九年级数学上学期期中试题
数学是很多的同学都觉得很难的一个科目，其实没有很难的，今天小编就给大家参考一下九年级数学，希望大家来收藏哦
初三九年级数学上期中试卷
一、选择题(本大题共10小题，共30.0分)
1.若关于x的方程(a+1)x2+2x-1=0是一元二次方程，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下面的函数是二次函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过A(-3，0)，B(1，0)，C(-5，y1)，D(-2，y2)四点，则y1与y2的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
5.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是( )
A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9
6.二次函数y=x2-2x+2的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
7.关于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是( )
A. B. 且
C. D.
8.正方形ABCD在直角坐标系中的位置如下图表示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是( )
9.把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( )
A. B. C. D.
10.如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动;同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同.设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共8小题，共24.0分)
11.抛物线y=-4(x+1)2+1的开口方向向______，对称轴是______，顶点的坐标是______.
12.一元二次方程(x+1)(3x-2)=0的一般形式是______.
13.点A(-3，m)和点B(n，2)关于原点对称，则m+n=______.
14.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支.若主干、支干和小分支的总数是57，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为______.
15.已知函数y=x2+2x-3，当x______时，y随x的增大而增大.
16.若一元二次方程(m-1)x2-4x-5=0没有实数根，则m的取值范围是______.
17.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为(0.5，1)，下列结论：
①abc<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;④a+b+c<0.其中正确的有______个.
18.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去….若点A(，0)，B(0，2)，则B2的坐标为______;点B2016的坐标为______.
三、计算题(本大题共2小题，共22.0分)
19.x2-2x-3=0(配方法)
20.某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本;当销售单价为24元时，销售量为32本.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大?最大利润是多少?
四、解答题(本大题共6小题，共74.0分)
21.在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：
(1)分别写出A、B两点的坐标;
(2)将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1.
22.已知：关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)请选择一个k的负整数值，并求出方程的根.
23.某电脑销售商试销某一品牌电脑1月份的月销售额为400000，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的市场调查，3月份调整价格后，月销售额达到576000元.求1月份到3月份销售额的月平均增长率.
24.在我校的周末广场文艺演出活动中，舞台上有一幅矩形地毯，它的四周镶有宽度相同的花边(如图).地毯中央的矩形图案长8米、宽6米，整个地毯的面积是80平方米.求花边的宽.
25.如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，将一个∠EDF=60°的三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转这个三角形纸片，使它的两边分别交CB，BA(或它们的延长线)于点E，F;
(1)当CE=AF时，如图①，DE与DF的数量关系是______;
(2)继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图②，(1)的结论是否成立?若成立，加以证明;若不成立，请说明理由;
(3)再次旋转三角形纸片，当点E，F分别在CB，BA的延长线上时，如图③，请直接写出DE与DF的数量关系.
26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交A(-1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当点P运动到点E时，求△PCD的面积;
(3)点N在抛物线对称轴上，点M在x轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点M的坐标(不写求解过程);若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：由题意得：a+1≠0，
解得：a≠-1.
故选：A.
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得a+1≠0，再解即可.
此题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.
2.【答案】B
【解析】
解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误;
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确;
C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误;
D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误;
故选：B.
根据轴对称图形和中心对称图形的定义可直接得到答案.
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合;
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.
3.【答案】B
【解析】
解：A、y=3x+1，二次项系数为0，故本选项错误;
B、y=x2+2x，符合二次函数的定义，故本选项正确;
C、y=，二次项系数为0，故本选项错误;
D、y=，是反比例函数，故本选项错误.
故选：B.
根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，判断各选项即可.
本题考查二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件.
4.【答案】C
【解析】
解：∵抛物线过A(-3，0)、B(1，0)两点，
∴抛物线的对称轴为x==-1，
∵a<0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
比较可知C点离对称轴远，对应的纵坐标值小，
即y1
故选：C.
根据A(-3，0)、B(1，0)两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，C、D两点与对称轴的远近，判断y1与y2的大小关系.
此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近.
5.【答案】A
【解析】
解：x2-7x+10=0，
(x-2)(x-5)=0，
x-2=0，x-5=0，
x1=2，x2=5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2<5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意;
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12;
即等腰三角形的周长是12.
故选：A.
求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可.
本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长.
6.【答案】A
【解析】
解：y=x2-2x+2的顶点横坐标是-=1，纵坐标是=1，
y=x2-2x+2的顶点坐标是(1，1).
故选：A.
根据顶点坐标公式，可得答案.
本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标是(-，).
7.【答案】D
【解析】
解：根据题意得m-2≠0且△=(2m+1)2-4(m-2)(m-2)>0，
解得m>且m≠2，
设方程的两根为a、b，则a+b=->0，ab==1>0，
而2m+1>0，
∴m-2<0，即m<2，
∴m的取值范围为
故选：D.
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m-2≠0且△=(2m+1)2-4(m-2)(m-2)>0，解得m>且m≠2，再利用根与系数的关系得到->0，则m-2<0时，方程有正实数根，于是可得到m的取值范围为
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时，方程有两个相等的两个实数根;当△<0时，方程无实数根.也考查了根与系数的关系.
8.【答案】B
【解析】
解：AC=2，
则正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后C的对应点设是C′，则AC′=AC=2，
则OC′=3，
故C′的坐标是(3，0).
故选：B.
正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的对应点与C一定关于A对称，A是对称点连线的中点，据此即可求解.
本题考查了旋转的性质，理解C点的对应点与C一定关于A对称，A是对称点连线的中点是关键.
9.【答案】C
【解析】
解：由题意得原抛物线的顶点为(0，1)，
∴平移后抛物线的顶点为(3，-1)，
∴新抛物线解析式为y=(x-3)2-1，
故选：C.
易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式.
考查二次函数的几何变换;用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数;得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点.
10.【答案】A
【解析】
解：当F在PD上运动时，△AEF的面积为y=AE•AD=2x(0≤x≤2)，
当F在AD上运动时，△AEF的面积为y=AE•AF=x(6-x)=-x2+3x(2
图象为：
故选：A.
分F在线段PD上，以及线段DQ上两种情况，表示出y与x的函数解析式，即可做出判断.
此题考查了动点问题的函数问题，解决本题的关键是读懂图意，得到相应y与x的函数解析式.
11.【答案】下 直线x=-1 (-1，1)
【解析】
解：抛物线y=-4(x+1)2+1的开口方向、对称轴和顶点坐标是：
开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点(-1，1).
故答案为：下，直线x=-1，(-1，1).
利用a=-4得出图象的开口方向，再利用顶点式得出抛物线的对称轴和顶点坐标.
此题主要考查了二次函数的性质，正确利用顶点式得出函数顶点坐标是解题关键.
12.【答案】3x2+x-2=0
【解析】
解：(x+1)(3x-2)=0，
3x2-2x+3x-2=0，
3x2+x-2=0.
故答案为：3x2+x-2=0.
利用多项式的乘法展开，然后合并同类项即可.
本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0).
13.【答案】1
【解析】
解：∵点A(-3，m)和点B(n，2)关于原点对称，
∴m=-2，n=3，
故m+n=3-2=1.
故答案为：1.
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可得出m、n的值，代入可得出代数式的值.
本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，注意掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反.
14.【答案】x2+x+1=57
【解析】
解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意列方程得：x2+x+1=57.
故答案为x2+x+1=57.
由题意设每个支干长出x个小分支，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程.
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键.
15.【答案】>-1
【解析】
解：∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，a=1>0，
∴函数y=x2+2x-3的图象开口向上，对称轴为直线x=-1，当x>-1时，y随x的增大而增大，
故答案为：>-1.
先将抛物线的解析式化为顶点式，根据二次函数的性质可知，x的取值在什么范围内，y随x的增大而增大.
本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，根据二次函数的性质可以得到二次函数图象的升降情况.
16.【答案】m<
【解析】
解：∵一元二次方程(m-1)x2-4x-5=0没有实数根，
∴△=16-4(m-1)×(-5)<0，且m-1≠0，
∴m<.
故答案为：m<.
据关于x的一元二次方程(m-1)x2-4x-5=0没有实数根，得出△=16-4(m-1)×(-5)<0，从而求出m的取值范围.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根;当△=0，方程有两个相等的实数根;当△<0，方程没有实数根.
17.【答案】3
【解析】
解：①∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线与y轴正半轴相交，∴c>0，对称轴在y轴的右侧，∴b>0，∴abc<0，故①正确;
②∵抛物线的对称轴为x=，∴x=-=，∴a+b=0，故②正确;
③∵抛物线顶点的纵坐标为1，∴=1，∴4ac-b2=4a，故③正确;
④∵a+b=0，c>0，∴a+b+c>0，故④错误.
其中正确的是①②③.
故答案为：3.
①根据抛物线的开口方向和抛物线与y轴的交点坐标即可确定;
②根据抛物线的对称轴即可判定;
③根据抛物线的顶点纵坐标即可判定;
④由a+b=0，c>0，即可判定a+b+c>0.
此题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数的自变量与对应的函数值，顶点坐标的熟练运用.
18.【答案】(6，2) (6048，2)
【解析】
解：∵A(，0)，B(0，2)，
∴Rt△AOB中，AB=，
∴OA+AB1+B1C2=+2+=6，
∴B2的横坐标为：6，且B2C2=2，即B2(6，2)，
∴B4的横坐标为：2×6=12，
∴点B2016的横坐标为：2016÷2×6=6048，点B2016的纵坐标为：2，
即B2016的坐标是(6048，2).
故答案为：(6，2)，(6048，2).
首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得B2016的坐标.
此题考查了点的坐标规律变换以及勾股定理的运用，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是解决本题的关键.
19.【答案】解：移项得：x2-2x=3，
配方得：x2-2x+1=3+1，
即(x-1)2=4，
开方得：x-1=±2，
故原方程的解是：x1=3，x2=-1.
【解析】
移项后配方得到x2-2x+1=3+1，推出(x-1)2=4，开方后得出方程x-1=±2，求出方程的解即可.
本题考查了解一元一次方程和用配方法解一元二次方程的应用，关键是配方得出(x-1)2=4，题目比较好，难度不大.
20.【答案】解：(1)设y与x的关系式为y=kx+b，
把(22，36)与(24，32)代入，
得：，
解得：，
则y=-2x+80;
(2)由题意可得：
w=(x-20)(-2x+80)
=-2x2+120x-1600
=-2(x-30)2+200，
此时当x=30时，w最大，
∴即当x=30时，w最大=-2×(30-30)2+200=200(元)，
答：该纪念册销售单价定为30元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是200元.
【解析】
(1)利用待定系数法求解可得;
(2)根据所获得总利润=每本利润×销售数量列出函数解析式，配方成顶点式可得答案.
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据销售问题中关于利润的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质.
21.【答案】解：(1)由点A、B在坐标系中的位置可知：A(2，0)，B(-1，-4);
(2)如图所示：
【解析】
(1)直接根据点A、B在坐标系中的位置写出其坐标即可;
(2)根据图形旋转的性质画出旋转后的△AB1C1即可;
本题考查的是旋转变换，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键.
22.【答案】解：(1)∵一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根，
∴△=(-3)2-4×1×(-k)>0，
解得k>-;
(2)当k=-2时，方程为x2-3x+2=0，
因式分解得(x-1)(x-2)=0，
解得x1=1，x2=2.
【解析】
(1)根据方程有两个不相等的实数根根，则根的判别式△=b2-4ac>0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围;
(2)k取负整数，再解一元二次方程即可.
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根是解答此题的关键.
23.【答案】解：设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x，
根据题意得：400000(1+x)2=576000，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2(舍去).
答：1月份到3月份销售额的月平均增长率为20%.
【解析】
设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x，根据该品牌电脑1月份及3月份的月销售额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.
24.【答案】解：设花边的宽为x米，
根据题意得(2x+8)(2x+6)=80，
解得x1=1，x2=-8，
x2=-8不合题意，舍去.
答：花边的宽为1米.
【解析】
本题可根据地毯的面积为80平方米来列方程，其等量关系式可表示为：(矩形图案的长+两个花边的宽)×(矩形图案的宽+两个花边的宽)=地毯的面积.
本题可根据关键语句和等量关系列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.
25.【答案】DE=DF
【解析】
解：(1)DE=DF;
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=DC，∠A=∠C，
∵AF=CE，
∴△DAF≌△DCE(SAS)，
∴DE=DF.
(2)成立.
理由：连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB.
又∵∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，
∴∠DBE=∠DAF=60°.
∵∠EDF=60°，
∴∠ADB=∠EDF=60°，
∴∠ADF=∠BDE，
∴△ADF≌△BDE(ASA)，
∴DE=DF.
(3)结论：DF=DE.
理由：如图3，连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB.
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60°，同法可证∠DBC=60°，
∴∠DBE=∠DAF=120°
∵∠EDF=ADB=60°，
∴∠ADF=∠BDE，
∴△ADF≌△BDE(ASA)，
∴DF=DE;
(1)证明△DAF≌△DCE(SAS)即可判断;
(2)由菱形的性质得到△ABD是等边三角形，再证明△ADF≌△BDE即可;
(3)由菱形的性质得到△ABD是等边三角形，再证明△ADF≌△BDE即可;
本题考查几何变换综合题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，判断三角形是等边三角形(△ABD是等边三角形)是解本题的突破点.
26.【答案】解：(1)将A(-1，0)，C(0，3)代入y=ax2+2x+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)当y=0时，有-x2+2x+3=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴点B的坐标为(3，0).
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴点E的坐标为(1，4).
设过B，C两点的直线解析式为y=kx+b(k≠0)，
将B(3，0)，C(0，3)代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y=-x+3.
∵点D是直线与抛物线对称轴的交点，
∴点D的坐标为(1，2)，
∴DE=2，
∴当点P运动到点E时，△PCD的面积=×2×1=1.
(3)设点M的坐标为(m，0)，点N的坐标为(1，n).
分三种情况考虑：
①当四边形CBMN为平行四边形时，有1-0=m-3，
解得：m=4，
∴此时点M的坐标为(4，0);
②当四边形CMNB为平行四边形时，有m-1=0-3，
解得：m=-2，
∴此时点M的坐标为(-2，0);
③当四边形CMBN为平行四边形时，有0-1=m-3，
解得：m=2，
∴此时点M的坐标为(2，0).
综上所述：存在这样的点M与点N，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为(4，0)或(-2，0)或(2，0).
【解析】
(1)由点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，利用配方法可求出顶点E的坐标，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点D的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出当点P运动到点E时△PCD的面积;
(3)设点M的坐标为(m，0)，点N的坐标为(1，n)，分四边形CBMN为平行四边形、四边形CMNB为平行四边形及四边形CMBN为平行四边形三种情况，利用平行四边形的性质找出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论.
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及平行四边形的性质，解题的关键是：(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式;(2)利用一次函数图象上点的坐标特征及配方法，求出点D，E的坐标;(3)分四边形CBMN为平行四边形、四边形CMNB为平行四边形及四边形CMBN为平行四边形三种情况求出点M的坐标.
九年级数学上学期期中试卷
一、选择题(本大题共12小题，共36.0分)
1.下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.一元二次方程x2-2x=3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. 1、2、 B. 1、2、3 C. 1、、3 D. 1、、
4.在平面直角坐标系中，有A(2，-1)、B(-1，-2)、C(2，1)、D(-2，1)四点.其中，关于原点对称的两点为( )
A. 点A和点B B. 点B和点C C. 点C和点D D. 点D和点A
5.将抛物线y=2x2平移后得到抛物线y=2x2+1，则平移方式为( )
A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位
C. 向上平移1个单位 D. 向下平移1个单位
6.设x1，x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两根，则x1+x2=( )
A. B. 2 C. 3 D.
7.将二次函数y=x2-4x+2化为顶点式，正确的是( )
A. B. C. D.
8.设A(-2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=(x-1)2-3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为
( )
A. B. C. D.
9.△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA=2，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，则P1P的长等于( )
A. 2
B.
C.
D. 1
10.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①ac>0;②当x≥1时，y随x的增大而减小;③2a+b=0;④b2-4ac<0;⑤4a-2b+c>0，其中正确的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11.已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为( )
A. 13 B. 11或13 C. 11 D. 12
12.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数，且m≠0)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)
13.方程x2-1=0的解为______.
14.已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根为2，则m=______.
15.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的两根为______.
16.函数y=(x-1)2+3，当x______时，函数值y随x的增大而增大.
17.一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y=-，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为______m.
18.如图①，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4.将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为______.
三、计算题(本大题共2小题，共20.0分)
19.某商品的进价为每件40元.当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件.在确保盈利的前提下，解答下列问题：
(1)若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写山y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围;
(2)当降价多少元时，每星期的利润最大?最大利润是多少?
20.如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0，3)，B(-1，0)，请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长.
(3)点F在抛物线的对称轴上运动，是否存在点F，使△BFC的面积为4，如果存在，求出点F的坐标;如果不存在，请说明理由.
四、解答题(本大题共6小题，共46.0分)
21.解方程：3x(x-1)=2x-2.
22.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
(1)将△ABC沿x轴向右平移4个单位，在图中画出平移后的△A1B1C1
(2)作△ABC关于坐标原点成中心对称的△A2B2C2.
(3)求B1的坐标______，C2的坐标______.
23.已知二次函数y=-x2-2x+3.
(1)将其配方成y=a(x-k)2+h的形式，并写出它的开口方向、对称轴及顶点坐标.
(2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并观察图象，当y≥0时，x的取值范围.
24.如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，连接CD.
(1)试判断△CBD的形状，并说明理由;
(2)求∠BDC的度数.
25.某市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于购房者持币观望，销售不畅.房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售.求平均每次下调的百分率.
26.已知：关于x的方程x2+4x+(2-k)=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数k的取值范围.
(2)取一个k的负整数值，且求出这个一元二次方程的根.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：A、不是一元二次方程，故此选项错误;
B、是一元二次方程，故此选项正确;
C、不是一元二次方程，故此选项错误;
D、不是一元二次方程，故此选项错误;
故选：B.
根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行解答即可.
此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”;“一个未知数”;“未知数的最高次数是2”;“二次项的系数不等于0”;“整式方程”.
2.【答案】C
【解析】
解：A、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误;
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误;
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确;
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误.
故选：C.
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合.
3.【答案】D
【解析】
解：方程可化为：x2-2x-3=0，
二次项系数为1、一次项系数为-2、常数项为-3.
故选：D.
将方程化为一元二次方程的一般形式，然后找出二次项系数、一次项系数、常数项.
本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项;c叫做常数项.
4.【答案】D
【解析】
解：A(2，-1)与D(-2，1)关于原点对称，
故选：D.
根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数即可得出答案.
本题考查了关于原点对称点的坐标，掌握P(a，b)关于原点对称点的坐标P′(-a，-b)是解题的关键.
5.【答案】C
【解析】
解：抛物线y=2x2平移得到抛物线y=2x2+1的步骤是：向上平移1个单位.
故选：C.
直接利用二次函数图象平移规律(左加右减，上加下减)进而得出答案.
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键.
6.【答案】B
【解析】
解：根据根与系数的关系，
x1+x2=-=2.
故选：B.
根据两根和与系数的关系，直接可得结论.
本题考查了根与系数的关系.记住根与系数的关系是关键.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=-，x1•x2=.
7.【答案】A
【解析】
解：y=x2-4x+2
=x2-4x+4-2
=(x-2)2-2.
故选：A.
直接利用配方法将原式变形进而得出答案.
此题主要考查了二次函数的三种形式，正确应用完全平方公式是解题关键.
8.【答案】B
【解析】
解：∵y=(x-1)2-3，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵抛物线开口向上，而点A(-2，y1)到对称轴的距离最远，B(1，y2)在对称轴上，
∴y2
故选：B.
由y=(x-1)2-3可知抛物线的对称轴为直线x=1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小.
本题考查了二次函数图象与系数的关系.此题需要掌握二次函数图象的增减性.
9.【答案】A
【解析】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠CAB=60°，
∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，
∴△CP1A≌△BPA，
∴AP1=AP，∠CAP1=∠BAP，
∴∠CAB=∠CAP+∠BAP=∠CAP+∠CAP1=60°，
即∠PAP1=60°，
∴△APP1是等边三角形，
∴P1P=PA=2，
故选：A.
根据等边三角形的性质推出AC=AB，∠CAB=60°，根据旋转的性质得出△CP1A≌△BPA，推出AP1=AP，∠CAP1=∠BAP，求出∠PAP1=60°，得出△APP1是等边三角形，即可求出答案.
本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出△APP1是等边三角形，注意“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的对应边相等，每个角都等于60°.
10.【答案】B
【解析】
解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴a>0，c<0，
∴ac<0，结论①错误;
②∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x=1，
∴当x≥1时，y随x的增大而增大，结论②错误;
③∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴-=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，结论③正确;
④∵a>0，c<0，b=-2a，
∴b2-3ac=4a2-3ac=a(4a-3c)>0，结论④错误;
⑤∵当x=-2时，y>0，
∴4a-2b+c>0，结论⑤正确.
故选：B.
①由抛物线的开口方向及与y轴交点的位置，即可得出a>0、c<0，进而可得出ac<0，结论①错误;②由抛物线的开口方向及对称轴，可得出当x≥1时，y随x的增大而增大，结论②错误;③由抛物线对称轴为直线x=1，即可得出b=-2a，进而可得出2a+b=0，结论③正确;④由a>0、c<0、b=-2a，可得出b2-3ac=4a2-3ac=a(4a-3c)>0，结论④错误;⑤由当x=-2时，y>0可得出4a-2b+c>0，结论⑤正确.综上即可得出结论.
本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解题的关键.
11.【答案】B
【解析】
解：∵x2-8x+15=0，
∴(x-3)(x-5)=0，
∴x-3=0或x-5=0，
即x1=3，x2=5，
∵一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，
∴当底边长和腰长分别为3和5时，3+3>5，
∴△ABC的周长为：3+3+5=11;
∴当底边长和腰长分别为5和3时，3+5>5，
∴△ABC的周长为：3+5+5=13;
∴△ABC的周长为：11或13.
故选：B.
由一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，利用因式分解法求解即可求得等腰△ABC的底边长和腰长，然后分别从当底边长和腰长分别为3和5时与当底边长和腰长分别为5和3时去分析，即可求得答案.
此题考查了因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系.此题难度不大，注意分类讨论思想的应用.
12.【答案】D
【解析】
解：A、由函数y=mx+m的图象可知m<0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误;
B、由函数y=mx+m的图象可知m<0，对称轴为x=-=-=<0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误;
C、由函数y=mx+m的图象可知m>0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误;
D、由函数y=mx+m的图象可知m<0，即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x=-=-=<0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确;
故选：D.
本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a>0时，开口向上;当a<0时，开口向下.对称轴为x=-，与y轴的交点坐标为(0，c).
本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题.
13.【答案】x1=1，x2=-1
【解析】
解：x2-1=0，
(x+1)(x-1)=0，
x-1=0，x+1=0，
x1=1，x2=-1，
故答案为：x1=1，x2=-1.
分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.
本题考查了学生对解一元二次方程的应用，本题难度比较低，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程.
14.【答案】1
【解析】
解：把x=2代入方程x2+mx-6=0，
得：4+2m-6=0，
解方程得：m=1.
故答案为：1.
把x=2代入方程x2+mx-6=0得到一个关于m的一元一次方程，求出方程的解即可.
本题主要考查对解一元一次方程，等式的性质，一元二次方程的解等知识点的理解和掌握，能得到方程4+2m-6=0是解此题的关键.
15.【答案】x1=-1，x2=3
【解析】
解：∵抛物线与x轴的一交点坐标为(-1，0)，对称轴方程为x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标与(-1，0)关于直线x=1对称，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标(3，0).
∴方程ax2+bx+c=0的两根为：x1=-1，x2=3.
故答案是：x1=-1，x2=3.
结合图象得到抛物线与x轴的一交点坐标为(-1，0)，对称轴方程为x=1，则抛物线与x轴的另一交点坐标与(-1，0)关于直线x=1对称.
考查了抛物线与x轴的交点.解题时，需要掌握抛物线y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0间的转化关系.
16.【答案】>1
【解析】
解：可直接得到对称轴是x=1，
∵a=>0，
∴函数图象开口向上，
∴当x>1时，函数值y随x的增大而增大.
先求对称轴，再利用函数值在对称轴左右的增减性可得x的范围.
主要考查了函数的单调性和求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法.
17.【答案】16
【解析】
解：根据题意B的纵坐标为-4，
把y=-4代入y=-x2，
得x=±8，
∴A(-8，-4)，B(8，-4)，
∴AB=16m.
即水面宽度AB为16m.
故答案为：16.
根据题意，把y=-4直接代入解析式即可解答.
此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键.
18.【答案】(36，0)
【解析】
解：∵在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，
∴AB=5，
∴图③、④的直角顶点坐标为(12，0)，
∵每旋转3次为一循环，
∴图⑥、⑦的直角顶点坐标为(24，0)，
∴图⑨、⑩的直角顶点为(36，0).
故答案为：(36，0).
如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，则AB=5，每旋转3次为一循环，则图③、④的直角顶点坐标为(12，0)，图⑥、⑦的直角顶点坐标为(24，0)，所以，图⑨、⑩10的直角顶点为(36，0).
本题主要考查了旋转的性质、坐标与图形的性质及勾股定理，找出图形旋转的规律“旋转3次为一循环”，是解答本题的关键.
19.【答案】解：(1)y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x)，
即y=-20x2+100x+6000.
因为降价要确保盈利，所以40<60-x≤60(或40<60-x<60也可).
解得0≤x<20(或0
(2)当时，
y有最大值，
即当降价2.5元时，利润最大且为6125元.
【解析】
(1)根据题意，卖出了(60-x)(300+20x)元，原进价共40(300+20x)元，则y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x).
(2)根据x=-时，y有最大值即可求得最大利润.
本题考查的是二次函数的应用以及画图能力，难度中等.
20.【答案】解：(1)把A(0，3)，B(-1，0)代入y=ax2+2x+c得，即得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3;
(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴D(1，4)，
∴BD==2;
(3)存在.
∵抛物线的对称性为直线x=1，B(-1，0)，
∴C(3，0)，
设F(1，m)，
∵△BFC的面积为4，
∴•(3+1)•|m|=4，
∴|m|=2，解得m=2或m=-2，
∴点F的坐标为(1，2)或(1，-2).
【解析】
(1)利用待定系数法求抛物线解析式;
(2)把(1)的解析式配成顶点式得到D点坐标，然后两点间的距离公式计算BD的长;
(3)先利用对称性确定C点坐标，设F(1，m)，根据三角形面积公式得到•(3+1)•|m|=4，然后解绝对值方程求出m即可得到点F的坐标.
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数的性质.
21.【答案】解：3x(x-1)-2(x-1)=0
(x-1)(3x-2)=0
∴x1=1，x2=.
【解析】
把右边的项移到左边，用提公因式法进行因式分解求出方程的根.
本题考查的是用因式分解法解方程，根据题目的结构特点，用提公因式法因式分解求出方程的根.
22.【答案】(2，-2) (4，1)
【解析】
解：(1)△A1B1C1如图所示;
(2)△A2B2C2如图所示;
(3)求B1的坐标(2，-2)，C2的坐标(4，1).
(1)分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可;
(2)分别作出A，B，C的对应点△A2，B2，C2即可;
(3)根据B1，C2，的位置写出坐标即可;
本题考查作图-旋转变换，平移变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.
23.【答案】解：(1)二次函数y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，
故该函数的开口向下，对称轴是直线x=-1，顶点坐标为(-1，4);
(2)当y=0时，0=-x2-2x+3，得x=-3或x=1，
故该函数的图象如右图所示，
当y≥0时，x的取值范围是-3≤x≤1.
【解析】
(1)根据题目中的函数解析式，利用配方法可以将题目中的函数解析式化为y=a(x-k)2+h的形式，并写出它的开口方向、对称轴及顶点坐标;
(2)根据题目中的函数解析式可以画出函数的图象，并直接写出当y≥0时，x的取值范围.
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，二次函数的三种形式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.
24.【答案】解：(1)∵△EBD由△ABC旋转而成，
∴△ABC≌△EBD，
∴BC=BD，
∴△CBD是等腰三角形.
(3)∵△ABC≌△EBD，
∴∠EBD=∠ABC=30°，
∴∠DBC=180-30°=150°，
∵△CBD是等腰三角形，
∴∠BDC===15°.
【解析】
(1)根据图形旋转不变性的性质得出△ABC≌△EBD，故可得出BC=BD，由此即可得出结论;
(2)根据图形选旋转不变性的性质求出∠EBD的度数，再由等腰三角形的性质即可得出∠BDC的度数.
本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键.
25.【答案】解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，
6000(1-x)2=4860，
解得：x1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去);
答：平均每次降价的百分率为10%.
【解析】
设平均每次下调的百分率为x，利用预订每平方米销售价格×(1-每次下调的百分率)2=开盘每平方米销售价格列方程解答即可.
此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.
26.【答案】解：(1)∵方程x2+4x+(2-k)=0有两个不相等的实数根，
∴42-4(2-k)>0，
即4k+8>0，解得k>-2;
(2)若k是负整数，k只能为-1;
如果k=-1，原方程为x2+4x+3=0，
解得：x1=-1，x2=-3.
【解析】
(1)因为方程有两个不相等的实数根，△>0，由此可求k的取值范围;
(2)在k的取值范围内，取负整数，代入方程，解方程即可.
此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.
秋季学期九年级数学半期统考试题
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.方程2x2-3x+1=0化为(x+a)2=b的形式，正确的是( C )
A.(x-32)2=16 B.2(x-34)2=116 C.(x-34)2=116 D.以上都不对
2.(益阳中考)下列判断错误的是( D )
A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B.四个内角都相等的四边形是矩形
C.四条边都相等的四边形是菱形 D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
3.(遂宁中考)关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0有两个实数根，则a的取值范围为( C )
A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1
4.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是( B )
A.(3，1) B.(3，-1) C.(1，-3) D.(1，3)
5.(凉山州中考)若关于x的方程x2+2x-3=0与2x+3=1x-a有一个解相同，则a的值为( C )
A.1 B.1或-3 C.-1 D.-1或3
6.(河北中考)如图是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是( A )
7.(湖州中考)一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球.从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球都是红球的概率是( D )
A.116 B.12 C.38 D.916
8.(兰州中考)王叔叔从市场上买了一块长80 cm，宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱.如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为( C )
A.(80-x)(70-x)=3000 B.80×70-4x2=3000
C.(80-2x)(70-2x)=3000 D.80×70-4x2-(70+80)x=3000
,第8题图) ,第9题图) ,第10题图)
9.(郴州中考)如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是( C )
A.7 B.8 C.72 D.73
10.如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N.有下列四个结论：①DF=CF;②BF⊥EN;③△BEN是等边三角形;④S△BEF=3S△DEF.其中，将正确结论的序号全部选对的是( B )
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
点拨：由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF=FM=DF，①正确;易求得∠BFE=∠BFN，则可得BF⊥EN，②正确;易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形，③错误;易求得BM=2EM=2DE，即可得EB=3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，④正确
二、填空题(每小题3分，共18分)
11.(黑龙江中考)如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件__EB=DC(答案不唯一)__，使四边形DBCE是矩形.
12.(成都中考)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的两个实数根，且x12-x22=10，则a=__214__.
,第11题图) ,第13题图) ,第16题图)
13.(绍兴中考)如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100 m，则小聪行走的路程为__4600__m.
14.(绵阳中考)同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是__14__.
15.(达州期末)对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=a2-ab(a≥b)a*b=ab-b2(a
16.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，E，F分别为AD，CD上的动点，且AE+CF=2，则线段EF长的最小值是__3__.
三、解答题(共72分)
17.(6分) 解下列方程：
(1)4x2-(3x+1)2=0; (2)x2-6x+2=0.
解：x1=-15，x2=-1 解：x1=3+7，x2=3-7
18.(6分)(雅安中考)如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF.
(1)求证：四边形BEDF是菱形;
(2)若正方形边长为4，AE=2，求菱形BEDF的面积.
(1)证明：连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形
(2)解：∵正方形边长为4，∴BD=AC=42，∵AE=CF=2，∴EF=22，∴S菱形BEDF=12BD•EF=12×42×22=8
19.(7分)(巴中中考)某商店准备进一批季节性小家电，进价40元.经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个;定价每减少1元，销售量净增加10个.因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若想获利2000元，则应进货多少个?定价为多少元?
解：设每个商品的定价是x元，由题意得(x-40)[180-10(x-52)]=2000，整理得x2-110x+3000=0，解得x1=50，x2=60.当x=50时，进货180-10(50-52)=200个>180个，不符合题意，舍去;当x=60时，进货180-10(60-52)=100个<180个，符合题意.
答：当该商品每个定价为60元时，进货100个
20.(7分)(南充中考)已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0
(1)求证：方程有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22-x1x2=7，求m的值.
(1)证明：∵x2-(m-2)x-m=0，∴Δ=[-(m-3)]2-4×1×(-m)=m2-2m+9=(m-1)2+8>0，∴方程有两个不相等的实数根
(2)∵x2-(m-3)x-m=0，方程的两实根为x1、x2，且x12+x22-x1x2=7，∴(x1+x2)2-3x1x2=7，∴(m-3)2-3×(-m)=7，解得m1=1，m2=2，即m的值是1或2
21.(8分)(泰州中考)如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE.
(1)求证：△ABE≌△DAF;
(2)若AF=1，四边形ABED的面积为6，求EF的长.
证明：(1)易证△ABE≌△DAF(AAS)
(2)设EF=x，则AE=DF=x+1，由题意2×12×(x+1)×1+12×x×(x+1)=6，解得x=2或-5(舍弃)，∴EF=2
22.(8分)(锦州中考)传统节日“端午节”的早晨，小文妈妈为小文准备了四个粽子作早点：一个枣馅粽，一个肉馅粽，两个花生馅粽，四个粽子除内部馅料不同外，其它一切均相同.
(1)小文吃前两个粽子刚好都是花生馅粽的概率为__16__;
(2)若妈妈在早点中给小文再增加一个花生馅的粽子，则小文吃前两个粽子都是花生馅粽的可能性是否会增大?请说明理由.
解：(1)16 (2)会增大，理由：分别用A，B，C表示枣馅粽，肉馅粽，花生馅粽，画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，两个都是花生的有6种情况，∴都是花生的概率为：620=310>16;
∴给小文再增加一个花生馅的粽子，则小文吃前两个粽子都是花生馅粽的可能性会增大
23.(8分)(重庆中考)为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室.经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊.
(1)筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施?
(2)经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元.镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20000元.经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%(其中a>0).则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了109a%，求a的值.
解：(1)设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有(30000-x)元，
根据题意得：30000-x≥3x，解得：x≤7500.答：最多用7500元购买书桌、书架等设施
(2)根据题意得：200(1+a%)×150(1-109a%)=20000
整理得：a2+10a-3000=0，解得：a=50或a=-60(舍去)，所以a的值是50
24.(10分)如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1.
(1)判断△BEC的形状，并说明理由?
(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形?并证明你的判断;
(3)求四边形EFPH的面积.
解：(1)△BEC是直角三角形：理由是：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，由勾股定理得：CE=CD2+DE2=22+12=5，同理BE=25，∴CE2+BE2=5+20=25，∵BC2=52=25，∴BE2+CE2=BC2，∴∠BEC=90°，∴△BEC是直角三角形
(2)四边形EFPH为矩形，证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP，∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，∴AE=CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形，∵∠BEC=90°，∴平行四边形EFPH是矩形
(3)在Rt△PCD中FC⊥PD，由三角形的面积公式得：PD•CF=PC•CD，∴CF=4×225=455，∴EF=CE-CF=5-455=155，∵PF=PC2-CF2=855，∴S矩形EFPH=EF•PF=85，答：四边形EFPH的面积是85
25.(12分)(1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.求证：CE=CF;
(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用(1)的结论证明：GE=BE+GD;
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求四边形ABCD的面积.
(1)证明：易证△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF
(2)证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF.由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF.∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°.∵CE=CF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG.∴GE=GF，∴GE=GF=DF+GD=BE+GD
(3)解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G.在四边形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°，又∵∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形ABCG为正方形.∴AG=BC.∵∠DCE=45°，根据(1)(2)可知，ED=BE+DG. ∴10=4+DG，即DG=6.设AB=x，则AE=x-4，AD=x-6，在Rt△AED中，∵DE2=AD2+AE2，即102=(x-6)2+(x-4)2.解这个方程，得：x=12或x=-2(舍去).∴AB=12.∴S梯形ABCD=12(AD+BC)•AB=12×(6+12)×12=108.
即梯形ABCD的面积为108
九年级数学上学期期中试卷阅读
一、选择题(共10小题，每小题3分，本大题满分30分. 每一道小题有A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项最符合题目要求，把最符合题目要求的选项的代号直接填涂在答题卡内相应题号下的方框中，不涂、涂错或一个方框内涂写的代号超过一个，一律得0分.)
1.二次函数y=x2-2x+2的顶点坐标是
A.(1，1) B.(2，2) C.(1，2) D.(1，3)
2.平面直角坐标系内与点P(-2，3)关于原点对称的点的坐标是
A.(3，-2) B.(2，3) C.(2，-3) D.(-3，-3)
3.已知抛物线C的解析式为y=ax2+bx+c，则下列说法中错误的是
A.a确定抛物线的开口方向与大小
B.若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变
C.若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变
D.若将抛物线C沿直线l：y=x+2平移，则a、b、c的值全变
4.如图，B，C是⊙O上两点，且∠α=96°，A是⊙O上一个动点(不与B，C重合)，则∠A为
A.48° B.132° C.48°或132° D.96°
5.如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为
A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6
6.如图，将半径为6cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为
A. B. C. 2 D. 3
7.若二次函数y=mx2-4x+m有最大值-3，则m等于
A.m=4 B.m=-4 C.m=1 D.m=-1
8.在平面直角坐标系中，将点P(-3，2)绕点A(0，1)顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为
A.(-1，-2) B.(3，-2) C.(1，4) D.(1，3)
9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，将△ACB绕点A逆时针旋转60°得到△AC′B′，则CB′的长为
A. B. C.3 D.
10.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(0，3)，(x1，0)，其中，2
A.②③④ B.①②③ C.②④ D.②③
二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)
11.已知二次函数y=ax2+4ax+c的图象与x轴的一个交点为(-1，0)，则它与x轴的另一个交点
的坐标是 .
12.抛物线的部分图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是_________________.
13.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B'C，连接AA'，若∠1= 20°，则∠B的度数为 .
14.如图，C是⊙O的弦BA延长线上一点，已知∠COB=130°，∠C=20°，OB=2，则AB的长为________.
15.如图，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，则S梯形ABCE= cm2.
16.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，E，F分别在边AC，BC，若以EF为直径作圆经过AB上某点D，则EF长的取值范围为 .
三、解答题(共8小题，共72分)
17.(5分)已知抛物线的顶点坐标是(-1，-4)，与y轴的交点是(0，-3)，求这个二次函数的解析式.
18.(8分)如图所示，△ABC与点O在10×10
的网格中的位置如图所示.
(1) 画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形.
(2) 若⊙M能盖住△ABC，则⊙M的半径最小值为________.
19. (7分)河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥(如图1)，
水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m，因降暴雨水面上升1m.
(1)建立如下的坐标系，求暴雨后水面的宽;
(2)一艘装满物资的小船，露出水面部分高为0.5m、宽4m(横断面如图2所示)，暴雨后
这艘船能从这座拱桥下通过吗?(注：结果保留根号.)
图1 图2
20.(7分)已知y关于x二次函数y=x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)与x轴有交点.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1，x2是关于x的方程x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)=0的两个实数根，且x12+x22=39，
求k的值.
21.(7分)如图，台风中心位于点A，并沿东北方向AC移动，已知台风移动的速度为50
千米/时，受影响区域的半径为130千米，B市位于点A的
北偏东75°方向上，距离A点240千米处.
(1)说明本次台风会影响B市;
(2)求这次台风影响B市的时间.
22.(8分)某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每
个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每
个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价为x元(x为整数).
(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数解析式.
(2)设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少?
23.(8分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且 ，CE⊥DA交DA的延长线于点E.
(1)求证：∠CAB=∠CAE;
(2)求证：CE是⊙O的切线;
(3)若AE=1，BD=4，求⊙O的半径长.
24.(10分)如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D，E分别在CB，CA上，且CD=CE，连AD，BE，F为AD的中点，连CF.
(1)求证：CF=BE，且CF⊥BE;
(2)将△CDE绕点C顺时针旋转一个锐角(如图2)，其它条件不变，此时(1)中的结论
是否仍成立?并证明你的结论.
25.(12分)如图1，抛物线y=ax2+bx+c 的图象与x轴交于A(-3，0)、B(1，0)两点，与y轴交于点C，且OC=OA.
(1)求抛物线解析式;
(2)过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AC交于点N.已知M点
的横坐标为m，试用含m的式子表示MN的长及△ACM的面积S，并求当MN的
长最大时S的值;
(3)如图2，D(0，-2)，连接BD，将△OBD绕平面内的某点(记为P)逆时针旋转
180°得到△O′B′D′，O、B、D的对应点分别为O′、B′、D′.若点B′、D′两点恰好落
在抛物线上，求旋转中心点P的坐标.
九年级数学评分标准
1-10 A C D C B A B C B D
11、(-3，0);12、-1
17、y=(x+1)2-4
18、(1)略;(2)(以AC为直径)
19、因为当水面宽AB=6m时,水面离桥孔顶部3m,所以点A的坐标是(3,-3).
把x=3，y=-3代入y=ax2得-3=a×32，解得 a=.
把y=-2代入y=x2,得， .
解得， .
所以，点C、D的坐标分别为(,-2)、(-,-2),
CD=2.
答:水位上升1m时,水面宽约为2m.
(2)当x=2时，y=，
因为船上货物最高点距拱顶1.5米，且||<1.5，所以这艘船能从桥下通过.
20、解：(1)∵y关于x二次函数y=x2-(2k+1)x+(k2+5k+9)与x轴有交点，
∴△≥0，即[-(2k+1)]2-4×1×(k2+5k+9)≥0，
解得k≤;
(2)根据题意可知x1+x2=2k+1，x1x2=k2+5k+9，
∵x12+x22=39，
∴(x1+x2)2-2x1x2=39，
∴(2k+1)2-2(k2+5k+9)=39，解得k=7或k=-4，
∵k≤，
∴k=-4.
21、解：(1)作BD⊥AC于点D.
在Rt△ABD中，由条件知，AB=240，∠BAC=75°﹣45°=30°，
∴BD=240×=120<130，
∴本次台风会影响B市.
(2)如图，以点B为圆心，以130为半径作圆交AC于E，F，
若台风中心移动到E时，台风开始影响B市，台风中心移动到F时，台风影响结束.
由(1)得BD=240，由条件得BE=BF=130，
∴EF=2=100，
∴台风影响的时间t==2(小时).
故B市受台风影响的时间为2小时.
22、解：(1)y=50-=-0.1x+62;
(2)w=(x-20)(-0.1x+62)
=-0.1x2+64x-1240
=-0.1(x-320)2+9000，
∴当x=320时，w取得最大值，最大值为9000，
答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元.
23、证明：(1)∵，∴∠CDB=∠CBD，
∵∠CAE=∠CBD，∠CAB=∠CDB，
∴∠CAB=∠CAE;
(2)连接OC
∵AB为直径，∴∠ACB=90°=∠AEC，
又∵∠CAB=∠CAE，∴∠ABC=∠ACE，
∵OB=OC，∴∠BCO=∠CBO，∴∠BCO=∠ACE，∴∠ECO=∠ACE+∠ACO=∠BCO+∠ACO=∠ACB=90°，
∴EC⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线.
(3)过点C作CF⊥AB于点F，
∵∠CAB=∠CAE，CE⊥DA，
∴AE=AF，
在△CED和△CFB中，
，
∴△CED≌△CFB，
∴ED=FB，
设AB=x，则AD=x-2，
在△ABD中，由勾股定理得，x2=(x-2)2+42，
解得，x=5，
∴⊙O的半径的长为2.5.
24、解：(1)在△ACD和△BCE中，
∵，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE、∠CAD=∠CBE，
∵F为AD中点，∠ACD=90°，
∴FC=AF=AD，
∴CF=BE，∠CAD=∠ACF，
∴∠CBE=∠ACF，
∴∠CBE+∠BCF=∠ACF+∠BCF=∠BCE=90°，
∴CF⊥BE;
(2)此时仍有CF=BE、CF⊥BE，
延长CF至G，使FG=CF，连接GA，
在△CDF和△GAF中，
∵，
∴△DFC≌△AFG(SAS)，
∴GA=CD，∠FDC=∠FAG，
∴AG∥DC，AG=CE，
∴∠GAC+∠DCA=180°，
又∵∠BCE+∠DCA=∠BCA+∠ACD+∠ECA=∠BCA+∠ECD=180°，
∴∠GAC=∠BCE，
在△BCE和△CAG中，
∵，
∴△BCE≌△CAG(SAS)，
∴CG=BE，∠CBE=∠ACG，
∴CF=BE，∠CBE+∠BCF=∠BCA=90°，
∴CF⊥BE.
解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-1)，
将C(0，3)代入解析式得，-3a=3,解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3.
(2)如图1中，
∵A(﹣3，0)，C(0，3)，
∴直线AC解析式为y=x+3，OA=OC=3，
设M(m，-m2-2m+3)，则N(m，m+3)，
则MN=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m(-3
，
MN=-m2-3m=-(m+)2+，
∵a=-1<0， -3
∴m=-时，MN最大，此时S=;
(3)如图2中，旋转180°后，对应线段互相平行且相等，则BD与B′D′互相平行且相等.
设B′(t，-t2-2t+3)，则D′(t+1，-t2-2t+3+2)
∵B′在抛物线上，则-(t+1)2-2(t+1)+3=-t2-2t+3+2，
解得，t=，则B′的坐标为(，)，
P是点B和点B′的对称中心，
∴P(，).
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