初中数学几何图形中的折叠问题解题思路

　　折叠问题中的背景图形通常有，三角形、正方形、矩形、梯形等 ，解决这类问题的关键是一定要灵活运用轴对称和背景图形的性质。

　　轴对称性质：

　　折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。

　　典型例题：

　　例题1、如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，E、F 分别为 AB、BC 上的点，沿线段 EF 将 ∠B 折叠，使点 B 恰好落在 AC 上的点 D 处，试问当 △ADE 恰好为直角三角形时，此时 BE 的长度为多少?

　　解题思路：

　　△ADE 为直角三角形分两种情况：①∠ADE = 90°，②∠AED = 90°，此题需要分类讨论，结合三角形的相似、折叠的性质，来求折叠中线段的长度，关键是能画出折叠后的图形。

　　解答过程：

　　当 ∠ADE = 90°时，如下图所示：

　　证明：

　　先来证明四边形 DEBF 为棱形：

　　∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ADE = 90° ，

　　∴ DE∥BC ，

　　∴ ∠DEF = ∠EFB ，

　　又∵ 沿线段 EF 将 ∠B 折叠 ，

　　∴ DE = BE ,DF = BF ，∠DFE = ∠BFE ，

　　∴ ∠DEF = ∠DFE ，DE = DF = BF ，

　　∴ 四边形 DEBF 为棱形 。

　　(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是棱形)。

　　再来证明 Rt△ADE ∽ Rt△ACB (相似三角形判断图形中的“A”字型)

　　∵ 在三角形 ACB 中 ，DE∥BC ，

　　∴ Rt△ADE ∽ Rt△ACB ，

　　设 棱形 DEBF 的边长为 x , 则有 DE = x , AE = 10 - x ,

　　在 Rt△ACB 中，AB = 10 , AC = 8 ,

　　由勾股定理得：BC = 6 。

　　∴ DE : BC = AE : AB , 即 x : 6 = (10-x) : 10 ,

　　解得 x = 15/4 ,

　　∴ BE = 15/4 ;

　　当 ∠AED = 90° 时，如下图所示：

　　易证 Rt△AED ∽ Rt△ACB ，由折叠的性质可得 DE = BE ，

　　设 DE = BE = x ，则 AE = 10 - x ，

　　由相似三角形的性质可得：

　　DE : BC = AE : AC , 即 x : 6 = ( 10 -x ) : 8 ,

　　解得 x = 30/7，

　　∴ BE = 30/7 。

　　例题2、如图1，将一张矩形纸片 ABCD 沿着对角线 BD 向上折叠，顶点 C 落到点 E 处，BE 交 AD 于点 F .

　　(1) 求证：△BDF 是等腰三角形;

　　(2) 如图 2 ，过点 D 作 DG∥BE ，交 BC 于点 G ，连接 FG 交 BD 于点 O 。

　　① 判断四边形 BFDG 的形状，并说明理由;

　　② 若 AB = 6 , AD = 8 ， 求 FG 的长 。

　　解题思路：

　　(1)根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断;

　　(2)① 根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断;

　　② 根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解。

　　参考答案：