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2017年高考全国Ⅱ卷理数试题和答案

夏萍分享

  随着2017高考的结束,2018的学生也进入了高三的学习,学生需要多做试卷,下面是学习啦小编给大家带来的有关于高考数学的试题介绍,希望能够帮助到大家。

  2017年高考全国Ⅱ卷理数试题

  一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.( )

  A. B. C. D.

  2.设集合,.若,则( )

  A. B. C. D.

  3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )

  A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏

  4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为( )

  A. B. C. D.

  5.设,满足约束条件,则的最小值是( )

  A. B. C. D.

  6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )

  A.12种 B.18种 C.24种 D.36种

  7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )

  A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩

  C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩

  8.执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的( )

  A.2 B.3 C.4 D.5

  9.若双曲线(,)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则的离心率为( )

  A.2 B. C. D.

  10.已知直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )

  A. B. C. D.

  11.若是函数的极值点,则的极小值为( )

  A. B. C. D.1

  12.已知是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是( )

  A. BmC. D.

  二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

  13.一批产品的二等品率为,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件数,则 .

  14.函数()的最大值是 .

  15.等差数列的前项和为,,,则 .

  16.已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则 .

  三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

  (一)必考题:共60分。

  17.(12分)

  的内角的对边分别为 ,已知.

  (1)求

  (2)若 , 面积为2,求

  18.(12分)

  淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg)某频率直方图如下:

  设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件:旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率;

  填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:

  箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法

  根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)

  P() 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828

  19.(12分)

  如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等比三角形且垂直于底面BCD, E是PD的中点

  (1)证明:直线 平面PAB

  (2)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ,求二面角M-AB-D的余弦值

  20. (12分)

  设O为坐标原点,动点M在椭圆C:上,过M做x轴的垂线,垂足为N,点P满足.

  求点P的轨迹方程;

  设点Q在直线x=-3上,且.证明:过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.

  21.(12分)

  已知函数且.

  (1)求a;

  (2)证明:存在唯一的极大值点,且.

  (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,按所做的第一题计分。

  22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

  在直角坐标系xy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

  (1)M为曲线上的动点,点P在线段OM上,且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程;

  (2)设点A的极坐标为,点B在曲线上,求面积的最大值.

  23.[选修4-5:不等式选讲](10分)

  已知,证明:

  (1);

  (2).

  2017年普通高等学校招生全国统一考试

  理科数学试题答案

  一、选择题

  1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D

  7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B

  二、填空题

  13. 1.96 14. 1 15. 16. 6

  三、解答题

  17.解:

  (1)由题设及,故

  上式两边平方,整理得

  解得

  (2)由,故

  又

  由余弦定理及得

  所以b=2

  18.解:

  (1)记“旧养殖法的箱产量低于” 表示事件“新养殖法的箱产量不低于”

  旧养殖法的箱产量低于

  故的估计值为0.62

  新养殖法的箱产量不低于

  故的估计值为0.66

  因此,事件A的概率估计值

  (2)

  箱产量 箱产量 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66

  故有的把握产量养殖方法有关.

  (3)的直方图面积为

  ,

  箱产量低于的直方图面积为

  故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

  .

  (1)中点,连,.

  为中点,,,由得,又

  所以.四边形为平行四边形, .

  又,

  (2)

  ,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则

  则,,,,

  ,

  因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而是底面ABCD的法向量,所以

  ,

  即(x-1)²+y²-z²=0

  又M在棱PC上,设

  由①,②得

  所以M,从而

  设是平面ABM的法向量,则

  所以可取m=(0,-,2)于是

  因此二面角M-AB-D的余弦值为

  20.解

  (1)设P(x,y),M(x0,y0),设N(x0,0),

  由得

  因为M(x0,y0)在C上,所以

  因此点P的轨迹方程为

  (2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则

  ,

  由得,又由(1)知,故

  3+3m-tn=0

  所以,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

  21.解:

  (1)的定义域为

  设,则等价于

  因为

  若a=1,则.当01时,>0,单调递增.所以x=1是的极小值点,故

  综上,a=1

  (2)由(1)知

  设

  当时,;当时,,所以在单调递,在单调递增

  又,所以在有唯一零点x0,在有唯一零点1,且当时;当时,,当时.

  因为,所以x=x0是f(x)的唯一极大值点

  由

  由得

  因为x=x0是f(x)在(0,1)的最大值点,由得

  所以

  22.解:

  (1)设P的极坐标为,M的极坐标为,由题设知

  由得的极坐标方程

  因此的直角坐标方程为

  (2)设点B的极坐标为,由题设知

  ,于是△OAB面积

  当时,S取得最大值

  所以△OAB面积的最大值为

  23.解:

  (1)

  (2)因为

  所以,因此a+b≤2

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