文科高二第一学期期中考试题
有很多同学说数学总是学习不好，那是因为我们没有找到学习的方法，今天小编就给大家分享一下高二数学，欢迎大家来收藏哦
高二数学上学期期中试卷文科
第Ⅰ卷(选择题60分)
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1. 已知直线 ：x+2ay-1=0, 与 ：(2a-1)x-ay-1=0平行，则a的值是( )
A. 0或1 B. 1或 C. 0或 D.
2. 不论m为何实数，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点( )
A. B. (-2，0) C. (-2，3) D. (2，3)
3.垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.A、B、C均有可能
4.棱长分别为2， ， 的长方体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
5.已知梯形 是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图 (如图所示)，其中 ， ， ，则直角梯形 边的长度是( )
A. B. C. D.
6.如图，在正方体 中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线; ②直线BN与MB1是异面直线;
③直线AM与BN是平行直线; ④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为( )
A.③④ B.①② C.①③ D.②④
7.长方体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAB1 =60°，则C1D与B1B所成的角是( )]
A.60° B.90° C. 30° D. 45°
8.一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的体积为( )
A. B. C. D.
9.已知正三棱柱 (底面是正三角形且侧棱垂直底面)底面边长为1且侧棱长为4, 为 的中点,从 拉一条绳子绕过侧棱 到达 点的最短绳长为( )
A. B. C. D.
10. 曲线x2+y2+4x-4y=0关于( )
A. 直线x=4对称 B. 直线x+y=0对称 C. 直线x-y=0对称 D. 直线 (-4,4)对称
11. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是( )
A. B. C. D.3
12.已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13.若三点 A(-2，12)，B(1，3)，C(m，-6)共线，则m的值为 ▲ .
14.平面 截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面 的距离为 ，则此球的体积为▲ .
15.若圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形则圆柱的体积为 ▲ .
16.正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为 ▲ .
三、解答题(本大题共6小题，共计70分)
17 .(本小题满分10分)已知直线 ，求：
(1)点P(4,5)关于 的对称点;
(2)直线 关于直线 对称的直线方程.
18. (本小题满分12分)如图所示，四棱锥V-ABCD的底面为边长等于2的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长均为4，求这个四棱锥的体积及表面积.
19. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形.点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证：AB∥EF;
(2)若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD.
20如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点.
(1)证明：直线CE∥平面PAB;
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值.
21. (本小题满分12分)已知圆C的圆心坐标 且与直线 相切
(1)求圆C的方程;
(2)设直线 与圆C交于M，N两点，那么以MN为直径的圆能否经过原点，若能，请求出直线MN的方程;若不能，请说明理由.
22. (本小题满分12分)已知曲线
(1)若曲线C1是一个圆，且点P(1,1)在圆C1外，求实数m的取值范围;
(2)当m=1时，曲线C1关于直线 对称的曲线为C2.设P为平面上的点，满足：存在过P点的无穷多对互相垂直的直线l1，l2，它们分别与曲线C1和曲线C2相交，且直线l1被曲线C1截得的弦长与直线l2被曲线C2截得的弦长总相等.求所有满足条件的点P的坐标;
参考答案
一、选择题
1-6：CCDBBD 7-12:CCBBB B
二、填空题
13. 4 14. 15. 16.
三、解答题
17. (本小题满分10分)
(1)设P(x，y)关于直线 ：3x-y+3=0的对称点为 则
∵ ，即 .①
又PP'的中点在直线3x-y+3=0上，
∴ .②
由①②得 .
把x=4，y=5代入③④得 =-2， =7，
∴P(4，5)关于直线 的对称点 的坐标为(-2，7).
(2)用③④分别代换x-y-2=0中的x，y得关于 的对称直线方程为
.
化简得7x+y+22=0.
18. (本小题满分12分)
解：连结 交于点 ,连结 ,
∵四棱锥 的底面为边长等于2的正方形，顶点 与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长4，∴ ，∴
∴这个四棱锥的体积： (8分)
∴该四棱锥的表面积： (12分)
19. (本小题满分12分)
解： (1)∵在三棱锥P−ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点
∠BAC= ，AB=2，AC= ，PA=2.∴ ，
∴三棱锥P−ABC的体积为 (6分)
(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC，
∴∠ADE或其补角是异面直线BC与AD所成的角.
在△ADE中, ，
中，
故:异面直线BC与AD所成角的余弦值为 (12分)
19. (本小题满分12分)
11.【答案】解：(1)证明： 底面ABCD是正方形，
AB∥CD ,
又 AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
AB∥平面PCD ,
又 A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，
AB∥EF ;
(2)证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD ,
又 平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD,CD⊄平面PAD
CD⊥平面PAD ,
又 AF⊂平面PAD ,
CD⊥AF ,
由(1)可知，AB∥EF，
又 AB∥CD，C,D,E,F 在同一平面内，
CD∥EF ,
点E是棱PC中点，
点F是棱PD中点 ,
在△PAD中， PA=AD，
AF⊥PD ,
又 PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD,
AF⊥平面PCD.
20(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，
所以EF AD,EF= AD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC EF, BC=EF
∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，
∴直线CE 平面PAB;
(2)解：四棱锥P-ABCD中，
侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，
∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点.
取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP= ，
∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，
可得：BN=MN，CN= MN，BC=1，
可得：1+ BN2=BN2，BN= ，MN= ，
作NQ⊥AB于Q，连接MQ，AB⊥MN，
所以∠MQN就是二面角M-AB-D的平面角，MQ=
= ，
二面角M-AB-D的余弦值为： = .
21. (本小题满分12分)
解：解：(Ⅰ)根据题意，，
故圆的标准方程为：(x-2)2+y2=10;
(Ⅱ)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是直线y=-x+m与圆C的交点，
联立y=-x+m与(x-2)2+y2=10可得：2x2-(4+2m)x+m2-6=0，
则有x1+x2=m+2，x1•x2= ，
则MN中点H的坐标为( ， )，
假设以MN为直径的圆经过原点，则有|OH|= |MN|，
圆心C到MN的距离d= ，
则有|MN|=2 =2 ，
又由|OH|= |MN|，
则有( )2+( )2=10- ，
解可得m=1± ，
经检验，m=1± 时，直线与圆相交，符合题意;
故直线MN的方程为：y=-x+1+ 或y=-x+1- .
22. (满分12分)(1)如图，设圆台上、下底面半径分别为r、R，
AD=x，则OD=72−x，
由题意得，∴R=12，r=6，x=36，∴AD=36cm。………(5分)
(2)圆台所在圆锥的高H= =12 ,圆台的高h= ，
∴ ………(12分)
9.【答案】解：(Ⅰ)依题意得 ，解得 ，即实数 的取值范围是
(Ⅱ)当 时，圆 ，圆心 ，
半径 ，圆 ，圆心 ，半径 .
(ⅰ)因为要存在存在过 点的无穷多对互相垂直的直线 ，
所以必有无穷多对的斜率存在.设直线 的斜率为 ， 则
直线 ，同理直线 ，由于两圆半径相等，
要使得直线 被曲线 截得的弦长与直线 被曲线 截得的弦长总相等，
即 ，即 ，
即 ，所以
或 整理得 或
因为对无穷个k都成立，所以
或 ，解得 或 即 ，
(ⅱ)设 到MN的距离为 ，则 ， ，
所以
同理
所以 (定值)
高二年级数学上学期期中试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分)
1.椭圆 : 的焦距为( )
A. B. C. D.
2. 下列不等式一定成立的是( )
A.若 ,则 B.若 ,则
C.若 ,则 D.若 ,则
3.已知 是公差为 的等差数列,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线方程为 ,则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.等差数列 中,若 ,则数列 前11项的和为( )
A. B. C. D.
6.若双曲线 的左、右焦点分别为 , ,点 在双曲线 上,且 ,则 等于( )
A.11 B.9 C.5 D.3
7.设命题 ,则p的否命题为( )
A. B.
C. D.
8. 已知椭圆 的左焦点为 ,则 ( )
A. B. C. D.
9.已知对任意的 , 恒成立,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知双曲线 的离心率 ,且其右焦点为 ,则双曲线 的方程为( )
A. B. C. D.
11.设 .若 是 与 的等比中项,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
12.两个等差数列 和 ,其前 项和分别为 ,且 则 等于( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分。)
13. 函数 的值域为__________
14. 设点 是椭圆 上的动点, 为椭圆的左焦点,则 的最大值为__________
15. 已知 ,若 是 的必要而不充分条件,则实数 的取值范围是__________.
16.双曲线 的顶点到渐近线的距离是__________.
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
17.(10分) 已知 , ,若 是 的充分不必要条件,求 的取值范围。
18.(12分) 已知 是一个等差数列,且 , .
1.求 的通项
2.求 前 项和 的最大值.
19.(12分) (1)已知x>0,y>0,且 ,求x+y的最小值;
(2)已知x ,求函数y=4x-2+ 的最大值;
(3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.
20.(12分) 已知椭圆 的一个顶点为 离心率为 .直线 与椭圆 交于不同的两点
1.求椭圆 的方程
2.当 的面积为 时,求 的值
21. (12分) (本小题满分12分)已知数列 的前n项和为sn,且 是 与2的等差中项,数列 满足
⑴求 和 的值;
⑵求数列 的通项 ，bn
⑶ 设 ,求数列 的前n项和 .
22.(12分) 已知双曲线的中心在原点,焦点 在坐标轴上,离心率为 ,且过点 .
1.求双曲线的方程;
2.若点 在双曲线上,求证 ;
3.若2的条件,求 的面积.
(数学试题答案)
一、选择题BDBBA BCCBB BD
二、填空题
13.答案： 当 时, .
当且仅当 , 时取等号.14.答案：
15.答案： 由已知,得 .∴渐近线方程为 .顶点 .
∴顶点到渐近线距离 .
16.答案：
三、解答题
17、答案： 解:
又 故
18.答案：1.设 的公差为 ,由已知条件, ,
解出 , 所以
2. 所以 时, 取到最大
19、答案： (1)16(2)1(3)18
解析： 1)∵x>0,y>0, + =1,∴x+y=(x+y)
= + +10≥6+10=16.当且仅当 = 时,上式等号成立,
又 + =1,∴x=4,y=12时,(x+y)min=16.
(2)∵x ,∴5-4x>0,∴y=4x-2+ =- +3≤-2+3=1,
当且仅当5-4x= ,即x=1时,上式等号成立,
故当x=1时,ymax=1.
(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴ + =1,
∴x+y=(x+y) =10+ +
=10+2 ≥10+2×2× =18,
当且仅当 = ,即x=2y时取等号,又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,
∴当x=12,y=6时,x+y取最小值18.
20.答案：1.椭圆 的方程为 2.
解析：1.由题意得 ,解得 ,所以椭圆 的方程为
2.由 ,得
设点 的坐标分别为 ,
则 , ,
所以
又因为点 到直线 的距离 ,
所以 的面积为
由 得,
21、答案： 解:(1)∵ 是 与2的等差中项
∴ ---------------------------1分
∴ -------3分
(2)
.
∵a1=2 ∴ -----8分
(3) --------12分
22.答案：1.∵ ,∴可设双曲线方程为 .
∵双曲线过点 ,∴ ,即 .∴双曲线方程为 .
2.方法一:由1可知, ,∴ ,
∴ , ,∴ , ,
.∵点 在双曲线上,
∴ ,即 ,故 ,∴ .
∴ .
方法二:由1可知, ,∴ ,
∴ , ,
, ,∴ ,
∵点 在双曲线上,∴ ,即 ,
∴ .
3. 的底 ,
的高 ,
∴ .
高二上学期数学期中联考试题
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若 ，则下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
2.设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则数列 的公差为( )
A. B. C. D.
3.在 中， ，则 的形状为( )
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
4.已知变量x，y满足约束条件 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
5.在等比数列 中， ，且 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
6.在 中，角 的对边分别为 ,若角 ， ， ，则角 ( )
A. B. C. 或 D. 或
7. 的两边长分别为 ，其夹角为 ，则其外接圆直径为( )
A. B. C. D.
8. 设数列 满足： ， ，则 ( )
A. B. C. D.
9.已知 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
10.已知 ， 的等比中项是 ，且 ， ，则 的最小值是( )
A. B. C. D.
11.数列 的前 项和为 ，若 ，则符合 的最小的 值为( )
A. B. C. D.
12.已知 ，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
第II卷 (非选择题共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应位置.
13.若关于 的不等式 的解集是 ，则实数 的值是 .
14.在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 .
15.数列 中， ，则 .
16.如图所示，在地面上共线三点 、 、 测得一建筑物 的
仰角分别为 、 、 ，(其中 与 、 、 在同水平面上)，
且 ，则建筑物高 为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
如图,平面四边形 中, ，
, .
(Ⅰ)求 的长;
(Ⅱ)求 的度数.
18. (本小题满分12分)
已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ，且 ， .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设 ，求数列 的前 项和 .
19.(本小题满分12分)
在 中，角 的三边长分别为 ，已知 ， .
(Ⅰ)若 ,求 ;
(Ⅱ)求 周长 取值范围.
20.为迎接2018年省运会，宁德市某体育馆需要重新铺设塑胶跑道.已知每毫米厚的跑道的铺设成本为10万元，跑道平均每年的维护费 (单位：万元)与跑道厚度 (单位：毫米)的关系为 .若跑道厚度为10毫米，则平均每年的维护费需要9万元.设总费用 为跑道铺设费用与10年维护费之和.
(Ⅰ)求 的值与总费用 的表达式;
(Ⅱ)塑胶跑道铺设多厚时，总费用 最小，并求最小值.
21.(本小题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ)解关于 的不等式 ;
(Ⅱ)若函数 的图象上存在一点在函数 的上方，求 的取值范围.
22.(本小题满分12分)
已知数列 的前 项和为 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设 为数列 的前 项和，其中 ，求 ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若存在 ，使得 成立，求出实数 的取值范围.
高二数学试题答案
一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B A B C A D A B D A
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
如图,平面四边形 中, ，
, .
(Ⅰ)求 的长;
(Ⅱ)求 的度数.
解：(Ⅰ)在 中， ， 1分
由正弦定理得
4分
的长为 . 5分
(Ⅱ)在 中，
由余弦定理得 , 7分
, 8分
, 9分
. 10分
18. (本小题满分12分)
已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ，且 ， .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设 ，求数列 的前 项和 .
解：(1) 成等比数列， ， 1分
又 ，
， 3分
又 ， 解得 ， 5分
， 6分
(2)由已知得 ， 7分
8分
9分
， 11分
. 12分
19.(本小题满分12分)
在 中，角 的三边长分别为 ，已知 ， .
(Ⅰ)若 ,求 ;
(Ⅱ)求 周长 取值范围.
解：(Ⅰ)法一:由正弦定理得 ， 1分
在 中， ， 2分
， ， 4分
又 ， . 6分
法二：由正弦定理得 ， 1分
在 中， ， 2分
， ， ， 4分
又 ， . 6分
(2)法一： ， ， ， 7分
， 8分
， 9分
在 中， 10分
， 11分
的周长 ， 12分
法二： , ， , 7分
由正弦定理得 ， 8分
周长 ，
， 9分
， ， 10分
， 11分
的周长 12分
20.为迎接2018年省运会，宁德市某体育馆需要重新铺设塑胶跑道.已知每毫米厚的跑道的铺设成本为10万元，跑道平均每年的维护费 (单位：万元)与跑道厚度 (单位：毫米)的关系为 .若跑道厚度为10毫米，则平均每年的维护费需要9万元.设总费用 为跑道铺设费用与10年维护费之和.
(Ⅰ)求 的值与总费用 的表达式;
(Ⅱ)塑胶跑道铺设多厚时，总费用 最小，并求最小值.
解：(Ⅰ)依题意， 时， ，解得 ， 2分
， 3分
， 4分
(定义域没写扣 分) 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
， 7分
， 9分
当且仅当 即 时取最小值， 11分
答：当 毫米时，总费用 最小，最小值为180万元. 12分
21.(本小题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ)解关于 的不等式 ;
(Ⅱ)若函数 的图象上存在一点在函数 的上方，求 的取值范围.
解：(Ⅰ)由 得 ，即 1分
当 时， ， ， 2分
当 时， ，不等式无解， 3分
当 时， ， ， 4分
综上所述，当 时，解集为 ，
当 时，解集为 ，
当 时，解集为 . 5分
(Ⅱ)依题意， 在 上有解， 6分
即 在 上有解， 7分
即 ， 9分
解得 或
又 ， 12分
22.(本小题满分12分)
已知数列 的前 项和为 .
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设 为数列 的前 项和，其中 ，求 ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若存在 ，使得 成立，求出实数 的取值范围.
解：(Ⅰ) ， 当 时， 1分
， 2分
当 时， ， 3分
的通项 . 4分
(Ⅱ) ，
5分
6分
7分
8分
(Ⅲ)存在 ，使得 成立，
存在 ，使得 成立， 9分
即 有解， 10分
，当 时取等号， 11分
. 12分
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