2017年江苏省南京市中考数学模拟试卷(2)
20.2017年3月全国两会胜利召开，某学校就两会期间出现频率最高的热词：A.蓝天保卫战，B.不动产保护，C.经济增速，D.简政放权等进行了抽样调查，每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，一共调查了 300 名同学;
(2)条形统计图中，m= 60 ，n= 90 ;
(3)从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是多少?
【考点】X4：概率公式;VB：扇形统计图;VC：条形统计图.
【分析】(1)根据A的人数为105人，所占的百分比为35%，求出总人数，即可解答;
(2)C所对应的人数为：总人数×30%，B所对应的人数为：总人数﹣A所对应的人数﹣C所对应的人数﹣D所对应的人数，即可解答;
(3)根据概率公式，即可解答.
【解答】解：(1)105÷35%=300(人)，
故答案为：300;
(2)n=300×30%=90(人)，
m=300﹣105﹣90﹣45=60(人).
故答案为：60，90;
(3)从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是 = ，
答：从该校学生中随机抽取一个最关注热词D的学生的概率是 .
21.，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD是∠BAC的平分线.
(1)尺规作图：过点D作DE⊥AC于E;
(2)求DE的长.
【考点】N2：作图—基本作图;KF：角平分线的性质.
【分析】(1)根据过直线外一点作直线垂线的作法即可画出图形;
(2)设DE=x，则AC= =5，跟进吧AD是∠BAC的平分线，∠ABC=90°，DE⊥AC可得出BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x，再由S△ACD= = 求出x的值即可.
【解答】解：(1)方法1，1所示，过点D作AC的垂线即可;
方法2：运用角平分线的性质，以点D为圆心，BD的长为半径画圆，⊙D和AC相切于点E，连接DE即可.
(2)方法一：设DE=x，则AC= =5.
∵AD是∠BAC的平分线，∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x.
∵S△ACD= = ，
∴ = ，解得x= ，
∴DE=x= .
方法二：设DE=x，则AC= =5.
∵AD是∠BAC的平分线，∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x.
∵∠DEC=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△DEC∽△ABC，
∴ = ，
∴ = ，解得x= ，
∴DE=x= .
方法三：设DE=x，则AC= =5.
∵AD是∠BAC的平分线，∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴BD=DE=x，CD=BC﹣BD=4﹣x.
∵在Rt△ABC中，sin∠C= = ，
在Rt△DEC中，sin∠C= = ，
∴ = ，解得x= ，
∴DE=x= .
22.某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元.
(1)求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元?
(2)学校准备购进这两种型号的跳绳共50根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计书最省钱的购买方案，并说明理由.
【考点】FH：一次函数的应用;9A：二元一次方程组的应用.
【分析】(1)设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，根据：“2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元”列方程组求解即可;
(2)首先根据“A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍”确定自变量的取值范围，然后得到有关总费用和A型跳绳之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可.
【解答】解：(1)设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，
根据题意，得：
，
解得： ，
答：一根A型跳绳售价是10元，一根B型跳绳的售价是36元;
(2)设购进A型跳绳m根，总费用为W元，
根据题意，得：W=10m+36(50﹣m)=﹣26m+1800，
∵﹣26<0，
∴W随m的增大而减小，
又∵m≤3(50﹣m)，解得：m≤37.5，
而m为正整数，
∴当m=37时，W最小=﹣2×37+350=276，
此时50﹣37=13，
答：当购买A型跳绳37只，B型跳绳13只时，最省钱.
23.，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点(F不与A，B重合)，过点F的反比例函数y= (k>0)的图象与BC边交于点E.
(1)当F为AB的中点时，求该函数的解析式;
(2)当k为何值时，△EFA的面积为 .
【考点】GB：反比例函数综合题;G5：反比例函数系数k的几何意义;G7：待定系数法求反比例函数解析式.
【分析】(1)当F为AB的中点时，点F的坐标为(3，1)，由此代入求得函数解析式即可;
(2)根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的方程，通过解方程求得k的值即可.
【解答】解：(1)∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2，
∴B(3，2)，
∵F为AB的中点，
∴F(3，1)，
∵点F在反比例函数y= (k>0)的图象上，
∴k=3，
∴该函数的解析式为y= ;
(2)由题意知E，F两点坐标分别为E( ，2)，F(3， )，
∴S△EFA= AF•BE= × k(3﹣ k)，
= k﹣ k2
∵△EFA的面积为 .
∴ k﹣ k2= .
整理，得
k2﹣6k+8=0，
解得k1=2，k2=4，
∴当k的值为2或4时，△EFA的面积为 .
24.已知⊙O中，弦AB=AC，点P是∠BAC所对弧上一动点，连接PA，PB.
(1)①，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，连接PC，求证：∠ACP+∠ACQ=180°;
(2)②，若∠BAC=60°，试探究PA、PB、PC之间的关系.
(3)若∠BAC=120°时，(2)中的结论是否成立?若是，请证明;若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明.
【考点】MR：圆的综合题.
【分析】(1)①，连接PC.根据“内接四边形的对角互补的性质”即可证得结论;
(2)②，通过作辅助线BC、PE、CE(连接BC，延长BP至E，使PE=PC，连接CE)构建等边△PCE和全等三角形△BEC≌△APC;然后利用全等三角形的对应边相等和线段间的和差关系可以求得PA=PB+PC;
(3)③，在线段PC上截取PQ，使PQ=PB，过点A作AG⊥PC于点G.利用全等三角形△ABP≌△AQP(SAS)的对应边相等推知AB=AQ，PB=PG，将PA、PB、PC的数量关系转化到△APC中来求即可.
【解答】(1)证明：①，连接PC.
∵△ACQ是由△ABP绕点A逆时针旋转得到的，
∴∠ABP=∠ACQ.
由图①知，点A、B、P、C四点共圆，
∴∠ACP+∠ABP=180°(圆内接四边形的对角互补)，
∴∠ACP+∠ACQ=180°(等量代换);
(2)解：PA=PB+PC.理由如下：
②，连接BC，延长BP至E，使PE=PC，连接CE.
∵弦AB=弦AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形(有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形).
∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC=180°(圆内接四边形的对角互补)，
∵∠BPC+∠EPC=180°，
∴∠BAC=∠CPE=60°，
∵PE=PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE=PC，∠E=∠ECP=∠EPC=60°;
又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，
∴∠BCE=∠ACP(等量代换).
在△BEC和△APC中， ，
∴△BEC≌△APC(SAS)，
∴BE=PA，
∴PA=BE=PB+PC;
(3)若∠BAC=120°时，(2)中的结论不成立. PA=PB+PC.理由如下：
③，在线段PC上截取PQ，使PQ=PB，过点A作AG⊥PC于点G.
∵∠BAC=120°，∠BAC+∠BPC=180°，
∴∠BPC=60°.
∵弦AB=弦AC，
∴∠APB=∠APQ=30°.
在△ABP和△AQP中，
∵ ，
∴△ABP≌△AQP(SAS)，
∴AB=AQ，PB=PQ(全等三角形的对应边相等)，
∴AQ=AC(等量代换).
在等腰△AQC中，QG=CG.
在Rt△APG中，∠APG=30°，则AP=2AG，PG= AG.
∴PB+PC=PG﹣QG+PG+CG=PG﹣QG+PG+QG=2PG=2 AG，
∴ PA=2 AG，即 PA=PB+PC.
25.在坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣3，0)和B(1，0)，与y轴交于点C，
(1)求抛物线的表达式;
(2)若点D为此抛物线上位于直线AC上方的一个动点，当△DAC的面积最大时，求点D的坐标;
(3)设抛物线顶点关于y轴的对称点为M，记抛物线在第二象限之间的部分为图象G.点N是抛物线对称轴上一动点，如果直线MN与图象G有公共点，请结合函数的图象，直接写出点N纵坐标t的取值范围.
【考点】HF：二次函数综合题.
【分析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1)，然后将a=﹣1代入即可求得抛物线的解析式;
(2)过点D作DE∥y轴，交AC于点E.先求得点C的坐标，然后利用待定系数法求得直线AC的解析式，设点D的坐标为(x，﹣x2﹣2x+3)，则E点的坐标为(x，x+3)，于是得到DE的长(用含x的式子表示，接下来，可得到△ADC的面积与x的函数关系式，最后依据配方法可求得三角形的面积最大时，点D的坐标;
(3)2所示：先求得抛物线的顶点坐标，于是可得到点M的坐标，可判断出点M在直线AC上，从而可求得点N的坐标，当点N′与抛物线的顶点重合时，N′的坐标为(﹣1，4)，于是可确定出t的取值范围.
【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1).
由题意可知：a=﹣1.
∴抛物线的解析式为y=﹣1(x+3)(x﹣1)即y=﹣x2﹣2x+3.
(2)所示：过点D作DE∥y轴，交AC于点E.
∵当x=0时，y=3，
∴C(0，3).
设直线AC的解析式为y=kx+3.
∵将A(﹣3，0)代入得：﹣3k+3=0，解得：k=1，
∴直线AC的解析式为y=x+3.
设点D的坐标为(x，﹣x2﹣2x+3)，则E点的坐标为(x，x+3).
∴DE=﹣x2﹣2x+3﹣(x+3)=﹣x2﹣3x.
∴△ADC的面积= DE•OA= ×3×(﹣x2﹣3x)=﹣ (x+ )2+ .
∴当x=﹣ 时，△ADC的面积有最大值.
∴D(﹣ ， ).
(3)2所示：
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4，
∴抛物线的顶点坐标为(﹣1，4).
∵点M与抛物线的顶点关于y轴对称，
∴M(1，4).
∵将x=1代入直线AC的解析式得y=4，
∴点M在直线AC上.
∵将x=﹣1代入直线AC的解析式得：y=2，
∴N(﹣1，2).
又∵当点N′与抛物线的顶点重合时，N′的坐标为(﹣1，4).
∴2
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