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2017年高考全国Ⅲ卷理数试题和答案

夏萍分享

  数学的学习离不开做题,在复习的阶段更是需要多做试卷,下面是学习啦小编给大家带来的有关于高考全国卷的理数试卷介绍 ,希望能够帮助到大家。

  2017年高考全国Ⅲ卷理数试题

  一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

  1.已知集合A=,B=,则AB中元素的个数为

  A.3 B.2 C.1 D.0

  2.设复数z满足(1+i)z=2i,则z∣=

  A. B. C. D.2

  3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.

  根据该折线图,下列结论错误的是

  A.月接待游客量逐月增加

  B.年接待游客量逐年增加

  C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

  D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳

  4.(+)(2-)5的展开式中33的系数为

  A.-80 B.-40 C.40 D.80

  5.已知双曲线C: (a>0,b>0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点,则C的方程为

  A. B. C. D.

  6.设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是

  A.f(x)的一个周期为−2π B.y=f(x)的图像关于直线x=对称

  C.f(x+π)的一个零点为x= D.f(x)在(,π)单调递减

  7.执行下面的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为

  A.5 B.4 C.3 D.2

  8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为

  A. B. C. D.

  9.等差数列的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则前6项的和为

  A.-24 B.-3 C.3 D.8

  10.已知椭圆C:,(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线相切,则C的离心率为

  A. B. C. D.

  11.已知函数有唯一零点,则a=

  A. B. C. D.1

  12.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +,则+的最大值为

  A.3 B.2 C. D.2

  二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

  13.若,满足约束条件,则的最小值为__________.

  14.设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3,则a4 = ___________.

  15.设函数则满足的x的取值范围是_________。

  16.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:

  当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;

  当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;

  直线AB与a所称角的最小值为45°;

  直线AB与a所称角的最小值为60°;

  其中正确的是________。(填写所有正确结论的编号)

  三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

  (一)必考题:共60分。

  17.(12分)

  △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+cosA=0,a=2,b=2.

  (1)求c;

  (2)设D为BC边上一点,且AD AC,求△ABD的面积.

  18.(12分)

  某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

  最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

  (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;

  (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?

  19.(12分)

  如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,ABD=∠CBD,AB=BD.WWW.ziyuanku.com

  (1)证明:平面ACD平面ABC;

  (2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D–AE–C的余弦值.

  20.(12分)

  已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C与A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.

  (1)证明:坐标原点O在圆M上;

  (2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.

  21.(12分)

  已知函数 =x﹣1﹣alnx.

  (1)若 ,求a的值;

  (2)设m为整数,且对于任意正整数n,﹤m,求m的最小值.

  (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

  22.选修44:坐标系与参数方程(10分)

  在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.

  (1)写出C的普通方程;

  (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosWWW.ziyuanku.comθ+sinθ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.

  23.选修45:不等式选讲(10分)

  已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│.

  (1)求不等式f(x)≥1的解集;

  (2)若不等式f(x)≥x2–x +m的解集非空,求m的取值范围.

  2017年普通高等学校招生全国统一考试

  理科数学试题正式答案

  一、选择题

  1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D

  7.D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A

  二、填空题

  13. -1 14. -8 15. 16. ②③

  三、解答题

  17.解:

  (1)由已知得 tanA=

  在 △ABC中,由余弦定理得

  (2)有题设可得

  故△ABD面积与△ACD面积的比值为

  又△ABC的面积为

  18.解:

  (1)由题意知,所有的可能取值为200,300,500,由表格数据知

  .

  因此的分布列为

  0.2 0.4 0.4 中·华.资*源%库 ziyuanku.com⑵由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑

  当时,

  若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n

  若最高气温位于区间,则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;

  若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;

  因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n

  当时,

  若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;

  若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;

  因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n

  所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元。

  19.解:

  (1)由题设可得,

  又是直角三角形,所以

  取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO

  又由于

  所以

  (2)

  由题设及(1)知,两两垂直,以$来&源:ziyuanku.com的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系,则

  由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,即E为DB的中点,得E.故

  设是平面DAE的法向量,则

  可取

  设是平面AEC的法向量,则同理可得

  则

  所以二面角D-AE-C的余弦值为

  20.解

  (1)设

  由可得

  又=4

  因此OA的斜率与OB的斜率之积为

  所以OAOB

  故坐标原点O在圆M上.

  (2)由(1)可得

  故圆心M的坐标为,圆M的半径

  由于圆M过点P(4,-2),因此,故

  即

  由(1)可得,

  所以,解得

  当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为

  当时,直线l的方程为,圆心M的坐标为,圆M的半径为,圆M的方程为

  21.解:(1)的定义域为.

  ①若,因为,所以不满足题意;

  ②若,由知,当时,;当时,,所以在单调递减,在单调递增,故x=a是在的唯一最小值点.

  由于,所以当且仅当a=1时,.

  故a=1

  (2)由(1)知当时,

  令得,从而

  故

  而,所以m的最小值为3.

  22.解:

  (1)消去参数t得l1的普通方程

  设P(x,y),由题设得,消去k得.

  所以C的普通方程为

  (2)C的极坐标方程为

  联立得.

  故,从而

  代入得,所以交点M的极径为.

  23.解:

  (1)

  当时,无解;

  当时,由得,,解得

  当时,由解得.

  所以的解集为.

  (2)由得,而

  且当时,.

  故m的取值范围为

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