2017年广东省茂名市中考数学模拟试卷(2)
∵AE= AB，
∴BE=PE=2AE，
∴∠APE=30°，
∴∠PEF=∠BEF=60°，
∴∠EFB=∠EFP=30°，
∴EF=2BE，PF= PE，
∴①正确，②不正确;
又∵EF⊥BP，
∴EF=2BE=4EQ，
∴③不正确;
又∵PF=BF，∠BFP=2∠EFP=60°，
∴△PBF为等边三角形，
∴④正确;
所以正确的为①④，
故答案为：①④.
【点评】本题主要考查矩形的性质和轴对称的性质、等边三角形的判定、直角三角形的性质等知识，综合性较强，掌握直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键.
三、解答题(本题共6小题，共64分)请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置.
17.(10分)(2014•吉林)某校组织了主题为“让勤俭节约成为时尚”的电子小组作品征集活动，现从中随机抽取部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
(1)求抽取了多少份作品;
(2)此次抽取的作品中等级为B的作品有 48 ，并补全条形统计图;
(3)若该校共征集到800份作品，请估计等级为A的作品约有多少份.
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)根据C的人数除以占的百分比，得到抽取作品的总份数;
(2)由总份数减去其他份数，求出B的份数，补全条形统计图即可;
(3)求出A占的百分比，乘以800即可得到结果.
【解答】解：(1)根据题意得：30÷25%=120(份)，
则抽取了120份作品;
(2)等级B的人数为120﹣(36+30+6)=48(份)，
补全统计图，所示：
故答案为：48;
(3)根据题意得：800× =240(份)，
则估计等级为A的作品约有240份.
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键.
18.(10分)(2010•兰州)是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4米.
(1)求新传送带AC的长度;
(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由.(说明：(1)(2)的计算结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24， ≈2.45)
【考点】解直角三角形的应用.
【分析】(1)过A作BC的垂线AD.在构建的直角三角形中，首先求出两个直角三角形的公共直角边，进而在Rt△ACD中，求出AC的长.
(2)通过解直角三角形，可求出BD、CD的长，进而可求出BC、PC的长.然后判断PC的值是否大于2米即可.
【解答】解：(1)，作AD⊥BC于点D.
Rt△ABD中，
AD=ABsin45°=4× =2 .
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=30°，
∴AC=2AD=4 ≈5.6.
即新传送带AC的长度约为5.6米;
(2)结论：货物MNQP应挪走.
解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=4× =2 .
在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=2 .
∴CB=CD﹣BD=2 ﹣2 =2( ﹣ )≈2.1.
∵PC=PB﹣CB≈4﹣2.1=1.9<2，
∴货物MNQP应挪走.
【点评】应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形.在两个直角三角形有公共直角边时，先求出公共边的长是解答此类题的基本思路.
19.(10分)(2014•荆州)我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓.我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台.经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台.若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.
(1)试确定月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式;并求出自变量x的取值范围;
(2)当售价x(元/台)定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?
【考点】二次函数的应用.
【分析】(1)根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，即可列出函数关系式;
根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值.
(2)用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w;
【解答】解：(1)根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，
则月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式：y=200+50× ，化简得：y=﹣5x+2200;
供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，
则 ，
解得：300≤x≤350.
∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200(300≤x≤350);
(2)W=(x﹣200)(﹣5x+2200)，
整理得：W=﹣5(x﹣320)2+72000.
∵x=320在300≤x≤350内，
∴当x=320时，最大值为72000，
即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元.
【点评】本题主要考查对于一次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识.
20.(10分)(2011•安顺)已知：，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.
(1)求证：点D是AB的中点;
(2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论;
(3)若⊙O的直径为18，cosB= ，求DE的长.
【考点】切线的判定与性质;勾股定理;圆周角定理;解直角三角形.
【分析】(1)连接CD，由BC为直径可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论;
(2)连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，证明结论;
(3)连接CD，在Rt△BCD中，已知BC=18，cosB= ，求得BD=6，则AD=BD=6，在Rt△ADE中，已知AD=6，cosA=cosB= ，可求AE，利用勾股定理求DE.
【解答】(1)证明：连接CD，
∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴AD=BD，即点D是AB的中点.
(2)解：DE是⊙O的切线.
证明：连接OD，则DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO即DE是⊙O的切线;
(3)解：∵AC=BC，∴∠B=∠A，
∴cosB=cosA= ，
∵cosB= ，BC=18，
∴BD=6，
∴AD=6，
∵cosA= ，
∴AE=2，
在Rt△AED中，DE= .
【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形的运用，关键是作辅助线，将问题转化为直角三角形，等腰三角形解题.
21.(12分)(2013•包头)，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F.
(1)①，当 时，求 的值;
(2)②当DE平分∠CDB时，求证：AF= OA;
(3)③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG= BG.
【考点】相似形综合题.
【分析】(1)利用相似三角形的性质求得EF与DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解;
(2)利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以证得;
(3)连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得.
【解答】(1)解：∵ = ，
∴ = .
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴ = ，
∴ = = ，
∴ = = ;
(2)证明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线.
∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，
∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，
在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD= = OA，
∴AF= OA.
(3)证明：连接OE.
∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点.
∴点O是BD的中点.
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，OE= CD，
∴△OFE∽△CFD.
∴ = = ，
∴ = .
又∵FG⊥BC，CD⊥BC，
∴FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，
∴ = = .
在直角△FGC中，∵∠GCF=45°.
∴CG=GF，
又∵CD=BC，
∴ = = ，
∴ = .
∴CG= BG.
【点评】本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形的性质是关键.
22.(12分)(2013•呼伦贝尔)已知：在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为x=﹣2，点P(0，t)是y轴上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标.
(2)1，当0≤t≤4时，设△PAD的面积为S，求出S与t之间的函数关系式;S是否有最小值?如果有，求出S的最小值和此时t的值.
(3)2，当点P运动到使∠PDA=90°时，Rt△ADP与Rt△AOC是否相似?若相似，求出点P的坐标;若不相似，说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)根据二次函数的对称轴列式求出b的值，即可得到抛物线解析式，然后整理成顶点式形式，再写出顶点坐标即可;
(2)令y=0解关于x的一元二次方程求出点A、B的坐标，过点D作DE⊥y轴于E，然后根据△PAD的面积为S=S梯形AOCE﹣S△AOP﹣S△PDE，列式整理，然后利用一次函数的增减性确定出最小值以及t值;
(3)过点D作DF⊥x轴于F，根据点A、D的坐标判断出△ADF是等腰直角三角形，然后求出∠ADF=45°，根据二次函数的对称性可得∠BDF=∠ADF=45°，从而求出∠PDA=90°时点P为BD与y轴的交点，然后求出点P的坐标，再利用勾股定理列式求出AD、PD，再根据两边对应成比例夹角相等两三角形相似判断即可.
【解答】解：(1)对称轴为x=﹣ =﹣2，
解得b=﹣1，
所以，抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣x+3，
∵y=﹣ x2﹣x+3=﹣ (x+2)2+4，
∴顶点D的坐标为(﹣2，4);
(2)令y=0，则﹣ x2﹣x+3=0，
整理得，x2+4x﹣12=0，
解得x1=﹣6，x2=2，
∴点A(﹣6，0)，B(2，0)，
1，过点D作DE⊥y轴于E，
∵0≤t≤4，
∴△PAD的面积为S=S梯形AOED﹣S△AOP﹣S△PDE，
= ×(2+6)×4﹣ ×6t﹣ ×2×(4﹣t)，
=﹣2t+12，
∵k=﹣2<0，
∴S随t的增大而减小，
∴t=4时，S有最小值，最小值为﹣2×4+12=4;
(3)2，过点D作DF⊥x轴于F，
∵A(﹣6，0)，D(﹣2，4)，
∴AF=﹣2﹣(﹣6)=4，
∴AF=DF，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠ADF=45°，
由二次函数对称性，∠BDF=∠ADF=45°，
∴∠PDA=90°时点P为BD与y轴的交点，
∵OF=OB=2，
∴PO为△BDF的中位线，
∴OP= DF=2，
∴点P的坐标为(0，2)，
由勾股定理得，DP= =2 ，
AD= AF=4 ，
∴ = =2，
令x=0，则y=3，
∴点C的坐标为(0，3)，OC=3，
∴ = =2，
∴ = ，
又∵∠PDA=90°，∠COA=90°，
∴Rt△ADP∽Rt△AOC.
【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称轴，三角形的面积二次函数的性质，相似三角形的判定，综合题，但难度不是很大，(2)利用梯形和三角形的面积表示出△ADP的面积是解题的关键，(3)难点在于判断出点P为BD与y轴的交点.
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