2017年衡阳中考数学练习试题及答案(2)
【点评】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理、相交弦定理、三角函数、三角形面积的计算等知识;本题难度较大，综合性强，特别是③中，需要运用三角形相似、勾股定理、相交弦定理、圆周角定理才能得出结果.
18.，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是( )
A.2 B. C. D.
【考点】KQ：勾股定理;KS：勾股定理的逆定理;T1：锐角三角函数的定义.
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论.
【解答】解：∵由图可知，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴cos∠ABC= = .
故选D.
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.
19.函数y=k(x﹣k)与y=kx2，y= (k≠0)，在同一坐标系上的图象正确的是( )
A. B. C. D.
【考点】H2：二次函数的图象;F3：一次函数的图象;G2：反比例函数的图象.
【分析】将一次函数解析式展开，可得出该函数图象与y轴交于负半轴，分析四个选项可知，只有C选项符合，由此即可得出结论.
【解答】解：一次函数y=k(x﹣k)=kx﹣k2，
∵k≠0，
∴﹣k2<0，
∴一次函数与y轴的交点在y轴负半轴.
A、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，A不正确;
B、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，B不正确;
C、一次函数图象与y轴交点在y轴负半轴，C可以;
D、一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴，D不正确.
故选C.
【点评】本题考查了一次函数的图象，解题的关键是分析一次函数图象与y轴的交点.本题属于基础题，难度不大，解决该题时，由一次函数与y轴的交点即可排除了A、B、D三个选项，因此只需分析一次函数图象即可得出结论.
20.，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A( ，0)，B(0，4)，则点B2016的横坐标为( )
A.5 B.12 C.10070 D.10080
【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转.
【分析】由图象可知点B2016在第一象限，求出B2，B4，B6的坐标，探究规律后即可解决问题.
【解答】解：由图象可知点B2016在第一象限，
∵OA= ，OB=4，∠AOB=90°，
∴AB= = = ，
∴B2(10，4)，B4(20，4)，B6(30，4)，…
∴B2016(10080，4).
∴点B2016纵坐标为10080.
故选D.
【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型.
二、填空题：本大题共4小题，满分12分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分.
21.分解因式：x3﹣2x2+x= x(x﹣1)2 .
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式即可.
【解答】解：x3﹣2x2+x=x(x2﹣2x+1)=x(x﹣1)2.
故答案为：x(x﹣1)2.
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键.
22.，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F.若∠ACF=65°，则∠E= 50° .
【考点】MC：切线的性质.
【分析】连接DF，连接AF交CE于G，由AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，得到 ，由于EF是⊙O的切线，推出∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°根据外角的性质和圆周角定理得到∠EFG=∠EGF=65°，于是得到结果.
【解答】解：连接DF，连接AF交CE于G，
∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，
∴ ，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°，
∵∠FGD=∠FCD+∠CFA，
∵∠DFE=∠DCF，
∠GFD=∠AFC，
∠EFG=∠EGF=65°，
∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°，
故答案为：50°.
方法二：
连接OF，易知OF⊥EF，OH⊥EH，故E，F，O，H四点共圆，又∠AOF=2∠ACF=130°，故∠E=180°﹣130°=50°
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键.
23.，已知点A、C在反比例函数y= 的图象上，点B，D在反比例函数y= 的图象上，a>b>0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB= ，CD= ，AB与CD间的距离为6，则a﹣b的值是 3 .
【考点】G4：反比例函数的性质.
【分析】设点A、B的纵坐标为y1，点C、D的纵坐标为y2，分别表示出来A、B、C、D四点的坐标，根据线段AB、CD的长度结合AB与CD间的距离，即可得出y1、y2的值，再由点A、B的横坐标结合AB= 即可求出a﹣b的值.
【解答】解：设点A、B的纵坐标为y1，点C、D的纵坐标为y2，
则点A( ，y1)，点B( ，y1)，点C( ，y2)，点D( ，y2).
∵AB= ，CD= ，
∴2×| |=| |，
∴|y1|=2|y2|.
∵|y1|+|y2|=6，
∴y1=4，y2=﹣2.
∴AB= ﹣ = = ，
∴a﹣b=3.
故答案为：3.
【点评】本题考查了两点间的距离、反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，解题的关键是利用两点间的距离公式找出AB= .
24.，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点.若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为 20 .
【考点】KX：三角形中位线定理;KQ：勾股定理;LB：矩形的性质.
【分析】根据M是边AD的中点，得AM=DM=6，根据勾股定理得出BM=CM=10，再根据E、F分别是线段BM、CM的中点，即可得出EM=FM=5，再根据N是边BC的中点，得出EM=FN，EN=FM，从而得出四边形EN，FM的周长.
【解答】解：∵M、N分别是边AD、BC的中点，AB=8，AD=12，
∴AM=DM=6，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴BM=CM=10，
∵E、F分别是线段BM、CM的中点，
∴EM=FM=5，
∴EN，FN都是△BCM的中位线，
∴EN=FN=5，
∴四边形ENFM的周长为5+5+5+5=20，
故答案为20.
【点评】本题考查了三角形的中位线，勾股定理以及矩形的性质，是中考常见的题型，难度不大，比较容易理解.
三、解答题：本大题共5小题，满分48分，解答应写出文字说明、证明过程演算步骤.
25.，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF.如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标.
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题;G5：反比例函数系数k的几何意义;G6：反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】(1)由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论;
(2)由点D在反比例函数在第四象限的图象上，设出点D的坐标为(n，﹣ )(n>0).通过解直角三角形求出线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF，根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标.
【解答】解：(1)∵OB=4，OE=2，
∴BE=OB+OE=6.
∵CE⊥x轴，
∴∠CEB=90°.
在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO= ，
∴CE=BE•tan∠ABO=6× =3，
结合函数图象可知点C的坐标为(﹣2，3).
∵点C在反比例函数y= 的图象上，
∴m=﹣2×3=﹣6，
∴反比例函数的解析式为y=﹣ .
(2)∵点D在反比例函数y=﹣ 第四象限的图象上，
∴设点D的坐标为(n，﹣ )(n>0).
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO= ，
∴OA=OB•tan∠ABO=4× =2.
∵S△BAF= AF•OB= (OA+OF)•OB= (2+ )×4=4+ .
∵点D在反比例函数y=﹣ 第四象限的图象上，
∴S△DFO= ×|﹣6|=3.
∵S△BAF=4S△DFO，
∴4+ =4×3，
解得：n= ，
经验证，n= 是分式方程4+ =4×3的解，
∴点D的坐标为( ，﹣4).
【点评】本题考查了解直角三角形、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是：(1)求出点C的坐标;(2)根据三角形的面积间的关系找出关于n的分式方程.本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，找出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数是关键.
26.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α.
(1)1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC;
(2)2，在(1)的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2;
(3)3，若α=45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗?请说明理由.
【考点】SO：相似形综合题.
【分析】(1)根据轴对称的性质可得∠EAF=∠DAE，AD=AF，再求出∠BAC=∠DAF，然后根据两边对应成比例，夹角相等两三角形相似证明;
(2)根据轴对称的性质可得EF=DE，AF=AD，再求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理证明即可;
(3)作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，根据轴对称的性质可得EF=DE，AF=AD，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理证明即可.
【解答】证明：(1)∵点D关于直线AE的对称点为F，
∴∠EAF=∠DAE，AD=AF，
又∵∠BAC=2∠DAE，
∴∠BAC=∠DAF，
∵AB=AC，
∴ = ，
∴△ADF∽△ABC;
(2)∵点D关于直线AE的对称点为F，
∴EF=DE，AF=AD，
∵α=45°，
∴∠BAD=90°﹣∠CAD，
∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF(SAS)，
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，
所以，DE2=BD2+CE2;
(3)DE2=BD2+CE2还能成立.
理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，
由轴对称的性质得，EF=DE，AF=AD，
∵α=45°，
∴∠BAD=90°﹣∠CAD，
∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF(SAS)，
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
∴∠ECF=180°﹣∠BCF=180°﹣90°=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，
所以，DE2=BD2+CE2.
【点评】本题是相似形综合题，主要利用了轴对称的性质，相似三角形的判定，同角的余角相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此类题目，小题间的思路相同是解题的关键.
27.某服装点用6000购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元(毛利润=售价﹣进价)，这两种服装的进价，标价如表所示.
类型
价格 A型 B型
进价(元/件) 60 100
标价(元/件) 100 160
(1)求这两种服装各购进的件数;
(2)如果A种服装按标价的8折出售，B种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元?
【考点】9A：二元一次方程组的应用.
【分析】(1)设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由总价=单价×数量，利润=售价﹣进价建立方程组求出其解即可;
(2)分别求出打折后的价格，再根据少收入的利润=总利润﹣打折后A种服装的利润﹣打折后B中服装的利润，求出其解即可.
【解答】解：(1)设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由题意，得
，
解得： .
答：A种服装购进50件，B种服装购进30件;
(2)由题意，得：
3800﹣50(100×0.8﹣60)﹣30(160×0.7﹣100)
=3800﹣1000﹣360
=2440(元).
答：服装店比按标价售出少收入2440元.
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组.
28.(10分)(2017•宁阳县二模)，已知菱形ABCD的边长为2，∠ADC=60°，等边三角形△AEF两边分别交边DC，CB于点E，F.
(1)求证：△ADE≌△ACF;
(2)2所示，若点E，F始终分别在边DC，CB上移动，记等边△AEF面积为S，则S是否存在最小值?若存在，值为多少;若不存在，请说明理由;
(3)若S存在最小值，对角线AC上是否存在点P，使△PDE的周长最小?若存在，请求出这个最小值;若不存在，请说明理由.
【考点】LO：四边形综合题.
【分析】(1)根据菱形的性质判断△ADC为等边三角形，则AD=AC，再根据边三角形的性质得∠EAF=60°，AE=AF，易得∠DAE=∠CAF，然后根据“SAS”可证明△ADE≌△ACF;
(2)设DE=x，利用含30度的直角三角形三边的关系得到DH= x，EH= x，则AH=AD﹣DH=2﹣ x，再在Rt△AEH中根据勾股定理计算出AE2=x2﹣2x+4，然后根据等边三角形的面积公式得到S= (x2﹣2x+4)，再利用配方得到S= (x﹣1)2+ ，然后根据非负数的性质即可得到当x=1时，S有最小值 ;
(3)③，作EQ⊥BC于Q，连接BE交AC于P，连接PD，由菱形的性质得AC垂直平分BD，则PD=PB，所以PE+PD=PE+PB=BE，根据两点之间线段最短得到此时△PDE的周长最小，在Rt△CQE中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CQ= ，QE= ，然后在Rt△BEQ中，根据勾股定理可计算出BE= ，于是得到此时△PDE的周长为1+ ，即△PDE的周长最小值为1+ .
【解答】(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴DC=DA，
∵∠ADC=60°，
∴△ADC为等边三角形，
∴AD=AC，
∵△AEF为等边三角形，
∴∠EAF=60°，AE=AF，
∵∠DAE+∠EAC=60°，∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠DAE=∠CAF，
在△ADE和△ACF中，
，
∴△ADE≌△ACF(ASA);
(2)解：存在.
设DE=x，
在Rt△DEH中，∵∠D=60°，
∴∠DHE=30°，
∴DH= x，EH= x，
∴AH=AD﹣DH=2﹣ x，
在Rt△AEH中，AE2=AH2+EH2=(2﹣ x)2+( x)2=x2﹣2x+4，
∴S= AE2= (x2﹣2x+4)= (x﹣1)2+ ，
∴当x=1时，S有最小值，最小值为 ;
(3)，作EQ⊥BC于Q，连接BE交AC于P，连接PD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC垂直平分BD，
∴PD=PB，
∴PE+PD=PE+PB=BE，
∴此时△PDE的周长最小，
∵DE=1，
∴EC=1，
∵∠BCE=120°，
∴∠QCE=60°，
在Rt△CQE中，CQ= CE= ，QE= CQ= ，
∴BQ=BC+CQ=2+ = ，
在Rt△BEQ中，BE= = ，
∴此时△PDE的周长=DE+PE+PD=DE+BE=1+ .
【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握菱形的性质、等边三角形的判定与性质和非负数的性质;会运用配方法解决代数式的最值问题;利用对称解决最小距离之和的问题;会应用含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理进行几何计算.
29.(12分)(2016•德州)已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|<|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(m，0)，B(0，n)，所示.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状;
(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为 个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式.
【考点】HF：二次函数综合题.
【分析】(1)先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式;
(2)先解方程求出抛物线与x轴的交点，再判断出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，从而得到结论;
(3)先求出QF=1，再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可.
【解答】解(1)∵x2+4x+3=0，
∴x1=﹣1，x2=﹣3，
∵m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|<|n|，
∴m=﹣1，n=﹣3，
∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(m，0)，B(0，n)，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，
(2)令y=0，则x2﹣2x﹣3=0，
∴x1=﹣1，x2=3，
∴C(3，0)，
∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4，
∴顶点坐标D(1，﹣4)，
过点D作DE⊥y轴，
∵OB=OC=3，
∴BE=DE=1，
∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠DBE=45°，
∴∠CBD=90°，
∴△BCD是直角三角形;
(3)，
∵B(0，﹣3)，C(3，0)，
∴直线BC解析式为y=x﹣3，
∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，
∴点M的横坐标为t，
∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，
∴P(t，t﹣3)，M(t，t2﹣2t﹣3)，
过点Q作QF⊥PM，
∴△PQF是等腰直角三角形，
∵PQ= ，
∴QF=1，
当点P在点M上方时，即0
PM=t﹣3﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t，
∴S= PM×QF= (﹣t2﹣3t)=﹣ t2+ t，
3，当点P在点M下方时，即t<0或t>3时，
PM=t2﹣2t﹣3﹣(t﹣3)，
∴S= PM×QF= (t2﹣3t)= t2﹣ t
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质和判定，解本题的关键是判定△BCD是直角三角形.
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