2017年高考全国Ⅲ卷理数试题和答案(2)
2017年高考全国Ⅲ卷理数试题解析版
一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知集合，，则中元素的个数为()
A.3 B.2 C.1 D.0
【答案】B
【解析】表示圆上所有点的集合，表示直线上所有点的集合，
故表示两的交点，由图可知交点的个数2，即元素的个数为2，故选B
2.设复数z满足，则()
A. B. C. D.2
【答案】C
【解析】由题，，则，故选C
WWW.ziyuanku.com3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.
2014年 2015年 2016年
根据该折线图，下列结论错误的是()
接待游客量月增加
接待游客量逐年增加
C年的月接待游客量期大致在
D.各年至的月接待游客量相对于至，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A
【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A
4.的展开式中系数为()
B. C.40 D.80
【答案】C
【解析】由二项式定理可得，原式展开中含的项为
，则的系数为40，故选C
5.知双曲(，)一条近线方程为且与椭圆焦点.的方程为(
A. B. . D.
【答案】B
【解析】双曲线的一条渐近线方程为，则
又椭圆与双曲线有公共焦点，易知，则
由解得，则双曲线的方程为，故选B
6.数则下列结论错误的是(
A.一个周期为 B.图像关于直线称
.一个零点为 D.单调递减
【答案】D
【解析】函数的图象可由向左平移个单位得到，
如图可知，在上先递减后递增，选项错误，故选
7.行右图的程序框图，为使出值1，则入的正数小值为(
A.
B.
C.
D.2
【答案】D
【解析】程序运行过程如下表所示：
初始状态 0 100 1
第1次循环结束 100 2
第2次循环结束 90 1 3
此时首次满足条件，程序需在时跳出循环，即为满足条件的最小值，故选D
8.知的高为它的两个底面的圆在直径为同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(
A. . . .
【答案】B
【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径，
则圆柱体体积，故选B
9.列首项为公不为.，，成等比数列，则的和(
A. . . D.
【答案】A
【解析】为等差数列，且成等比数列，设公差为.
则，即
又，代入上式可得
又，则
，故选A
10.知()左、右顶点分别为，且以线段直径的圆与直线切，则离率为(
A. . . .
【答案】A
【解析】以为直径为圆与直线相切等于半径，
∴
又，则上式可化简为
，可得，即
，故选A
11.知函数一点，则(
A. . . .
【答案】
【解析】由条件，得
∴，即为的对称轴
由题意有唯一零点
∴的零点只能为
即
解得.
12.形，，动点以点且与切的圆上.，则最大值为(
A. B. . .
【答案】
【解析】由题意画出右图.
设与切于点连接.
以为原点为轴正半轴
为轴正半轴建立直角坐标系
则点坐标为.
，.
.
切于点.
⊥.
是中斜边上的高.
即的半径为.
在上.
点的轨迹方程为.
设点坐标可以设出点坐标满足的参数方程如下
而，.
∴，.
两式相加得
(其中)
当且仅当时取得最大值3.
二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分)
约束条件的最小值为________
【答案】
【解析】由题，画出可行域如图：
目标函数为，则直线截距越大，值越小.
由图可知：在处取最小值，故.
等比数列，，则________
【答案】
【解析】为等比数列，设公比为.
，
显然，，
，即，代式可得，
.
函数满足取值范围是________
【答案】
【解析】，，
由图象变换可画出与的图象如下：
由图可知满足的解为
16.，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形直角边在与
，都垂直，边直线旋转轴旋转，有下列结论：
直线成角时，成角;
直线成角时，成角;
与所成角的最小值为
④直线与所成角的最值为
其中正确的是________所有正确结论的编号)
【答案】②③
【解析】由题意知三条直线两两相互垂直画出图形如.
不妨设图中所示正方体边长为1
故，
斜边以直线为旋转轴旋转则点保持不变
点的运动轨迹是以为圆心1为半径的圆.
以为坐标原点以为轴正方向为轴正方向
为轴正方向建立空间直角坐标系.
则，
直线的方向单位向量.
点起始坐标为
直线的方向单位向量.
设点在运动过程中的坐标
其中为与的夹角.
那么在运动过程中的向量.
设与所成夹角为
则.
故③正确④错误.
设与所成夹角为
.
当与夹角为时即
.
，
∴.
.
.
，此时与夹角为.
②正确错误.
三、解答题：(共70分.第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答)
)考：共
17.(12分)
内角A对边分别为已知，.
(1)
(2)为边上一点，且求面积
【解析】)由得，
即，
，得.
余弦定理.代入，故.
)，
余弦定理.
，即为直角三角形，
则，得.
由勾股定理.
又，则，
.
.2分)超市计划按月购一种奶，每天进货量相同，进货成本每瓶，售价每瓶，售出的酸奶降价处理，以瓶2价格当天全部处理完.据年销售经验，每天需求量与当天最高气温(：)关.果最高气温不低于需求量为;如果最高气温位于区间求量为;如果气低于需求量为，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的分布表：
高气温 数 16 36 25 7 4 以最高气温位于区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
)六月份这种酸奶一天的需量瓶)分列
(2)六月份一天销售这种酸奶的利为：元).六月这种酸奶一天的进货量瓶多少时，数学期望达到最大值?
【解析】⑴易知需求量可取
.
则分布列为：
⑵①当时：，此时，当时取到.
②当时：
此时，当时取到.
③当时，
此时.
④当时，易知一定小于③的情况.
综上所述：当时，取到最大值为.
9.2分)图，四面体，正三角形，直三角形..
)明：面面
(2)的平面交点若平面四面体成积相等的两部分.二的余弦值.
⑴取中点为，连接，;
为等边三角形
∴
.
∴,即为等腰直角三角形，
为直角又为底边中点
令，则
易得：，
由勾股定理的逆定理可得
即
又
由面面垂直的判定定理可得
⑵由题意可知
即,到平面的距离相等
即为中点
以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，设，建立空间直角坐标系，
则，，，，
易得：，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，解得
，解得
若二面角为为锐角，
则
20.2分)知抛物线点)直线于，两点，圆以线段直径的圆.
)明：坐标原点圆;
)圆点)直线圆程.
【解析】显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意.
设，，
联立：得
恒大于，，
∴，即在圆上
⑵若圆过点，则
化简得解得或
当时，圆心为，
，，
半径
则圆
当时，圆心为，
，，
半径
则圆
21.知函数.
)，求值;
)为整数，且对于任意正整数，求最小值.
【解析】，
则，且
当时，，在上单调增，所以时，，不满足题意;
当时，
当时，则在上单调递减
当时，则在上单调递增
①若，在上单调递增当时矛盾
若，在上单调递减当时矛盾
若，在上单调递减，在上单调递增满足题意
综上所述
⑵ 当时即
则有当且仅当时成立
，
一方面：
即
另一方面：
当时，
，，
∴的最小值为
22.[选修4-4坐标参数方程])
直角坐标，直线方程(参数)直线参数方程为参数)与的交点为当时，轨迹为曲线
(1)写出普通方程：
原点为极点，正半为极轴极，设与C的交点，求极径
【解析】⑴将参数方程转化为一般方程
……①
……②
①②消可得：
即的轨迹方程为;
⑵将参数方程转化为一般方程
……③
联立曲线和
解得
由解得
即的极半径是.
23修4-5等式选讲])
函数
(1)求不等式解集;
不等式解集非空求值范围
【解析】⑴可等价为.由可得：
当时显然不满足题意;
当时，，解得;
当时，恒成立.综上，的解集为.
⑵不等式等价为，
令，则解集非空只需要.
而.
当时，;
当时，;
当时，.
综上，，故.
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