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高三数学理科第一学期期中试题

诗盈分享

  要想学好数学,多做题目是难免的,熟悉掌握各种题型的解题思路,今天小编就给大家分享一下高三数学,喜欢的来阅读哦

  理科高三数学上学期期中试题

  第I卷 共60分

  一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

  1.已知集合 , ,则 ( ) B

  A. B. C. D.

  2.已知 ,则复数 ( )A

  A. B. C. D.

  3.下列四个结论, 其中正确的是( )A

  ①命题“ ”的否定是“ ”;

  ②若 是真命题,则 可能是真命题;7③“ 且 ”是“ ”的充要条件; ④当 时,幂函数 在区间 上单调递减.

  A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④

  4.设 ,则不等式 的解集为( C )

  A.

  B.

  C.

  D.

  5.若 的图象向右平移 个单位后所得的图象关于原点对称,则 可以是(B )

  A.

  B.

  C.

  D.

  6. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还 升, 升, 升,1斗为10升;则下列判断正确的是( D )

  A. 依次成公比为2的等比数列,且

  B. 依次成公比为2的等比数列,且

  C. 依次成公比为 的等比数列,且

  D. 依次成公比为 的等比数列,且

  7.已知 ,则 ( )

  A. B. C. D.

  8.如图所示,正弦曲线 ,余弦函数 与两直线 , 所围成的阴影部分的面积为( )

  A. B. C. D.

  9.函数 的大致图象是 ( A )

  A B C D

  10. 设 , 为自然对数的底数,则 , , 的大小关系为( B )

  A. B. C. D.

  11.设函数 ,函数 ,若对任意的 ,总存在 ,使得 ,则实数 的取值范围是( D )

  A. B. C. D.

  12.已知数列 满足 .设 , 为数列 的前 项和.若 (常数), ,则 的最小值是( C )

  A. B. C. D.

  二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

  13.已知向量 , ,若 与 垂直,则实数 .13.

  14.已知命题 ;命题 是增函数.若“ ”为假命题且“ ”为真命题,则实数 的取值范围为 . 14.

  15. 如图,在 中,若 , , ,则 的值为 .15.-2

  16. 在 中,内角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ,且 , ,若 ,则 __________.16.3

  三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

  17. (本小题满分10分)已知函数 .

  (1)求 及 的单调递增区间;(2)求 在闭区间 的最值.

  17(1)f(x)= sin2x+ cos2x=sin(2x+ ),则f( )= ,

  2x + ,k

  单调递增区间[- +k , + k ],k .

  (2)由 则2x+ ,sin(2x+ ) [- ,1],所以值域为 [- ,1],

  18.设 为各项不相等的等差数列 的前n项和,已知 .

  (1)求数列 的通项公式;

  (2)设 为数列{ }的前n项和,求 .

  18.解:(1)设数列 的公差为d,则由题意知 解得 (舍去)或 所以 .(5分)

  (2)因为 = ,

  所以 = + +…+ = .(10分)

  19.(本小题满分12分)

  在△ 中, , 2 , .

  (1)求 的值;

  (2)设 的中点为 ,求中线 的长.

  19.解:(1)因为 ,且C是三角形的内角,所以sinC= = .

  所以

  = .(4分)

  (2) 在△ABC中,由正弦定理,得 ,所以 = ,于是CD= .在△ADC中,AC=2 ,

  cosC= ,(8分)

  所以由余弦定理,得AD= = ,即中线AD的长为 .(12分)

  20、已知数列 的首项 ,其前 项和为 ,且对任意正整数 ,有 成等差数列.

  (1)求证:数列 成等比数列;

  (2)设 ,求数列 前 项和 .

  11、解:(1)∵ 成等差数列,∴

  又

  ∴

  即

  ∴

  ∴

  又∵

  ∴ 成等比数列.

  (2)由(1)知 是以 为首项,2为公比的等比数列.

  ∴

  又 ∴

  ∴

  21.(本小题满分12分) 已知函数 ( 为常数).

  (Ⅰ)讨论函数 的单调性;

  (Ⅱ)是否存在正实数 ,使得对任意 ,都有,若存在,求出实数 的取值范围;若不存在,请说明理由;

  21.(本小题满分12分) 【解析】

  (Ⅰ)∵ ( 为常数)定义域为: .

  (ⅰ)若 ,则 恒成立 在 上单调递增;

  (ⅱ)若 ,则 .

  令 ,解得 ;令 ,解得 .

  在 上单调递减,在 上单调递增.

  综上:当 时, 在 上单调递增;

  当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增.

  (Ⅱ)满足条件的 不存在.理由如下:

  若 ,由(Ⅰ)可知,函数 在 为增函数;

  不妨设 ,则 ,即 ;

  ∴由题意: 在 上单调递减,

  ∴ 在 上恒成立;即 对 恒成立;

  又 在 上单调递减;∴ ;故满足条件的正实数 不存在.

  22.(12分)已知函数f(x)=xex-2e.

  (1)求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程;

  (2)设函数g(x)=-1x-ln xx+m(m∈R),试讨论函数f(x)与g(x)的图象在(0,+∞)上交点的个数.

  21解:(1)由题意知,f′(x)=1-xex,

  ∴f′(0)=1,又f(0)=-2e,

  故所求切线方程为y+2e=x,即x-y-2e=0.

  (2)令h(x)=f(x)-g(x)=xex-2e+1x+ln xx-m(x>0),

  则h′(x)=1-xex-1x2+1-ln xx2=1-xex-ln xx2.

  易知h′(1)=0,

  ∴当00,当x>1时,h′(x)<0,

  ∴函数h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,

  ∴h(x)max=h(1)=-1e+1-m.

  ①当-1e+1-m=0,即m=1-1e时,函数h(x)只有1个零点,

  即函数f(x)与g(x)的图象在(0,+∞)上只有1个交点;

  ②当-1e+1-m<0,即m>1-1e时,函数h(x)没有零点,

  即函数f(x)与g(x)的图象在(0,+∞)上没有交点;

  ③当-1e+1-m>0,即m<1-1e时,函数h(x)有2个零点,

  即函数f(x)与g(x)的图象在(0,+∞)上有2个交点.

  理数试题答案

  一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

  1.B 2.A 3.A 4.C 5.B 6. D 7.A 8.D 9.D 10. B 11.D 12.C

  二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

  13. 14. 15.-2 16.3

  三、解答题:共70分。

  17. (1)f(x)= sin2x+ cos2x=sin(2x+ ),则f( )= ,

  2x + ,k

  单调递增区间[- +k , + k ],k .

  (2)由 则2x+ ,sin(2x+ ) [- ,1],所以值域为 [- ,1],

  18.解:(1)设数列 的公差为d,则由题意知 解得 (舍去)或 所以 .(5分)

  (3)因为 = ,

  所以 = + +…+ = .(10分)

  19.解:(1)因为 ,且C是三角形的内角,所以sinC= = .

  所以

  = .(4分)

  (3) 在△ABC中,由正弦定理,得 ,所以 = ,于是CD= .在△ADC中,AC=2 ,

  cosC= ,(8分)

  所以由余弦定理,得AD= = ,即中线AD的长为 .(12分)

  20、解:(1)∵ 成等差数列,∴

  又

  ∴

  即

  ∴

  ∴

  又∵

  ∴ 成等比数列.

  (2)由(1)知 是以 为首项,2为公比的等比数列.

  ∴

  又 ∴

  ∴

  21.(本小题满分12分) 【解析】

  (Ⅰ)∵ ( 为常数)定义域为: .

  (ⅰ)若 ,则 恒成立 在 上单调递增;

  (ⅱ)若 ,则 .

  令 ,解得 ;令 ,解得 .

  在 上单调递减,在 上单调递增.

  综上:当 时, 在 上单调递增;

  当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增.

  (Ⅱ)满足条件的 不存在.理由如下:

  若 ,由(Ⅰ)可知,函数 在 为增函数;

  不妨设 ,则 ,即 ;

  ∴由题意: 在 上单调递减,

  ∴ 在 上恒成立;即 对 恒成立;

  又 在 上单调递减;∴ ;故满足条件的正实数 不存在.

  22解:(1)由题意知,f′(x)=1-xex,

  ∴f′(0)=1,又f(0)=-2e,

  故所求切线方程为y+2e=x,即x-y-2e=0.

  (2)令h(x)=f(x)-g(x)=xex-2e+1x+ln xx-m(x>0),

  则h′(x)=1-xex-1x2+1-ln xx2=1-xex-ln xx2.

  易知h′(1)=0,

  ∴当00,当x>1时,h′(x)<0,

  ∴函数h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,

  ∴h(x)max=h(1)=-1e+1-m.

  ①当-1e+1-m=0,即m=1-1e时,函数h(x)只有1个零点,

  即函数f(x)与g(x)的图象在(0,+∞)上只有1个交点;

  ②当-1e+1-m<0,即m>1-1e时,函数h(x)没有零点,

  即函数f(x)与g(x)的图象在(0,+∞)上没有交点;

  ③当-1e+1-m>0,即m<1-1e时,函数h(x)有2个零点,

  即函数f(x)与g(x)的图象在(0,+∞)上有2个交点.

  关于高三数学上学期期中试卷理科

  第Ⅰ卷 选择题(共60分)

  选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

  1. 设集合 ,集合 ,则 ( )

  A. B. C. D.

  2.下列有关命题的说法中错误的是( )

  A.若pVq为真命题,则p,q中至少有一个为真命题

  B.命题:“若y=f(x)是幂函数,则y=f(x)的图象不经过第四象限”的否命题是假命题

  C.命题“ n∈N*,有f(n) ∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“ n0∈N*,有f(n0)∈N *且f(n0)>n0”

  D.设a,b∈R,则“a>b”是“a|a| >b|b|”的充要条件

  3. 若函数 为奇函数,则 的极大值点为( )

  A. B. C. D.

  4.在 中,已知 于 ,则 长为( )

  A. B. C. D.

  5.已知向量 , 满足 且 ,若向量 在向量 方向上的投影为 ,则 ( ) A. B. C. D.

  6. 平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于 轴对称,若 ,则 ( )

  A. B. C. D.

  7. 已知 ,若不等式 恒成立,则 的最大值等于 ( )

  A.10 B.9 C.8 D.7

  8.若双曲线 ( )的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ,则C的离心率为( )

  A.2 B. C. D.

  9. 如图所示的三视图表示的几何体的体积为 ,则该几何体的外接球的表面积为( )

  A.12π B.24π C.36π D.48π

  10.

  11.设变量 满足约束条件 的取值范围是( )

  A.[2,8] B.[4,8] C.[0,8] D.[8,+∞)

  12.偶函数 是定义在R是的可导函数,其导函数为 ,且 对任意的 恒有 成立,则关于 的不等式 的解集为( )

  A. ( B. C. (2,+ D.

  卷II(非选择题)

  二、填空题(共4小题 ,每小题 5 分 ,共20分 )

  13. 由 和 围成的封闭图形面积为______.

  14.已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ,则 =

  15.已知数列{an}满足an+1=≤an<1,(1)若 ,则 =________.

  16.在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是BC的中点,点P是正方形DCC1D1面内(包括边界)的动点,且满足∠APD=∠MPC,则三棱锥P-BCD的体积最大值是___________.

  三、解答题(共 6 小题 ,17题10 分 ,18题-22题每题12分,共 60 分 )

  17.已知数列 为等比数列, , 是 和 的等差中项.

  (1)求数列 的通项公式;

  (2)设 ,求数列 的前 项和 .

  18.已知f(x)=Asin(ωx+ϕ)( )过点 ,且当 时,函数f(x)取得最大值1.

  (1)将函数f(x)的图象向右平移 个单位得到函数g(x),求函数g(x)的表达式;

  (2)在(1)的条件下,函数h(x)=f(x)+g(x)+2cos2x-1,求h(x)在 上的值域.

  19.已知函数 为奇函数.

  (1)判断f(x)的单调性并证明;

  (2)解不等式 .

  20.如图,三棱柱 中, , , .

  (1)求证: ;

  (2)若平面 平面 ,且 ,求二面角 的正弦值。

  21.已知抛物线方程为 ,点A、B及点P(2,4)都在抛物线上,直线PA与PB的倾斜角互补。

  (1)试证明直线AB的斜率为定值;

  (2)当直线AB的纵截距为m(m>0)时,求△PAB的面积的最大值。

  22. 已知函数f(x)=1n(x-1)-k(x-1)+1

  (1)求函数f(x)的单调区间;

  (2)若f(x)≤0恒成立,试确定实数k的取值范围;

  (3)证明: 。

  高三理科数学期中检测答案及评分标准

  一.选择题

  1.B 2.C 3.B 4.D 5.A 6.B 7.B 8.D 9.C 10.C 11.C 12.B

  二.填空题

  13. 14. 15. 16.

  17.解:(1)设数列 的公比为 ,

  因为 ,所以 , .…………………………………………1分

  因为 是 和 的等差中项,所以 .……………………2分

  即 ,化简得 .

  因为公比 ,所以 .………………………………………………………4分

  所以 ( ).…………………………………………5分

  (2)因为 ,所以 .………………………………………6分

  所以 ………………………8分

  则 ……10分

  18. 解:(1)由题意可得A=1,由函数过 ,得 范围 , ……2分

  由 ,

  ∵0<ω<4,∴可得:ω=2, ……4分

  可得: , ,故 …………6分

  (2)

  由于 ……10分故: h(x)在 上的值域为[-1,2].…………12分

  19.解:(1)由已知f(-x)=-f(x),∴

  ∴ ,a=-2, ……………………3分

  ∵ ,∴ 为单调递增函数.…………6分

  (2)∵ ,

  ∴ ,而f(x)为奇函数,

  ∴ ………………7分

  ∵f(x)为单调递增函数,∴ ,………………8分

  ∴ ,∴-3≤log2x≤1, ………………10分

  20.解:(1)如图 ,设 中点为 ,连接 ,又设 ,则 ,又 , ,又 ,即 ,且 , , ,

  在 ,由三线合一可得, 。 …………6分

  (2)因为平面 平面 ,平面 平面 ,且 ,故 ,分别以 ,则 , …………8分

  故 ,设面 的法向量 ,则有 , …………………………9分

  同理得:面 得法向量 , …………………………10分

  设所求二面角为 ,

  则 , ……………………11分

  故 . ………………………………12分

  21. 解析:(1)证明:把P(2,4)代入 ,得h=6。…………2分

  所以抛物线方程为:y-4=k(x-2),由 ,消去y,

  得 所以 , ………………4分

  因为PA和PB的倾斜角互补,所以 ,用-k代k,

  得 , ……………………………………5分

  所以 = . ……………………6分

  (2)设AB的方程为y=2x+m(m>0),由 ,消去y得:

  ,令△=16-4(2m-12) >0,解得0

  , ………………9分

  点P到AB的距离d= , ………………………………10分

  所以,

  = ,所以, , …………………11分

  当且仅当 ,即 时,等号成立,故△PAB面积最大值为 .……12分

  22.解:(1)∵f(x)=1n(x-1)-k(x-1)+1,

  ∴x>1, , …………………………1分

  ∵x>1,∴当k≤0时, >0,f(x)在(1,+∞)上是增函数;…………2分

  当k>0时,f(x)在(1,1+ )上是增函数,在(1+ ,+∞)上为减函数.……………4分

  (2)∵f(x)≤0恒成立,

  ∴∀x>1,ln(x-1)-k(x-1)+1≤0,

  ∴∀x>1,ln(x-1)≤k(x-1)-1,∴k>0. …………6分

  由(1)知,f(x)max=f(1+ )=ln ≤0,解得k≥1.

  故实数k的取值范围是[1,+∞). ……………………8分

  (3)令k=1,则由(2)知:ln(x-1)≤x-2对x∈(1,+∞)恒成立,

  即lnx≤x-1对x∈(0,+∞)恒成立. …………9分

  取x=n2,则2lnn≤n2-1, …………10分

  即 ,n≥2, ……………………11分

  ∴ ………………12分

  高三数学上学期期末模试题

  一、单选题

  1. ,则 用区间可表示为

  A. B. C. D.

  2.已知向量 , ,若 ,则实数 的值为

  A. B. C. D.

  3.等差数列{an}中,a1+a5=14,a4=10,则数列{an}的公差为

  A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

  4.若 ,且为第二象限角,则

  A. B. C. D.

  5.在正项等比数列{an}中,若a1=2,a3=8,数列{an}的前n项和为 ,则S6的值为

  A. 62 B. 64 C. 126 D. 128

  6.函数 的零点个数为

  A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

  7.设可导函数 在R上图像连续且存在唯一极值,若在x=2处,f(x)存在极大值,则下列判断正确的是

  A. .

  B. .

  C. .

  D. .

  8.

  A. B. C. D.

  9.函数 的最小正周期为

  A. B. C. D.

  10.在 中, ( )

  A. B. C. D.

  11.设偶函数 满足 ,且当 时, ,则 在 上的单调性为

  A.递增 B.递减 C.先增后减 D.先减后增

  12. 恒成立,则下列各式恒成立的是

  A. B.

  C. D.

  二、填空题

  13.已知向量 ,则 的夹角余弦值为________.

  14.在△ABC中,若 ,则 =______.

  15.若f(x)= x3-f′(1)x2+x+ ,则在(1,f(1))处曲线 的切线方程是______

  16. :

  ;

  .

  其中真命题的序号为 ___

  三、解答题

  17.已知等差数列 满足 。

  (1)求通项 ;

  (2)设 是首项为2,公比为2的等比数列,求数列 通项公式及前n项和 .

  18.

  (1)求 的表达式;

  (2)将f(x)的图象向右平移 个单位后得到y=g(x)的图象,求 在 上的值域.

  19.设数列 的前项和为 ,满足 .

  (1)求数列 的通项公式;

  (2)设 .求数列 前项和 .

  20.设函数 .

  (1)求函数 的极小值;

  (2)若关于 的方程 在区间 上有唯一实数解,求实数 的取值范围.

  21.在 中,角 的对边的边长为 ,且 。

  (1)求 的大小;

  (2)若 ,且 ,求边长 的值。

  22.已知函数f(x)=lnx﹣ax,其中a为实数.

  (1)求出f(x)的单调区间;

  (2)在a<1时,是否存在m>1,使得对任意的x∈(1,m),恒有f(x)+a>0,并说明理由.

  高三上学期期中考试数学(理)试卷

  数学答案

  参考答案

  1.C

  【解析】

  【分析】

  先化简集合A和B,再根据交集运算的定义求解。

  【详解】

  集合 = , =

  所以 ,答案选C。

  【点睛】

  在进行集合运算时,当集合没有化简,要先化简集合;当集合是用列举法表示的数集时,可以通过列举集合的元素进行运算,也可借助Venn图运算;当集合为无限集时,可借助数轴进行运算。集合的交、并、补运算口诀如下:交集元素仔细找,属于A且属于B;并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;全集U是大范围,去掉U中A元素,剩余元素成补集。

  2.B

  【解析】∵向量 , ,由 ,得 ,解得: ,故选B.

  3.C

  【解析】

  【分析】

  利用等差数列的性质,a1+a5=14可化为 ,可求 ,再运用公差计算公式 即可求出结果。

  【详解】

  因为{an}为等差数列,

  所以 = =

  而a4=10,

  所以 ,

  所以公差 =3。答案选C。

  【点睛】

  本题考查了等差数列的性质及公差计算公式,属于基础题。

  4.A

  【解析】

  【分析】

  先由诱导公式得 ,再求出 ,最后根据定义求 。

  【详解】

  因为 ,

  所以 ,

  又因为 为第二象限角,所以 ,

  所以 = 。答案选A

  【点睛】

  本题考查了诱导公式,同解三角函数关系及三角函数在各象限内的符号等知识点,都属于基本知识,比较容易,但在求三角函数的值时,较容易出现符号错误,需要注意。

  5.C

  【解析】

  【分析】

  根据a1=2,a3=8先求出公比为2,再代入{an}的前n项和公式计算即可。

  【详解】

  因为{an}是正项等比数列,所以 ,即 ,

  所以{an}的前6项和为 为 = =126,答案选C

  【点睛】

  本题考查了等比数的公比计算公式及前n项和公式,属于基础题。

  6.C

  【解析】

  【分析】

  函数 的零点个数问题等价于方程 解的个数问题,考查函数 和函数 的图像交点个数,即可。

  【详解】

  作出函数 和函数 的图像如下:

  由图像可知,函数 和函数 的图像有两个交点,即方程 有2个解,

  所以函数 的零点有2个,答案选C。

  【点睛】

  本题考查了函数与方程的关系,涉及函数数零点的问题可化为方程根的个数问题讨论,而方程解的个数问题又可化为函数的零点问题进行讨论,而数形结合是解决这类问题最主要的方法。

  7.A

  【解析】

  【分析】

  根据函数极值的判定方法,极大值点左侧导函数值为正,右侧为负,即可判断。

  【详解】

  由题意知,x=2为导函数 的极大值点,

  所以,当 时, ;当 时, 。故答案选A。

  【点睛】

  本题考查函数极值的判定方法,属于基础题。

  8.B

  【解析】

  【分析】

  首先判断 为定义域 上的偶函数,再讨论当 和 时的单调性,最后将不等式 化为 ,即 ,求解即可。

  【详解】

  易知 为定义域 上的偶函数,

  当 时, ,

  因为 和 均为减函数,所以 在 时为减函数。

  根据偶函数的性质可得, 在 时为增函数。

  所以不等式 等价于 或

  解得 。答案选B。

  【点睛】

  本题主要考查了利用函数的单调性和奇偶性求解不等式问题,其中根据函数的解析式得到函数的定义域和单调性、奇偶性转化不等式是解题关键,着重考查了转化能力以及推理计算能力,综合性较强,属于中档题。

  9.D

  【解析】

  【分析】

  利用二倍角公式把函数 化为 ,再运用辅助角公式把函数化为 ,最后求最小正周期

  【详解】

  =

  = ,

  所以最小正周期 。答案选D。

  【点睛】

  本题主要考查了三角恒等变换,三角函数的最小正周期的求法,此类问题通常要先对所给函数式进行恒等变换,最终化为 的形式,再利用正弦函数的性质进行求单调区间,最值或值域,对称轴或对称中心,周期则要用公式 计算。

  10.A

  【解析】

  【详解】

  在 中,

  所以

  = =

  = =27。

  所以 ,答案选A。

  11.D

  【解析】

  【分析】

  由函数 满足 ,可得函数 的周期为4,且为偶函数,另外,当 时, 是增函数,可推测 在 上单调减,运用周期性即可推断在 上的单调性。

  【详解】

  因为 满足 ,

  所以函数 的周期为4。

  又当 时, ,

  所以 ,且当 时,有 ,所以 在 上单调增。

  另外,因为函数 是R上的偶函数,

  所以 在 上单调减,

  所以 在 上先减后增;

  所以 在 上的单调性为先减后增。答案选D。

  【点睛】

  本题主要考查函数的单调性的判断,根据函数的奇偶性,周期性和单调性的关系是解决问题的关键。本题是一道综合性较强的中档题。

  12.B

  【解析】

  【分析】

  构造函数 ,求出 ,得到该函数为R上的增函数,故得 , ,从而可得到结论。

  【详解】

  设 ,

  所以 =

  因为对于 ,所以 ,

  所以 是R上的增函数,

  所以 ,

  即 , ,

  整理得 和 。故答案选B。

  【点睛】

  本题考查了利用导数研究函数的单调性,导数的运算法则的应用,属于中档题。

  13.

  【解析】

  【分析】

  将条件代入向量夹角计算公式即可。

  【详解】

  设 的夹角为 ,则

  = = 。

  【点睛】

  本题考查平面向夹角的计算,属于基础题。

  14.2

  【解析】

  【分析】

  由正弦定理,将式子中的边化为角,代入即可。

  【详解】

  因为

  所以 , ,

  所以

  = = = =2。

  【点睛】

  本题主要考查正弦定理的变形运用,属于基础题。

  15.2x-3y+1=0

  【解析】

  【分析】

  首先对函数求导得 ,把 代入可求 ,把 代入函数 可求 ,用点斜式方程写出切线并化简即可。

  【详解】

  因为f(x)= x3-f′(1)x2+x+ ,

  所以

  把 代入,则 ,

  所以 ,

  把 代入,则

  所以过点(1,f(1))处曲线 的切线方程

  整理得 。

  【点睛】

  本题考查了导数的几何意义,属于基础题。

  16.(2)(3)

  【解析】

  【分析】

  运用二倍角、辅助角公式将函数 化为 ,分别求其对称轴,对称中心,并进行图像平移,讨论三个结论即可。

  【详解】

  函数 可化为 ,

  所以 ,

  所以函数 的对称轴为 ,故命题(1)错误;

  函数 的对称中心为 ,取 时,对称中心为 ,命题(2)正确;

  函数 向左平移 个单位,得 = = , 为奇函数,命题(3)正确。故答案为(2)(3)。

  【点睛】

  本题主要通过对多个命题真假的判断,主要综合考查三角函数的对称性、三角函数的图像平移,属于中档题.这种题型综合性较强,也是高考的命题热点,同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”,因此做这类题目更要细心、多读题,尽量挖掘出题目中的隐含条件,另外,要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手,然后集中精力突破较难的命题

  17.(1) ;(2) , 。

  【解析】

  【分析】

  (1)根据等差数列通项公式,结合条件建立关于首项与公差的方程组 ,求解即可;(2)可先求出 的通项,再解出数列 通项公式,求其前n项和则运用分组求和的方法求解即可。

  【详解】

  (1)由题意得 ,

  解得 ,

  (2)

  ,

  ,

  ∴ 。

  【点睛】

  本题考查了等差数列、等比数列通项公式及分组求和法,比较基础,难度不大,关键是掌握基本公式即可。

  18.(1) ;(2) 。

  【解析】

  【分析】

  (1)运用向量的数量积计算公式代入,并对函数式进行三角恒等变换,可得 的表达式;(2)先根据图像平移得到 ,再结合图像与性质求值域。

  【详解】

  (1)

  ,

  。

  (2) ,

  ,

  。

  【点睛】

  本题主要考查三角恒等变换及三角函数的值域,属于中档题。形如 , 的函数求值域,分两步:(1) 求出 的范围;(2)由 的范围结合正弦函数的单调性求出 ,从而可求出函数的值域。

  19.(1) ;(2) 。

  【解析】

  【分析】

  (1)根据数列的前n项和与数列的通项的关系 ,可求通项;(2)先由(1)的结论求出数列 的通项公式,再运用裂项法求其前n项和。

  【详解】

  (1)当 时,

  ∵ ①

  ∴ ②

  ①-②得 ;

  即

  又 ;得: ,

  ∴数列 是以 为首项, 2为公比的等比数列

  ∴

  (2)∵ , ,

  ∴ ,

  ∴ .

  【点睛】

  本题考查数列的前n项和与数列的通项的关系及裂项法求和,属于中档题。在运用数列的前n项和与数列的通项的关系求数列的通项时,比较容易忘记关系式 中的条件,即求出通项后,一定要验证n=1 时,通项公式是否也成立。

  20.(1)函数 的极小值为 ;(2) 。

  【解析】

  【分析】

  (1)对函数求导并求导函数的零点,讨论函数单调性,确定极小值点,并求得极值。(2)结合(1)的结果“方程 在区间 上有唯一实数解”即为 ,解不等式即可。

  【详解】

  (1)依题意知 的定义域为 。

  ,

  所以函数 的极小值为 。

  (2)由(1)得

  所以要使方程 在区间 上有唯一实数解,

  只需 ,

  ,

  。

  。

  【点睛】

  本题考查利用导数研究函数的极值及讨论方程问题,属于中档题。

  21.(1) ;(2) 。

  【解析】

  【分析】

  (1)运用正弦定理将条件 中的边化为角,进行三角恒等变形,可得 ;(2)运用余弦定理,三角形的面积公式。结合条件 ,即求 。

  【详解】

  (1)由正弦定理得

  又因为在三角形中 ,

  ∴ ,

  可得 ,

  又 ,

  所以 .

  ∵ ,

  【点睛】

  本题主要考查三角形正弦定理、余弦定理和三角函数的恒等变换公式,及三角形面积。属于中档题。

  22.(1)答案见解析;(2)在a<1时,存在m>1,使得对任意x∈(1,m)恒有f(x)+a>0。理由见解析。

  【解析】

  【分析】

  (1)对函数求导,并分a≤0和a>0两种情况讨论。可求出结果;(2)结合(1)将a<1分为a≤0和 两种情况进行讨论即可。

  【详解】

  (1)∵f(x)=lnx﹣ax,

  ∴ ,

  当a≤0时,f'(x)>0恒成立,

  函数f(x)在定义域(0,+∞)递增;无减区间

  当a>0时,令f'(x)=0,则x= ,

  当x∈(0, )时,f'(x)>0,函数为增函数,

  当x∈( ,+∞)时,f'(x)<0,函数为减函数。

  (2)在a<1时,存在m>1,使得对任意的x∈(1,m)恒有f(x)+a>0。

  理由如下:

  由(1)得

  当a≤0时,函数f(x)在(1,m)递增,

  ,

  ,

  即f(x)+a>0。

  综上可得:在a<1时,存在m>1,使得对任意x∈(1,m)恒有f(x)+a>0。

  【点睛】

  本题考查了利用导数研究函数的单调性及恒成立问题,着重考查了转化思想,分类讨论思想,及学生的运算能力、推理能力。属于中档题。


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