苏教版初一数学上册期末测试卷
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苏教版初一数学上册期末测试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共计16分.在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上
1.﹣2的绝对值是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣ D.
2.下列各式计算正确的是( )
A.6a+a=6a2 B.﹣2a+5b=3ab
C.4m2n﹣2mn2=2mn D.3ab2﹣5b2a=﹣2ab2
3.某调查机构对全国观众周五综艺节目的收视选择进行了调查，估计全国大约有6500000人选择观看江苏卫视《最强大脑》，将6500000用科学记数法表示应为( )
A.6.5×106 B.6.5×107 C.65×105 D.0.65×107
4.下列关于单项式﹣ 的说法中，正确的是( )
A.系数是﹣ ，次数是3 B.系数是﹣ ，次数是4
C.系数是﹣5，次数是3 D.系数是﹣5，次数是4
5.下列方程中，解为x=2的方程是( )
A.﹣x+6=2x B.4﹣2(x﹣1)=1 C.3x﹣2=3 D. x+1=0
6.下列四个平面图形中，不能折叠成无盖的长方体盒子的是( )
A. B. C. D.
7.将一个直角三角板绕直角边旋转一周，则旋转后所得几何体是( )
A.圆柱 B.圆 C.圆锥 D.三角形
8.下列说法正确的是( )
A.两点之间的距离是两点间的线段
B.与同一条直线垂直的两条直线也垂直
C.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共计30分，不需写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应的位置上
9.已知：|x|=3，|y|=2，且xy<0，则x+y的值为等于 .
10.已知一个角的度数为18°20′32″，则这个角的余角为 .
11.已知整式x2﹣2x+6的值为9，则﹣2x2+4x+6的值为 .
12.已知方程(a﹣4)x|a|﹣3+2=0是关于x的一元一次方程，则a= .
13.规定符号※的意义为：a※b=ab﹣a+b+1，那么(﹣2)※5= .
14.如图，要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为0，则x﹣2y= .
15.钟表在3点20分时，它的时针和分针所成的锐角的度数是 .
16.一列单项式按以下规律排列：x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，13x，…，则第2016个单项式应是 .
17.下列四个生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上;
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线;
③从A地到B地，架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设;
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程.其中可用定理“两点之间，线段最短”来解释的现象有 .(填序号)
18.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE=35°则∠DBC为 度.
三、解答题：本大题共9小题，共计74分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明
19.计算：
(1)17﹣8÷(﹣2)+4×(﹣3)
(2)9+5×(﹣3)﹣(﹣2)2÷4.
20.解方程：
(1)3x=5x﹣14
(2) =1﹣ .
21.先化简下式，再求值：5(3a2b﹣ab2)﹣4(﹣ab2+3a2b)，其中a=﹣2，b=3.
22.如图，点P是∠AOB的边OB上的点.
(1)过点P画OA的垂线，垂足为H;
(2)过点P画OB的垂线，交OA于点C;
(3)线段PH的长度是点P到直线 的距离， 是点C到直线OB的距离，线段PH、PC长度的大小关系是：PH PC(填<、>、不能确定)
23.已知关于x的方程2x+5=1和a(x+3)= a+x的解相同，求a2﹣ +1的值.
24.某制衣厂原计划若干天完成一批服装的订货任务，如果每天生产服装20套，那么就比订货任务少生产100套，如果每天生产服装23套，那么就可超过订货任务20套.问原计划多少天完成?这批服装的订货任务是多少套?
25.已知线段AB=20cm，直线AB上有一点C，且BC=6cm，M是线段AC的中点，试求AM的长度(提示：先画图)
26.(1)由大小相同的小立方块搭成的几何体如图1，请在图2的方格中画出该几何体的俯视图和左视图.
(2)用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图与你在方格中所画的一致，则这样的几何体最少要 个小立方块，最多要 个小立方块.
27.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=72°，射线OE在∠BOD的内部，∠DOE=2∠BOE.
(1)求∠BOE和∠AOE的度数;
(2)若射线OF与OE互相垂直，请直接写出∠DOF的度数.
苏教版初一数学上册期末测试卷参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共计16分.在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上
1.﹣2的绝对值是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣ D.
【考点】绝对值.
【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值.
【解答】解：|﹣2|=2.
故选B.
【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质.
2.下列各式计算正确的是( )
A.6a+a=6a2 B.﹣2a+5b=3ab
C.4m2n﹣2mn2=2mn D.3ab2﹣5b2a=﹣2ab2
【考点】合并同类项.
【分析】根据同类项的定义及合并同类项的方法进行判断即可.
【解答】解：A、6a+a=7a≠6a2，故A错误;
B、﹣2a与5b不是同类项，不能合并，故B错误;
C、4m2n与2mn2不是同类项，不能合并，故C错误;
D、3ab2﹣5ab2=﹣2ab2，故D正确.
故选：D.
【点评】本题考查的知识点为：同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同.
合并同类项的方法：字母和字母的指数不变，只把系数相加减.不是同类项的一定不能合并.
3.某调查机构对全国观众周五综艺节目的收视选择进行了调查，估计全国大约有6500000人选择观看江苏卫视《最强大脑》，将6500000用科学记数法表示应为( )
A.6.5×106 B.6.5×107 C.65×105 D.0.65×107
【考点】科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数;当原数的绝对值<1时，n是负数.
【解答】解：将6500000用科学记数法表示为：6.5×106.
故选：A.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.下列关于单项式﹣ 的说法中，正确的是( )
A.系数是﹣ ，次数是3 B.系数是﹣ ，次数是4
C.系数是﹣5，次数是3 D.系数是﹣5，次数是4
【考点】单项式.
【分析】根据单项式系数和次数的概念求解.
【解答】解：单项式﹣ 的系数为：﹣ ，次数为4.
故选B.
【点评】本题考查了同类项的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数.
5.下列方程中，解为x=2的方程是( )
A.﹣x+6=2x B.4﹣2(x﹣1)=1 C.3x﹣2=3 D. x+1=0
【考点】一元一次方程的解.
【专题】计算题.
【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把x=2代入各个方程进行进行检验，看能否使方程的左右两边相等.
【解答】解：将x=2分别代入四个选项得：
A、左边=﹣x+6=﹣2+6=4=右边=2x=2×2=4，所以，A正确;
B、左边=4﹣2(x﹣1)=2≠右边=1，所以，B错误;
C、左边=3x﹣2=6﹣2=4≠右边=3，所以，C错误;
D、左边= x+1=1+1=2≠右边=0，所以，D错误;
故选A.
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，要熟练掌握此内容.
6.下列四个平面图形中，不能折叠成无盖的长方体盒子的是( )
A. B. C. D.
【考点】展开图折叠成几何体.
【分析】利用长方体及其表面展开图的特点解题.
【解答】解：选项B，C，D都能折叠成无盖的长方体盒子，
选项A中，上下两底的长与侧面的边长不符，所以不能折叠成无盖的长方体盒子.
故选A.
【点评】解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题.
7.将一个直角三角板绕直角边旋转一周，则旋转后所得几何体是( )
A.圆柱 B.圆 C.圆锥 D.三角形
【考点】点、线、面、体.
【分析】根据面动成体，可得一个三角形绕直角边旋转一周可以得到一个圆锥.
【解答】解：圆锥的轴截面是直角三角形，因而圆锥可以认为直角三角形以一条直角边所在的直线为轴旋转一周得到.
故直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥.
故选：C.
【点评】本题主要考查线动成面的知识，学生应注意空间想象能力的培养.解决本题的关键是掌握各种面动成体的特征.
8.下列说法正确的是( )
A.两点之间的距离是两点间的线段
B.与同一条直线垂直的两条直线也垂直
C.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【考点】平行公理及推论;线段的性质：两点之间线段最短;垂线.
【分析】根据线段、垂线、平行线的相关概念和性质判断.
【解答】解：A、两点之间的距离是指两点间的线段长度，而不是线段本身，错误;
B、在同一平面内，与同一条直线垂直的两条直线平行，错误;
C、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调“直线外”，错误;
D、这是垂线的性质，正确.故选D.
【点评】本题主要考查公理定义，熟练记忆公理和定义是学好数学的关键.
二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共计30分，不需写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应的位置上
9.已知：|x|=3，|y|=2，且xy<0，则x+y的值为等于 ±1 .
【考点】有理数的乘法;绝对值;有理数的加法.
【分析】若|x|=3，|y|=2，则x=±3，y=±2;又有xy<0，则xy异号;故x+y=±1.
【解答】解：∵|x|=3，|y|=2，
∴x=±3，y=±2，
∵xy<0，
∴xy符号相反，
①x=3，y=﹣2时，x+y=1;
②x=﹣3，y=2时，x+y=﹣1.
【点评】本题考查绝对值的化简，正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
10.已知一个角的度数为18°20′32″，则这个角的余角为 73°41′28″ .
【考点】余角和补角;度分秒的换算.
【分析】根据和为90°的两个角互为余角即可得到结论.
【解答】解：∵90°﹣18°20′32″=73°41′28″，
故答案为：73°41′28″.
【点评】本题主要考查余角和补角的知识点，两个角之和为90°，两角互余，本题比较基础，比较简单
11.已知整式x2﹣2x+6的值为9，则﹣2x2+4x+6的值为 0 .
【考点】代数式求值.
【分析】依题意列出方程x2﹣2x+6=9，则求得x2﹣2x=3，所以将其整体代入所求的代数式求值.
【解答】解：依题意，得
x2﹣2x+6=9，则x2﹣2x=3
则﹣2x2+4x+6=﹣2(x2﹣2x)+6=﹣2×3﹣6=0.
故答案是：0.
【点评】本题考查了代数式求值.注意运用整体代入法求解.
12.已知方程(a﹣4)x|a|﹣3+2=0是关于x的一元一次方程，则a= ﹣4 .
【考点】一元一次方程的定义.
【分析】根据一元一次方程的定义，得出|a|﹣3=1，注意a﹣4≠0，进而得出答案.
【解答】解：由题意得：|a|﹣3=1，a﹣4≠0，
解得：a=﹣4.
故答案为：﹣4.
【点评】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确把握定义得出是解题关键.
13.规定符号※的意义为：a※b=ab﹣a+b+1，那么(﹣2)※5= ﹣2 .
【考点】有理数的混合运算.
【专题】新定义.
【分析】根据题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果.
【解答】解：根据题意得：(﹣2)※5=﹣2×5﹣(﹣2)+5+1=﹣10+2+5+1=﹣2.
故答案为：﹣2.
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.
14.如图，要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为0，则x﹣2y= 6 .
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字.
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点，根据相对面上的两个数之和为0，也就是互为相反数，求出x、y的值，从而得到x﹣2y的值.
【解答】解：解：将题图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，可知标有数字“2”的面和标有x的面是相对面，标有数字“4”的面和标有y的面是相对面，
∵相对面上两个数之和为0，
∴x=﹣2，y=﹣4，
∴x﹣2y=﹣2﹣2×(﹣4)=﹣2+8=6.
故答案为：6.
【点评】本题考查了正方体的展开图形，注意从相对面入手，分析解答问题.
15.钟表在3点20分时，它的时针和分针所成的锐角的度数是 20° .
【考点】钟面角.
【专题】应用题.
【分析】利用钟表表盘的特征解答.钟表表盘共有12个数字，每个数字之间的夹角是30°，表盘上共有60个格，每格之间的度数为6°，以此可以计算出3点20分时，时钟的分针和时针的夹角.
【解答】解：在3点20时时针指向数字3与4的之间，距4有 ×(60﹣20)格，分针指向4，
钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴3：20点整分针与时针的夹角是 ×(60﹣20)×6°=20度.
故答案为：20°.
【点评】本题考查钟表分针所转过的角度计算.在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动( )°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形.
16.一列单项式按以下规律排列：x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，13x，…，则第2016个单项式应是 4032x2 .
【考点】单项式.
【专题】规律型.
【分析】根据单项式的规律，n项的系数是(2n﹣1)，次数的规律是每三个是一组，分别是1次，2次2次，可得答案.
【解答】解：2016÷3=672
∴第2016个单项式应是(2×2016)x2，
故答案为：4032x2.
【点评】本题考查了单项式，观察式子，发现规律是解题关键.
17.下列四个生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上;
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线;
③从A地到B地，架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设;
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程.其中可用定理“两点之间，线段最短”来解释的现象有 ③④ .(填序号)
【考点】线段的性质：两点之间线段最短.
【分析】由题意，认真分析题干，运用线段的性质直接做出判断即可.
【解答】解：①②现象可以用两点可以确定一条直线来解释;
③④现象可以用两点之间，线段最短来解释.
故答案为：③④.
【点评】本题主要考查两点之间线段最短和两点确定一条直线的性质，应注意理解区分.
18.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE=35°则∠DBC为 55° 度.
【考点】翻折变换(折叠问题);角平分线的定义;角的计算;对顶角、邻补角.
【专题】计算题.
【分析】根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，∠ABE=35°，继而即可求出答案.
【解答】解：根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，
又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，
∴∠ABE+∠DBC=90°，
又∵∠ABE=35°，
∴∠DBC=55°.
故答案为：55.
【点评】此题考查翻折变换的性质，三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′是解题的关键，难度一般.
三、解答题：本大题共9小题，共计74分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明
19.计算：
(1)17﹣8÷(﹣2)+4×(﹣3)
(2)9+5×(﹣3)﹣(﹣2)2÷4.
【考点】有理数的混合运算.
【分析】(1)先算乘除，再算加减即可;
(2)先算乘方，再算乘除，最后算加减即可.
【解答】解：(1)原式=17+4﹣12
=9;
(2)原式=9﹣15﹣4÷4
=9﹣15﹣1
=﹣7.
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解答此题的关键.
20.解方程：
(1)3x=5x﹣14
(2) =1﹣ .
【考点】解一元一次方程.
【专题】计算题;一次方程(组)及应用.
【分析】(1)方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解;
(2)方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解.
【解答】解：(1)移项合并得：2x=14，
解得：x=7;
(2)去分母得：3(x﹣1)=6﹣2(x+2)，
去括号得：3x﹣3=6﹣2x﹣4，
移项合并得：5x=5，
解得：x=1.
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
21.先化简下式，再求值：5(3a2b﹣ab2)﹣4(﹣ab2+3a2b)，其中a=﹣2，b=3.
【考点】整式的加减—化简求值.
【分析】本题应对方程去括号，合并同类项，将整式化为最简式，然后把a、b的值代入即可.注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号;合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变.
【解答】解：5(3a2b﹣ab2)﹣4(﹣ab2+3a2b)，
=15a2b﹣5ab2+4ab2﹣12a2b
=3a2b﹣ab2，
当a=﹣2，b=3时，
原式=3×(﹣2)2×3﹣(﹣2)×32
=36+18
=54.
【点评】本题考查了整式的化简.整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地2016届中考的常考点.
22.如图，点P是∠AOB的边OB上的点.
(1)过点P画OA的垂线，垂足为H;
(2)过点P画OB的垂线，交OA于点C;
(3)线段PH的长度是点P到直线 AO 的距离， CP 是点C到直线OB的距离，线段PH、PC长度的大小关系是：PH < PC(填<、>、不能确定)
【考点】作图—基本作图;垂线段最短;点到直线的距离.
【分析】(1)利用直角三角板一条直角边与AO重合，沿AO平移，使另一直角边过P，再画直线，与AO的交点记作H即可;
(2)利用直角三角板一条直角边与BO重合，沿BO平移，使另一直角边过P，再画直线，与AO的交点记作C即可;
(3)根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离;垂线段最短可得答案.
【解答】解：(1)(2)如图所示：
(3)线段PH的长度是点P到直线AO的距离，
CP是点C到直线OB的距离，
线段PH、PC长度的大小关系是：PH
故答案为：PH;CP;<.
【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握垂线的画法，以及垂线段最短，点到直线的距离的定义.
23.已知关于x的方程2x+5=1和a(x+3)= a+x的解相同，求a2﹣ +1的值.
【考点】同解方程.
【分析】分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于a方程，从而可以求出a值，再根据代数式求值，可得答案.
【解答】解：由2x+5=1，得x=2，
由a(x+3)= a+x，得x=﹣ .
由关于x的方程2x+5=1和a(x+3)= a+x的解相同，得
﹣ =2.
解得a= .
当a= 时，a2﹣ +1=( )2﹣ +1= .
【点评】本题考查了同解方程，本题解决的关键是能够求解关于x的方程，要正确理解方程解的含义.
24.某制衣厂原计划若干天完成一批服装的订货任务，如果每天生产服装20套，那么就比订货任务少生产100套，如果每天生产服装23套，那么就可超过订货任务20套.问原计划多少天完成?这批服装的订货任务是多少套?
【考点】一元一次方程的应用.
【分析】设原计划用x天完成任务，根据题意可得，等量关系为订货任务是一定的，据此列方程求解，然后求出订货任务.
【解答】解：设原计划x天完成，
根据题意列方程得：20x+100=23x﹣20，
解得：x=40，
20x+100=20×40+100=900.
即计划40天完成，这批服装订货任务是900套.
【点评】考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解.
25.已知线段AB=20cm，直线AB上有一点C，且BC=6cm，M是线段AC的中点，试求AM的长度(提示：先画图)
【考点】两点间的距离.
【分析】分类讨论：C在线段AB上，C在线段AB的延长线上，根据线段的和差，可得AC的长，根据线段中点的性质，可得答案.
【解答】解：当C在线段AB上时，如图1：
由线段的和差，得
C=AB﹣BC=20﹣6=14.
由M是线段AC的中点，得
AM= AC= ×14=7cm;
当C在线段AB的延长线上时，如图2：
由线段的和差，得
AC=AB+BC=20+6=26.
由M是线段AC的中点，得
AM= AC= ×26=13cm.
综上所述：AM的长为7cm或13cm.
【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差得出AC的长是解题关键，要分类讨论，以防遗漏.
26.(1)由大小相同的小立方块搭成的几何体如图1，请在图2的方格中画出该几何体的俯视图和左视图.
(2)用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图与你在方格中所画的一致，则这样的几何体最少要 9 个小立方块，最多要 14 个小立方块.
【考点】作图-三视图;由三视图判断几何体.
【分析】(1)从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为3，2，1，依此画出图形即可;从左面看得到从左往右3列正方形的个数依次为3，2，1，;依此画出图形即可;
(2)由俯视图易得最底层小立方块的个数，由左视图找到其余层数里最少个数和最多个数相加即可.
【解答】解：(1)如图所示：
(2)由俯视图易得最底层有6个小立方块，第二层最少有2个小立方块，第三层最少有1个小立方块，所以最少有6+2+1=9个小立方块;
最底层有6个小立方块，第二层最多有5个小立方块，第三层最多有3个小立方块，所以最多有6+5+3=14个小立方块.
故答案为：9;14.
【点评】考查了作图﹣三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形;俯视图决定底层立方块的个数，易错点是由主视图得到其余层数里最少的立方块个数和最多的立方块个数.
27.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=72°，射线OE在∠BOD的内部，∠DOE=2∠BOE.
(1)求∠BOE和∠AOE的度数;
(2)若射线OF与OE互相垂直，请直接写出∠DOF的度数.
【考点】对顶角、邻补角;垂线.
【分析】(1)设∠BOE=x，根据题意列出方程，解方程即可;
(2)分射线OF在∠AOD的内部和射线OF在∠BOC的内部两种情况，根据垂直的定义计算即可.
【解答】解：(1)∵∠AOC=72°，
∴∠BOD=72°，∠AOD=108°，
设∠BOE=x，则∠DOE=2x，
由题意得，x+2x=72°，
解得，x=24°，
∴∠BOE=24°，∠DOE=48°，
∴∠AOE=156°;
(2)若射线OF在∠BOC的内部，
∠DOF=90°+48°=138°，
若射线OF在∠AOD的内部，
∠DOF=90°﹣48°=42°，
∴∠DOF的度数是138°或42°.
【点评】本题考查的是对顶角和邻补角的概念和性质以及垂直的定义，掌握对顶角相等、邻补角的和是180°是解题的关键.
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