八年级数学人教版上册期末考试
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八年级数学人教版上册期末考试题
一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在后面的答题栏内.
1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如果分式 的值为0，则x的值是( )
A.1 B.0 C.﹣1 D.±1
3.点M(﹣2，1)关于x轴的对称点N的坐标是( )
A.(2，1) B.(﹣2，1) C.(﹣2，﹣1) D.(2，﹣1)
4.下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是( )
A.m(x﹣y)=mx﹣my B.x2+2x+1=x(x+2)+1
C.a2+1=a(a+ ) D.15x2﹣3x=3x(5x﹣1)
5.如图，AD∥BC，AD=CB，要使△ADF≌△CBE，需要添加的下列选项中的一个条件是( )
A.AE=CF B.DF=BE C.∠A=∠C D.AE=EF
6.下列运算正确的是( )
A.2a2+a=3a3 B.(﹣a)2÷a=a C.(﹣a)3•a2=﹣a6 D.(2a2)3=6a6
7.长为9，6，3，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
8.解分式方程 +2= ，可知方程( )
A.解为x=2 B.解为x=4 C.解为x=3 D.无解
9.如图，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC=BE，则∠B的度数是( )
A.45° B.50° C.55° D.60°
10.如图，△ABM与△CDM是两个全等的等边三角形，MA⊥MD.有下列四个结论：(1)∠MBC=25°;(2)∠ADC+∠ABC=180°;(3)直线MB垂直平分线段CD;(4)四边形ABCD是轴对称图形.其中正确结论的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4
二、填空题：每题3分，共计18分。
11.计算：4x2y÷(﹣ )=__________.
12.若x2+2(m﹣3)x+16是完全平方式，则m=__________.
13.如图，∠2+∠3+∠4=320°，则∠1=__________.
14.如图，坐标平面上，△ABC≌△FDE，若A点的坐标为(a，1)，BC∥x轴，B点的坐标为(b，﹣3)，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为__________.
15.等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边的长为__________.
16.有一个计算程序，每次运算这种运算的过程如下：
则第n次运算的结果yn__________.(用含有x和n的式子表示)
三、解答题：本大题共8小题，共72分。
17.(1)计算：
(2)分解因式：2ma2﹣8mb2.
18.已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B.
求证：△ABC≌△CDE.
19.(1)解方程：
(2)化简方程：(m﹣ ) (m在0，1，﹣2这三个值取一个合适的值)
20.如图，已知锐角三角形ABC.
(1)用尺规作BC的垂直平分线l和∠B的平分线BM;
(2)若l与BM交于P，∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP=__________度.
21.如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于H，交AB于N.
(1)求证：△ANC为等腰三角形;
(2)试判断BN与CD的数量关系，并说明理由.
22.如图，在等边△ABC中，点D为AC上一点，CD=CE，∠ACE=60°.
(1)求证：△BCD≌△ACE;
(2)延长BD交AE于F，连接CF，若AF=CF，猜想线段BF、AF的数量关系，并证明你的猜想.
23.在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成.
(1)乙队单独完成这项工程需要多少天?
(2)甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱?还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱?
24.如图(1)，直线AB与x轴负半轴、y轴的正半轴分别交于A、B、OA、OB的长分别为a、b，且满足a2﹣2ab+b2=0.
(1)判断△AOB的形状;
(2)如图(2)过坐标原点作直线OQ交直线AB于第二象限于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ、BN⊥OQ，若AM=7，BN=4，求MN的长;
(3)如图(3)，E为AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角三角形ADE，P为BE的中点，延长DP至F，使PF=DP，连结PO，BF，试问DF、PO是否存在确定的位置关系和数量关系?写出你的结论并证明.
八年级数学人教版上册期末考试参考答案
一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在后面的答题栏内.
1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【考点】轴对称图形.
【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意;
B、不是轴对称图形，故B不符合题意;
C、不是轴对称图形，故C不符合题意;
D、不是轴对称图形，故D不符合题意.
故选：A.
【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点.确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.
2.如果分式 的值为0，则x的值是( )
A.1 B.0 C.﹣1 D.±1
【考点】分式的值为零的条件.
【分析】根据分子为零分母不为零分式的值为零，可得答案.
【解答】解：由分式 的值为0，得
|x|﹣1=0且2x+2≠0.
解得x=1，
故选：A.
【点评】本题考查了合并同类项，分子为零分母不为零分式的值为零是解题关键.
3.点M(﹣2，1)关于x轴的对称点N的坐标是( )
A.(2，1) B.(﹣2，1) C.(﹣2，﹣1) D.(2，﹣1)
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【分析】根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果.
【解答】解：根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点M(﹣2，1)关于x轴的对称点的坐标是(﹣2，﹣1)，
故选：C.
【点评】本题主要考查了两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，比较简单.
4.下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是( )
A.m(x﹣y)=mx﹣my B.x2+2x+1=x(x+2)+1
C.a2+1=a(a+ ) D.15x2﹣3x=3x(5x﹣1)
【考点】因式分解的意义.
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案.
【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误;
B、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B错误;
C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误;
D、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D正确;
故选：D.
【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式.
5.如图，AD∥BC，AD=CB，要使△ADF≌△CBE，需要添加的下列选项中的一个条件是( )
A.AE=CF B.DF=BE C.∠A=∠C D.AE=EF
【考点】全等三角形的判定.
【分析】求出AF=CE，根据平行线的性质得出∠A=∠C，根据全等三角形的判定推出即可.
【解答】解：只有选项A正确，
理由是：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
故选A.
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，主要考查学生的推理能力和辨析能力.
6.下列运算正确的是( )
A.2a2+a=3a3 B.(﹣a)2÷a=a C.(﹣a)3•a2=﹣a6 D.(2a2)3=6a6
【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.
【专题】计算题.
【分析】A、原式不能合并;
B、原式先计算乘方运算，再计算除法运算即可得到结果;
C、原式利用幂的乘方及积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断;
D、原式利用幂的乘方及积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断.
【解答】解：A、原式不能合并，故A错误;
B、原式=a2÷a=a，故B正确;
C、原式=﹣a3•a2=﹣a5，故C错误;
D、原式=8a6，故D错误.
故选：B.
【点评】此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键.
7.长为9，6，3，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
【考点】三角形三边关系.
【分析】要把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数.
【解答】解：四根木条的所有组合：9，6，3和9，6，4和6，3，4和9，3，4;
根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，4和3，6，44.
故选：B.
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键.
8.解分式方程 +2= ，可知方程( )
A.解为x=2 B.解为x=4 C.解为x=3 D.无解
【考点】解分式方程.
【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解.
【解答】解：去分母，得
1﹣x+2(x﹣2)=﹣1.
去括号，得
1﹣x+2x﹣4=﹣1.
移项，得
﹣x+2x=﹣1﹣1+4.
合并同类项，得
x=2.
检验：当x=2时，x﹣2=0，
x=2不是分式方程的解，原分式方程无解.
故选：D.
【点评】本题考查了解分式方程，注意检验是不可缺少的一步.
9.如图，在△ABE中，∠A=105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC=BE，则∠B的度数是( )
A.45° B.50° C.55° D.60°
【考点】线段垂直平分线的性质.
【分析】首先连接AC，由AE的垂直平分线MN交BE于点C，可得AC=EC，又由AB+BC=BE，易证得AB=AC，然后由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，求得∠BAE=∠BAC+∠CAE=180°﹣4∠E+∠E=105°，继而求得答案.
【解答】解：连接AC，
∵MN是AE的垂直平分线，
∴AC=EC，
∴∠CAE=∠E，
∵AB+BC=BE，BC+EC=BE，
∴AB=EC=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB=∠CAE+∠E=2∠E，
∴∠B=2∠E，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=180°﹣4∠E，
∵∠BAE=∠BAC+∠CAE=180°﹣4∠E+∠E=105°，
解得：∠E=25°，
∴∠B=2∠E=50°.
故选B.
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.
10.如图，△ABM与△CDM是两个全等的等边三角形，MA⊥MD.有下列四个结论：(1)∠MBC=25°;(2)∠ADC+∠ABC=180°;(3)直线MB垂直平分线段CD;(4)四边形ABCD是轴对称图形.其中正确结论的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4
【考点】轴对称图形;全等三角形的性质;线段垂直平分线的性质;等边三角形的性质.
【分析】(1)△ABM和△CDM是全等的等边三角形，那么可知这两个三角形的内角都等于60°，所有的边都相等，即知∠AMB=∠CMD=60°，又MA⊥MD，故∠AMD=90°，利用周角概念可求∠BMC，而BM=CM，结合三角形内角和等于180°，可求∠MBC、∠MCB;
(2)由于MA⊥MB，则∠AMD=90°，而MA=MD，那么∠MDA=45°，又∠MDC=60°，可求∠ADC=105°，由(1)中可知∠MBC=15°，则∠ABC=60°+15°=75°，所以∠ADC+∠ABC=180°;
(3)延长BM交CD于N，∠NMC是△BMC的外角，可求∠NMC=30°，即知MN是△CDM的角平分线，根据等腰三角形三线合一性质可知MB垂直平分CD;
(4)利用(2)中的方法可求∠BAD=105°，∠BCD=75°，易证∠BAD+∠ABC=180°，则AD∥BC，又∵AB=DC，可证四边形ABCD是等腰梯形，从而可知四边形ABCD是轴对称图形.
【解答】解：(1)∵△ABM≌△CDM，△ABM、△CDM都是等边三角形，
∴∠ABM=∠AMB=∠BAM=∠CMD=∠CDM=∠DCM=60°，AB=BM=AM=CD=CM=DM，
又∵MA⊥MD，
∴∠AMD=90°，
∴∠BMC=360°﹣60°﹣60°﹣90°=150°，
又∵BM=CM，
∴∠MBC=∠MCB=15°;
(2)∵AM⊥DM，
∴∠AMD=90°，
又∵AM=DM，
∴∠MDA=∠MAD=45°，
∴∠ADC=45°+60°=105°，
∠ABC=60°+15°=75°，
∴∠ADC+∠ABC=180°;
(3)延长BM交CD于N，
∵∠NMC是△MBC的外角，
∴∠NMC=15°+15°=30°，
∴BM所在的直线是△CDM的角平分线，
又∵CM=DM，
∴BM所在的直线垂直平分CD;
(4)根据(2)同理可求∠DAB=105°，∠BCD=75°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴四边形ABCD是轴对称图形.
故(2)(3)(4)正确.
故选C.
【点评】本题利用了等边三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质、平行线的判定、梯形的判定、等腰三角形三线合一定理、轴对称的判定.
二、填空题：每题3分，共计18分。
11.计算：4x2y÷(﹣ )=﹣16xy.
【考点】整式的除法.
【分析】直接利用整式除法运算法则求出答案.
【解答】解：4x2y÷(﹣ )
=﹣4x2y•
=﹣16xy.
故答案为：﹣16xy.
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键.
12.若x2+2(m﹣3)x+16是完全平方式，则m=﹣1或7.
【考点】完全平方式.
【分析】本题考查的是完全平方式，这里首末两项是x和4的平方，那么中间项为加上或减去x和4的乘积的2倍，故2(m﹣3)=±8，解得m的值即可.
【解答】解：由于(x±4)2=x2±8x+16=x2+2(m﹣3)x+16，
∴2(m﹣3)=±8，
解得m=﹣1或m=7.
故答案为：﹣1;7.
【点评】本题考查了完全平方式的应用，根据其结构特征：两数的平方和，加上或减去它们乘积的2倍，在已知首尾两项式子的情况下，可求出中间项的代数式，列出相应等式，进而求出相应数值.
13.如图，∠2+∠3+∠4=320°，则∠1=40°.
【考点】多边形内角与外角.
【分析】根据多边形的外角和等于360°即可得到结论.
【解答】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∠2+∠3+∠4=320°，
∴∠1=40°，
故答案为：40°.
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，熟记多边形的外角和等于360°是解题的关键.
14.如图，坐标平面上，△ABC≌△FDE，若A点的坐标为(a，1)，BC∥x轴，B点的坐标为(b，﹣3)，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为4.
【考点】全等三角形的性质;坐标与图形性质.
【分析】如图，作AH⊥BC于H，FP⊥DE于P，根据全等三角形的性质得到AC=DF，∠C=∠FDE，推出△ACH≌△DFP(AAS)，根据全等三角形的性质得到AH=FP，根据A点的坐标为(a，1)，BC∥x轴，B点的坐标为(b，﹣3)，得到AH=4，即可得到结论.
【解答】解：如图，作AH⊥BC于H，FP⊥DE于P，
∵△ABC≌△FDE，
∴AC=DF，∠C=∠FDE，
在△ACH和△DFP中，
，
∴△ACH≌△DFP(AAS)，
∴AH=FP，
∵A点的坐标为(a，1)，BC∥x轴，B点的坐标为(b，﹣3)，
∴AH=4，
∴FP=4，
∴F点到y轴的距离为4，
故答案为：4.
【点评】本题考查了坐标与图象的性质的运用，垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.
15.等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边的长为6，4或5，5.
【考点】等腰三角形的性质;三角形三边关系.
【分析】分腰长为6和底边为6，求出其另外两边，再利用三角形的三边关系进行验证即可.
【解答】解：当腰为6时，则另两边长为6、4，此时三边满足三角形三边关系;
当底边为6时，则另两边长为5、5，此时三边满足三角形三边关系;
故答案为：6，4或5，5.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解题的关键是能够分类讨论，难度不大.
16.有一个计算程序，每次运算这种运算的过程如下：
则第n次运算的结果yn .(用含有x和n的式子表示)
【考点】分式的混合运算.
【专题】图表型;规律型.
【分析】把y1代入确定出y2，依此类推得到一般性规律，即可确定出第n次运算结果.
【解答】解：把y1= 代入得：y2= = ，
把y2= 代入得：y3= = ，
依此类推，得到yn= ，
故答案为：
【点评】此题考查了分式的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键.
三、解答题：本大题共8小题，共72分。
17.(1)计算：
(2)分解因式：2ma2﹣8mb2.
【考点】实数的运算;提公因式法与公式法的综合运用;零指数幂;负整数指数幂.
【专题】计算题;实数.
【分析】(1)原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算即可得到结果;
(2)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
【解答】解：(1)原式= ﹣ ﹣1=﹣1;
(2)原式=2m(a2﹣4b2)=2m(a+2b)(a﹣2b).
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18.已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B.
求证：△ABC≌△CDE.
【考点】全等三角形的判定.
【专题】证明题.
【分析】首先根据AC∥DE，利用平行线的性质可得：∠ACB=∠E，∠ACD=∠D，再根据∠ACD=∠B证出∠D=∠B，再由∠ACB=∠E，AC=CE可根据三角形全等的判定定理AAS证出△ABC≌△CDE.
【解答】证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB=∠E，∠ACD=∠D，
∵∠ACD=∠B，
∴∠D=∠B，
在△ABC和△EDC中 ，
∴△ABC≌△CDE(AAS).
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定两个三角形全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，
19.(1)解方程：
(2)化简方程：(m﹣ ) (m在0，1，﹣2这三个值取一个合适的值)
【考点】分式的化简求值;解分式方程.
【专题】计算题;分式.
【分析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解;
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m=﹣2代入计算即可求出值.
【解答】解：(1)分式方程两边乘以2(x﹣1)，去分母得：2x+2x﹣2=3，
解得：x= ，
检验：当x= 时，2(x﹣1)≠0，
则x= 是原公式方程的解;
(2)原式= • = ，
∵m≠0，1，
∴m=﹣2，
∴把m=﹣2代入得原式= .
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
20.如图，已知锐角三角形ABC.
(1)用尺规作BC的垂直平分线l和∠B的平分线BM;
(2)若l与BM交于P，∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP=32度.
【考点】作图—复杂作图.
【分析】(1)分别利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法画出图形;
(2)利用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质得出∠ABP的度数.
【解答】解：(1)如图所示：直线l以及BM即为所求;
(2)连接PC，
设∠ABP=x，则∠CBP=∠PCB=x，
∵∠A=60°，∠ACP=24°，
∴∠ABP= (180°﹣60°﹣24°)=32°.
故答案为：32.
【点评】此题主要考查了复杂作图，正确掌握角平分线以及线段垂直平分线的性质是解题关键.
21.如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于H，交AB于N.
(1)求证：△ANC为等腰三角形;
(2)试判断BN与CD的数量关系，并说明理由.
【考点】全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定与性质.
【分析】(1)利用角平分线的性质结合三角形内角和定理得出∠ANH=∠ACH，进而得出答案;
(2)利用全等三角形的判定方法得出△AND≌△ACD(ASA)，进而得出DN=DC，∠AND=∠ACD，即可得出∠B=∠NDB，进而得出答案.
【解答】(1)证明：∵CN⊥AD，
∴∠AHN=∠AHC=90°，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠NAH=∠CAH，
又∵在△ANH和△ACH中
∠AHN+∠NAH+∠ANH=180°，∠AHC+∠CAH+∠ACH=180°
∴∠ANH=∠ACH，
∴AN=AC，
∴△ANC为等腰三角形;
(2)解：BN=CD，
原因如下：如图：连接ND
∵△AND和△ACD中
∴△AND≌△ACD(ASA)，
∴DN=DC，∠AND=∠ACD，
又∵∠ACB=2∠B，
∴∠AND=2∠B
又∵△BND中，∠AND=∠B+∠NDB，
∴∠B=∠NDB，
∴NB=ND，
∴BN=CD.
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定和角平分线的性质等知识，正确掌握全等三角形的判定与性质是解题关键.
22.如图，在等边△ABC中，点D为AC上一点，CD=CE，∠ACE=60°.
(1)求证：△BCD≌△ACE;
(2)延长BD交AE于F，连接CF，若AF=CF，猜想线段BF、AF的数量关系，并证明你的猜想.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)易证BC=AC，∠BCD=60°，即可证明△BCD≌△ACE，即可解题;
(2)易证BD为等边△ABC中AC边上的高，根据等边三角形三线合一性质可得∠ABD=∠DBC=30°，根据△BCD≌△ACE，可得∠DBC=∠CAE，即可求得∠BAF=90°，根据30°角所对直角边是斜边一半的性质即可解题.
【解答】证明：(1)∵△ABC是等边△，
∴BC=AC，∠BCD=60°，
在△BCD和△ACE中，
.
∴△BCD≌△ACE(SAS);
(2)BF=2AF，
理由：∵AF=CF，AB=BC，
∴BF⊥AC且平分AC，
∴BD为等边△ABC中AC边上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠DBC=∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE=30°，
∴∠BAF=∠BAC+∠CAE=90°，
∴在Rt△ABF中，BF=2AF.
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求证△BCD≌△ACE是解题的关键.
23.在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成.
(1)乙队单独完成这项工程需要多少天?
(2)甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱?还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱?
【考点】分式方程的应用.
【专题】工程问题.
【分析】(1)求的是乙的工效，工作时间明显.一定是根据工作总量来列等量关系.等量关系为：甲20天的工作量+甲乙合作24天的工作总量=1.
(2)把在工期内的情况进行比较.
【解答】解：(1)设乙队单独完成需x天.
根据题意，得： ×20+( + )×24=1.
解这个方程得：x=90.
经检验，x=90是原方程的解.
∴乙队单独完成需90天.
答：乙队单独完成需90天.
(2)设甲、乙合作完成需y天，则有( + )×y=1.
解得，y=36，
①甲单独完成需付工程款为60×3.5=210(万元).
②乙单独完成超过计划天数不符题意，
③甲、乙合作完成需付工程款为36×(3.5+2)=198(万元).
答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱.
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键.
24.如图(1)，直线AB与x轴负半轴、y轴的正半轴分别交于A、B、OA、OB的长分别为a、b，且满足a2﹣2ab+b2=0.
(1)判断△AOB的形状;
(2)如图(2)过坐标原点作直线OQ交直线AB于第二象限于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ、BN⊥OQ，若AM=7，BN=4，求MN的长;
(3)如图(3)，E为AB上一动点，以AE为斜边作等腰直角三角形ADE，P为BE的中点，延长DP至F，使PF=DP，连结PO，BF，试问DF、PO是否存在确定的位置关系和数量关系?写出你的结论并证明.
【考点】全等三角形的判定与性质;坐标与图形性质;等腰直角三角形.
【分析】(1)求出a=b，即可得出答案;
(2)求出∠AMO=∠ONB=90°，∠MAO=∠BON，根据AAS推出△AMO≌△ONB，根据全等得出ON=AM=7，OM=BN=4，即可求出答案;
(3)连接OD，OF，求出△BPF≌△EPD，根据全等得出BF=ED，∠FBP=∠DEP，求出BF=AD，∠FBO=∠DAO=90°，根据SAS推出△FBO≌△DAO，求出∠FOB=∠DOA，OD=OF，求出△DOF是等腰直角三角形，即可得出答案.
【解答】(1)解：△AOB是等腰直角三角形，
理由是：∵a2﹣2ab+b2=0
(a﹣b)2=0，
∴a=b，
∴OA=OB
又∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形;
(2)解：∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴∠AMO=∠ONB=90°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOM+∠BON=90°，
又∵∠MAO+∠MOA=90°，
∴∠MAO=∠BON，
在△AMO和△ONB中
∴△AMO≌△ONB(AAS)，
∴ON=AM=7，OM=BN=4，
∴MN=ON﹣OM=7﹣4=3;
(3)OP= DF且OP⊥DF，
证明：连接OD，OF，
∵P为BE的中点，
∴BP=EP，
在△BPF和△EPD中
∴△BPF≌△EPD(SAS)
∴BF=ED，∠FBP=∠DEP，
又∵△AED是等腰直角三角形，
∴AD=ED，∠DEA=∠DAE=45°，
∴BF=AD，
∴∠FBP=∠DEP=180°﹣45°=135°，
又∵△AOB和△ADE是等腰直角三角形，
∴OB=OA，∠DEA=∠DAE=45°，
∴BF=AD，
∴∠FBO=∠FBP﹣∠ABO=135°﹣45°=90°，
∠DAO=∠DAE+∠BAO=45°+45°=90°，
∴∠FBO=∠DAO=90°，
在△FBO和△DAO中
∴△FBO≌△DAO(SAS)
∴∠FOB=∠DOA，OD=OF，
∴∠DOF=∠DOB+∠BOF=∠DOB+∠DOA=∠AOB=90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
又∵PF=DP，
∴OP= DF，OP⊥DF.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，二元二次方程，等腰直角三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
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