2017年红河中考数学模拟真题及答案(2)
故答案为5;
18.手机上常见的wifi标志所示，它由若干条圆心相同的圆弧组成，其圆心角为90°，最小的扇形半径为1.若每两个相邻圆弧的半径之差为1，由里往外的阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3…，则S1+S2+S3+…+S20= 195π .
【考点】MO：扇形面积的计算.
【分析】先利用扇形的面积公式分别计算出S1= π;S2= π+π;S3= π+2π，则利用此规律得到S20= π+19π，然后把它们相加即可.
【解答】解：S1= π•12= π;
S2= π•(32﹣22)= π+π;
S3= π•(52﹣42)= π+2π;
…
S20= π+19π;
∴S1+S2+S3+…+S20=5π+(1+2+3+…+19)π=195π.
故答案为195π.
三、解答题(本大题共7小题，共66分.解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中，设计了以下两种方案：
课题 测量教学楼高度
方案 一 二
图示
测得数据 CD=6.9m，∠ACG=22°，∠BCG=13°， EF=10m，∠AEB=32°，∠AFB=43°
参考数据 sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，
tan22°≈0.40
sin13°≈0.22，cos13°≈0.97
tan13°≈0.23 sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62
sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93
请你选择其中的一种方法，求教学楼的高度(结果保留整数)
【考点】T8：解直角三角形的应用.
【分析】若选择方法一，在Rt△BGC中，根据CG= 即可得出CG的长，同理，在Rt△ACG中，根据tan∠ACG= 可得出AG的长，根据AB=AG+BG即可得出结论.
若选择方法二，在Rt△AFB中由tan∠AFB= 可得出FB的长，同理，在Rt△ABE中，由tan∠AEB= 可求出EB的长，由EF=EB﹣FB且EF=10，可知 ﹣ =10，故可得出AB的长.
【解答】解：若选择方法一，解法如下：
在Rt△BGC中，∠BGC=90°，∠BCG=13°，BG=CD=6.9，
∵CG= ≈ =30，
在Rt△ACG中，∠AGC=90°，∠ACG=22°，
∵tan∠ACG= ，
∴AG=30×tan22°≈30×0.40=12，
∴AB=AG+BG=12+6.9≈19(米).
答：教学楼的高度约19米.
若选择方法二，解法如下：
在Rt△AFB中，∠ABF=90°，∠AFB=43°，
∵tan∠AFB= ，
∴FB= ≈ ，
在Rt△ABE中，∠ABE=90°，∠AEB=32°，
∵tan∠AEB= ，
∴EB= ≈ ，
∵EF=EB﹣FB且EF=10，
∴ ﹣ =10，解得AB=18.6≈19(米).
答：教学楼的高度约19米.
20.目前中学生带手机进校园现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的态度(态度分为：A.无所谓;B.基本赞成;C.赞成;D.反对)，并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2(不完整).请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长;
(2)求出图2中扇形C所对的圆心角的度数，并将图1补充完整;
(3)根据抽样调查结果，请你估计1万名中学生家长中有多少名家长持反对态度;
(4)在此次调查活动中，初三(1)班和初三(2)班各有2位家长对中学生带手机持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率.
【考点】X6：列表法与树状图法;V5：用样本估计总体;V9：频数(率)分布折线图;VB：扇形统计图.
【分析】(1)用B类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数;
(2)用360°乘以C类所占的百分比得到扇形C所对的圆心角的度数，再计算出C类人数，然后补全条形统计图;
(3)用10000乘以D类的百分比可估计持反对态度的家长的总数;
(4)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出2人来自不同班级的结果数，然后根据概率公式求解.
【解答】解：(1)共调查的中学生家长数是：40÷20%=200(人);
(2)扇形C所对的圆心角的度数是：360°×(1﹣20%﹣15%﹣60%)=18°，
C类的人数是：200×(1﹣20%﹣15%﹣60%)=10(人)，
补图如下：
(3)根据题意得：
10000×60%=6000(人)，
答：10000名中学生家长中有6000名家长持反对态度;
(4)设初三(1)班两名家长为A1，A2，初三(2)班两名家长为B1，B2，
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中2人来自不同班级共有8种，
所以选出的2人来自不同班级的概率= = .
21.小明早晨从家里出发匀速步行去上学，小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校.已知小明在整个上学途中，他出发后t分钟时，他所在的位置与家的距离为s千米，且s与t之间的函数关系的图象中的折线段OA﹣AB所示.
(1)试求折线段OA﹣AB所对应的函数关系式;
(2)请解释图中线段AB的实际意义;
(3)请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中，她所在位置与家的距离s(千米)与小明出发后的时间t(分钟)之间函数关系的图象.(友情提醒：请对画出的图象用数据作适当的标注)
【考点】FH：一次函数的应用.
【分析】(1)OA为正比例函数图象，可以用待定系数法求出;
(2)AB段离家距离没发生变化说明在以家为圆心做曲线运动;
(3)妈妈的速度正好是小明的2倍，所以妈妈走弧线路用(20﹣12)÷2=4分钟.
【解答】解：(1)线段OA对应的函数关系式为：s= t(0≤t≤12)
线段AB对应的函数关系式为：s=1(12
(2)图中线段AB的实际意义是：
小明出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟;
(3)由图象可知，小明花20分钟到达学校，则小明的妈妈花20﹣10=10分钟到达学校，可知小明妈妈的速度是小明的2倍，即：小明花12分钟走1千米，则妈妈花6分钟走1千米，故D(16，1)，小明花20﹣12=8分钟走圆弧形道路，则妈妈花4分钟走圆弧形道路，故B(20，1).
妈妈的图象经过(10，0)(16，1)(20，1)中折线段CD﹣DB就是所作图象.
22.LED灯具有环保节能、投射范围大、无频闪、使用寿命较长等特点，在日常生活中，人们更倾向于LED灯的使用，某校数学兴趣小组为了解LED灯泡与普通白炽灯泡的销售情况，进行了市场调查：某商场购进一批30瓦的LED灯泡和普通白炽灯泡进行销售，其进价与标价如下表：
LED灯泡 普通白炽灯泡
进价(元) 45 25
标价(元) 60 30
(1)该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个，LED灯泡按标价进行销售，而普通白炽灯泡打九折销售，当销售完这批灯泡后可以获利3200元，求该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个?
(2)由于春节期间热销，很快将两种灯泡销售完，若该商场计划再次购进两种灯泡120个，在不打折的情况下，请问如何进货，销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%，并求出此时这批灯泡的总利润为多少元?
【考点】FH：一次函数的应用;9A：二元一次方程组的应用.
【分析】(1)设该商场购进LED灯泡x个，普通白炽灯泡的数量为y个，利用该商场购进了LED灯泡与普通白炽灯泡共300个和销售完这批灯泡后可以获利3200元列方程组，然后解方程组即可;
(2)设该商场购进LED灯泡a个，则购进普通白炽灯泡个，这批灯泡的总利润为W元，利用利润的意义得到W=(60﹣45)a+(30﹣25)=10a+600，再根据销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%可确定a的范围，然后根据一次函数的性质解决问题.
【解答】解：(1)设该商场购进LED灯泡x个，普通白炽灯泡的数量为y个，
根据题意得 ，
解得 ，
答：该商场购进LED灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为200个和100个;
(2)设该商场购进LED灯泡a个，则购进普通白炽灯泡个，这批灯泡的总利润为W元，
根据题意得W=(60﹣45)a+(30﹣25)
=10a+600，
∵10a+600≤[45a+25]×30%，解得a≤75，
∵k=10>0，
∴W随a的增大而增大，
∴a=75时，W最大，最大值为1350，此时购进普通白炽灯泡=45个.
答：该商场购进LED灯泡75个，则购进普通白炽灯泡45个，这批灯泡的总利润为1350元.
23.1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形：
(1)当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗?若相等请证明，若不等于请说明理由;
(2)当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗?若是请证明，若不是，请说明理由(可用第一问结论).
【考点】KM：等边三角形的判定与性质;KD：全等三角形的判定与性质;R2：旋转的性质.
【分析】(1)CD=BE.利用“等边三角形的三条边相等、三个内角都是60°”的性质证得△ABE≌△ACD;然后根据全等三角形的对应边相等即可求得结论CD=BE;
(2)△AMN是等边三角形.首先利用全等三角形“△ABE≌△ACD”的对应角相等、已知条件“M、N分别是BE、CD的中点”、等边△ABC的性质证得△ABM≌△ACN;然后利用全等三角形的对应边相等、对应角相等求得AM=AN、∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，所以有一个角是60°的等腰三角形的正三角形.
【解答】解：(1)CD=BE.理由如下：
∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°，
∵∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，
∠DAC=∠DAE﹣∠EAC=60°﹣∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD(SAS)
∴CD=BE;
(2)△AMN是等边三角形.理由如下：
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD.
∵M、N分别是BE、CD的中点，∴BM=CN
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN(SAS).
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC.
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°
∴△AMN是等边三角形.
24.，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，AB=10，点O为AC上一点，以OA为半径作⊙O交AB于点D，BD的中垂线分别交BD，BC于点E，F，连结DF.
(1)求证：DF为⊙O的切线;
(2)若AO=x，DF=y，求y与x之间的函数关系式.
【考点】ME：切线的判定与性质;KG：线段垂直平分线的性质;T7：解直角三角形.
【分析】(1)连接OD，由于EF是BD的中垂线，DF=BF.从而可知∠FDB=∠B，又因为OA=OD，所以∠OAD=∠ODA，从而可证明∠ODF=90°;
(2)连接OF，由题意可知：AO=x，DF=y，OC=6﹣x，CF=8﹣y，然后在Rt△COF中与Rt△ODF中利用勾股定理分别求出OF，化简原式即可求出答案.
【解答】(1)连接OD.
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵EF是BD的中垂线，
∴DF=BF.
∴∠FDB=∠B，
∵∠C=90°，
∴∠OAD+∠B=90°.
∴∠ODA+∠FDB=90°.
∴∠ODF=90°，
又∵OD为⊙O的半径，
∴DF为⊙O的切线，
(2)连接OF.
在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，sinA= ，AB=10，
∴AC=6，BC=8，
∵AO=x，DF=y，
∴OC=6﹣x，CF=8﹣y，
在Rt△COF中，
OF2=(6﹣x)2+(8﹣x)2
在Rt△ODF中，
OF2=x2+y2
∴(6﹣x)2+(8﹣x)2=x2+y2，
∴y=﹣ x+ (0
25.，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线y=﹣ x2+ x+4经过A、B两点.
(1)写出点A、点B的坐标;
(2)若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB.设直线l移动的时间为t(0
(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形?若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.
【考点】HF：二次函数综合题.
【分析】(1)抛物线的解析式中，令x=0，能确定点B的坐标;令y=0，能确定点A的坐标.
(2)四边形PBCA可看作△ABC、△PBA两部分;△ABC的面积是定值，关键是求出△PBA的面积表达式;若设直线l与直线AB的交点为Q，先用t表示出线段PQ的长，而△PAB的面积可由( PQ•OA)求得，在求出S、t的函数关系式后，由函数的性质可求得S的最大值.
(3)△PAM中，∠APM是锐角，而PM∥y轴，∠AMP=∠ACO也不可能是直角，所以只有∠PAC是直角一种可能，即 直线AP、直线AC垂直，此时两直线的斜率乘积为﹣1，先求出直线AC的解析式，联立抛物线的解析式后可求得点P的坐标.
【解答】解：(1)抛物线y=﹣ x2+ x+4中：
令x=0，y=4，则 B(0，4);
令y=0，0=﹣ x2+ x+4，解得 x1=﹣1、x2=8，则 A(8，0);
∴A(8，0)、B(0，4).
(2)△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，则OB=OC=4，∴C(0，﹣4).
由A(8，0)、B(0，4)，得：直线AB：y=﹣ x+4;
依题意，知：OE=2t，即 E(2t，0);
∴P(2t，﹣2t2+7t+4)、Q(2t，﹣t+4)，PQ=(﹣2t2+7t+4)﹣(﹣t+4)=﹣2t2+8t;
S=S△ABC+S△PAB= ×8×8+ ×(﹣2t2+8t)×8=﹣8t2+32t+32=﹣8(t﹣2)2+64;
∴当t=2时，S有最大值，且最大值为64.
(3)∵PM∥y轴，∴∠AMP=∠ACO<90°;
而∠APM是锐角，所以△PAM若是直角三角形，只能是∠PAM=90°;
由A(8，0)、C(0，﹣4)，得：直线AC：y= x﹣4;
所以，直线AP可设为：y=﹣2x+h，代入A(8，0)，得：
﹣16+h=0，h=16
∴直线AP：y=﹣2x+16，联立抛物线的解析式，得：
，解得 、
∴存在符合条件的点P，且坐标为(3，10).
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