26.(7分)某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x(元)与日销售量y(个)之间有如下关系：
日销售单价x(元) 3 4 5 6
日销售量y(个) 20 15 12 10
(1)猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象;
(2)设经营此贺卡的销售利润为W元，求出W与x之间的函数关系式，
(3)若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润?最大利润是多少元?
【解答】解：(1)由表可知，xy=60，
∴y= (x>0)，
函数图象如下：
(2)根据题意，得：
W=(x﹣2)•y
=(x﹣2)•
=60﹣ ;
(3)∵x≥10，
∴﹣ ≤﹣12，
则60﹣ ≤48，
即当x=10时，W取得最大值，最 大值为48元，
答：当日销售单价x定 为10元/个时，才能获得最大日销售利润，最大利润是48元.
27.(9分)如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E(3，4).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D， 直线 过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标;
(3)连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明.
【解答】解：(1)设反比例函数的解析式y= ，
∵反比例函数的图象过点E(3，4)，
∴4= ，即k=12.
∴反比例函数的解析式y= ;
(2)∵正方形AOCB的边长为4，
∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4.
∵点D在反比例函数的图象上，
∴点D的纵坐标为3，即D(4，3).
∵点D在直线y=﹣ x+b上，
∴3=﹣ ×4+b，解得b=5.
∴直线DF为y=﹣ x+5，
将y=4代入y=﹣ x+5，得4=﹣ x+5，解得x=2.
∴点F的坐标为(2，4).
(3)∠AOF= ∠EOC.
证明：在CD上取CG=AF=2，连接OG，连接EG并延长交x轴于点H.
∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=90°，AF=CG=2，
∴△OAF≌△OCG(SAS).
∴∠AOF=∠COG.
∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=90°，BG=CG=2，
∴△EGB≌△HGC(ASA).
∴EG=HG.
设直线EG：y=mx+n，
∵E(3，4)，G(4，2)，
∴ ，解得， .
∴直线EG：y=﹣2x+10.
令y=﹣2x+10=0，得x=5.
∴H(5，0)，OH=5.
在Rt△AOE中，AO=4，AE=3，根据勾股定理得OE=5 .
∴OH=OE.
∴OG是等腰三角形底边EH上的中线.
∴OG是等腰三角形顶角的平分线.
∴∠EOG=∠GOH.
∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF= ∠EOC.
28.(9分)在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA=3 .分别以OA、OC边所在直线为x轴 、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.
(1)求点B的坐标;
(2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，直线DE交x轴于点F，过点E作EG⊥x轴于G，且EG：OG=2.求直线DE的解析式;
(3)点M是(2)中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在，请求出点N的坐标;若不存在，请说明理由.
【解答】解：(1)如图过点B作BB′⊥x轴，垂足为点B′，如图1所示.
∵CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，
∴OB′=CB=3，AB′=3.
在Rt△ABB′中，∠AB′B=90°，AB′=3，BA=3 ，
∴BB′= =6，
∴点B的坐标为(3，6).
(2)如图2所示，∵OC=6，BC=3，
∴OB= =3 ，
∵OE=2EB，
∴OE= OB=2 .
又∵EG=2OG，OE2=EG2+OG2，
∴OG=2，EG=4，
∴点E的坐标为(2，4).
∵OD=5，
∴点D的坐标为(0，5).
设直线DE的解析式为y=kx+b(k≠0)，
将点D(0，5)、E(2，4)代入y=kx+b，得：
，解得： ，
∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5.
(3)分两种情况考虑(如图3所示)：
①当OD为边时，过点D作DF⊥MN，垂足为F.
∵直线DE的解析式为y=﹣ x+5，
∴DF=2MF，
又∵DM=OD=5，
∴DF=2 ，MF= ，
∴点M的坐标为(﹣2 ，5+ ).
∵四边形OCMN为菱形，
∴点N的坐标为(﹣2 ， );
②当OD为对角线时，
同理：可求出点M的坐标为(2 ，5﹣ ).
∵四边形OMDN为菱形，
∴点N的坐标为(﹣2 ，5﹣ ).
综上所述：在x轴上方的平面内存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为(﹣2 ， )或(﹣2 ，5﹣ ).
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