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2017年抚顺中考数学练习试题及答案(2)

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  【考点】旋转的性质;全等三角形的判定;菱形的判定;正方形的性质.

  【分析】首先证明△ADE≌△GDE,再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数,推出AE=EG=FG=AF,由此可以一一判断.

  【解答】证明:∵四边形ABCD是正方形,

  ∴AD=DC=BC=AB,∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°,∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°,

  ∵△DHG是由△DBC旋转得到,

  ∴DG=DC=AD,∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°,

  在RT△ADE和RT△GDE中,

  ,

  ∴AED≌△GED,故②正确,

  ∴∠ADE=∠EDG=22.5°,AE=EG,

  ∴∠AED=∠AFE=67.5°,

  ∴AE=AF,同理△AEF≌△GEF,可得EG=GF,

  ∴AE=EG=GF=FA,

  ∴四边形AEGF是菱形,故①正确,

  ∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°,故③正确.

  ∵AE=FG=EG=BG,BE= AE,

  ∴BE>AE,

  ∴AE< ,

  ∴CB+FG<1.5,故④错误.

  故答案为①②③.

  三、解答题(本大题共2小题,每小题8分,满分16分)

  15.计算:|﹣3|+ tan30°﹣ ﹣0.

  【考点】实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.

  【分析】根据实数的运算方法,零指数幂的求法,以及特殊角的三角函数值,求出|﹣3|+ tan30°﹣ ﹣0的值是多少即可.

  【解答】解:|﹣3|+ tan30°﹣ ﹣0

  =3+ × ﹣2 ﹣1

  =3+1﹣2 ﹣1

  =3﹣2

  16.先化简,再求值:( ﹣x﹣1)÷ ,选一个你喜欢的数代入求值.

  【考点】分式的化简求值.

  【分析】首先把括号内的分式约分,然后通分相加,把除法转化为乘法,计算乘法即可化简,然后化简x的值,代入求解即可.

  【解答】解:原式=[ ﹣(x+1)]•

  =[ ﹣(x+1)]•

  = •

  =1﹣(x﹣1)

  =2﹣x.

  当x=0时,原式=2.

  四、解答题(本小题共2小题,每小题8分,共16分)

  17.,在平面直角坐标系中,直角△ABC的三个顶点分别是:A(﹣3,1),B(0,3),C(0,1)

  (1)将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°,画出旋转后对应的△A1B1C1;

  (2)分别连结AB1,BA1后,求四边形ABA1B1的面积.

  【考点】作图﹣旋转变换;扇形面积的计算.

  【分析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1,从而得到△A1B1C1;

  (3)利用两个梯形的面积和减去一个三角形的面积计算四边形ABA1B1的面积.

  【解答】解:(1),△A1B1C1为所作;

  (2),四边形ABA1B1的面积= (1+3)×3+ ×(1+3)×3﹣ ×1×6=9.

  18.观察下列关于自然数的等式:

  (1)32﹣4×12=5    (1)

  (2)52﹣4×22=9    (2)

  (3)72﹣4×32=13   (3)

  …

  根据上述规律解决下列问题:

  (1)完成第五个等式:112﹣4× 5 2= 21 ;

  (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示),并验证其正确性.

  【考点】整式的混合运算;规律型:数字的变化类.

  【分析】(1)根据前三个找出规律,写出第五个等式;

  (2)用字母表示变化规律,根据完全平方公式计算,即可证明.

  【解答】解:(1)112﹣4×52=21,

  故答案为:5;21;

  (2)第n个等式为:(2n+1)2﹣4n2=4n+1,

  证明:(2n+1)2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1.

  五、解答题(本大题共2小题,每小题10分,共20分)

  19.南沙群岛是我国固有领土,现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业,当渔船航行至B处时,测得该岛位于正北方向20(1+ )海里的C处,为了防止某国海巡警干扰,就请求我A处的渔监船前往C处护航,已知C位于A处的北偏东45°方向上,A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之间的距离.

  【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题.

  【分析】作AD⊥BC,垂足为D,设CD=x,利用解直角三角形的知识,可得出AD,继而可得出BD,结合题意BC=CD+BD可得出方程,解出x的值后即可得出答案.

  【解答】解:,作AD⊥BC,垂足为D,

  由题意得,∠ACD=45°,∠ABD=30°.

  设CD=x,在Rt△ACD中,可得AD=x,

  在Rt△ABD中,可得BD= x,

  又∵BC=20(1+ ),CD+BD=BC,

  即x+ x=20(1+ ),

  解得:x=20,

  ∴AC= x=20 (海里).

  答:A、C之间的距离为20 海里.

  20.已知,,一次函数y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数y= (n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C.CD⊥x轴,垂足为D,若OB=2OA=3OD=6.

  (1)求一次函数与反比例函数的解析式;

  (2)求两函数图象的另一个交点坐标;

  (3)直接写出不等式;kx+b≤ 的解集.

  【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

  【分析】(1)先求出A、B、C坐标,再利用待定系数法确定函数解析式.

  (2)两个函数的解析式作为方程组,解方程组即可解决问题.

  (3)根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方,即可解决问题,注意等号.

  【解答】解:(1)∵OB=2OA=3OD=6,

  ∴OB=6,OA=3,OD=2,

  ∵CD⊥OA,

  ∴DC∥OB,

  ∴ = ,

  ∴ = ,

  ∴CD=10,

  ∴点C坐标(﹣2,10),B(0,6),A(3,0),

  ∴ 解得 ,

  ∴一次函数为y=﹣2x+6.

  ∵反比例函数y= 经过点C(﹣2,10),

  ∴n=﹣20,

  ∴反比例函数解析式为y=﹣ .

  (2)由 解得 或 ,

  故另一个交点坐标为(5,﹣4).

  (3)由图象可知kx+b≤ 的解集:﹣2≤x<0或x≥5.

  六、解答题(本题满分12分)

  21.某校在践行“社会主义核心价值观”演讲比赛中,对名列前20名的选手的综合分数m进行分组统计,结果如表所示:

  组号 分组 频数

  一 6≤m<7 2

  二 7≤m<8 7

  三 8≤m<9 a

  四 9≤m≤10 2

  (1)求a的值;

  (2)若用扇形图来描述,求分数在8≤m<9内所对应的扇形图的圆心角大小;

  (3)将在第一组内的两名选手记为:A1、A2,在第四组内的两名选手记为:B1、B2,从第一组和第四组中随机选取2名选手进行调研座谈,求第一组至少有1名选手被选中的概率(用树状图或列表法列出所有可能结果).

  【考点】列表法与树状图法;频数(率)分布表;扇形统计图.

  【分析】(1)根据被调查人数为20和表格中的数据可以求得a的值;

  (2)根据表格中的数据可以得到分数在8≤m<9内所对应的扇形图的圆心角大;

  (3)根据题意可以写出所有的可能性,从而可以得到第一组至少有1名选手被选中的概率.

  【解答】解:(1)由题意可得,

  a=20﹣2﹣7﹣2=9,

  即a的值是9;

  (2)由题意可得,

  分数在8≤m<9内所对应的扇形图的圆心角为:360°× =162°;

  (3)由题意可得,所有的可能性如下图所示,

  故第一组至少有1名选手被选中的概率是: = ,

  即第一组至少有1名选手被选中的概率是 .

  七、解答题(本题满分12分)

  22.,以△ABC的BC边上一点O为圆心,经过A,C两点且与BC边交于点E,点D为CE的下半圆弧的中点,连接AD交线段EO于点F,若AB=BF.

  (1)求证:AB是⊙O的切线;

  (2)若CF=4,DF= ,求⊙O的半径r及sinB.

  【考点】切线的判定.

  【分析】(1)连接OA、OD,,根据垂径定理得OD⊥BC,则∠D+∠OFD=90°,再由AB=BF,OA=OD得到∠BAF=∠BFA,∠OAD=∠D,加上∠BFA=∠OFD,所以∠OAD+∠BAF=90°,则OA⊥AB,然后根据切线的判定定理即可得到AB是⊙O切线;

  (2)先表示出OF=4﹣r,OD=r,在Rt△DOF中利用勾股定理得r2+(4﹣r)2=( )2,解方程得到r的值,那么OA=3,OF=CF﹣OC=4﹣3=1,BO=BF+FO=AB+1.

  然后在Rt△AOB中利用勾股定理得AB2+OA2=OB2,即AB2+32=(AB+1)2,解方程得到AB=4的值,再根据三角函数定义求出sinB.

  【解答】(1)证明:连接OA、OD,,

  ∵点D为CE的下半圆弧的中点,

  ∴OD⊥BC,

  ∴∠EOD=90°,

  ∵AB=BF,OA=OD,

  ∴∠BAF=∠BFA,∠OAD=∠D,

  而∠BFA=∠OFD,

  ∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°,即∠OAB=90°,

  ∴OA⊥AB,

  ∴AB是⊙O切线;

  (2)解:OF=CF﹣OC=4﹣r,OD=r,DF= ,

  在Rt△DOF中,OD2+OF2=DF2,即r2+(4﹣r)2=( )2,

  解得r1=3,r2=1(舍去);

  ∴半径r=3,

  ∴OA=3,OF=CF﹣OC=4﹣3=1,BO=BF+FO=AB+1.

  在Rt△AOB中,AB2+OA2=OB2,

  ∴AB2+32=(AB+1)2,

  ∴AB=4,OB=5,

  ∴sinB= = .

  八、解答题(本题满分14分)

  23.,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c过A,B,C三点,点A的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,﹣3),动点P在抛物线上.

  (1)b= ﹣2 ,c= ﹣3 ,点B的坐标为 (﹣1,0) ;(直接填写结果)

  (2)是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;

  (3)过动点P作PE垂直y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线.垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.

  【考点】二次函数综合题.

  【分析】(1)将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值,然后令y=0可求得点B的坐标;

  (2)分别过点C和点A作AC的垂线,将抛物线与P1,P2两点先求得AC的解析式,然后可求得P1C和P2A的解析式,最后再求得P1C和P2A与抛物线的交点坐标即可;

  (3)连接OD.先证明四边形OEDF为矩形,从而得到OD=EF,然后根据垂线段最短可求得点D的纵坐标,从而得到点P的纵坐标,然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标.

  【解答】解:(1)∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得: ,解得:b=﹣2,c=﹣3.

  ∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3.

  ∵令x2﹣2x﹣3=0,解得:x1=﹣1,x2=3.

  ∴点B的坐标为(﹣1,0).

  故答案为:﹣2;﹣3;(﹣1,0).

  (2)存在.

  理由:所示:

  ①当∠ACP1=90°.

  由(1)可知点A的坐标为(3,0).

  设AC的解析式为y=kx﹣3.

  ∵将点A的坐标代入得3k﹣3=0,解得k=1,

  ∴直线AC的解析式为y=x﹣3.

  ∴直线CP1的解析式为y=﹣x﹣3.

  ∵将y=﹣x﹣3与y=x2﹣2x﹣3联立解得x1=1,x2=0(舍去),

  ∴点P1的坐标为(1,﹣4).

  ②当∠P2AC=90°时.

  设AP2的解析式为y=﹣x+b.

  ∵将x=3,y=0代入得:﹣3+b=0,解得b=3.

  ∴直线AP2的解析式为y=﹣x+3.

  ∵将y=﹣x+3与y=x2﹣2x﹣3联立解得x1=﹣2,x2=3(舍去),

  ∴点P2的坐标为(﹣2,5).

  综上所述,P的坐标是(1,﹣4)或(﹣2,5).

  (3)2所示:连接OD.

  由题意可知,四边形OFDE是矩形,则OD=EF.

  根据垂线段最短,可得当OD⊥AC时,OD最短,即EF最短.

  由(1)可知,在Rt△AOC中,

  ∵OC=OA=3,OD⊥AC,

  ∴D是AC的中点.

  又∵DF∥OC,

  ∴ .

  ∴点P的纵坐标是 .

  ∴ ,解得: .

  ∴当EF最短时,点P的坐标是:( , )或( , ).

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