2017广西桂林中考数学模拟试题(2)
2017广西桂林中考数学模拟真题答案
一、选择题
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 A D C B C B C B D A
二、填空题
题 号 11 12 13 14 15 16
答 案 80 直角 6 8 + +2
135
三、解答题
17.(本小题满分9分)
解法一(加减消元法)：
①-②，得( + )-( - )=-5-7，…………………………3分
即 =-12，…………………………………………………………………4分
解得 =-2，……………………………………………………………………5分
把 =-2代入②，………………………………………………………………6分
-4×(-2)=7，…………………………………………………………7分
得 =-1，………………………………………………………………………8分
∴原方程组的解为 .……………………………………………………9分
[若用②-①、①×2+②等，均参照给分]
解法二(代入消元法)：
由①得， =- -5 ③，……………………………………………3分
把③式代入②式，…………………………………………………………………4分
得(- -5)- =7，……………………………………………………5分
解得 =-2，……………………………………………………………………6分
把 =-2代入③式，……………………………………………………………7分
=-2×(-2)-5=-1，………………………………………………8分
∴原方程组的解为 .……………………………………………………9分
[由②式变形代入，均参照给分]
18.(本小题满分9分)
证法一：
∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD，∠BAC=∠DAC，………………2分
又∵BE=DF，∴AB-BE=AD-DF，……………………………………4分
即AE=AF.…………………………………………………………………………5分
在△ACE和△ACF中，
∵ ，…………………………………………………………………8分
∴△ACE≌△ACF(SAS).……………………………………………………9分
证法二：
∵四边形ABCD为菱形，∴BC=DC，∠B=∠D，…………………………1分
在△BCE和△DCF中，
∵ ，…………………………………………………………………………2分
∴△BCE≌△DCF(SAS)，……………………………………………………3分
∴CE=CF.…………………………………………………………………………4分
∵AB=AD，BE=DF，AB-BE=AD-DF，…………………………5分
即AE=AF.…………………………………………………………………………6分
在△ACE和△ACF中，
∵ ，…………………………………………………………………………8分
∴△ACE≌△ACF(SSS).……………………………………………………9分
19.(本小题满分10分)
解：(1)
树状图如下：
点P所有可能的坐标有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，
(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，
(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)共12种;……………………7分
列表如下：
(1,2) (1,3) (1,4)
(2,1) (2,3) (2,4)
(3,1) (3,2) (3,4)
(4,1) (4,2) (4,3)
(注：树形图或列表二者取其一)
(2)∵共有12种等可能的结果，
其中在函数 =- +4图象上的点有2个(2种)，………………………1分
即(1，3)，(3，1)，
∴点P( ， )在函数 =- +4图象上的概率为：
P(点在图象上)= = .…………………………………………………3分
20.(本小题满分10分)
解：(1)-8;…………………………………………………………………2分
(2)∵OA=OB=2，∴A、B点的坐标
分别为A(2，0)、B(0，2).……………………………………………2分
设直线所对应的一次函数的解析为 = + ，……………………………3分
分别把A、B的坐标代入其中，得
，……………………………………………………………………4分
解得 ，…………………………………………………………………5分
∴一次函数的解析为 =- +2;
(3)由(1) =-8，
则 + +7= - +7
=( -1)( -7).……………………………………3分
21.(本小题满分12分)
解：(1)尺规作图略;…………………………………………………………3分
(2)EF∥BC(即EF平行于BC).……………………………………1分
原因如下：如图1，∵∠CAD=∠CDA，
∴AC=DC(等角对等边)，即△CAD为等腰三角形;…………………2分
又CF是顶角∠ACD的平分线，由“三线合一”定理，
知CF是底边AD的中线，即F为AD的中点，……………………………3分
结合E是AB的中点，得EF为△ABD的中位线，………………………4分
∴EF∥BD，从而EF∥BC;……………………………………………5分
(3)由(2)知EF∥BC，∴△AEF∽△ABD，…………………1分
∴ ，……………………………………………………………2分
又∵AE= AB，∴得 ，
把S四边形BDFE=9代入其中，解得
S△AEF=3，………………………………………………………………………3分
∴S△ABD=S△AEF+S四边形BDFE=3+9=12，……………………………4分
即△ABD的面积为12.
22.(本小题满分12分)
解：设轮船的日速为 千米/日，…………………………………………………1分
由题意，得 ×3= ，…………………………………………7分
解此分式方程，得 =392，……………………………………………………9分
经检验， =392是原分式方程的解，………………………………………10分
-49=735.……………………………………………………………11分
答：列车的速度为735千米/日;轮船的速度为392千米/日.………12分
23.(本小题满分12分)
解：(1)30;……………………………………………………………………1分
(2)连结OD、AD(如图2).
∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°.∵ =2 ，
设 所对的圆心角∠COD= ，………………………………………………1分
则∠AOD= ，…………………………………………………………………2分
由∠AOD+∠DOC=90°，
得 + =90°，∴ =30°， =60°，…………………………3分
即∠AOD=60°，又∵OA=OD，∴△AOD为等边三角形，…………4分
∴AD=OA=4;…………………………………………………………………5分
(3)过点D作DE⊥OC，交⊙O于点E，……………………………………1分
连结AE，交OC于点P(如图3)，………………………………………………2分
则此时，AP+PD的值最小.
∵根据圆的对称性，点E是点D关于OC的对称点，
OC是DE的垂直平分线，即PD=PE.………………………………………3分
∴AP+PD=AP+PE=AE，
若在OC上另取一点F，连结AF、FD及EF，
在△AFE中，AF+FE>AE，
即AF+FE>AP+PD，
∴可知AP+PD最小.…………………………………………………………4分
∵∠AED= ∠AOD=30°，
又∵OA⊥OC，DE⊥OC，∴OA∥DE，
∴∠OAE=∠AED=30°.
延长AO交⊙O于点B，连结BE，∵AB为直径，
∴△ABE为直角三角形.由 =cos∠BAE，……………………………5分
得AE=AB•cos30°=2×4× = ，……………………………6分
即AP+PD= ，
[也可利用勾股定理求得AE]
24.(本小题满分14分)
解：(1)把D(0，-3)坐标代入直线 = + 中，
得 =-3，从而得直线 = -3.……………………………………………1分
由M为直线 =- 与直线 = -3的交点，
得 ，………………………………………………………………………2分
解得 ，∴得M点坐标为M(2，-1).…………………………………3分
∵M为二次函数 = + + 的顶点，∴其对称轴为 =2，
由对称轴公式： =- ，得- =2，∴ =-4;
由 =-1，得 =-1，得 =3.
∴二次函数 = + + 的解析式为： = -4 +3;………………4分
[也可用顶点式求得解析式：由M(2，-1)，
得 = -1，展开得 = -4 +3]
(2)∵M是直线 =- 和 = + 的交点，得 ，
解得 ，∴得M点坐标为M(- ， ).…………………………1分
从而有- =- 和 = ，
解得 = ; = + .…………………………………………………3分
由 ，得 +( -1) + - =0，……………………4分
该一元二次方程根的判别式
⊿=( -1)2-4( - )
=( -1)2-4( + - )=1>0，…………………………5分
∴二次函数 = + + 的图象与直线 = + 总有两个不同的交点;
(3)解法①：
由(1)知，二次函数的解析式为： = -4 +3，
当 =0时， =3.∴点C的坐标为C(0，3).……………………………1分
令 =0，即 -4 +3=0，解得 =1， =3，
∴点A的坐标为A(3，0).………………………………………………………2分
由勾股定理，得AC=3 .∵M点的坐标为M(2，-1)，
过M点作 轴的垂线，垂足的坐标应为(2，0)，由勾股定理，
得AM= ;过M点作 轴的垂线，垂足的坐标应为(0，-1)，
由勾股定理，得CM= = =2 .
∵AC2+AM2=20=CM2，∴△CMA是直角三角形，……………………3分
CM为斜边，∠CAM=90°.
直线 =- 与△CMA的外接圆的一个交点为M，另一个交点为P，
则∠CPM=90°.即△CPM为Rt△.………………………………………4分
设P点的横坐标为 ，则P( ，- ).过点P作 轴垂线，
过点M作 轴垂线，两条垂线交于点E(如图4)，则E( ，-1).
过P作PF⊥ 轴于点F，则F(0，- ).
在Rt△PEM中，PM2=PE2+EM2
=(- +1)2+(2- )2= -5 +5.
在Rt△PCF中，PC2=PF2+CF2= +(3+ )2
= +3 +9.在Rt△PCM中，PC2+PM2=CM2，
得 +3 +9+ -5 +5=20，
化简整理得5 -4 -12=0，解得 =2， =- .
当 =2时， =-1，即为M点的横、纵坐标.
∴P点的横坐标为- ，纵坐标为 .
∴P(- ， ).……………………………………………………………………5分
解法②[运用现行高中基本知识(解析几何)：线段中点公式及两点间距离公式]：
设线段CM的中点(即△CMA内接圆的圆心)为H，则由线段中点公式，可求出H的坐标为H(1，1).∵点P在⊙H上，∴点P到圆心H的距离等于半径.
设点P的坐标为：P( ，- )，由两点间的距离公式，得PH的长度为：
，从而有： = ，即
=5，化简，整理，得化简整理得5 -4 -12=0，解得 =2， =- .当 =2时， =-1，即为M点的横、纵坐标.
∴P点的横坐标为- ，纵坐标为 .
∴P(- ， ).
[对该解法，可相应给分]
25.(本小题满分14分)
解：(1)42;……………………………………………………………………1分
(2)画图如下(如图5).………………………………………………………3分
∵∠DA =90°，∠CAD=20°，
∴∠CA =∠DA -∠CAD=90°-20°=70°;…………5分
(3)画图如下：将△BDC绕点B按逆时针方向旋转60°…………………2分
到△BEF的位置(如图6).
连结DE，CF，这样可知△BDE和△BCF均为等边三角形，
从而DE= ，CF= .
∵∠ADB=120°，∠BDE=60°，即∠ADE=180°，
则A、D、E三点共线(即该三点在同一条直线上).……………………………3分
同理，∵∠BEF=∠BDC=120°，∠BED=60°，
即∠DEF=180°，则D、E、F三点共线，
∴A、D、E、F四点均在一条直线上.…………………………………………4分
∵EF=DC= ，∴线段AF= + + .
以线段AF为边在点B一侧作等边△AFG(图6)，……………………………5分
则△AFG即为符合条件的等边三角形，其中的点B即为点M.…………………6分
正三角形的边长为 + + 已证，BA= ，BF=BC= ，
下面再证BG= .
∵∠CFB=∠AFG=60°，
即∠1+∠EFB=∠2+∠EFB=60°，∴∠1=∠2.
在△AFC和△GFB中，∵FA=FG，∠1=∠2，FC=FB，
∴△AFC≌△GFB(SAS)，
∴AC=GB，即BG=CA= .
从而点B(M)到等边△AFG三个顶点的距离分别为 、 、 ，
且其边长为 + + .………………………………………………………………8分
[注：把△ADB绕点A按逆时针方向旋转60°，
把△CDA绕点C按逆时针方向旋转60°，
把△ADC绕点A按顺时针方向旋转60°，
把△BCD绕点C按顺时针方向旋转60°等
均可证得，方法类似]
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