初中数学求线段和差最值知识

　　初中阶段我们学过三种路径最值问题,一是两点之间线段最短;二是将军饮马问题;三是直线外一点与直线上一点的连线中,垂线段最短。

　　一、直接利用公理(定理)求最值

　　1、公理：两点直接线段最短

　　2、定理：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(由上面公理证明而得)

　　3、定理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。(简称垂线段最短)

　　所有的线段和差问题都是直接利用或者转化为第1点或第3点来求最值，这是咱们思考这类问题的出发点，大家要死死记住。

　　二、结合图形三大变换求最值

　　1、应用平移变换、轴对称变换将线段和差转化为可以利用公理(定理)求最值(将军饮马问题)

　　2、应用旋转变换将线段和差转化为可以利用公理(定理)求最值(费马点问题)

　　【将军饮马问题】

　　【费马点问题】

　　三.例题

　　1.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少?

　　作点B关于直线CD的对称点B'，连接AB'，交CD于点M

　　则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M点时，费用最小

　　如右图，在直角△AB'E中，

　　AE = AC+CE = 10+30 = 40

　　EB' = 30

　　所以：AB' = 50

　　总费用为：50×3 = 150万

　　2.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.

　　(1)用含x的代数式表示AC+CE的长;

　　(2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小?

　　(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值

　　3.两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.

　　分析 这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB相交，点P在∠AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2 ，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢?我们可以用三角形的三边关系进行说明.

　　解：分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2，

　　连结P1P2分别交OA、OB于C、D，

　　则C、D就是建加油站的位置.

　　若取异于C、D两点的点，

　　则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.

　　点评：在这里没有详细说明为什么在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明白。

　　4.如图∠AOB = 45°，P是∠AOB内一点，PO = 10，Q、P分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值.

　　分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，

　　交OA、OB于点Q，R，连接OP1，OP2，

　　则OP = OP1 = OP2 = 10

　　且∠P1OP2 = 90°

　　由勾股定理得P1P2 = 10

　　5.如图，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为

　　即在AC上作一点P，使PB+PE最小

　　作点B关于AC的对称点B'，连接B'E，交AC于点P，则B'E = PB'+PE = PB+PE

　　B'E的长就是PB+PE的最小值

　　在直角△B'EF中，EF = 1，B'F =3

　　根据勾股定理，B'E =

　　6.等腰△ABC中，∠A = 20°，AB = AC = 20，M、N分别是AB、AC上的点，求BN+MN+MC的最小值

　　分别作点C、B关于AB、AC的对称点C’、B’，连接C’B’交AB、AC于点M、N，则BN+MN+MC= B’N+MN+MC’ = B’C’，BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值

　　∵∠BAC’ =∠BAC，∠CAB’ =∠CAB

　　∴∠B’AC’ = 60°

　　∵AC’ = AC，AB’ = AB，AC = AB

　　∴AC’ = AB’

　　∴△AB’C’是等边三角形

　　∴B’C’ = 20

　　7.如图，在等边△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE = 2，求EM+EC的最小值