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八年级下册数学第17章反比例函数与三角形测试卷

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  做八年级数学试题好问的人,只做了五分种的愚人;耻于发问的人,终身为愚人。学习啦为大家整理了八年级下册数学第17章反比例函数与三角形测试卷,欢迎大家阅读!

  八年级下册数学第17章反比例函数与三角形测试卷及参考答案

  一、反比例函数与等腰三角形结合

  试题1、(2015常州)如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4.点P是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB的上方.

  (1)若点P的坐标是(1,4),直接写出k的值和△PAB的面积;

  (2)设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,求证:△PMN是等腰三角形;

  (3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合),连接AQ、BQ,比较∠PAQ与∠PBQ的大小,并说明理由.

  【解答】解:(1)k=4,S△PAB=15.

  提示:过点A作AR⊥y轴于R,过点P作PS⊥y轴于S,连接PO,

  设AP与y轴交于点C,如图1,

  把x=4代入y= x,得到点B的坐标为(4,1),

  把点B(4,1)代入y= ,得k=4.

  解方程组 ,得到点A的坐标为(﹣4,﹣1),

  则点A与点B关于原点对称,

  ∴OA=OB,

  ∴S△AOP=S△BOP,

  ∴S△PAB=2S△AOP.

  设直线AP的解析式为y=mx+n,

  把点A(﹣4,﹣1)、P(1,4)代入y=mx+n,

  求得直线AP的解析式为y=x+3,

  则点C的坐标(0,3),OC=3,

  ∴S△AOP=S△AOC+S△POC

  = OCAR+ OCPS

  = ×3×4+ ×3×1= ,

  ∴S△PAB=2S△AOP=15;

  (2)过点P作PH⊥x轴于H,如图2.

  B(4,1),则反比例函数解析式为y= ,

  设P(m, ),直线PA的方程为y=ax+b,直线PB的方程为y=px+q,

  联立 ,解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1,

  联立 ,解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1,

  ∴M(m﹣4,0),N(m+4,0),

  ∴H(m,0),

  ∴MH=m﹣(m﹣4)=4,NH=m+4﹣m=4,

  ∴MH=NH,

  ∴PH垂直平分MN,

  ∴PM=PN,

  ∴△PMN是等腰三角形;

  (3)∠PAQ=∠PBQ.

  理由如下:

  过点Q作QT⊥x轴于T,设AQ交x轴于D,QB的延长线交x轴于E,如图3.

  可设点Q为(c, ),直线AQ的解析式为y=px+q,则有

  ,

  解得: ,

  ∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1.

  当y=0时, x+ ﹣1=0,

  解得:x=c﹣4,

  ∴D(c﹣4,0).

  同理可得E(c+4,0),

  ∴DT=c﹣(c﹣4)=4,ET=c+4﹣c=4,

  ∴DT=ET,

  ∴QT垂直平分DE,

  ∴QD=QE,

  ∴∠QDE=∠QED.

  ∵∠MDA=∠QDE,

  ∴∠MDA=∠QED.

  ∵PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.

  ∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA,∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED,

  ∴∠PAQ=∠PBQ.

  试题2、(2016黄冈校级自主招生)如图,直线OB是一次函数y=2x的图象,点A的坐标是(0,2),点C在直线OB上且△ACO为等腰三角形,求C点坐标.

  【解答】解:若此等腰三角形以OA为一腰,且以A为顶点,则AO=AC1=2.

  设C1(x,2x),则得x2+(2x﹣2)2=22,

  解得 ,得C1( ),

  若此等腰三角形以OA为一腰,且以O为顶点,则OC2=OC3=OA=2,

  设C2(x′,2x′),则得x′2+(2x′)2=22,解得 = ,

  ∴C2( ),

  又由点C3与点C2关于原点对称,得C3( ),

  若此等腰三角形以OA为底边,则C4的纵坐标为1,从而其横坐标为 ,得C4( ),

  所以,满足题意的点C有4个,坐标分别为:( ),( ),( ),C4( ).

  试题3、(2011广西来宾,23,10分)已知反比例函数的图像与一次函数图像交于点A(1,4)和B(m, -2).

  (1)求这两个函数的关系式.

  (2)如果点C与点A关于x轴对称,求△ABC的面积。

  (3)点P是X轴上的动点,△AOP是等腰三角形,求点P的坐标。

  二、反比例函数与等边三角形结合

  试题1、如图,直线y=2x+4与x,y轴分别交于A,B两点,以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,将点C向左平移,使其对应点C′恰好落在直线AB上,则点C′的坐标为 (﹣1,2) .

  解:∵直线y=2x+4与y轴交于B点,

  ∴x=0时,得y=4,∴B(0,4).

  ∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC,

  ∴C在线段OB的垂直平分线上,

  ∴C点纵坐标为2.

  将y=2代入y=2x+4,得2=2x+4,解得x=﹣1.

  故答案为:(﹣1,2).

  试题2、(2015黄冈校级自主招生)如图,△AOB和△ACD均为正三角形,且顶点B、D均在双曲线 (x>0)上,则图中S△OBP=(  )

  A. B. C. D.4

  【解答】解:∵△AOB和△ACD均为正三角形,

  ∴∠AOB=∠CAD=60°,

  ∴AD∥OB,

  ∴S△ABP=S△AOP,

  ∴S△OBP=S△AOB,

  过点B作BE⊥OA于点E,则S△OBE=S△ABE= S△AOB,

  ∵点B在反比例函数y= 的图象上,

  ∴S△OBE= ×4=2,

  ∴S△OBP=S△AOB=2S△OBE=4.

  故选D.

  试题3、(2013黄冈模拟)如图,△P1OA1、△P2A1A2是等腰直角三角形,点P1、P2在函数 的图象上,斜边OA1、A1A2都在x轴上,则点A2的坐标是(  )

  A.( ,0) B.( ,0) C.( ,0) D.( ,0)

  【解答】解:(1)根据等腰直角三角形的性质,可设点P1(a,a),

  又y= ,

  则a2=4,a=±2(负值舍去),

  再根据等腰三角形的三线合一,得A1的坐标是(4,0),

  设点P2的坐标是(4+b,b),又y= ,则b(4+b)=4,

  即b2+4b﹣4=0,

  又∵b>0,∴b=2 ﹣2,

  再根据等腰三角形的三线合一,

  ∴4+2b=4+4 ﹣4=4 ,

  ∴点A2的坐标是(4 ,0).

  故选C.

  三、反比例函数与直角三角形结合

  试题1、(2015大连模拟)如图,以Rt△AOB的直角顶点O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,C为AB的中点,将一个足够大的三角板的直角顶点与C重合,并绕点C旋转,直角边CM、CN与边OB、OA相交于E、F.

  (1)如图1,当∠ABO=45°时,请直接写出线段CE与CF的数量关系: CE=CF .

  (2)如图2,当∠ABO=30°时,请直接写出CE与CF的数量关系: FC= EC .

  (3)当∠ABO=α时,猜想CE与CF的数量关系(用含有α的式子表示),并结合图2证明你的猜想.

  (4)若OA=6,OB=8,D为△AOB的内心,结合图3,判断D是否在双曲线y= 上,说明理由.

  【解答】解:(1)如图1,连接OC,

  ∵∠AOB=90°,∠MCN=90°,

  ∴四边形OFCE共圆,

  ∵∠ABO=45°,C为AB的中点,

  ∴∠EOC=∠FOC=45°,

  ∴CE=CF,

  故答案为:CE=CF.

  (2)如图2,连接OC,

  ∵∠AOB=90°,∠MCN=90°,

  ∴四边形OFCE共圆,此圆为⊙G,设半径为r,作GP⊥FC,连接GF,

  ∵∠ABO=30°,C为AB的中点,

  ∴∠BOC=30°,

  ∴∠FOC=60°,可得∠FGP=60°,

  ∴FC=2FP= r,

  同理可得EC=r,

  ∴FC= EC.

  故答案为:FC= EC.

  (3))如图2,连接OC,

  ∵∠AOB=90°,∠MCN=90°,

  ∴四边形OFCE共圆,此圆为⊙G,设半径为r,作GP⊥FC,连接GF,

  ∵∠ABO=α,C为AB的中点,

  ∴∠BOC=α,

  ∴∠FOC=90°﹣α,可得∠FGP=90°﹣α,

  ∴FC=2FP=2rsin(90°﹣α),

  同理可得EC=2rsinα,

  ∴FC:EC=sin(90°﹣α):sinα,

  ∴FC= EC.

  (4)如图3,

  ∵OA=6,OB=8,

  ∴AB= = =10,

  设OC为x,AC=6﹣x,

  ∵D为△AOB的内心,

  ∴OE=x,BE=8﹣x,

  ∴8﹣x+6﹣x=10,

  ∴x=2,

  ∴点D(2,2).代入双曲线y= 不成立,

  ∴D不在双曲线y= 上,

  四、反比例函数与等腰直角三角形结合

  试题1、如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3…都在x轴上,点B1,B2,B3…都在直线y=x上,△OA1B1,△B1A1A2,△B2B1A2,△B2A2A3,△B3B2A3…都是等腰直角三角形,且OA1=1,则点B2015的坐标是(  )

  A. C.

  解:∵OA1=1,∴点A1的坐标为(1,0),

  ∵△OA1B1是等腰直角三角形,

  ∴A1B1=1,∴B1(1,1),

  ∵△B1A1A2是等腰直角三角形,

  ∴A1A2=1,B1A2= ,

  ∵△B2B1A2为等腰直角三角形,

  ∴A2A3=2,∴B2(2,2),

  同理可得,B3(22,22),B4(23,23),…Bn(2n﹣1,2n﹣1),

  ∴点B2015的坐标是(22014,22014).

  故选:A.

  试题2、(2015仪征市一模)如图,点A是双曲线y= 在第一象限上的一动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为斜边作等腰Rt△ABC,点C在第二象限,随着点A的运动,点C的位置也不断的变化,但始终在一函数图象上运动,则这个函数的解析式为 y=﹣  .

  【解答】解:连结OC,作CD⊥x轴于D,AE⊥x轴于E,如图,

  设A点坐标为(a, ),

  ∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y= 的交点,

  ∴点A与点B关于原点对称,

  ∴OA=OB

  ∵△ABC为等腰直角三角形,

  ∴OC=OA,OC⊥OA,

  ∴∠DOC+∠AOE=90°,

  ∵∠DOC+∠DCO=90°,

  ∴∠DCO=∠AOE,

  ∵在△COD和△OAE中

  ∴△COD≌△OAE(AAS),

  ∴OD=AE= ,CD=OE=a,

  ∴C点坐标为(﹣ ,a),

  ∵﹣ a=﹣4,

  ∴点C在反比例函数y=﹣ 图象上.

  故答案为y=﹣ .

  试题2、(2015潮阳区一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的顶点A在x轴上,顶点C在y轴上,D是BC的中点,过点D的反比例函数图象交AB于E点,连接DE.若OD=5,tan∠COD= .

  (1)求过点D的反比例函数的解析式;

  (2)求△DBE的面积;

  (3)x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形?若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

  【解答】解:(1)∵四边形OABC是矩形,

  ∴BC=OA,AB=OC,

  ∵tan∠COD= ,

  ∴设OC=3x,CD=4x,

  ∴OD=5x=5,

  ∴x=1,

  ∴OC=3,CD=4,

  ∴D(4,3),

  设过点D的反比例函数的解析式为:y= ,

  ∴k=12,∴反比例函数的解析式为:y= ;

  (2)∵点D是BC的中点,

  ∴B(8,3),

  ∴BC=8,AB=3,

  ∵E点在过点D的反比例函数图象上,

  ∴E(8, ),

  ∴S△DBE= BDBE= =3;

  (3)存在,

  ∵△OPD为直角三角形,

  ∴当∠OPD=90°时,PD⊥x轴于P,

  ∴OP=4,

  ∴P(4,0),

  当∠ODP=90°时,

  如图,过D作DH⊥x轴于H,

  ∴OD2=OHOP,

  ∴OP= = .

  ∴P( ,O),

  ∴存在点P使△OPD为直角三角形,

  ∴P(4,O),( ,O).

  试题3、(2015历下区模拟)如图,在平面直角坐标系中有Rt△ABC,∠A=90°,AB=AC,A(﹣2,0)、B(0,d)、C(﹣3,2).

  (1)求d的值;

  (2)将△ABC沿x轴的正方向平移a个单位,在第一象限内B、C两点的对应点B′C′正好落在某反比例函数图象上.请求出这个反比例函数和此时直线B′C′的解析式;

  (3)在(2)的条件下,直线B′C′交y轴于点G,作C′M⊥x轴于M.P是线段B′C′上的一点,若△PMC′和△PBB′面积相等,求点P坐标.

  【解答】解:(1)作CN⊥x轴于点N.

  在Rt△CNA和Rt△AOB中,

  ,

  ∴Rt△CNA≌Rt△AOB(HL),

  则BO=AN=3﹣2=1,

  ∴d=1;

  (2)设反比例函数为y= ,点C′和B′在该比例函数图象上,

  设C′(a,2),则B′(a+3,1)

  把点C′和B′的坐标分别代入y= ,得k=2a;k=a+3,

  ∴2a=a+3,a=3,

  则k=6,反比例函数解析式为y= .

  得点C′(3,2);B′(6,1);

  设直线C′B′的解析式为y=ax+b,把C′、B′两点坐标代入得 ,

  解得: ;

  ∴直线C′B′的解析式为:y=﹣ ;

  (3)连结BB′

  ∵B(0,1),B′(6,1),

  ∴BB′∥x轴,

  设P(m, ),作PQ⊥C′M,PH⊥BB′

  ∴S△PC’M= ×PQ×C′M= ×(m﹣3)×2=m﹣3

  S△PBB’= ×PH×BB′= ×( )×6=﹣m+6

  ∴m﹣3=﹣m+6

  ∴m=

  ∴P( , ).

  试题4、(2015泰州校级一模)已知点A(m、n)是反比例函数 (x>0)的图象上一点,过A作AB⊥x轴于点B,P是y轴上一点,

  (1)求△PAB的面积;

  (2)当△PAB为等腰直角三角形时,求点A的坐标;

  (3)若∠APB=90°,求m的取值范围.

  【解答】解:(1)连接OA,

  ∵AB⊥x轴,

  ∴AB∥y轴,

  ∴S△PAB=S△POB,

  ∵点A(m、n)是反比例函数 (x>0)的图象上一点,

  ∴S△PAB=S△POB=2;

  (2)若∠ABP=90°,则AB=OB,

  则m=n,

  ∴m= ,

  ∵x>0,

  ∴m=2,

  ∴点A(2,2);

  若∠PAB=90°,则PA=AB,同理可得点A(2,2);

  若∠APB=90°,则AP=BP,

  过点P作PC⊥AB于点C,则AC=BC=PC,

  则点A(m,2m),

  ∴2m= ,

  ∵x>0,

  ∴m= ,

  ∴点A( ,2 );

  综上,点A的坐标为:(2,2)或( ,2 );

  (3)∵∠APB=90°,

  ∴点P是以AB为直径的圆与y轴的交点,

  由(2)可知当x= 时,以AB为直径的圆与y轴相切,当x> 时,以AB为直径的圆与y轴相离,

  ∴m的取值范围为:0

  五、反比例函数与全等三角形结合

  试题1、2015韶关模拟)如图,点A(2,2)在双曲线y1= (x>0)上,点C在双曲线y2=﹣ (x<0)上,分别过A、C向x轴作垂线,垂足分别为F、E,以A、C为顶点作正方形ABCD,且使点B在x轴上,点D在y轴的正半轴上.

  (1)求k的值;

  (2)求证:△BCE≌△ABF;

  (3)求直线BD的解析式.

  【解答】(1)解:把点A(2,2)代入y1= ,

  得:2= ,

  ∴k=4;

  (2)证明:∵四边形ABCD是正方形,

  ∴BC=AB,∠ABC=90°,BD=AC,

  ∴∠EBC+∠ABF=90°,

  ∵CE⊥x轴,AF⊥x轴,

  ∴∠CEB=∠BFA=90°,

  ∴∠BCE+∠EBC=90°,

  ∴∠BCE=∠ABF,

  在△BCE和△ABF中,

  ,

  ∴△BCE≌△ABF(AAS);

  (3)解:连接AC,作AG⊥CE于G,如图所示:

  则∠AGC=90°,AG=EF,GE=AF=2,

  由(2)得:△BCE≌△ABF,

  ∴BE=AF=2,CE=BF,

  设OB=x,则OE=x+2,CE=BF=x+2,

  ∴OE=CE,

  ∴点C的坐标为:(﹣x﹣2,x+2),

  代入双曲线y2=﹣ (x<0)得:﹣(x+2)2=﹣9,

  解得:x=1,或x=﹣5(不合题意,舍去),

  ∴OB=1,BF=3,CE=OE=3,

  ∴EF=2+3=5,CG=1=OB,B(﹣1,0),AG=5,

  在Rt△BOD和Rt△CGA中,

  ,

  ∴Rt△BOD≌Rt△CGA(HL),

  ∴OD=AG=5,

  ∴D(0,5),

  设直线BD的解析式为:y=kx+b,

  把B(﹣1,0),D(0,5)代入得: ,

  解得:k=5,b=5.

  ∴直线BD的解析式为:y=5x+5.

  试题2、(2015历城区二模)如图,一条直线与反比例函数y= 的图象交于A(1,4),B(4,n)两点,与x轴交于点D,AC⊥x轴,垂足为C.

  (1)求反比例函数的解析式及D点的坐标;

  (2)点P是线段AD的中点,点E,F分别从C,D两点同时出发,以每秒1个单位的速度沿CA,DC运动,到点A,C时停止运动,设运动的时间为t(s).

  ①求证:PE=PF.

  ②若△PEF的面积为S,求S的最小值.

  【解答】(1)解:把点A(1,4)代入y= 得:k=4,

  ∴反比例函数的解析式为:y= ;

  把点B(4,n)代入得:n=1,

  ∴B(4,1)

  设直线AB的解析式为y=kx+b,

  把A(1,4),B(4,1)代入y=kx+b得: ,

  解得:k=﹣1,b=5,

  ∴直线AB的解析式为:y=﹣x+5,

  当y=0时,x=5,

  ∴D点坐标为:(5,0);

  (2)①证明:∵A(1,4),C(1,0 ),D(5,0),AC⊥x轴于C,

  ∴AC=CD=4,

  ∴△ACD为等腰直角三角形,

  ∴∠ADC=45°,

  ∵P为AD中点,

  ∴∠ACP=∠DCP=45°,CP=PD,CP⊥AD,

  ∴∠ADC=∠ACP,

  ∵点E,F分别从C,D两点同时出发,以每秒1个单位的速度沿CA,DC运动,

  ∴EC=DF,

  在△ECP和△FDP中, ,

  ∴△ECP≌△FDP(SAS),

  ∴PE=PF;

  ②解:∵△ECP≌△FDP,

  ∴∠EPC=∠FPD,

  ∴∠EPF=∠CPD=90°,

  ∴△PEF为等腰直角三角形,

  ∴△PEF的面积S= PE2,

  ∴△PEF的面积最小时,EP最小,

  ∵当PE⊥AC时,PE最小,

  此时EP最小值= CD=2,

  ∴△PEF的面积S的最小值= ×22=2.

  试题3、(2015春淮阴区期末)已知边长为4的正方形ABCD,顶点A与坐标原点重合,一反比例函数图象过顶点C,动点P以每秒1个单位速度从点A出发沿AB方向运动,动点Q同时以每秒4个单位速度从D点出发沿正方形的边DC﹣CB﹣BA方向顺时针折线运动,当点P与点Q相遇时停止运动,设点P的运动时间为t.

  (1)求出该反比例函数解析式;

  (2)连接PD,当以点Q和正方形的某两个顶点组成的三角形和△PAD全等时,求点Q的坐标;

  (3)用含t的代数式表示以点Q、P、D为顶点的三角形的面积s,并指出相应t的取值.

  【解答】解:(1)∵正方形ABCD的边长为4,

  ∴C的坐标为(4,4),

  设反比例解析式为y=

  将C的坐标代入解析式得:k=16,则反比例解析式为y= ; (2分)

  (2)当Q在DC上时,如图所示:

  此时△APD≌△CQB,

  ∴AP=CQ,即t=4﹣4t,解得t= ,

  则DQ=4t= ,即Q1( ,4);

  当Q在BC边上时,有两个位置,如图所示:

  若Q在上边,则△QCD≌△PAD,

  ∴AP=QC,即4t﹣4=t,解得t= ,

  则QB=8﹣4t= ,此时Q2(4, );

  若Q在下边,则△APD≌△BQA,

  则AP=BQ,即8﹣4t=t,解得t= ,

  则QB= ,即Q3(4, );

  当Q在AB边上时,如图所示:

  此时△APD≌△QBC,

  ∴AP=BQ,即4t﹣8=t,解得t= ,

  因为0≤t≤ ,所以舍去.

  综上所述Q1( ,4); Q2(4, ),Q3(4, )

  (3)当0

  当1≤t≤2时,Q在BC上,则BP=4﹣t,CQ=4t﹣4,AP=t,

  则s=S正方形ABCD﹣S△APD﹣S△BPQ﹣S△CDQ=16﹣ APAD﹣ PBBQ﹣ DCCQ=16﹣ t×4﹣ (4﹣t)【4﹣(4t﹣4)}﹣ ×4(4t﹣4)═﹣2t2+2t+8

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