文科高三年级上学期数学期末试题
我们文科生有很多的同学对于数学是很头疼的一件事情，所以要认真的学习，小编今天下面就给大家整理高三数学，希望大家一起来阅读一下哦
高三数学上学期期末试卷阅读
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.复数 的虚部是
A.3 B.2 C. D.
3.“ ”是“ 与 的夹角为锐角”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知函数 ， ，则
A.1 B. C. D.
5.记等比数列 的前 项和为 ，已知 ，且公比 ，则 =
A.-2 B.2 C.-8 D.-2或-8
6. 若点 在抛物线 上，记抛物线 的焦点为 ，则直线 的斜率为
A. B. C. D.
7. 已知 ，且 ，则 =
A. B. C. D.2
8. 右图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.
则下列结论中表述不正确的是
A.从2000年至2016年，该地区环境基础
设施投资额逐年增加;
B.2011年该地区环境基础设施的投资额比
2000年至2004年的投资总额还多;
C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ;
D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为 )建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型 ，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.
9.函数 的图象大致为
10.若 满足约束条件 ，则 的最小值为
A. -1 B.-2 C.1 D. 2
11.某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，
则该几何体侧面积的最大值为
A. B. C. D.
12.已知函数 ，其中 是自然对数的底，
若 ，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量 、 ，若 ，则 _____;
14.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，
则该双曲线的离心率为____;
15. 如图，圆柱O1 O2 内接于球O，且圆柱的高等于球O的半径，则从
球O内任取一点，此点取自圆柱O1 O2 的概率为 ;
16. 已知数列 满足 ， ，则数列 中最大项的值为 .
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答.
(一)必考题：共60分
17.(12分)
在 中，内角 、 、 所对的边分别是 、 、 ，且 ，
(1)求 ;
(2)当函数 取得最大值时，试判断 的形状.
18.(12分)
如图，在三棱锥P-ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形
ABC所在平面互相垂直，AB=BC，O是AC中点，OH⊥PC于H.
(1)证明：PC⊥平面BOH;
(2)若 ，求三棱锥A-BOH的体积.
19.(12分)
某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试;方式二：周六一天培训4小时，周日测试.公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训;甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表：
第一周 第二周 第三周 第四周
甲组 20 25 10 5
乙组 8 16 20 16
(1)用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1)，并据此判断哪种培训方式效率更高?
(2)在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率.
20.(12分)
设椭圆 的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B(O为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为 .
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN=60°，求点M的坐标.
21.(12分)
已知函数 .
(1)求函数 的单调递减区间;
(2)求实数 的值，使得 是函数 唯一的极值点.
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程] (10分)
已知曲线C的参数方程为 ，(t为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线 、 相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点(不同于点O)，且 的倾斜角为锐角 .
(1)求曲线C和射线 的极坐标方程;
(2)求△OAB的面积的最小值，并求此时 的值.
23. [选修4 5：不等式选讲] (10分)
已知函数 .
(1)当 时，求不等式 的解集;
(2)当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围.
(文科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数.
一、选择题
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B D C C B D A A C D
解析：
11. 三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r，母线的长为 ，则 ，
S侧= (当且仅当 时“=”成立)
12. 由 ，知 在R上单调递增，
且 ，即函数 为奇函数，
故 ，
解得 .
二、填空题
题序 13 14 15 16
答案 2
解析：16. 由 得 ，
即数列 是公差为8的等差数列，故 ，所以 ，
当 时 ;当 时， ，数列 递减，故最大项的值为 .
三、解答题
17.解：(1)由正弦定理 得 ，----------------------------------2分
又 ,
∴ ,即 ，------------------------------------------------------------------------4分
∵ ∴ .-----------------------------------------------------------------------------6分
(2)解法一：∵ ∴ ,从而 ， ------------------------------7分
∴ ------------------------------------------8分
---------------------------------------------10分
∵ ,∴当 时，函数 取得最大值，
这时 ,即 是直角三角形. -------------------------------------------12分
【解法二：∵ ∴ , -----------------------------------------------------------------7分
∴
--------------------------------------------------------------------------------------10分
∵ ,∴当 时，函数 取得最大值，
∴ 是直角三角形.------------------- --------------------------------------------------------12分】
18.解：(1)∵AB=BC，O是AC中点，
∴ BO⊥AC， -------------------------------------------------------------------------------------------1分
又平面PAC⊥平面ABC，
且 平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
∴ BO⊥平面PAC，----------------------------------------------3分
∴ BO⊥PC，------------------------------------------------------4分
又OH⊥PC，BO∩OH=O，
∴ PC⊥平面BOH;---------------------------------------------6分
(2)解法1：∵△HAO与△HOC面积相等，
∴ ,
∵BO⊥平面PAC, ∴ , -------------------------------------------------8分
∵ ,∠HOC=30° ∴ ,
∴ ,-----------------------------------------------------------------------10分
∴ ,即 .----------------------------------------------------12分
【其它解法请参照给分】
19.解:(1)设甲乙两组员工受训的平均时间分别为 、 ，则
(小时) ----------------------------------------2分
(小时)----------------------------------------4分
据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因 ，据此可判断培训方式一比方式二效率更高;---------------------------------------------6分
(2)从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,
则这6人中来自甲组的人数为： ，--------------------------------------------------7分
来自乙组的人数为： ，----------------------------------------------------------------8分
记来自甲组的2人为： ;来自乙组的4人为： ，则从这6人中随机抽取
2人的不同方法数有： ， ， ， ，共15种，----------------------------------------------10分
其中至少有1人来自甲组的有： ，
共9种，故所求的概率 .----------------------------------------------------------------------12分
20.解：(1)依题意知 , ,------------------------------------------------------------------1分
∵△AOB为直角三角形，∴过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，
∴ ，即 ，--------------------------------3分
∴椭圆的方程为 .-----------------------------------------4分
(2)由(1)知 ，依题意知直线BN的斜率存在且小于0，
设直线BN的方程为 ，
则直线BM的方程为： ，------------------------------------------------------------5分
由 消去y得 ，----------------------------------------------6分
解得： ， ,---------------------------------------------------------------7分
∴
∴ ,------------------------------------------------8分
【注：学生直接代入弦长公式不扣分!】
在 中，令 得 ，即
∴ ，-----------------------------------------------------------------------------------9分
在Rt△MBN中，∵∠BMN=60°，∴ ,
即 ，整理得 ，
解得 ，∵ ，∴ ，------------------------------------------------------11分
∴点M的坐标为 .---------------------------------------------------------------------------12分
21.解：(1) ，-----------------------------------------------------------------1分
令 ，得 或 ，-----------------------------------------------------2分
由 得 ，而不等式组 的解集为 -----------------------------3分
∴函数 的单调递减区间为 ;----------------------------------------------------------4分
(2)依题意得 ，显然 ，---5分
记 ， ，则 ，
当 时， ;当 时， ;
由题意知，为使 是函数 唯一的极值点，则必须 在 上恒成立;----------7分
只须 ，因 ，
①当 时， ，即函数 在 上单调递增，
而 ，与题意不符; --------------------------------------------------------8分
②当 时，由 ，得 ，即 在 上单调递减，
由 ，得 ，即 在 上单调递增，
故 ， ------------------------------------------------------------------------10分
若 ，则 ，符合题意;------------------------------------11分
若 ，则 ，不合题意;
综上所述， .----------------------------------------------------------------------------------12分
【或由 ，及 ，得 ，
∴ ，解得 . -----------------------------------------------------------------12分】
22. 解：(1)由曲线C的参数方程，得普通方程为 ，
由 ， ，得 ，
所以曲线C的极坐标方程为 ，[或 ] --------------------------3分
的极坐标方程为 ;----------------------------------------------------------------------5分
(2)依题意设 ，则由(1)可得 ，
同理得 ，即 ，--------------------------------------------------7分
∴
∵ ∴ ，∴ ， ----------------9分
△OAB的面积的最小值为16，此时 ，
得 ，∴ . -------------------------------------------------------------------------10分
23.解：(1)①当 时， ，
解得 ，-------------------------------------------------------------------------------------------1分
②当 时， ，
解得 ，--------------------------------------------------------------------------------------2分
③当 时，
解得 ，---------------------------------------------------------------------------------------------3分
上知，不等式 的解集为 ;-----------------------------------5分
(2)解法1：当 时， ，------------6分
设 ，则 ， 恒成立，
只需 ，-------------------------------------------------------------------------------------8分
即 ，解得 --------------------------------------------------------------------10分
【解法2：当 时， ，----------------------------------------------6分
，即 ，即 ---------------------------------7分
①当 时，上式恒成立， ;------------------------------------------8分
②当 时，得 恒成立，
只需 ，
综上知， .----------------------------------------------------------------10分】
高三数学上学期期末试卷
第I卷(选择题，共40分)
一、选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.设全集 ，集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2.设 ，则“ ”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为( )
A.16 B.0
C.-2 D.不存在
4.阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为( )
A.21
B.58
C.141
D.318
5.抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线所围成的三角形面积为 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
6.函数 的图象经怎样平移后所得的图象关于点 中心对称( )
A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移
7.已知定义在 上的函数 满足 ，且对任意 (0，3)都有 ，若 ， ， ，则下面结论正确的是( )
A. B.
C. D.
8.边长为 的菱形 中， 与 交于点 ， 是线段 的中点， 的延长线与 相交于点 .若 ，则 ( )
A. B. C. D.
第II卷(非选择题，共110分)
二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填写在相应的横线上.)
9.设复数 ，则 =__________.
10.已知正方体内切球的体积为 ，则正方体的体对角线长为__________.
11.已知直线 为圆 的切线，则 为__________.
12.已知函数 是定义在R上的奇函数， ，当 时， ，则不等式 的解集是__________.
13.已知 ，若 ，则 的最小值为__________.
14.已知函数 ，若方程 有八个不等的实数根，则实数 的取值范围是__________.
三、解答题(本大题6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分13分)
在 中， 是角 所对的边，若 .
(Ⅰ)求角 的大小;
(Ⅱ)若 的面积为 ，求 的值.
16.(本小题满分13分)
党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一. 坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村中60户农民种植苹果、40户农民种植梨、20户农民种植草莓(每户仅扶持种植一种水果)，为了更好地了解三种水果的种植与销售情况，现从该村随机选6户农民作为重点考察对象;
(Ⅰ)用分层抽样的方法，应选取种植苹果多少户?
(Ⅱ)在上述抽取的6户考察对象中随机选2户，求这2户种植水果恰好相同的概率.
17.(本小题满分13分)
如图，在底面是直角梯形的四棱锥 中， 面
(Ⅰ)若 为 的中点，求证 面 ;
(Ⅱ)求证：面 ;
(Ⅲ)求 与面 所成角的大小.
18.(本小题满分13分)
已知等差数列 的公差为2，前 项和为 ，且 成等比数列.
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)令 ，求数列 的前 项和 ;
(Ⅲ)若对于 ， 恒成立，求 范围.
19.(本小题满分14分)
已知椭圆 ( )的左右焦点分别为 ，左右顶点分别为 ，过右焦点 且垂直于长轴的直线交椭圆于 两点， ， 的周长为 .过 点作直线 交椭圆于第一象限的 点，直线 交椭圆于另一点 ，直线 与直线 交于点 ;
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若 的面积为 ，求直线 的方程;
(Ⅲ)证明：点 在定直线上.
20.(本小题满分14分)已知函数 .
(Ⅰ)求 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)若函数 与 在 内恰有一个交点，求实数 的取值范围;
(Ⅲ)令 ，如果 图象与 轴交于 ， 中点为 ，求证: .
高三数学(文科)参考答案
杨村一中 王蕊 天津外国语大学附属外国语学校 张磊
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B C A B C B
二、填空题
9. 10. 11. 12. 13. 14.
三、解答题
15.(Ⅰ) ; ;所以 …(6分)
(Ⅱ) ，所以 ; …………(10分)
且 ，即 …………………………………(13分)
16.(Ⅰ) ， …………………………………………(2分)
所以应选取种植苹果 户. ………………………………………(4分)
(Ⅱ)记苹果户为A，B，C;梨户为a，b;草莓户为1;则从6户任选2户，基本事件总数为：AB，AC，Aa，Ab，A1，BC，Ba，Bb，B1，Ca，Cb，C1，ab，a1，b1共15种;……………………………………………………………………………………(8分)
设“6户中选2户，这两户种植水果恰好相同”为事件M，则事件M包含的基本事件数为：AB，AC，BC，ab共4种; …………………………………………………(12分)
所以，概率为： …………………………………………………………(13分)
17.(Ⅰ)取PB中点N，连接MN和NA， 且 ， 且 则 且 所以四边形DMNA为平行四边形，
所以 …………………………………………………………………………(2分)
面PAB， ………………………………………………………………(3分)
面PAB，所以 面 ; …………………………………………(4分)
(Ⅱ) ，…………………(6分)
，所以 ; ……………………………………(8分)
(Ⅲ) ，所以 ，所以 即为所求.(11分)
， ，所以AC与面PBC所成角的大小为 .(13分)
18.(Ⅰ)
成等比 ，解得 . ………………(4分)
(Ⅱ) …………………………(6 分)
………………(9分)
(3) ………………………………………………(10分)
; 或 ……………………………………(13分)
19.(Ⅰ) ，解得： ; ……………(3分)
所以椭圆方程为： . …………………………………………(4分)
(Ⅱ)设 ，①当直线MN斜率 存在时：设MN方程为 ，联立得： ，
， ;
; ……………………………………………………(5分)
到MN直线 的距离为 ，……………(6分)
;……(7分)
当 时，MN直线方程过 直线MN与椭圆的交点不在第一象限(舍);
所以MN方程为 . ………………………………………………………(8分)
②当直线MN斜率 不存在时， (舍).(9分)
综上：直线MN方程为：
(Ⅲ)设AM： ，与椭圆联立： ，
…………………………(10分)
同理设BN ，可得 …………(11分)
所以MN的方程为： 以及MN方程过 ，将 坐标代入可得： ， . ……………………(13分)
又因为AM与NB交于P点，即 ， ，将 代入得 ，所以点P在定直线 上 MN方程为 …………………(14分)
20.(Ⅰ) ，…………………………………………(2分)
则 ，且切点坐标为 ;……………………………(4分)
所以所求切线方程为： ………………………………(5分)
(Ⅱ) ，所以 在 为增函数，在 为减函数，………………………………………………………………………………(7分)
， ;…………………………(9分)
所以 …………………………………………(10分)
(Ⅲ) ， ， 假设 ，则有
…………………………………………………(11分)
①-②得： ∴ ，
由④得 ， ∴ ;即 ;……(12分)
即 ⑤; 令 ， ，
则 在0
高三年级数学考试试卷题文科
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
2.已知复数 ,则复数 的虚部是( )
A. B. C.1 D.-1
3.设数列 为等差数列，其前n项和为 ，已知 ，若对任意 都有 成立，则 的值为( )
A.22 B.21 C.20 D.19
4.已知 ,函数 与函数 的图象可能是( )
A B C D
5.将函数 的图像沿x轴向左平移 个单位后，得到一个函数 的图像，则“ 是偶函数”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.按照下图的程序框图计算,若开始输入的值为3，则最后输出的结果是( )
A.6 B.21 C.231 D.5050
7. , , , ,设 ,则下列判断中正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知 满足 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 定长为4的线段 的两端点在抛物线 上移动，设点 为线段 的中点，
则点 到 轴距离的最小值为( )
A. B.1 C. D.
10.在边长为1的正三角形 中, ,且 ,则 的最大值为( )
A. B. C. D.
11.定义在 上的偶函数 的导函数为 ,若对任意的正实数 ,都有 恒成立,则使 成立的实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.在棱长为6的正方体 中, 是 的中点,点 是面 所在的平面内的动点,且满足 ,则三棱锥 的体积最大值是( )
A.36 B. C.24 D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,把答案填写在答题卡相应的位置)
13.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 __________.
14.面积为S的三角形ABC中，在边AB上有一点P ,使三角形PBC的面积大于 的概率为__________.
15.正项数列 满足 ,又 是以 为公比的等比数列,则使得不等式 成立的最小整数 为__________.
16.已知函数 ,对函数 ,定义 关于 的“对称函数”为 , 满足:对任意 ,两个点 关于点 对称,若 是 关于 的“对称函数”,且 在 上是减函数,则实数 的取值范围是__________.
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请把答案写在答题卷的相应位置。
17.(本小题满分12分)
已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，
(1)求C;
(2)若 ，且△ABC面积为 ，求 的值.
18. (本小题满分12分)
某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：
微信控 非微信控 合计
男性 26 24 50
女性 30 20 50
合计 56 44 100
(1)根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关?
(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数;
(3)从(2)中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人为“微信控”的概率.
参考数据：
0.10 0.050 0.025 0.010 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
参考公式： ，
其中 .
19.(本小题满分12分)
如图,四棱锥 中, 是正三角形,四边形 是矩形,且平面 平面 .
(1)若点 是 的中点,求证: 平面 ;
(2)若点 在线段 上,且 ,当三棱锥 的体积为 时,求实数 的值.
20. (本小题满分12分)
已知两定点 ,满足条件 的点 的轨迹是曲线 ,直线 与曲线 交于 两点,
(1)求 的取值范围;
(2)如果 ,且曲线 上存在点 ,使 ,求 的值和 的面积 。
21.(本小题满分12分)
已知函数 ,其中 是 的导数, 为自然对数的底数), ( , ).
(1)求 的解析式及极值;
(2)若 ,求 的最大值.
请考生在第(22)、(23)二题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)
在极坐标系中,曲线 的方程为 ,直线 的方程为 .以极点 为坐标原点,极轴方向为 轴正方向建立平面直角坐标系 .
(1)求 , 的直角坐标方程;
(2)设 , 分别是 , 上的动点,求 的最小值.
23.(本小题满分10分)
设函数 .
(1)当 时，解不等式 ;
(2)当 时，若 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
文科参考答案
一、选择题
1.D 2.C 3.C 4.C 5.B 6.C 7.C 8.A 9.D 10.B 11.A 12.B
二、填空题
13. 12 14. 15. 6 16.
三、解答题
17.解：1)∵2sin sin( +C)+cosC=﹣ ，
∴﹣sin( +C)+cosC=﹣ ，
∴﹣ cosC﹣ sinC+cosC=﹣ ，
∴ sinC﹣ cosC= ，
∴sin(C﹣ )= ，∴C= ;………………………6分
(2)∵c= ，且△ABC面积为3 ，
∴13=a2+b2﹣ab， =3 ，
∴a=3，b=4或a=4，b=3，………………………..9分
∵2R= = ，
∴sinA+sinB=7× = ...................................12分
18 解(1)由列联表可得：
，••••3分
所以没有 的把握认为“微信控”与“性别”有关.•••••••••••4分
(2)根据题意所抽取的 位女性中，“微信控”有 人，“非微信控”有 人••••6分.
(3)抽取的 位女性中，“微信控” 人分别记为 ， ， ;“非微信控” 人分别记为 ， .
则再从中随机抽取 人构成的所有基本事件为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共有 种;•••••••••••9分
抽取 人中恰有 人为“微信控”所含基本事件为： ， ， ， ， ， ，共有 种，•••••••••••11分
所求为 .•••••••••••12分
19.解：(1)如图,连接 ,设 ,又点 是 的中点,
则在 中,中位线 ,
又 平面 平面 .
所以 平面 …………………………………………..4分
(2)依据题意可得: ,取 中点 ,所以 ,且
又平面 平面 ,则 平面 ;……………………3分
作 于 上一点 ,则 平面 ,
因为四边形 是矩形,所以 平面 ,……………………..6分
则 为直角三角形
所以 ,则直角三角形 的面积为
………………………9分
由 得: ……………………………12分
20.解:(Ⅰ)由双曲线的定义可知,曲线E是以 为焦点的双曲线的左支,
故曲线E的方程为 ,…………………………………….3分
由题意建立方程组 ,
得 ,
又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,
有 ,解得 ,…………………………6分
(Ⅱ)∵ ,解得 或 ，
又 ,∴ ,
故直线 的方程为 ,……………………………8分
由 ，得
设 ,由已知 ,得 ,
即点 代入曲线 中,得 ，………………………10分
但当 时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意;∴ ,点C的坐标为 ,
又 到 的距离为 ,∴ 的面积 。…………………………….12分
21.解：(1).由已知得 ,
令 ,得 ,即 ,
又 ,∴ ,
从而 ,∴ ,…………………………….3分
又 在 上递增,且 ,
∴当 时, ; 时, ,
故 为极小值点,且 ，即 极小值为1，无极大值…………………………….5分
(2). 得 ,
① 时, 在 上单调递增, 时, 与 相矛盾;………………………………………………7分
②当 时, , 得:
当 时, ,即 ,
∴ , ,
令 ,则 ,
∴ , ,
当 时, ,………………………………………………10分
即当 , 时, 的最大值为 ,
∴ 的最大值为 ……………………………………………………12分
22.解：(1).曲线 的极坐标方程可化为 ,
两边同时乘以 ,得 ,
则曲线 的直角坐标方程为 ,
即 ,…………………………………2分
直线 的极坐标方程可化为 ,
则直线 的直角坐标方程为 ,
即 .…………………………………4分
(2).将曲线 的直角坐标方程化为 ,
它表示以 为圆心,以 为半径的圆. …………………………………6分
该圆圆心到直线 的距离
,…………………………………8分
所以 的最小值为 .…………………………………10分
23 解(I)当 时，原不等式等价于 ，
即 ，所以解集为 .…………………………4分
(II)当 时， .
令
由图象，易知 时， 取得最小值 .由题意，知 ，
所以实数 的取值范围为 …………………………………10分
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