2017年湖州中考数学练习试卷及答案(2)
21.(9分)某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量 (件)与销售单价 (元/件)满足下表中的一次函数关系.
(元/件)
35 40
(件)
550 500
(1)(3分)试求y与x之间的函数表达式;
(2)(3分)设公司试销该产品每天获得的毛利润为 (元)，求 与 之间的函数表达式(毛利润=销售总价—成本总价);
(3)(3分)当销售单价定为多少时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大?最大毛利润是多少?此时每天的销售量是多少?
解：设y与x之间的函数关系满足y=kx+b
把x=40，y=500;x=50，y=400
分别代入上式得：
∴y=-10x+900
(2)毛利润S=(x-30)•y
=(x-30)(-10x+900)
=-10x2+1200x-27000(30≤x≤80)
(3) 当x=60时
S最大=-10×602+1200×60-27000=9000(元)
此时每天的销售量为：y=-10×60+900=300(件).
∴当销售单价定为60元/件时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大，最大毛利润是9000元，此时每天的销售量是300件.
22.(9分)，二次函数 的图象与一次函数 的图象相交于 、 两点，从点 和点 分别引平行于 轴的直线与 轴分别交于 ， 两点，点 为线段 上的动点，过点 且平行于 轴的直线与抛物线和直线分别交于 ， .
(1)(3分)求一次函数和二次函数的解析式，并求出点 的坐标.
(2)(3分)当SR=2RP时，计算线段SR的长.
(3)(3分)若线段BD上有一动点Q且其纵坐标为t+3，问是否存在t的值，使 .若存在，求 的值;若不存在，说明理由.
解：
(1)由题意知点A(-2，2)在y=ax2的图象上，
又在y=x+b的图象上，
所以得2=a(-2)2和2=-2+b，
∴a= ，b=4，
∴一次函数的解析式为y=x+4，
二次函数的解析式为y= x2，
由 ，解得 ，
所以B点的坐标为(4，8);
(2)因过点P(t，0)且平行于y轴的直线为x=t，
所以点S的坐标(t，t+4)，点R的坐标(t， t2)，
所以SR=t+4- t2，RP= t2，
由SR=2RP得t+4- t2=2× t2，
解得t=- 或t=2，
因点P(t，0)为线段CD上的动点，所以-2≤t≤4，
所以t=- 或t=2，
当t=- 时，
当t=2时，SR=2+4- ×22=4，
所以线段SR的长为 或4;
(3)因BQ=8-(t+3)=5-t，
点R到直线BD的距离为4-t，
所以S△BPQ= ，
解得t=-1或t=10，
因为-2≤t≤4，所以t=-1。
23.(9分)在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点(不与A，B重合)，过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.
(1)(3分)用含x的代数式表示△MNP的面积S;
(2)(3分)当x为何值时，⊙O与直线BC相切?
(3)(3分)在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少?
解：
(1)∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C，
∴△AMN∽△ABC，
∴ ，即 ，
∴AN= x，
∴ (0
(2)2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO、OD，
则AO=OD= MN，
在Rt△ABC中， ，
由(1)知△AMN∽△ABC，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
过M点作MQ⊥BC 于Q，则 ，
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA，
∴ ，
∴ ， ，
∴x= ，
∴当x= 时，⊙O与直线BC相切。
(3)随点M的运动，当P点落在直线BC上时，3，连结AP，
则O点为AP的中点，
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APC，
∴△AMO∽△ABP，
∴ ，AM=MB=2，
故以下分两种情况讨论：
①当0
∴当x=2时， ;
②当2
∵四边形AMPN是矩形，
∴PN∥AM，PN=AM=x，
又∵MN∥BC，
∴四边形MBFN是平行四边形，
∴FN=BM=4-x，
∴PF=x-(4-x)=2x-4，
又△PEF∽△ACB，
当2
∴当 时，满足2
综上所述，当 时，y值最大，最大值是2。
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