九年级数学上册第三次月考试卷
九年级的新学期开始不久，同学们即将迎来第三次月考的时刻了，同学们需要准备哪些数学月考试卷来练习呢?下面是学习啦小编为大家带来的关于九年级数学上册第三次月考试卷，希望会给大家带来帮助。
九年级数学上册第三次月考试卷及答案解析：
一、选择题(本大题共11小题，每小题4分，共40分)
1.抛物线y=(x﹣1)2+2的顶点是( )
A.(1，﹣2) B.(1，2) C.(﹣1，2) D.(﹣1，﹣2)
【考点】二次函数的性质.
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写成顶点坐标.
【解答】解：因为抛物线y=2(x﹣1)2+2是顶点式，
根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为(1，2).
故选B.
【点评】抛物线的顶点式的应用.
2.⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为( )
A.20° B.40° C.60° D.80°
【考点】圆周角定理.
【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，根据圆周角定理，即可求得答案.
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°.
故选：D.
【点评】此题考查了圆周角定理.此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用.
3.某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨.若平均每月增长率是x，则可以列方程( )
A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.
【专题】增长率问题.
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设平均每月增率是x，那么根据三月份的产量可以列出方程.
【解答】解：设平均每月增率是x，
二月份的产量为：500×(1+x);
三月份的产量为：500(1+x)2=720;
故本题选B.
【点评】找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键;本题考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b(当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”).
4.如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣1=0有实数根，则a的取值范围是( )
A.a>﹣ B.a≥﹣ C.a≥﹣ 且a≠0 D.a> 且a≠0
【考点】根的判别式;一元二次方程的定义.
【分析】在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：
(1)二次项系数不为零;
(2)在有实数根的情况下必须满足△=b2﹣4ac≥0.
【解答】解：依题意列方程组
，
解得a≥﹣ 且a≠0.故选C.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.
5.下列形中，是中心对称形的是( )
A. B. C. D.
【考点】中心对称形.
【分析】根据中心对称形的概念，即可求解.
【解答】解：中心对称形，即把一个形绕一个点旋转180°后能和原来的形重合，只有A符合;
B，C，D不是中心对称形.
故选;A.
【点评】本题考查了中心对称形的概念：在同一平面内，如果把一个形绕某一点旋转180度，旋转后的形能和原形完全重合，那么这个形就叫做中心对称形.
6.下列事件是随机事件的为( )
A.度量三角形的内角和，结果是180°
B.经过城市中有交通信号灯的路口，遇到红灯
C.爸爸的年龄比爷爷大
D.通常加热到100℃时，水沸腾
【考点】随机事件.
【分析】随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，依据定义即可作出判断.
【解答】A、是必然事件，选项错误;
B、正确;
C、是不可能事件，选项错误;
D、是必然事件，选项错误.
故选B.
【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.
7.将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=(x﹣h)2+k的形式，结果为( )
A.y=(x+1)2+4 B.y=(x﹣1)2+4 C.y=(x+1)2+2 D.y=(x﹣1)2+2
【考点】二次函数的三种形式.
【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可.
【解答】解：y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=(x﹣1)2+2.
故选：D.
【点评】二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数);
(2)顶点式：y=a(x﹣h)2+k;
(3)交点式(与x轴)：y=a(x﹣x1)(x﹣x2).
8.已知一个圆锥的侧面积是150π，母线为15，则这个圆锥的底面半径是( )
A.5 B.10 C.15 D.20
【考点】圆锥的计算.
【分析】根据圆锥的侧面积=底面半径×母线长×π，进而求出即可.
【解答】解：∵母线为15，设圆锥的底面半径为x，
∴圆锥的侧面积=π×15×x=150π.
解得：x=10.
故选：B.
【点评】本题考查了圆锥的计算，熟练利用圆锥公式求出是解题关键.
9.将抛物线y=x2向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为( )
A.y=x2﹣2 B.y=x2+2 C.y=(x+2)2 D.y=(x﹣2)2
【考点】二次函数象与几何变换.
【专题】存在型.
【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可.
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y=(x+2)2.
故选C.
【点评】本题考查的是二次函数的象与几何变换，熟知函数象平移的法则是解答此题的关键.
10.CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是( )
A.AE>BE B. = C.∠AEC=2∠D D.∠B=∠C.
【考点】垂径定理;圆周角定理.
【分析】根据垂径定理和圆周角定理判断即可.
【解答】解：∵AB⊥CD，CD过O，
∴AE=BE，弧AD=弧BD，
连接OA，
则∠AOC=2∠ADE，
∵∠AEC>∠AOC，
∴∠AEC=2∠D错误;
∵AB不是直径，
∴根据已知不能推出弧AC=弧BD，
∴∠B和∠C不相等，
即只有选项B正确;选项A、C、D都错误;
故选A.
【点评】本题考查了垂径定理和圆周角定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力.
11.P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合)，点E在射线BC上，且PE=PB.设AP=x，△PBE的面积为y.则下列象中，能表示y与x的函数关系的象大致是( )
A.. B.. C.. D..
【考点】动点问题的函数象.
【分析】过点P作PF⊥BC于F，若要求△PBE的面积，则需要求出BE，PF的值，利用已知条件和正方形的性质以及勾股定理可求出BE，PF的值.再利用三角形的面积公式得到y与x的关系式，此时还要考虑到自变量x的取值范围和y的取值范围.
【解答】解：过点P作PF⊥BC于F，
∵PE=PB，
∴BF=EF，
∵正方形ABCD的边长是1，
∴AC= = ，
∵AP=x，∴PC= ﹣x，
∴PF=FC= ( ﹣x)=1﹣ x，
∴BF=FE=1﹣FC= x，
∴S△PBE= BE•PF= x(1﹣ x)=﹣ x2+ x，
即y=﹣ x2+ x(0
∴y是x的二次函数(0
故选D.
【点评】本题考查了动点问题的函数象，和正方形的性质;等于直角三角形的性质;三角形的面积公式.对于此类问题来说是典型的数形结合，象应用信息广泛，通过看获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力.用象解决问题时，要理清象的含义即会识.
二、填空题(本大题共7小题，每小题3分，共21分)
12.已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线L的距离为3.5cm，那么直线L与⊙O的位置关系是相交.
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】运用直线与圆的三种位置关系，结合3.5<4，即可解决问题.
【解答】解：∵⊙O的半径为4，
圆心O到直线L的距离为3.5，而3.5<4，
∴直线L与⊙O相交.
故答案为：相交.
【点评】该题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用问题;若圆的半径为λ，圆心到直线的距离为μ，当λ>μ时，直线与圆相交;当λ=μ时，直线与圆相切;当λ<μ时，直线与圆相离.
13.如果扇形的圆心角为120°，半径为3cm，那么扇形的面积是3πcm2，弧长2πcm.
【考点】扇形面积的计算;弧长的计算.
【分析】先根据扇形的面积公式计算出扇形的面积，再根据弧长公式计算出其弧长即可.
【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为3cm，
∴S扇形= =3π(cm2);l= =2π(cm).
故答案为：3π，2π.
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键.
14.一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的.从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是 .
【考点】列表法与树状法.
【专题】计算题.
【分析】根据题意列出表格得出所有等可能的情况数，找出颜色不同的情况数，即可求出所求的概率.
【解答】解：列表如下：
白 白 红
白 (白，白) (白，白) (红，白)
白 (白，白) (白，白) (红，白)
红 (白，红) (白，红) (红，红)
所有等可能的情况有9种，其中两次摸出棋子颜色不同的情况有5种，
则P(颜色不同)= .
故答案为： .
【点评】此题考查了列表法与树状法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
15.所示，圆O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么AB的长是8.
【考点】垂径定理;勾股定理.
【分析】连接OA;首先求出OE的长度;借助勾股定理求出AE的长度，即可解决问题.
【解答】 解：连接OA;
OE=OC﹣CE=5﹣2=3;
∵OC⊥AB，
∴AE=BE;
由勾股定理得：AE2=OA2﹣OE2，
∵OA=5，OE=3，
∴AE=4，AB=2AE=8.
故答案为8.
【点评】该题主要考查了勾股定理、垂径定理等的应用问题;作辅助线，构造直角三角形，灵活运用勾股定理、垂径定理来分析、判断、解答是解题的关键.
16.在平面直角坐标系中，抛物线y= 经过平移得到抛物线y= ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为4.
【考点】二次函数象与几何变换.
【分析】确定出抛物线y= x2﹣2x的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解.
【解答】解：∵y= x2﹣2x= (x﹣2)2﹣2，
∴平移后抛物线的顶点坐标为(2，﹣2)，对称轴为直线x=2，
当x=2时，y= ×22=2，
∴平移后阴影部分的面积等于三角形的面积，
×(2+2)×2=4.
故答案为：4.
【点评】本题考查了二次函数象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键.
17.若a、b(a
【考点】解一元二次方程-因式分解法;关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【专题】计算题.
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解确定出a与b的值，即可得出(a，b)关于x轴的对称点坐标.
【解答】解：方程2x2﹣7x+3=0，
分解因式得：(2x﹣1)(x﹣3)=0，
解得：x1= ，x2=3，
∴a= ，b=3，
则( ，3)关于x轴的对称点坐标为( ，﹣3)，
故答案为：( ，﹣3)
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
18.所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧 的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值 .
【考点】垂径定理;轴对称-最短路线问题.
【专题】动点型.
【分析】本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P.此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果.
【解答】解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′.
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=1，
∴A′B= .
∴PA+PB=PA′+PB=A′B= .
故答案为： .
【点评】本题结合形的性质，考查轴对称﹣﹣最短路线问题.其中求出∠BOA′的度数是解题的关键.
三、解答题(本大题共8题，共89分)
19.已知二次函数y=x2+2x﹣1.
(1)写出它的顶点坐标;
(2)当x取何值时，y随x的增大而增大;
(3)求出象与x轴的交点坐标.
【考点】二次函数的性质;抛物线与x轴的交点.
【分析】(1)配方后直接写出顶点坐标即可;
(2)确定对称轴后根据其开口方向确定其增减性即可;
(3)令y=0后求得x的值后即可确定与x轴的交点坐标;
【解答】解：(1)y=x2+2x﹣1=(x+1)2﹣2，
∴顶点坐标为：(﹣1，﹣2);
(2)∵y=x2+2x﹣1=(x+1)2﹣2的对称轴为：x=﹣1，开口向上，
∴当x>﹣1时，y随x的增大而增大;
(3)令y=x2+2x﹣1=0，解得：x=﹣1﹣ 或x=﹣1+ ，
∴象与x轴的交点坐标为(﹣1﹣ ，0)，(﹣1+ ，0).
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解抛物线的有关性质.
20.设点A的坐标为(x，y)，其中横坐标x可取﹣1、2，纵坐标y可取﹣1、1、2.
(1)求出点A的坐标的所有等可能结果(用树状或列表法求解);
(2)试求点A与点B(1，﹣1)关于原点对称的概率.
【考点】列表法与树状法;关于原点对称的点的坐标.
【分析】列举出所有情况，让所求的情况数除以总情况数即为所求的概率.
【解答】解：(解法一)
(1)列举所有等可能结果，画出树状如下
由上可知，点A的坐标的所有等可能结果为：(﹣1，﹣1)、(﹣1，1)、(﹣1，2)、
(2，﹣1)、(2，1)、(2，2)，共有6种，
(2)由(1)知，能与点B(1，﹣1)关于原点对称的结果有1种.
∴P(点A与点B关于原点对称)=
(解法二)(1)列表如下
﹣1 1 2
﹣1 (﹣1，﹣1) (﹣1，1) (﹣1，2)
2 (2，﹣1) (2，1) (21，2)
由一表可知，点A的坐标的所有等可能结果为：(﹣1，﹣1)、(﹣1，1)、(﹣1，2)、
(2，﹣1)、(2，1)、(2，2)，共有6种，
(2)由(1)知，能与点B(1，﹣1)关于原点对称的结果有1种.
∴P(点A与点B关于原点对称)= .
【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.两点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数.
21.为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y=﹣2x+80.设这种产品每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式.
(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元?
【考点】二次函数的应用.
【专题】压轴题.
【分析】(1)根据销售额=销售量×销售单价，列出函数关系式;
(2)用配方法将(1)的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值;
(3)把y=150代入(2)的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据x的取值范围求x的值.
【解答】解：(1)由题意得出：
w=(x﹣20)∙y
=(x﹣20)(﹣2x+80)
=﹣2x2+120x﹣1600，
故w与x的函数关系式为：w=﹣2x2+120x﹣1600;
(2)w=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2(x﹣30)2+200，
∵﹣2<0，
∴当x=30时，w有最大值.w最大值为200.
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.
(3)当w=150时，可得方程﹣2(x﹣30)2+200=150.
解得 x1=25，x2=35.
∵35>28，
∴x2=35不符合题意，应舍去.
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元.
【点评】本题考查了二次函数的运用.关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题.
22.已知二次函数y=x2﹣4x+3的象交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C.
(1)求直线BC的解析式;
(2)点D是在直线BC下方的抛物线上的一个动点，当△BCD的面积最大时，求D点坐标.
【考点】抛物线与x轴的交点;待定系数法求一次函数解析式;二次函数象上点的坐标特征.
【专题】计算题.
【分析】(1)利用y=x2﹣4x+3的象交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线y=x2﹣4x+3交y轴于点C，即可得出A，B，C点的坐标，将B，C点的坐标分别代入y=kx+b(k≠0)，即可得出解析式;
(2)设过D点的直线与直线BC平行，且抛物线只有一个交点时，△BCD的面积最大.
【解答】解：(1)设直线BC的解析式为：y=kx+b(k≠0).
令x2﹣4x+3=0，
解得：x1=1，x2=3，
则A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，
将B(3，0)，C(0，3)，代入y=kx+b(k≠0)，得
，
解得：k=﹣1，b=3，
BC所在直线为：y=﹣x+3;
(2)设过D点的直线与直线BC平行，且抛物线只有一个交点时，△BCD的面积最大.
∵直线BC为y=﹣x+3，∴设过D点的直线为y=﹣x+b，
∴ ，∴x2﹣3x+3﹣b=0，
∴△=9﹣4(3﹣b)=0，
解得b= ，
∴ ，
解得， ，
则点D的坐标为：( ，﹣ ).
【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用平行线确定点到直线的最大距离问题.
23.所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2，3)，B(﹣6，0)，C(﹣1，0).
(1)请直接写出点A关于原点O对称的点的坐标;
(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，求A点经过的路径长;
(3)请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.
【考点】作-旋转变换;平行四边形的性质.
【分析】(1)直接写出点A关于原点O对称的点的坐标即可.
(2)根据网格结构找出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点B′的坐标，根据弧长公式列式计算即可得解;
(3)根据平行四边形的对边平行且相等，分AB、BC、AC是对角线三种情况分别写出即可.
【解答】解：(1)点A关于原点O对称的点的坐标为(2，﹣3);
(2)△ABC旋转后的△A′B′C′所示，
点A′的对应点的坐标为(﹣3，﹣2);
OA′= = ，
即点A所经过的路径长为 = ;
(3)若AB是对角线，则点D(﹣7，3)，
若BC是对角线，则点D(﹣5，﹣3)，
若AC是对角线，则点D(3，3).
【点评】本题考查了利用旋转变换作，平行四边形的对边平行且相等的性质，弧长公式，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，难点在于(3)分情况讨论.
24.OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切于点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E.
(1)求证：ON是⊙A的切线;
(2)若∠MON=60°，求中阴影部分的面积.(结果保留π)
【考点】切线的判定;扇形面积的计算.
【分析】(1)首先过点A作AF⊥ON于点F，易证得AF=AB，即可得ON是⊙A的切线;
(2)由∠MON=60°，AB⊥OM，可求得AF的长，又由S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF，即可求得答案.
【解答】(1)证明：过点A作AF⊥ON于点F，
∵⊙A与OM相切于点B，
∴AB⊥OM，
∵OC平分∠MON，
∴AF=AB=2，
∴ON是⊙A的切线;
(2)解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，
∴∠OEB=30°，
∴AF⊥ON，
∴∠FAE=60°，
在Rt△AEF中，tan∠FAE= ，
∴EF=AF•tan60°=2 ，
∴S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF= AF•EF﹣ ×π×AF2=2 ﹣ π.
【点评】此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.
25.(13分)已知关于x的一元二次方程kx2+(3k+1)x+3=0(k≠0).
(1)求证：无论k取何值，方程总有两个实数根;
(2)若二次函数y=kx2+(3k+1)x+3的象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k的值.
解：
【考点】根的判别式;抛物线与x轴的交点.
【专题】证明题.
【分析】(1)先计算判别式得值得到△=(3k+1)2﹣4k×3=(3k﹣1)2，然后根据非负数的性质得到△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论;
(2)先理由求根公式得到kx2+(3k+1)x+3=0(k≠0)的解为x1=﹣ ，x2=﹣3，则二次函数y=kx2+(3k+1)x+3的象与x轴两个交点的横坐标分别为﹣ 和﹣3，然后根据整数的整除性可确定整数k的值.
【解答】(1)证明：△=(3k+1)2﹣4k×3
=(3k﹣1)2，
∵(3k﹣1)2，≥0，
∴△≥0，
∴无论k取何值，方程总有两个实数根;
(2)解：kx2+(3k+1)x+3=0(k≠0)
x= ，
x1=﹣ ，x2=﹣3，
所以二次函数y=kx2+(3k+1)x+3的象与x轴两个交点的横坐标分别为﹣ 和﹣3，
根据题意得﹣ 为整数，
所以整数k为±1.
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根;当△=0，方程有两个相等的实数根;当△<0，方程没有实数根.也考查了抛物线与x轴的交点.
26.(14分)所示，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半⊙Oˊ与y轴正半轴交于点C，连接BC，AC.CD是半⊙Oˊ的切线，AD⊥CD于点D.
(1)求证：∠CAD=∠CAB;
(2)已知抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点，AB=10，AC=2BC.
①求抛物线的解析式;
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)连接O′C，由CD是⊙O的切线，可得O′C⊥CD，则可证得O′C∥AD，又由O′A=O′C，则可证得∠CAD=∠CAB;
(2)①首先证得△CAO∽△BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OA•OB，又由AC=2BC则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;
②首先证得△FO′C∽△FAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案.
【解答】(1)证明：连接O′C，
∵CD是⊙O′的切线，
∴O′C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴O′C∥AD，
∴∠O′CA=∠CAD，
∵O′A=O′C，
∴∠CAB=∠O′CA，
∴∠CAD=∠CAB;
(2)解：①∵AB是⊙O′的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CAB=∠OCB，
∴△CAO∽△BCO，
∴ = ，
即OC2=OA•OB，
∵AC=2BC，
∴tan∠CAO=tan∠CAB= ，
∴AO=2CO，
又∵AB=10，
∴OC2=2CO(10﹣2CO)，
解得CO1=4，CO2=0(舍去)，
∴CO=4，AO=8，BO=2
∵CO>0，
∴CO=4，AO=8，BO=2，
∴A(﹣8，0)，B(2，0)，C(0，4)，
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，
∴c=4，
由题意得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2﹣ x+4;
②设直线DC交x轴于点F，
∴△AOC≌△ADC，
∴AD=AO=8，
∵O′C∥AD，
∴△FO′C∽△FAD，
∴ = ，
∴O′F•AD=O′C•AF，
∴8(BF+5)=5(BF+10)，
∴BF= ，F( ，0);
设直线DC的解析式为y=kx+m，
则 ，
解得： ，
∴直线DC的解析式为y=﹣ x+4，
由y=﹣ x2﹣ x+4=﹣ (x+3)2+ 得顶点E的坐标为(﹣3， )，
将E(﹣3， )代入直线DC的解析式y=﹣ x+4中，
右边=﹣ ×(﹣3)+4= =左边，
∴抛物线顶点E在直线CD上.
【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质，点与函数的关系，直角梯形等知识.此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用.
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