上学期高三数学理科期末试题
有很多同学的高考成绩不好是因为数学不好，其实数学不难的，只有我们多做题，小编今天下面就给大家整理高三数学，仅供大家参考
高三数学上学期期末试题参考
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若 ( 为虚数单位)，则复数 在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 已知 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
3.下列叙述中正确的是( )
A.命题“a、b都是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题为“a+b不是偶数，则a、b都是奇数”
B.“方程 表示椭圆”的充要条件是“ ”
C.命题“ ”的否定是“ ”
D. “m=2”是“ ： 与 ： 平行”的充分条件
4.已知等差数列{an}的公差为5，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，则S6=( )
A.80 B.85 C.90 D.95
5.《九章算术》一书中，第九章“勾股”中有如下问题:今有勾八步，股一十五步.问勾中容圆径几何?其意思是,今有直角三角形，短的直角边长为8步，长的直角边长为15步，问该直角三角形能容纳圆的直径最大是多少?通过上述问题我们可以知道，当圆的直径最大时，该圆为直角三角形的内切圆，则往该直角三角形中随机投掷一点，该点落在此三角形内切圆内的概率为( )
A. B. C. D
6.如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A.8-4π3 B.8-π
C.8-2π3 D.8-π3
7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，若将f(x)图象上的所有点向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为( )
A.kπ-π4，kπ+π4，k∈Z B.2kπ-π4，2kπ+π4，k∈Z
C.kπ-π3，kπ+π6，k∈Z D.2kπ-π3，2kπ+π6，k∈Z
8.函数f(x)=ln|x-1||1-x|的图象大致为( )
9.平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=120°，P是平行四边形ABCD内一点，且AP=1，若AP→=xAB→+yAD→，则3x+2y的最大值为( )
A.4 B.5 C.2 D.13
10.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为 ，若对于任意实数x，有f(x)> ，且y=f(x)-1为奇函数，则不等式f(x)
A.(-∞，0) B.(0，+∞)
C.(-∞，e4) D.(e4，+∞)
11.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2c，若椭圆上存在点M使得 ，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A.(0，2-1) B.22，1 C.0，22 D.(2-1,1)
12.抛物线y2=8x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1+x2+4=233|AB|，则∠AFB的最大值为 ( )
A.π3 B.3π4 C.5π6 D.2π3
二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)
13.若 ，则目标函数 的取值范围是 .
14. 的展开式中 的系数为 .
15.2016年9月3日，二十国集团(G20)工商峰会在杭州开幕，为了欢迎二十国集团政要及各位来宾的到来，杭州市决定举办大型歌舞晚会.现从A、B、C、D、E 5名歌手中任选3人出席演唱活动，当3名歌手中有A和B时，A需排在B的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有 .
16.已知函数f(x)=(3x+1)ex+1+mx，若有且仅有两个整数使得f(x)≤0，则实数m的取值范围是 .
三.解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分12分)在等比数列 中，首项 ，数列 满足 ，且 .(1)求数列 的通项公式;(2)记数列 的前 项和为 ，又设数列 的前 项和为 ，求证： .
18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面SAD⊥平面ABCD，P为AD的中点，SA=SD=2，BC=12AD=1，CD=3.
(1)求证：SP⊥AB; (2)求直线BS与平面SCD所成角的正弦值;
(3)设M为SC的中点，求二面角S—PB—M的余弦值.
19.(本小题满分12分)
某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.
(1)若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数;
(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1—50名和951—1000名的学生进行了调查，得到表格中的数据，试问：能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取9人，进一步调查他们良好的养眼习惯，并且在这9人中任抽取3人，记名次在1—50名的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.
20. (本小题满分12分)
已知点 为圆 的圆心， 是圆上的动点，点 在圆的半径 上，且有点 和 上的点 ，满足 ， .(1)当点 在圆上运动时，求点 的轨迹方程;(2)若斜率为 的直线 与圆 相切，与(1)中所求点 的轨迹交于不同的两点 , 是坐标原点，且 时，求 的取值范围.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=aln x-x+1x，其中a>0. (1)若f(x)在(2，+∞)上存在极值点，求a的取值范围; (2)设 x1∈(0,1)， x2∈(1，+∞)，若f(x2)-f(x1)存在最大值，记为M(a)，则 当a≤e+1e时，M(a)是否存在最大值?若存在，求出其最大值;若不存在，请说明理由.
请考生在第(22)、(23)题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。
22.选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)
已知曲线 ( 为参数)和定点 ， 、 是此曲线的左、右焦点，以原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线 的极坐标方程.
(2)经过点 且与直线 垂直的直线交此圆锥曲线于 、 两点，求 的值.
23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)=|x-3|+|x+m|(x∈R). (1)当m=1时，求不等式f(x)≥6的解集;
(2)若不等式f(x)≤5的解集不是空集，求参数m的取值范围.
考试答案
一. 选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B D C A D A D C B D D
二. 填空题
13. 14. 320 15. 51 16. -52e，-83e2
三.解答题
17.解：(1)由 和 得 ，所以 ，
设等比数列 的公比为q， ， ，
解得 . ……6分
(2)由(1)得 ，证明 为等差数列， ,则 ，
， . ………12分
18. (1)证明：∵在△SAD中，SA=SD，P为AD的中点，∴SP⊥AD，∵平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD=AD.
∴SP⊥平面ABCD.(3分) ∵AB⊂平面ABCD，∴SP⊥AB.(4分)
(2)∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=12AD，P为AD的中点，∴BC∥PD，且BC=PD.∴四边形BCDP为平行四边形.∵AD⊥DC，∴AD⊥PB.(6分) 由(1)可知SP⊥平面ABCD，故以P为坐标原点，建立空间直角坐标系P—xyz，如图.
则P(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，3，0)，S(0,0，3)，C(-1，3，0)，D(-1,0,0).
∴BS→=(0，-3，3)，CD→=(0，-3，0)，SD→=(-1,0，-3).
设平面SCD的法向量为n=(x，y，z)，
∵n⊥CD→，n⊥SD→，∴-3y=0.-x-3z=0.令z=1，则x=-3，y=0，∴n=(-3，0,1)为平面SCD的一个法向量.(8分)
设直线BS与平面SCD所成角为α.
sinα=|cos〈n，BS→〉|=n•BS→|n||BS→|=32×6=24，
∴直线BS与平面SCD所成角的正弦值为24.(9分)
(3)∵AP⊥SP，AP⊥BP，SP∩BP=P，∴AP⊥平面SPB.
即PA→=(1,0,0)为平面SPB的法向量.∵M为SC的中点.
∴点M的坐标为-12，32，32，而PB→=(0，3，0)，PM→=-12，32，32.设平面MPB的法向量为m=(x，y，z).
∵m⊥PB→，m⊥PM→，∴3y=0，-12x+32y+32z=0.
令z=1，则x=3，y=0，∴m=(3，0,1)，(11分)
∴cos〈m，PA→〉=m•PA→|m||PA→|=32×1=32.(12分)易知，二面角S—PB—M为锐角，∴二面角S—PB—M的余弦值为32.(13分)
19.(本小题满分12分)
解：(1)由图可知，第一组3 人，第二组7人，第三组27人，因为后四组的频数成等差数列，且它们的和为90，所以后四组的频数依次为27，24，21，18，所以视力在5.0以下的人数为3+7+27+24+21=82(或者100-18=82)人，全年级视力在5.0以下的人数约为
.
(2)
因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.
(3)依题意9人中年级名次在1—50名和951—1000名分别有3人和6人，X所有可能取值有0，1，2, 3.
X 0 1 2 3
P
X的分布列为
X的数学期望E(X)=
20.解：(1)由题意知 中线段 的垂直平分线，所以
所以点 的轨迹是以点 ， 为焦点，焦距为2，长轴为 的椭圆，
， ， ,故点 的轨迹方程是 (2)设直线 ，
直线 与圆 相切
联立
所以
为所求.
21.解：(1) ，x∈(0，+∞).
由题意，得 =0在(2，+∞)上有根(且不为重根)，即a=x+1x在x∈(2，+∞)上有解.∵y=x+1x在(2，+∞)上单调递增，∴x+1x∈ 52，+∞. ∴当a>52时，f(x)在(2，+∞)上存在极值点.∴a的取值范围是52，+∞.(4分)
(2)当0
易知当a>2时，方程 =0有两个不相等的正实数根，设为m，n，且0
对∀x1∈(0,1)，有f(x1)≥f(m)，对∀x2∈(1，+∞)，有f(x2)≤f(n)，∴[f(x2)-f(x1)]max=f(n)-f(m).(6分)
∴M(a)=f(n)-f(m)=aln n-n+1n-aln m-m+1m=alnnm+(m-n)+1n-1m，又a=m+n，mn=1，
∴M(a)=1n+n +21n-n=21n+nln n+21n-n.(8分)
∵2
设h(x)=21x+xln x+21x-x，x∈(1，e]，则
=2 ln x+21x+x1x+2 =2 ln x，x∈(1，e].
∴ >0，即h(x)在(1，e]上单调递增. ∴h(x)max=h(e)=2e+1e ln e+21e-e=4e. ∴M(a)存在最大值，最大值为4e. (12分)
22.解：(1)曲线C： 可化为 ，其轨迹为椭圆，
焦点为 和 。经过 和 的直线方程为 ，即 极坐标方程为 .
(2)由(1)知，直线AF2的斜率为 ，因为 ⊥AF2，所以 的斜率为 ，倾斜角为30°，所以 的参数方程为 (t为参数)，
代入椭圆C的方程中，得 .
因为M，N在点F1的两侧，所以
23.解：(1)当m=1时，f(x)≥6等价于x≤-1-(x+1)-(x-3)≥6，或-1
解得x≤-2或x≥4，
所以不等式f(x)≥6的解集为{x|x≤-2或x≥4}.(5分)
(2)解法一：化简f(x)得，当-m≤3时，
f(x)=-2x+3-m，x≤-mm+3，-m
当-m>3时，f(x)=-2x+3-m，x≤3-3-m，3
根据题意得：-m≤3m+3≤5，即-3≤m≤2，(8分)
或-m>3-m-3≤5，即-8≤m<-3，(9分)
∴参数m的取值范围为{m|-8≤m≤2}.(10分)
解法二：∵|x-3|+|x+m|≥|(x-3)-(x+m)|=|m+3|，∴f(x)min=|3+m|，(7分)
∴|m+3|≤5，(8分)
∴-8≤m≤2，∴参数m的取值范围为{m|-8≤m≤2}.(10分)
理科生高三数学上学期期末
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合 ， ，则 =( )
(A) (B)
(C) (D)
2.设 ，直线 ，直线 ，则“ ”是“ ”的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
3.设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值是( )
(A)-5 (B)1
(C)2 (D)7
4.执行如图所示的程序框图，输出 的值为( )
(A)7
(B)14
(C)30
(D)41
5.已知 , ， ， ，则 的大小关系为( )
(A) (B) (C) (D)
6.己知函数 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，将 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则下列是函数 的单调递增区间的为( )
(A) (B) (C) (D)
7.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作圆 的切线，交双曲线右支于点 ，若 ，则双曲线的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
8.定义域为 的函数 满足 ，当 时， . 若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
9.已知复数 ( 是虚数单位)，则复数 的虚部为___________.
10.若二项式 的展开式中的常数项为 ，则 =_____________.
11.已知正方体 中，四面体 的表面积为 ，则该正方体的体积是_____________.
12.已知抛物线 的参数方程为 ( 为参数， )，其焦点为 ，顶点为 ，准线为 ，过点 斜率为 的直线 与抛物线 交于点 ( 在 轴的上方)，过 作 于点 ，若 的面积为 ，则 =_____________.
13.设 若 则 的最小值为_____________.
14.在梯形 中， ∥ ， ， ， ， ， 分别为线段 和 上的动点，且 ， ，则 的最大值为_____________.
三、解答题：(本大题共6小题，共80分)
15.(本题满分13分)
在 中，内角 所对的边分别为 . ， ，
.
(Ⅰ)求边 的值;
(Ⅱ)求 的值.
16.(本题满分13分)
某高中志愿者部有男志愿者6人，女志愿者4人，这些人要参加元旦联欢会的服务工作. 从这些人中随机抽取4人负责舞台服务工作，另外6人负责会场服务工作.
(Ⅰ)设 为事件：“负责会场服务工作的志愿者中包含女志愿者 但不包含男志愿者 ”，求事件 发生的概率.
(Ⅱ)设 表示参加舞台服务工作的女志愿者人数，求随机变量 的分布列与数学期望.
17.(本题满分13分)
如图，已知梯形 中， ∥ ， ， ，四边形 为矩形， ，平面 平面 .
(Ⅰ)求证： ∥平面 ;
(Ⅱ)求平面 与平面 所成二面角的正弦值;
(Ⅲ)若点 在线段 上，且直线 与平面 所成角
的正弦值为 ，求线段 的长.
18.(本题满分13分)
设 是等差数列， 是等比数列，公比大于0.已知 ， ， ， .
(Ⅰ)求数列 ， 的通项公式;
(Ⅱ)设 ， ( ).
(ⅰ)求 ;
(ⅱ)证明 ( )
19.(本题满分14分)
设椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 .已知椭圆的离心率为 ， .
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设直线 与椭圆交于 两点，且点 在第二象限. 与 延长线交于点 ，若 的面积是 面积的3倍，求 的值.
20.(本题满分14分)
已知函数 ，其中 ， =2.71828…为自然对数的底数. 设 是 的导函数.
(Ⅰ)若 时，函数 在 处的切线经过点 ，求 的值;
(Ⅱ)求函数 在区间 上的单调区间;
(Ⅲ)若 ，函数 在区间 内有零点，求 的取值范围.
天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末六校联考
高三数学(理科)参考答案
一、选择题(每小题5分，共40分)
1.B 2.C 3.B 4.C 5.D 6.B 7.A 8.C
二、填空题(每小题5分，共30分)
9. 10.124 11.8 12. 13. 14.
三、解答题(共80分)
15.(本题满分13分)
【解析】(Ⅰ)由 ，得 ………………………………1分
，由 ，得 ， ……………………3分
由余弦定理 ，得 ，解得 或 (舍)
…………………………………………………………………………………6分
(Ⅱ)由 得 ………………………………………………7分
………………………………………………10分
…………………………13分
16.(本题满分13分)
【解析】(Ⅰ)事件为 的基本事件的总数为 ，
事件 包含基本事件的个数为 ，则 . …………………4分
(Ⅱ)由题意知 可取的值为： . ……………………………5分
则 ，
， ，
………………………………………………………10分
因此 的分布列为
0 1 2 3 4
……………………………………… ………………………………………11分
的数学期望是
= …13分
17.(本题满分13分)
【解析】(Ⅰ)证明：四边形 为矩形， ，
又平面 平面 ，平面 平面 = ，
平面 . …………………………………………………………1分
取 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
如图，则 ， ， ， ， ，
设平面 的法向量 ，∵ ， ，
由 得 ，不妨设 ，………3分
又 ∴ ，∴ ，……4分
又∵ 平面 ∴ ∥平面 . ……………………5分
(Ⅱ)设平面 的法向量
∵ ，
由 得 ，不妨设 ， …………7分
∴ ，…………………………………………8分
∴平面 与平面 所成二面角的正弦值为 .…9分
(Ⅲ)∵点 在线段 上，设
∴ ， ……………10分
又∵平面 的法向量 ，设直线 与平面 所成角为
∴ ，
，
， ………………………………………………12分
∴ ， ，∴ 的长为 .…13分
18.(本题满分13分)
【解析】(Ⅰ)设数列 的首项为 ，公差为 ，数列 的公比为 ，
∵ ， ，∴ ，∴ 或 ，
∵ ，∴ ，∴ . …………………………………………3分
由 ， 解得 ， ：
∴ ， . …………………………………………………………5分
(Ⅱ)设 ，则 ………………………6分
(ⅰ) …9分
(ⅱ) ………………………11分
………………………………………………………13分
19.(本题满分14分)
【解析】(Ⅰ)设椭圆的焦距为 ，由已知得 ，
所以，椭圆的方程为 . …………………………………………………3分
(II)设点 ， ，由题意， 且
由 的面积是 面积的3倍，可得 ， …………………5分
所以 ，从而 ，
所以 ，即 . ………………………………………6分
易知直线 的方程为 ，由 消去 ，可得 …7分
由方程组 消去 ，可得 . …………………………9分
由 ，可得 ， …………………………………10分
整理得 ，解得 ，或 . ………………………12分
当 时， ，符合题意;当 时， ，不符合题意，舍去.
所以， 的值为 . …………………………………………………14分
20.(本题满分14分)
【解析】(I) 时， ，
∴切线斜率 ，切点坐标 ∴切线方程
∵切线经过点 ，∴ ∴ …………………………3分
(II)∵ ∴ .
∵ 在 单调递增，∴
，即 时， ，所以 单调递增区间为 …4分
②当 ，即 时， ，所以 单调递减区间为 ……5分
③当 时，令 ，得 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
∴函数 单调递减区间为 ，单调递增区间为
综上①②③可得：
当 时， 单调递增区间为 ;
当 时， 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ;
当 时， 单调递减区间为 . …………………………7分
(Ⅲ)由 得： ， …………8分
由已知，设 为 在区间 内的一个零点，
则由 可知， 在区间 上至少有三个单调区间.
∴ 在区间 内存在零点，在区间 内也存在零点.
∴ 在区间 内至少有两个零点.
由(II)可知，
当 时， 在 上单调递增，故 在 内至多有一个零点，不合题意.
当 时， 在 上单调递减，故 在 内至多有一个零点，不合题意.
∴ ， …………………………………………………9分
此时 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增
………………………………………………………10分
令 ，∵ ∴ ，
令
，令 得 ;令 得 ;
∴ 在 单调递增，在 单调递减.
∴ 在 恒成立.
即 在
∴由 得 ，∴ ∴
∴ 的取值范围是 . …………………………………………………14分
上学期高三数学理科期末试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 真子集的个数( )
A. B. C. D.
2.若复数 在复平面内对应的点在第三象限,其中 ， 为虚数单位，则实数 取值范围为( )
A. B. C. D.
3.已知 ， ， ，则( )
A. B. C. D.
4.下图为国家统计局发布的2018年上半年全国居民消费价格指数(CPI)数据折线图，(注：同比是今年第n个月与去年第n个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比)
下列说法错误的是( )
A 2018年6月CPI环比下降0.1%，同比上涨1.9%
B 2018年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨2.1%
C 2018年2月CPI环比上涨0.6%，同比上涨1.4%
D 2018年6月CPI同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点
5. 的展开式中，常数项为( )
A.-15 B.16 C.15 D.-16
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ( )
A B
C D
7.函数 的部分图像如图所示，则 ( )
A. B. C. D
8.有一程序框图如图所示，要求运行后输出的值为大于1000的最小数值，则在空白的判断框内可以填入的是
A. B. C. D.
9.已知点 双曲线 右焦点，直线 与双曲C交于 两点，且 ，则该双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.
10.杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1…….记作数列 ，若数列 的前 项和为 ，则 ( )
A. B. C. D.
11.如图，单位正方体 的对角面 上存在一动点 ，过点 作垂直于平面 的直线，与正方体表面相交于 两点.则 的面积最大值为 ( )
A. B. C. D.
12.已知 若 有最小值，则实数 的取值范围是 ( )
A B C D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量 满足 ,且 ,则向量 与 的夹角为 .
14.已知实数x，y满足 ，则 的取值范围为_____.
15.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种.
16.在 中，角 所对的边分别是 ，若 ，且 ，则 的周长取值范围为__________________。
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知数列 为等差数列， 为 的前 项和， .数列 为等比数列且 .
(1)求数列 和 的通项公式;
(2)记 ，其前 项和为 ，求证： .
18.如图，多面体 为正三棱柱 沿平面 切除部分所得， 为 的中点，且 .
(1)若 为 中点,求证 ;
(2)若二面角 大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
19.当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.某地区 2018年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到右边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：
每分钟
跳绳个数 [155，165) [165，175) [175，185) [185，+∞)
得分 17 18 19 20
(Ⅰ)现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率;
(Ⅱ)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(μ，σ2)，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差S2≈169(各组数据用中点值代替).根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：
(ⅰ)预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数;(结果四舍五入到整数)
(ⅱ)若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望.
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ﹣σ
20.已知椭圆 的离心率 ，且椭圆过点 .
(I)求椭圆 的标准方程;
(II)已知点 为椭圆 的下顶点， 为椭圆 上与 不重合的两点，若直线 与直线 的斜率之和为 ，试判断是否存在定点 ，使得直线 恒过点 ，若存在，求出点 的坐标;若不存在，请说明理由.
21.已知函数 .
(1)求函数 在点 处的切线方程;
(2)已知函数 区间 上的最小值为1，求实数 的值.
请考生在第22，23两题中任选一题做答.只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑.
选修4-4：极坐标与参数方程
22.已知在极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴正半轴，建立平面直角坐标系.
(1)写出直线 和曲线 的直角坐标方程;
(2)若直线 ： 与曲线 交于 两点， ，求 的值.
选修4-5：不等式选讲
23.已知函数 .
(1)当 时，解不等式 ;
(2)若 对于 恒成立，求实数 的取值范围.
江西省红色七校2019届高三第二次联考理科数学试题答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B B C C B A D C A B A C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13 14 15 60 16
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.解析：(1)设公差为 ，则由 得， 解得 所以 ……3
设 的公比 ， 所以 ， ， …………………………….6
(2) ………………………………………………8
，………………………………………11
易知 随着 的增大而增大，所以 …………………………………12
18.解析：(1)取 中点N，连接MN，则MN为 的中位线
………………………………………………2
………………………………………………4
………………………………………………6
(2) 由 可得 二面角 平面角，二面角 大小为 可得 ………………………………………………8
如图建立空间直角坐标系
， , ,
设平面 的法向量为
…………………………………………10……
………………………………………………11
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .………………………………………………12
19.解析：(Ⅰ)两人得分之和不大于35分，即两人得分均为17分，或两人中1人17分，1人18分，
………………3
(Ⅱ) =160×0.06+170×0.12+180×0.34+190×0.30+200×0.1+210×0.08=185(个)…………5
又σ2≈169，σ=13，所以正式测试时，μ=195，σ=13，∴μ﹣σ=182.
(ⅰ)∴P(ξ>182)=1﹣ =0.8413，∴0.8413×2000=1682.6≈1683.(人) ………………7
(ⅱ)由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，
即ξ～B(3，0.5)，∴P(ξ=0)= ，P(ξ=1)= ，P(ξ=2)= ，P(ξ=3)= ，………………10
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 0.125 0.375 0.375 0.125
E(ξ)=3×0.5=1.5 ………………(12分)
20.解析：(I)∵椭圆 的离心率 ，∴ ，即 ，
∵点 在椭圆 上，∴ ，由 解得 ，
∴椭圆 的标准方程为 .………………………………………………4
(II)由(I)知 ，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
代入 得， ，∴ ，即 .设 ，则 ，………………………………………………6
∵直线 与直线 的斜率之和为 ，
∴ ，整理得 ，………………………………………………8
∴直线 的方程为 ，显然直线 经过定点 .
当直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 ，
∵直线 与直线 的斜率之和为 ，设 ，则 ，
∴ ，解得 ，………………………………………………10
此时直线 的方程为 ，显然直线 经过定点 .
综上，存在定点 ，使得直线 恒过点 .………………………………………………12
21.解析(1) ，则函数 在点 处的切线方程为 ;……………4分
(2) ， ，
在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减，存在唯一的 ，使得 ，即 (*)，……………7分
函数 在 上单调递增， ， 单调递减; ，单调递增， ，由(*)式得 ，……………9分
，显然 是方程的解，又 是单调减函数，方程 有且仅有唯一的解 ，把 代入(*)式得，
， ，所求实数 的值为 . …………………………12分
解法2： ， ，
在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减，存在唯一的 ，使得 ，即 (*)，……………7分
函数 在 上单调递增， ， 单调递减; ，单调递增， ，由 式得 ，
=
,
(当且仅当 时 )，由 得 ,此时 ，把 代入(*)也成立，
∴实数 的值为 .…………………………12分
选修4-4：极坐标与参数方程
22.解析：(1)因为直线 ： ，故 ，
即直线 的直角坐标方程： ;………………………………………………3
因为曲线 ： ，则曲线 直角坐标方程： .…………………………………5
(2)设直线 参数方程为
将其带入曲线 的直角坐标系方程得 ，
设 对应的参数分别为 则 ………………………………………………8
.………………………………………………10
选修4-5：不等式选讲
23.解析：(1) 时，不等式为 ，等价于
或 或 ，………………………………3
解得 ，或 或 ，
∴ ，
∴不等式的解集是 .………………………………………………5
(2)由绝对值的三角不等式得 ，
∵ 对于 恒成立，………………………………………………7
∴ ，解得 或 .
∴实数 的取值范围为 .………………………………………………10
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1.高中数学题及答案
