新人教版八年级数学上期末练习题(2)
∴∠BAD=∠ADP，
∴DP∥AB，故③正确.
故答案为：①③.
【点评】考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和平行线的判定，综合性较强，但是难度不大.
三、解答题(共8个小题，共72分)
17.分解因式：
(1)2x2+4x+2
(2)16(a+b)2﹣9(a﹣b)2.
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【专题】计算题;因式分解.
【分析】(1)原式提取2，再利用完全平方公式分解即可;
(2)原式利用平方差公式分解即可.
【解答】解：(1)原式=2(x2+2x+1)=2(x+1)2;
(2)原式=[4(a+b)+3(a﹣b)][4(a+b)﹣3(a﹣b)]=(7a+b)(a+7b).
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
18.解方程：
(1) =
(2) + =1.
【考点】解分式方程.
【专题】计算题;分式方程及应用.
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解：(1)去分母得：2x=3x﹣15，
解得：x=15，
经检验x=15是分式方程的解;
(2)去分母得：x2+2x+1+x﹣2=x2﹣x﹣2，
解得：x=﹣ ，
经检验x=﹣ 是分式方程的解.
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
19.(1)化简：( ﹣1)÷
(2)先化简，再求值： + ，其中a=3，b=1.
【考点】分式的化简求值;分式的混合运算.
【分析】(1)先算括号里面的，再算除法即可;
(2)先根据分式混合2运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可.
【解答】解：(1)原式= •
=﹣1;
(2)原式= +
=
= ，
当a=3，b=1时，原式= = = .
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(2，3)，B(3，1)，C(﹣2，﹣2).
(1)请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△DEF(A，B、C的对称点分别是D、E，F)，并直接写出D、E、F的坐标.
(2)求△ABC的面积.
【考点】作图-轴对称变换.
【专题】作图题.
【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的对应点D、E、F的位置，然后顺次连接即可;
(2)利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解.
【解答】解：(1)△DEF如图所示，D(﹣2，3)，E(﹣3，1)，F(2，﹣2);
(2)△ABC的面积=5×5﹣ ×4×5﹣ ×5×3﹣ ×1×2
=25﹣10﹣7.5﹣1
=25﹣18.5
=6.5.
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，(2)网格图中三角形的面积的求法需熟练掌握并灵活运用.
21.(1)将多项式3x2+bx+c分解因式的结果是：3(x﹣3)(x+2)，求b，c的值.
(2)画图：牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处将牛牵到河边C处饮水后再回家，试问C在何处，所走路程最短?(保留作图痕迹)
【考点】轴对称-最短路线问题;因式分解-十字相乘法等.
【分析】(1)直接利用多项式乘法去括号整理求出即可;
(2)作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点C，则C点即为所求点.
【解答】解：(1)∵3x2+bx+c=3(x﹣3)(x+2)=3(x2﹣x﹣6)=3x2﹣3x﹣18，
∴b=﹣3，c=﹣18;
(2)作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点C，点C就是所求的点.
【点评】此题主要考查了多项式乘法和轴对称﹣最短路线问题，以及轴对称图形在实际生活中的应用，但轴对称图形的画法、两点之间线段最短是解答此题的关键.
22.如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数.
【考点】三角形的角平分线、中线和高.
【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC;再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数;然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA.
【解答】解：∵∠A=50°，∠C=60°
∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，
∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°，
∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，
∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，
∴∠DAC=30°，∠BOA=120°.
故∠DAE=5°，∠BOA=120°.
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质.关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB.
23.某一工程，在工程招标时，接到甲，乙两个工程队的投标书.施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元.工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：
(1)甲队单独完成这项工程刚好如期完成;
(2)乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天;
(3)若甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款?请说明理由.
【考点】分式方程的应用.
【专题】方案型.
【分析】关键描述语为：“甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”;说明甲队实际工作了3天，乙队工作了x天完成任务，工作量=工作时间×工作效率等量关系为：甲3天的工作量+乙规定日期的工作量=1列方程.
再看费用情况：方案(1)、(3)不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案(2)显然不符合要求.
【解答】解：设规定日期为x天.由题意得
+ + =1，
.
3(x+6)+x2=x(x+6)，
3x=18，
解之得：x=6.
经检验：x=6是原方程的根.
方案(1)：1.2×6=7.2(万元);
方案(2)比规定日期多用6天，显然不符合要求;
方案(3)：1.2×3+0.5×6=6.6(万元).
∵7.2>6.6，
∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款.
【点评】找到合适的等量关系是解决问题的关键.在既有工程任务，又有工程费用的情况下.先考虑完成工程任务，再考虑工程费用.
24.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作等边△ADE(顶点A、D、E按逆时针方向排列)，连接CE.
(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CE，②AC=CE+CD;
(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CE+CD是否成立?若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由.
【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
【分析】(1)①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE;
②由△ABD≌△ACE就可以得出BC=DC+CE;
(2)由等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BC+CD=CE
【解答】解：(1)①∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE.
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC.
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD=CE.
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD.
(2)BC+CD=CE.
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE.
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC.
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD=CE.
∵BD=BC+CD，
∴CE=BC+CD.
【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.
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