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九年级数学测试题及答案

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  任何成绩的质变都来自于量变的积累,只要花时间积极做九年级数学期测试卷题,你就会取得好成绩!以下是学习啦小编为你整理的九年级数学测试卷,希望对大家有帮助!

  九年级数学测试卷

  一、选择题

  1.与 是同类二次根式的是(  )

  A. B. C. D.

  2.方程x2=2x的解是(  )

  A.x=0 B.x=2 C.x=0或x=2 D.x=±

  3.从1,2,3,4这四个数字中,任意抽取两个不同数字组成一个两位数,则这个两位数能被3整除的概率是(  )

  A. B. C. D.

  4.在△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,下列各式成立的是(  )

  A.b=a•sinB B.a=b•cosB C.a=b•tanB D.b=a•tanB

  5.如图:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点是(﹣2,0),顶点是(1,3).下列说法中不正确的是(  )

  A.抛物线的对称轴是x=1

  B.抛物线的开口向下

  C.抛物线与x轴的另一个交点是(2,0)

  D.当x=1时,y有最大值是3

  6.已知关于x的方程kx2+(1﹣k)x﹣1=0,下列说法正确的是(  )

  A.当k=0时,方程无解

  B.当k=1时,方程有一个实数解

  C.当k=﹣1时,方程有两个相等的实数解

  D.当k≠0时,方程总有两个不相等的实数解

  7.如图,菱形ABCD的周长为40cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA= ,则下列结论正确的有(  )

  ①DE=6cm;②BE=2cm;③菱形面积为60cm2;④BD= cm.

  A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

  8.如图,直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8,按如图那样折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则S△BCE:S△BDE等于(  )

  A.2:5 B.14:25 C.16:25 D.4:21

  二、填空题

  9.当x  时, 在实数范围内有意义.

  10.已知四条线段a,b,c,d成比例,并且a=2,b= ,c= ,则d=  .

  11.在一个陡坡上前进5米,水平高度升高了3米,则坡度i=  .

  12.如图,A、B、C三点在正方形网格线的交点处,若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′,则tanB′的值为  .

  13.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm,若较大三角形的周长是42cm,面积是12cm2,则较小三角形的周长为  cm,面积为  cm2.

  14.共青团县委准备在艺术节期间举办学生绘画展览,为美化画面,在长30cm、宽20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等(如图所示),若设彩纸的宽度为xcm,则列方程整理成一般形式为  .

  15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=3.点D是BC边上的一动点(不与点B、C重合),过点D作DE⊥BC交AB于点E,将∠B沿直线DE翻折,点B落在射线BC上的点F处.当△AEF为直角三角形时,BD的长为  .

  三、解答题(共75分)

  16.(7分)计算:4cos30°﹣| ﹣2|+( )0﹣ +(﹣ )﹣2.

  17.(7分)用配方法解方程:x2+4x﹣1=0.

  18.(9分)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.

  (1)求证:△CDF∽△BGF;

  (2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.

  19.(10分)如图,一条抛物线经过(﹣2,5),(0,﹣3)和(1,﹣4)三点.

  (1)求此抛物线的函数解析式.

  (2)假如这条抛物线与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,试判断△OCB的形状.

  20.(10分)如图,防洪大堤的横断面是梯形,背水坡AB的坡比i=1: ,且AB=30m,李亮同学在大堤上A点处用高1.5m的测量仪测出高压电线杆CD顶端D的仰角为30°,己知地面BC宽30m,求高压电线杆CD的高度(结果保留三个有效数字, ≈1.732)

  21.(10分)为迎接“五一”节的到来,某食品连锁店对某种商品进行了跟踪调查,发现每天它的销售价与销售量之间有如下关系:

  每千克售价(元) 25 24 23 … 15

  每天销售量(千克) 30 32 34 … 50

  如果单价从最高25元/千克下调到x元/千克时,销售量为y千克,已知y与x之间的函数关系是一次函数:

  (1)求y与x之间的函数解析式;(不写定义域)

  (2)若该种商品成本价是15元/千克,为使“五一”节这天该商品的销售总利润是200元,那么这一天每千克的销售价应定为多少元?

  22.(11分)阅读下面材料:小腾遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,点D在线段BC上,∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=2,BD=2DC,求AC的长.

  小腾发现,过点C作CE∥AB,交AD的延长线于点E,通过构造△ACE,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图 2).

  请回答:∠ACE的度数为  ,AC的长为  .

  参考小腾思考问题的方法,解决问题:

  如图 3,在四边形 ABCD中,∠BAC=90°,∠CAD=30°,∠ADC=75°,AC与BD交于点E,AE=2,BE=2ED,求BC的长.

  23.(11分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,2),点P(t,0)在x轴上,B是线段PA的中点.将线段PB绕着点P顺时针方向旋转90°,得到线段PC,连结OB、BC.

  (1)判断△PBC的形状,并简要说明理由;

  (2)当t>0时,试问:以P、O、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求出相应的t的值?若不能,请说明理由;

  (3)当t为何值时,△AOP与△APC相似?

  九年级数学测试卷答案

  一、选择题

  1.与 是同类二次根式的是(  )

  A. B. C. D.

  【考点】同类二次根式.

  【分析】根据同类二次根式的定义进行选择即可.

  【解答】解:A、 与 不是同类二次根式,故错误;

  B、 =3与 不是同类二次根式,故错误;

  C、 =3 与 不是同类二次根式,故错误;

  D、 = 与 是同类二次根式,故正确;

  故选D.

  【点评】本题考查了同类二次根式,掌握同类二次根式的定义是解题的关键.

  2.方程x2=2x的解是(  )

  A.x=0 B.x=2 C.x=0或x=2 D.x=±

  【考点】解一元二次方程-因式分解法.

  【分析】方程移项后,提取公因式化为积的形式,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.

  【解答】解:方程变形得:x2﹣2x=0,

  分解因式得:x(x﹣2)=0,

  解得:x1=0,x2=2.

  故选C

  【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

  3.从1,2,3,4这四个数字中,任意抽取两个不同数字组成一个两位数,则这个两位数能被3整除的概率是(  )

  A. B. C. D.

  【考点】概率公式.

  【分析】列举出所有情况,看能被3整除的数的情况占总情况的多少即可.

  【解答】解:第一个数字有4种选择,第二个数字有3种选择,易得共有4×3=12种可能,而被3整除的有4种可能(12、21、24、42),所以任意抽取两个数字组成两位数,则这个两位数被3整除的概率为 = ,故选A.

  【点评】如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)= .

  4.在△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,下列各式成立的是(  )

  A.b=a•sinB B.a=b•cosB C.a=b•tanB D.b=a•tanB

  【考点】锐角三角函数的定义.

  【分析】根据三角函数的定义即可判断.

  【解答】解:A、∵sinB= ,∴b=c•sinB,故选项错误;

  B、∵cosB= ,∴a=c•cosB,故选项错误;

  C、∵tanB= ,∴a= ,故选项错误;

  D、∵tanB= ,∴b=a•tanB,故选项正确.

  故选D.

  【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边.

  5.如图:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点是(﹣2,0),顶点是(1,3).下列说法中不正确的是(  )

  A.抛物线的对称轴是x=1

  B.抛物线的开口向下

  C.抛物线与x轴的另一个交点是(2,0)

  D.当x=1时,y有最大值是3

  【考点】二次函数的性质.

  【分析】根据二次函数的性质,结合图象,逐一判断.

  【解答】解:观察图象可知:

  A、∵顶点坐标是(1,3),

  ∴抛物线的对称轴是x=1,正确;

  B、从图形可以看出,抛物线的开口向下,正确;

  C、∵图象与x轴的一个交点是(﹣2,0),顶点是(1,3),

  ∴1﹣(﹣2)=3,1+3=4,

  即抛物线与x轴的另一个交点是(4,0),错误;

  D、当x=1时,y有最大值是3,正确.

  故选C.

  【点评】主要考查了二次函数的性质,要会根据a的值判断开口方向,根据顶点坐标确定对称轴,掌握二次函数图象的对称性.

  6.已知关于x的方程kx2+(1﹣k)x﹣1=0,下列说法正确的是(  )

  A.当k=0时,方程无解

  B.当k=1时,方程有一个实数解

  C.当k=﹣1时,方程有两个相等的实数解

  D.当k≠0时,方程总有两个不相等的实数解

  【考点】根的判别式;一元一次方程的解.

  【分析】利用k的值,分别代入求出方程的根的情况即可.

  【解答】解:关于x的方程kx2+(1﹣k)x﹣1=0,

  A、当k=0时,x﹣1=0,则x=1,故此选项错误;

  B、当k=1时,x2﹣1=0方程有两个实数解,故此选项错误;

  C、当k=﹣1时,﹣x2+2x﹣1=0,则(x﹣1)2=0,此时方程有两个相等的实数解,故此选项正确;

  D、由C得此选项错误.

  故选:C.

  【点评】此题主要考查了一元二次方程的解,代入k的值判断方程根的情况是解题关键.

  7.如图,菱形ABCD的周长为40cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA= ,则下列结论正确的有(  )

  ①DE=6cm;②BE=2cm;③菱形面积为60cm2;④BD= cm.

  A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

  【考点】解直角三角形.

  【分析】根据角的正弦值与三角形边的关系,可求出各边的长,运用验证法,逐个验证从而确定答案.

  【解答】解:∵菱形ABCD的周长为40cm,

  ∴AD=AB=BC=CD=10.

  ∵DE⊥AB,垂足为E,

  sinA= = = ,

  ∴DE=6cm,AE=8cm,BE=2cm.

  ∴菱形的面积为:AB×DE=10×6=60cm2.

  在三角形BED中,

  BE=2cm,DE=6cm,BD=2 cm,∴①②③正确,④错误; =2

  ∴结论正确的有三个.

  故选C.

  【点评】此题看上去这是一道选择题实则是一道综合题,此题考查直角三角形的性质,只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解.

  8.如图,直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8,按如图那样折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则S△BCE:S△BDE等于(  )

  A.2:5 B.14:25 C.16:25 D.4:21

  【考点】翻折变换(折叠问题).

  【分析】在Rt△BEC中利用勾股定理计算出AB=10,根据折叠的性质得到AD=BD=5,EA=EB,设AE=x,则BE=x,EC=8﹣x,在Rt△BEC中根据勾股定理计算出x= ,则EC=8﹣ = ,

  利用三角形面积公式计算出S△BCE= BC•CE= ×6× = ,在Rt△BED中利用勾股定理计算出ED= = ,利用三角形面积公式计算出S△BDE= BD•DE= ×5× = ,然后求出两面积的比.

  【解答】解:在Rt△BAC中,BC=6,AC=8,

  ∴AB= =10,

  ∵把△ABC沿DE使A与B重合,

  ∴AD=BD,EA=EB,

  ∴BD= AB=5,

  设AE=x,则BE=x,EC=8﹣x,

  在Rt△BEC中,∵BE2=EC2+BC2,即x2=(8﹣x)2+62,

  ∴x= ,

  ∴EC=8﹣x=8﹣ = ,

  ∴S△BCE= BC•CE= ×6× = ,

  在Rt△BED中,∵BE2=ED2+BD2,

  ∴ED= = ,

  ∴S△BDE= BD•DE= ×5× = ,

  ∴S△BCE:S△BDE= : =14:25.

  故选B.

  【点评】本题考查了折叠问题:折叠前后两图形全等,即对应线段相等,对应角相等.也考查了勾股定理.

  二、填空题

  9.当x >  时, 在实数范围内有意义.

  【考点】二次根式有意义的条件;分式有意义的条件.

  【分析】本题考查了代数式有意义的x的取值范围.一般地从两个角度考虑:分式的分母不为0;偶次根式被开方数大于或等于0;当一个式子中同时出现这两点时,应该是取让两个条件都满足的公共部分.

  【解答】解:由分式的分母不为0,得2x﹣3≠0,即x≠ ,

  又因为二次根式的被开方数不能是负数,所以有2x﹣3≥0,得x≥ ,

  所以,x的取值范围是x> .

  故当x> 时, 在实数范围内有意义.

  【点评】判断一个式子是否有意义,应考虑分母上若有字母,字母的取值不能使分母为零,二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数.易错易混点:学生易对二次根式的非负性和分母的不等于0混淆.

  10.已知四条线段a,b,c,d成比例,并且a=2,b= ,c= ,则d=   .

  【考点】比例线段.

  【分析】根据题意列出比例式,再根据比例的基本性质,易求d的值.

  【解答】解:∵四条线段a,b,c,d成比例,并且a=2,b= ,c= ,

  ∴a:b=c:d,即2: = :d,

  解得d= ,

  故答案为 .

  【点评】本题考查了比例线段,解题的关键是利用了两内项之积等于两外项之积.

  11.在一个陡坡上前进5米,水平高度升高了3米,则坡度i=   .

  【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

  【分析】先求出水平方向上前进的距离,然后根据山坡的坡度=竖直方向上升的距离:水平方向前进的距离,即可解题.

  【解答】解:如图所示:AC=5米,BC=3米,

  则AB= = =4(米),

  则坡度i= = .

  故答案为:3:4.

  【点评】本题考查了坡度的概念,坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比,又叫做坡比.

  12.如图,A、B、C三点在正方形网格线的交点处,若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′,则tanB′的值为   .

  【考点】旋转的性质;解直角三角形.

  【分析】过C点作CD⊥AB,垂足为D,根据旋转性质可知,∠B′=∠B,把求tanB′的问题,转化为在Rt△BCD中求tanB.

  【解答】解:过C点作CD⊥AB,垂足为D.

  根据旋转性质可知,∠B′=∠B.

  在Rt△BCD中,tanB= = ,

  ∴tanB′=tanB= .

  故答案为 .

  【点评】本题考查了旋转的性质,旋转后对应角相等;三角函数的定义及三角函数值的求法.

  13.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm,若较大三角形的周长是42cm,面积是12cm2,则较小三角形的周长为 14 cm,面积为   cm2.

  【考点】相似三角形的性质.

  【分析】由两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm,可得此相似三角形的相似比为:6:18=1:3;即可得此相似三角形的周长比为:1:3,面积比为:1:9,又由较大三角形的周长是42cm,面积是12cm2,即可求得答案.

  【解答】解:∵两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm,

  ∴此相似三角形的相似比为:6:18=1:3;

  ∴此相似三角形的周长比为:1:3,面积比为:1:9,

  ∵较大三角形的周长是42cm,面积是12cm2,

  ∴较小三角形的周长为:42× =14(cm),面积为:12× = (cm2).

  故答案为:14, .

  【点评】此题考查了相似三角形的性质.此题比较简单,注意掌握相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比;相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比.相似三角形的面积的比等于相似比的平方.

  14.共青团县委准备在艺术节期间举办学生绘画展览,为美化画面,在长30cm、宽20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸,并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等(如图所示),若设彩纸的宽度为xcm,则列方程整理成一般形式为 x2+25x﹣150=0 .

  【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

  【分析】设彩纸的宽度为xcm,则镶上宽度相等的彩纸后长度为30+2x,宽为20+2x,它的面积等于原来面积的2倍,由此列出方程.

  【解答】解:设彩纸的宽度为xcm,

  则由题意列出方程为:(30+2x)(20+2x)=2×30×20.

  整理得:x2+25x﹣150=0,

  故答案为:x2+25x﹣150=0.

  【点评】本题主要考查一元二次方程的应用,变形后的面积是原来的2倍,列出方程即可.

  15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=3.点D是BC边上的一动点(不与点B、C重合),过点D作DE⊥BC交AB于点E,将∠B沿直线DE翻折,点B落在射线BC上的点F处.当△AEF为直角三角形时,BD的长为 1或2 .

  【考点】翻折变换(折叠问题);含30度角的直角三角形;勾股定理.

  【分析】首先由在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=3,即可求得AC的长、∠AEF与∠BAC的度数,然后分别从从∠AFE=90°与∠EAF=90°去分析求解,又由折叠的性质与三角函数的知识,即可求得CF的长,继而求得答案.

  【解答】解:根据题意得:∠EFB=∠B=30°,DF=BD,EF=EB,

  ∵DE⊥BC,

  ∴∠FED=90°﹣∠EFD=60°,∠BEF=2∠FED=120°,

  ∴∠AEF=180°﹣∠BEF=60°,

  ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=3,

  ∴AC=BC•tan∠B=3× = ,∠BAC=60°,

  如图①若∠AFE=90°,

  ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,

  ∴∠EFD+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°,

  ∴∠FAC=∠EFD=30°,

  ∴CF=AC•tan∠FAC= × =1,

  ∴BD=DF= =1;

  如图②若∠EAF=90°,

  则∠FAC=90°﹣∠BAC=30°,

  ∴CF=AC•tan∠FAC= × =1,

  ∴BD=DF= =2,

  ∴△AEF为直角三角形时,BD的长为:1或2.

  【点评】此题考查了直角三角形的性质、折叠的性质以及特殊角的三角函数问题.此题难度适中,注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.

  三、解答题(共75分)

  16.计算:4cos30°﹣| ﹣2|+( )0﹣ +(﹣ )﹣2.

  【考点】特殊角的三角函数值;绝对值;零指数幂;负整数指数幂;二次根式的性质与化简.

  【分析】按照实数的运算法则依次计算:cos30°= ,| ﹣2|= ,( )0=1, =3 ,(﹣ )﹣2=9.

  【解答】解:4cos30°﹣| ﹣2|+( )0﹣ +(﹣ )﹣2

  =

  = (5分)

  =8.(6分)

  【点评】本题重点考查了实数的基本运算能力.涉及知识:负指数为正指数的倒数;任何非0数的0次幂等于1;绝对值的化简;二次根式的化简.

  17.用配方法解方程:x2+4x﹣1=0.

  【考点】解一元二次方程-配方法.

  【分析】方程变形后,利用配方法求出解即可.

  【解答】解:方程变形得:x2+4x=1,

  配方得:x2+4x+4=5,即(x+2)2=5,

  开方得:x+2=± ,

  解得:x1=﹣2+ ,x2=﹣2﹣ .

  【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

  18.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.

  (1)求证:△CDF∽△BGF;

  (2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.

  【考点】相似三角形的判定;三角形中位线定理;梯形.

  【分析】(1)利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF.

  (2)根据点F是BC的中点这一已知条件,可得△CDF≌△BGF,则CD=BG,只要求出BG的长即可解题.

  【解答】(1)证明:∵梯形ABCD,AB∥CD,

  ∴∠CDF=∠G,∠DCF=∠GBF,(2分)

  ∴△CDF∽△BGF.

  (2)解:由(1)△CDF∽△BGF,

  又∵F是BC的中点,BF=FC,

  ∴△CDF≌△BGF,

  ∴DF=GF,CD=BG,(6分)

  ∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,

  ∴E为AD中点,

  ∴EF是△DAG的中位线,

  ∴2EF=AG=AB+BG.

  ∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2,

  ∴CD=BG=2cm.(8分)

  【点评】本题主要考查了相似三角形的判定定理及性质,全等三角形的判定及线段的等量代换,比较复杂.

  19.(10分)(2016秋•唐河县期末)如图,一条抛物线经过(﹣2,5),(0,﹣3)和(1,﹣4)三点.

  (1)求此抛物线的函数解析式.

  (2)假如这条抛物线与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,试判断△OCB的形状.

  【考点】抛物线与x轴的交点;待定系数法求二次函数解析式.

  【分析】(1)待定系数法求解可得;

  (2)分别求出抛物线与坐标轴的交点即可得出答案.

  【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

  将(﹣2,5),(0,﹣3)和(1,﹣4)三点代入,

  得: ,

  解得: ,

  ∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;

  (2)令y=0,即x2﹣2x﹣3=0,

  解得:x=﹣1或x=3,

  ∴抛物线与x轴的两个交点为(﹣1,0)、(3,0),

  ∵c=﹣3,

  ∴抛物线与y轴的交点为(0,﹣3),

  ∴OB=OC,

  ∴△OCB是等腰直角三角形.

  【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式,在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.

  20.(10分)(2012•苏州模拟)如图,防洪大堤的横断面是梯形,背水坡AB的坡比i=1: ,且AB=30m,李亮同学在大堤上A点处用高1.5m的测量仪测出高压电线杆CD顶端D的仰角为30°,己知地面BC宽30m,求高压电线杆CD的高度(结果保留三个有效数字, ≈1.732)

  【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

  【分析】由i的值求得大堤的高度AE,点A到点B的水平距离BE,从而求得MN的长度,由仰角求得DN的高度,从而由DN,AM,h求得高度CD.

  【解答】解:延长MA交直线BC于点E,

  ∵AB=30,i=1: ,

  ∴AE=15,BE=15 ,

  ∴MN=BC+BE=30+15 ,

  又∵仰角为30°,

  ∴DN= = =10 +15,

  CD=DN+NC=DN+MA+AE=10 +15+15+1.5≈17.32+31.5≈48.8(m).

  【点评】本题考查了直角三角形在坡度上的应用,由i的值求得大堤的高度和点A到点B的水平距离,求得MN,由仰角求得DN高度,进而求得总高度.

  21.(10分)(2013•闸北区二模)为迎接“五一”节的到来,某食品连锁店对某种商品进行了跟踪调查,发现每天它的销售价与销售量之间有如下关系:

  每千克售价(元) 25 24 23 … 15

  每天销售量(千克) 30 32 34 … 50

  如果单价从最高25元/千克下调到x元/千克时,销售量为y千克,已知y与x之间的函数关系是一次函数:

  (1)求y与x之间的函数解析式;(不写定义域)

  (2)若该种商品成本价是15元/千克,为使“五一”节这天该商品的销售总利润是200元,那么这一天每千克的销售价应定为多少元?

  【考点】一元二次方程的应用;一次函数的应用.

  【分析】(1)利用表格中的数据得到两个变量的对应值,然后利用待定系数法确定一次函数的解析式即可;

  (2)设这一天每千克的销售价应定为x元,利用总利润是200元得到一元二次方程求解即可.

  【解答】解:(1)设y=kx+b (k≠0),将(25,30)(24,32)代入得:…(1分)

  解得: ,

  ∴y=﹣2x+80.

  (2)设这一天每千克的销售价应定为x元,根据题意得:

  (x﹣15)(﹣2x+80)=200,

  x2﹣55x+700=0,

  ∴x1=20,x2=35.

  (其中,x=35不合题意,舍去)

  答:这一天每千克的销售价应定为20元.

  【点评】本题考查了一元二次方程及一次函数的应用,列方程及函数关系式的关键是找到等量关系.

  22.(11分)(2014•北京)阅读下面材料:小腾遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,点D在线段BC上,∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=2,BD=2DC,求AC的长.

  小腾发现,过点C作CE∥AB,交AD的延长线于点E,通过构造△ACE,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图 2).

  请回答:∠ACE的度数为 75° ,AC的长为 3 .

  参考小腾思考问题的方法,解决问题:

  如图 3,在四边形 ABCD中,∠BAC=90°,∠CAD=30°,∠ADC=75°,AC与BD交于点E,AE=2,BE=2ED,求BC的长.

  【考点】相似三角形的判定与性质;勾股定理;解直角三角形.

  【分析】根据相似的三角形的判定与性质,可得 =2,根据等腰三角形的判定,可得AE=AC,根据正切函数,可得DF的长,根据直角三角形的性质,可得AB与DF的关系,根据勾股定理,可得答案.

  【解答】解:∠ABC+∠ACB=∠ECD+∠ACB=∠ACE=180°﹣75°﹣30°=75°,

  ∠E=75°,BD=2DC,

  ∴AD=2DE,

  AE=AD+DE=3,

  ∴AC=AE=3,

  ∠ACE=75°,AC的长为3.

  过点D作DF⊥AC于点F.

  ∵∠BAC=90°=∠DFA,

  ∴AB∥DF,

  ∴△ABE∽△FDE,

  ∴ =2,

  ∴EF=1,AB=2DF.

  在△ACD中,∠CAD=30°,∠ADC=75°,

  ∴∠ACD=75°,AC=AD.

  ∵DF⊥AC,

  ∴∠AFD=90°,

  在△AFD中,AF=2+1=3,∠FAD=30°,

  ∴DF=AFtan30°= ,AD=2DF=2 .

  ∴AC=AD=2 ,AB=2DF=2 .

  ∴BC= =2 .

  【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,利用了相似三角形的判定与性质,直角三角形的性质,勾股定理.

  23.(11分)(2016秋•唐河县期末)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,2),点P(t,0)在x轴上,B是线段PA的中点.将线段PB绕着点P顺时针方向旋转90°,得到线段PC,连结OB、BC.

  (1)判断△PBC的形状,并简要说明理由;

  (2)当t>0时,试问:以P、O、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求出相应的t的值?若不能,请说明理由;

  (3)当t为何值时,△AOP与△APC相似?

  【考点】相似形综合题.

  【分析】(1)根据旋转的现在得出PB=PC,再根据B是线段PA的中点,得出∠BPC=90°,从而得出△PBC是等腰直角三角形.

  (2)根据∠OBP=∠BPC=90°,得出OB∥PC,再根据B是PA的中点,得出四边形POBC是平行四边形,当OB⊥BP时,得出OP2=2OB2,即t2=2( t2+1),求出符合题意的t的值,即可得出答案;

  (3)根据题意得出∠AOP=∠APC=90°,再分两种情况讨论,当 = = 时和 = = 时,得出△AOP∽△APC和△AOP∽△CPA,分别求出t的值即可.

  【解答】解:(1)△PBC是等腰直角三角形,理由如下:

  ∵线段PB绕着点P顺时针方向旋转90°,得到线段PC,

  ∴PB=PC,

  ∵B是线段PA的中点,

  ∴∠BPC=90°,

  ∴△PBC是等腰直角三角形.

  (2)当OB⊥BP时,以P、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形.

  ∵∠OBP=∠BPC=90°,

  ∴OB∥PC,

  ∵B是PA的中点,

  ∴OB= AP=BP=PC,

  ∴四边形POBC是平行四边形,

  当OB⊥BP时,有OP= OB,即OP2=2OB2,

  ∴t2=2( t2+1),

  ∴t1=2,t2=﹣2(不合题意),

  ∴当t=2时,以P、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形.

  (3)由题意可知,∠AOP=∠APC=90°,

  当 = = 时,

  △AOP∽△APC,

  此时OP= OA=1,

  ∴t=±1,

  当 = = 时,

  △AOP∽△CPA,

  此时OP=2OA=4,

  ∴t=±4,

  ∴当t=±1或±4时,△AOP与△CPA相似.

  【点评】此题考查了相似形的综合,用到的知识点是旋转的性质、平行四边形的判定,相似三角形的判定与性质,注意分情况讨论,不要漏解.

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