2017年高考山东卷理数试题和答案(2)
2017年高考山东卷理数试题解析版
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)设函数的定义域，函数的定义域为,则
(A)(1,2) (B) (C)(-2,1) (D)[-2,1)
【答案】D
【考点】 1.集合的运算2.函数的定义域3.简单不等式的解法.
【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.
(2)已知,i是虚数单位，若，则a=
(A)1或-1 (B) (C)- (D)
【答案】A 【解析】试题分析：由得，所以，故选A.
【考点】 1.复数的概念.2.复数的运算.
【名师点睛】复数的共轭复数是，据此结合已知条件，求得的方程即可.
(3)已知命题p:;命题q：若a>b，则，下列命题为真命题的是
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】试题分析：由时有意义，知p是真命题，由可知q是假命题，即均是真命题，故选B.
【考点】1.简易逻辑联结词.2.全称命题.
【名师点睛】解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断.
(4)已知x,y满足，则z=x+2y的最大值是
(A)0 (B) 2 (C) 5 (D)6
【答案】C
【考点】 简单的线性规划
【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域;
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形;
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解;
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
(5)为了研究某班学生的脚长(单位：厘米)和身高(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为.已知，，.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】试题分析：由已知 ,选C.
【考点】线性相关与线性回归方程的求法与应用.
【名师点睛】(1)判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：(1)利用散点图直观判断;(2)将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断.求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性.
(6)执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的的值为，第二次输入的的值为，则第一次、第二次输出的的值分别为
(A)0，0 (B)1，1 (C)0，1 (D)1，0
【答案】D
【考点】程序框图，直到型循环结构
【名师点睛】识别算法框图和完善算法框图是高考的重点和热点.解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构;第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的实际问题;第三，按照题目的要求完成解答.对框图的考查常与函数和数列等相结合，进一步强化框图问题的实际背景.
(7)若，且，则下列不等式成立的是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【解析】试题分析：，且
，所以选B.
【考点】1.指数函数与对数函数的性质.2.基本不等式.
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.
(8)从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【考点】古典概型
【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.
(9)在中，角，，的对边分别为，，.若为锐角三角形，且满足
，则下列等式成立的是
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】试题分析：
所以，选A.
【考点】1.三角函数的和差角公式2.正弦定理.
【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有，，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.
(10)已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【考点】函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用.
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
第II卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
(11)已知的展开式中含有项的系数是，则 .
【答案】
【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式，令得：，解得.
【考点】二项式定理
【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.
(12)已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .
【答案】
【解析】试题分析：，
，
，
，解得：.
【考点】1.平面向量的数量积.2.平行向量的夹角.3.单位向量.
【名师点睛】
1.平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：.
2.由向量的数量积的性质有，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题.
3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立的方程.
(13)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .
【答案】
【解析】试题分析：该几何体的体积为.
【考点】1.三视图.2.几何体的体积.
【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图
2.三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据.3.利用面积或体积公式计算.
(14)在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【考点】1.双曲线的几何性质.2.抛物线的定义及其几何性质.
【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程;(2)掌握其倾斜角、斜率的求法;(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.
2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理.
(15)若函数(是自然对数的底数)在的定义域上单调递增，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为 .
② ③ ④
【答案】①④
【解析】试题分析：①在上单调递增，故具有性质;
②在上单调递减，故不具有性质;
③，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故不具有性质;
④，令，则，在上单调递增，故具有性质.
【考点】1.新定义问题.2利用导数研究函数的单调性.
【名师点睛】
1.本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向.它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可.
2.求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先);
(2)求导函数f′(x);
(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f′(x)>0或f′(x)<0的解集.
(4)由f′(x)>0(f′(x)<0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间.若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间.
3.由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“=”是否可以取到.
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
16.设函数，其中.已知.
()求;
()将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
【答案】().()得最小值.
从而.
根据得到，进一步求最小值.
试题解析：()因为，
所以
即时，取得最小值.
【考点】1.两角和与差的三角函数.2.三角函数图象的变换与性质.
【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
17.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形(及其内部)以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.
()设是上的一点，且，求的大小;
()当，，求二面角的大小.
【答案】().().
据相关数据即得所求的角.
思路二：
以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
写出相关点的坐标，求平面的一个法向量，平面的一个法向量
计算即得.
取的中点，连接，，.
因为，
所以四边形为菱形，
所以.
取中点，连接，，.
则，，
所以为所求二面角的平面角.
又，所以.
在中，由于，
由余弦定理得，
所以，因此为等边三角形，
故所求的角为.
解法二：
设是平面的一个法向量.
由可得
取，可得平面的一个法向量.
所以.
因此所求的角为.
【考点】1.垂直关系.2. 空间角的计算.
【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.立体几何中角的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等.
(18)(本小题满分12分)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
(I)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率。
(II)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
【答案】(I)(II)X的分布列为
X 0 1 2 3 4 P X的数学期望是.
得X的分布列为
X 0 1 2 3 4 P 进一步计算X的数学期望.
试题解析：(I)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，则
(II)由题意知X可取的值为：.则
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4 P
X的数学期望是
=
【考点】1.古典概型.2.随机变量的分布列与数学期望.3.超几何分布.
【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.
(19)(本小题满分12分)
已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2
()求数列{xn}的通项公式;
()如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.
【答案】(I)(II)
因为,所以，
因此数列的通项公式为
(II)过……向轴作垂线，垂足分别为……,
由(I)得
记梯形的面积为.
由题意，
所以
……+
=……+ ①
又……+ ②
【考点】1.等比数列的通项公式;2.等比数列的求和;3.“错位相减法”.
【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.
(20)(本小题满分13分)
已知函数，，其中是自然对数的底数.
()求曲线在点处的切线方程;
()令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
【答案】().
()综上所述：
当时，在上单调递减，在上单调递增，
函数有极小值，极小值是;
当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
极大值是
极小值是;
当时，函数在上单调递增，无极值;
当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
极大值是;
极小值是.
【解析】试题分析：()求导数得斜率，由点斜式写出直线方程.
，
即 .
()由题意得 ，
因为
，
令
则
所以在上单调递增.
因为
所以 当时，
当时，
(1)当时，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以 当时取得极小值，极小值是 ;
极大值为，
当时取到极小值，极小值是 ;
当时，，
所以 当时，，函数在上单调递增，无极值;
当时，
所以 当时，，单调递增;
当时，，单调递减;
当时，，单调递增;
所以 当时取得极大值，极大值是;
当时取得极小值.
极小值是.
综上所述：
当时，在上单调递减，在上单调递增，
函数有极小值，极小值是;
当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，
【考点】1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.
【名师点睛】1.函数f (x)在点x0处的导数f ′(x0)的几何意义是曲线y=f (x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为y−y0=f ′(x0)(x−x0).注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同.
2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.
(21)(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.
()求椭圆的方程;
()如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.
【答案】(I).
()的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.
试题解析：(I)由题意知 ，，
所以 ，
因此 椭圆的方程为.
()设，
联立方程
得，
由题意知，
且，
所以 .
由题意可知圆的半径为
由题设知，
所以
而
，
令，
则，
因此 ，
当且仅当，即时等号成立，此时，
【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质;2.直线与圆锥曲线的位置关系;3. 二次函数的图象和性质.
【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆(圆锥曲线)方程是基础，通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
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