重庆市高考数学一模试卷及答案(2)

　　A.{x|﹣13}

　　【考点】交集及其运算.

　　【分析】求出P中不等式的解集确定出P，找出P与Q并集即可.

　　【解答】解：由P中不等式变形得：(x+1)(x﹣3)>0，

　　解得：x<﹣1或x>3，即P={x|x<﹣1或x>3}，

　　∵Q={x|1

　　∴P∪Q={x|3≤x<4}，

　　故选：B

　　2.设i是虚数但单位，则复数 的共轭复数的虚部为(　　)

　　A. B. C. D.

　　【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念.

　　【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z的共轭复数，则答案可求.

　　【解答】解：∵ = = ，

　　∴复数 的共轭复数为 .

　　则复数 的共轭复数的虚部为： .

　　故选：B.

　　3.已知角α的终边经过点(﹣3，4)，则 的值(　　)

　　A. B.﹣ C. D.﹣

　　【考点】两角和与差的正弦函数;直线与圆的位置关系.

　　【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式，求得 的值.

　　【解答】解：∵角α的终边经过点(﹣3，4)，则sinα= ，cosα= ，

　　∴ =sinαcos +cosαsin = ﹣ × = ，

　　故选：C.

　　4.如图为教育部门对辖区内某学校的50名儿童的体重(kg)作为样本进行分析而得到的频率分布直方图，则这50名儿童的体重的平均数为(　　)

　　A.27.5 B.26.5 C.25.6 D.25.7

　　【考点】频率分布直方图.

　　【分析】根据频率分布直方图，利用频率和为1求出a的值，再利用平均数的定义求出体重的平均数.

　　【解答】解：根据频率分布直方图，得;

　　(0.03+0.032+a+0.01+0.008)×10=1，

　　解得a=0.02，

　　所以这50名儿童的体重的平均数为

　　=0.1×5+0.2×15+0.32×25+0.3×35+0.08×45=25.6.

　　故选：C.

　　5.双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为(　　)

　　A. B. C. D.

　　【考点】双曲线的简单性质.

　　【分析】利用双曲线的渐近线方程，转化求出双曲线的离心率即可.

　　【解答】解：双曲线 的一条渐近线方程为 ，

　　可得 = ，即 ，解得e2= ，e= .

　　故选：A.

　　6.有4名优秀的大学毕业生被某公司录用，该公司共有5个部门，由公司人事部分安排他们去其中任意3各部门上班，每个部门至少安排一人，则不同的安排方法为(　　)

　　A.120 B.240 C.360 D.480

　　【考点】计数原理的应用.

　　【分析】先从5个个部门任选三个，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个部门，根据分步计数原理可得答案

　　【解答】解：先从5个个部门任选三个，有C53=10种，再从4人中选2人做为一个元素，和另外两人到分配到三个部门，故有C53•C42•A33=360，

　　故答案为：360.

　　7.若函数f(x)=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间(k﹣1，k+1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)

　　A.[1，3) B. C. D.

　　【考点】利用导数研究函数的单调性.

　　【分析】先确定函数的定义域然后求导数fˊ(x)，在函数的定义域内解方程fˊ(x)=0，使方程的解在定义域内的一个子区间

　　(k﹣1，k+1)内，建立不等关系，解之即可

　　【解答】解：因为f(x)定义域为(0，+∞)，又f′(x)=4x﹣ ，

　　由f'(x)=0，得x= .

　　当x∈(0， )时，f'(x)<0，当x∈( ，+∞)时，f'(x)>0

　　据题意， ，

　　解得1≤k< ，

　　故选：B.

　　8.已知(1﹣x)(1+2x)5，x∈R，则x2的系数为(　　)

　　A.50 B.20 C.30 D.40

　　【考点】二项式系数的性质.

　　【分析】根据题意，(1﹣x)(1+2x)5展开式中x2的系数为(1+2x)5的展开式中x2的系数与x的系数之差，求出即可.

　　【解答】解：因为(1﹣x)(1+2x)5=(1+2x)5﹣x(1+2x)5，

　　(1+2x)5的通项公式为Tr+1= •2r•xr，

　　所以x2的系数为：

　　•22﹣ •2=40﹣10=30.

　　故选：C.

　　9.某饮用水器具的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)

　　A.6π B.8π C.7π D.11π

　　【考点】由三视图求面积、体积.

　　【分析】由三视图知该几何体底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，由条件和圆柱的表面积公式求出该几何体的表面积.

　　【解答】解根据三视图可知几何体是：

　　底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，

　　∴该几何体的表面积S=

　　=7π，

　　故选：C.

　　10.已知函数 的部分图象如图所示，其中N，P的坐标分别为 ，则函数f(x)的单调递减区间不可能为(　　)

　　A. B. C. D.

　　【考点】余弦函数的图象.

　　【分析】解法一：根据题意，求出函数f(x)的解析式，得出f(x)的递减区间，再判定4个选项中是否为f(x)的单调减区间.

　　解法二：求出函数f(x)的周期T=π，判定选项D区间长度是3T，f(x)不是单调减函数，由此得出结论.

　　【解答】解：(法一)根据题意，设函数f(x)=Acos(ωx+φ)的周期为T，

　　则 T= ﹣ = ，解得T=π，

　　∴ω=2;

　　又x= ，

　　∴2× +φ=π+kπ，k∈Z;

　　解得φ=﹣ +kπ，k∈Z;，

　　又|φ|< ，

　　∴φ=﹣ ，

　　∴f(x)=Acos(2x﹣ );

　　令2kπ≤2x﹣ ≤π+2kπ，k∈Z，

　　∴ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，

　　当k=0时，x∈[ ， ]，f(x)是单调减函数，A满足题意;

　　当k=﹣1时，x∈[﹣ ，﹣ ]，f(x)是单调减函数，B满足题意;

　　当k=2时，x∈[ ， ]，f(x)是单调减函数，又[ ， ]⊂[ ， ]，∴C满足题意;

　　当k=1时，x∈[ ， ]，f(x)是单调减函数，又[ ， ]⊂[ ， ]，∴D不满足题意.

　　(法二)根据题意，设函数f(x)=Acos(ωx+φ)的周期为T，

　　则 T= ﹣ = ，解得T=π;

　　又选项D中，区间长度为 ﹣ =3π，

　　∴f(x)在区间[ ， ]上不是单调减函数.

　　故选：D.

　　11.若实数x，y满足 ，则 的最小值为(　　)

　　A. B.2 C. D.

　　【考点】简单线性规划.

　　【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，从而求出z的最小值.

　　【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：

　　A(3，0)，C(2，1)，

　　z= =1+ ∈[ ，2]，

　　故选：A.

　　12.已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)+f(2﹣x)=0，且当x∈[﹣1，0)时，f(x)=﹣ ，函数g(x)为偶函数，且当x≥0时，g(x)= ，则方程g(x)﹣f(x)=1区间[﹣3，3]上的解的个数为(　　)

　　A.2 B.3 C.4 D.6

　　【考点】奇偶性与单调性的综合.

　　【分析】确定f(x)的周期为2，作出y=f(x)与y=g(x)﹣1(0，3]的图象，即可得出结论.

　　【解答】解：∵定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)+f(2﹣x)=0，

　　∴f(﹣x+2)=f(﹣x)，

　　∴f(x)的周期为2，

　　作出y=f(x)与y=g(x)﹣1(0，3]的图象，如图所示，有两个交点，根据对称性，方程g(x)﹣f(x)=1区间[﹣3，3]上的解的个数为4.

　　故选：C.

　　二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..

　　13.已知平面向量 与 的夹角为 ，则 =　 　.

　　【考点】平面向量数量积的运算.

　　【分析】利用向量的数量积以及向量的模的求法运算法则化简求解即可.

　　【解答】解：向量 与 的夹角为 ，

　　可得 =| || |cos =2×1× = ，

　　则 = = .

　　故答案为： .

　　14.执行如图所示的程序框图，则输出的数S=　2500

　　【考点】程序框图.

　　【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.

　　【解答】解：第1次执行循环体后，S=1，i=3，不满足退出循环的条件;

　　第2次执行循环体后，S=4，i=5，不满足退出循环的条件;

　　第3次执行循环体后，S=9，i=7，不满足退出循环的条件;

　　…

　　第n次执行循环体后，S=n2，i=2n+1，不满足退出循环的条件;

　　…

　　第49次执行循环体后，S=492，i=99，不满足退出循环的条件;

　　第50次执行循环体后，S=502，i=101，满足退出循环的条件;

　　故输出的S值为：2500，

　　故答案为：2500

　　15.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的体积为　 　.

　　【考点】球的体积和表面积;球内接多面体.

　　【分析】由于三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC为直角三角形，把三棱柱ABC﹣A1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线就是球O的直径，求出球O的直径，进而求出球O的半径，代入球的体积公式求解即可.

　　【解答】解：由于三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC为直角三角形，

　　把三棱柱ABC﹣A1B1C1补成四棱柱，

　　则四棱柱的体对角线就是球O的直径，

　　所以球O的半径= ，

　　则球O的体积是： = .

　　故答案为： .

　　16.已知△ABC的面积为S，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 成等比数列， ，则 的最小值为　 　.

　　【考点】等比数列的通项公式;余弦定理.

　　【分析】由 成等比数列，可得sinB=2sinCcosA，利用正弦定理余弦定理可得：b=2c× ，化为：c=a.可得sinB=2sinCcosA，S= = .由 ，可得S= .由 18，可得1≤a≤3.代入 ，再利用导数研究其单调性最值即可得出.

　　【解答】解：∵ 成等比数列，

　　∴sinB=2sinCcosA，

　　∴b=2c× ，

　　化为：c=a.

　　∴sinB=2sinCcosA=2× × = ，

　　S= = .

　　∵ ，

　　∴S= .

　　∵ 18，

　　∴2≤2a2≤18，

　　∴1≤a≤3.

　　则 = = =1﹣ .

　　令f(a)= ，则f′(a)= ，

　　∵1≤a≤3.

　　可知：当a=2时，f(a)取得最大值，f(2)= .

　　∴ 的最小值为1﹣ = .

　　故答案为： .

　　三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

　　17.已知公差不为0的等差数列{an}满足 ，且a3，a5，a9成等比数列.

　　(1)求数列{an}的通项公式;

　　(2)记 ，求数列{bn}的前n项和Sn.

　　【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.

　　【分析】(1)通过设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，并用第二项及公差表示出第三、五、九项，然后利用a3，a5，a9成等比数列，计算可知公差，进而可得通项公式;

　　(2)通过(1)可知bn= n•3n，进而利用错位相减法计算即得结论.

　　【解答】解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，

　　由 可知a3= +d，a5= +3d，a9= +7d，

　　∵a3，a5，a9成等比数列，

　　∴ =( +d)( +7d)，

　　整理得：d2= d，

　　解得：d= 或d=0(舍)，

　　∴an= +(n﹣2) = ;

　　(2)由(1)可知 = n•3n，

　　∴Sn= [1•3+2•32+…+(n﹣1)•3n﹣1+n•3n]，

　　3Sn= [1•32+2•33+…+(n﹣1)•3n+n•3n+1]，

　　两式相减得：﹣2Sn= (3+32+33+…+3n﹣n•3n+1)，

　　∴Sn=﹣ [ ﹣n•3n+1]

　　= •3n+1+ .

　　18.某革命老区为带动当地经济的发展，实现经济效益与社会效益双赢，精心准备了三个独立的方案;方案一：红色文化体验专营经济带，案二：农家乐休闲区专营经济带，方案三：爱国主义教育基础，通过委托民调机构对这三个方案的调查，结果显示它们能被民众选中的概率分别为 ， ， .

　　(1)求三个方案至少有两个被选中的概率;

　　(2)记三个方案被选中的个数为ɛ，试求ɛ的期望.

　　【考点】离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

　　【分析】记三个方案记为甲、乙、丙，被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)= ，P(B)= ，P(C)=

　　(1)“只有两个方案被选中”可分为三种情形：①甲未被选中，乙、丙被选中，②乙未被选中，甲、丙被选中，③丙未被选中，甲、乙被选中，3个方案被选中，概率为 × × = 从而求概率;

　　(2)由题意可知ɛ的可能取值为0，1，2，3.求其概率从而求数学期望.

　　【解答】解：记三个方案记为甲、乙、丙，被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)= ，P(B)= ，P(C)= .

　　(1)“只有两个方案被选中”可分为三种情形：

　　①甲未被选中，乙、丙被选中，概率为P1= × × = .

　　②乙未被选中，甲、丙被选中，概率为P2= × × = .

　　③丙未被选中，甲、乙被选中，概率为P3= × × = .

　　以上三种情况是互斥的.因此只有两个方案被选中的概率为P= .

　　3个方案被选中，概率为 × × = ，

　　∴三个方案至少有两个被选中的概率为 + = ;

　　(2)由题意可知ɛ的可能取值为0，1，2，3.

　　P(ɛ=0)= × × = ;

　　P(ɛ=1)= × × + × × + × × = ;

　　由(1)知P(ɛ=2)= ;

　　P(ɛ=3)= × × = .

　　故Eɛ=0× +1× +2× +3× = .

　　19.如图，高为3的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是直角三角形，AC=2，D为A1C1的中点，F在线段AA1上，CF⊥DB1，且A1F=1.

　　(1)求证：CF⊥平面B1DF;

　　(2)求平面B1FC与平面AFC所成的锐二面角的余弦值.

　　【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.

　　【分析】(1)根据线面垂直的判定定理先证明CF⊥B1F即即可证明CF⊥平面B1DF;

　　(2)根据二面角的定义先找出二面角的平面角即可求平面B1FC与平面AFC所成的锐二面角的余弦值.

　　【解答】(1)证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是直角三角形，D为A1C1的中点，

　　∴DB1⊥AA1，

　　∵CF⊥DB1，CF∩⊥AA1=F.

　　∴DB1⊥平面AA1CC1.

　　∴DB1⊥A1B1，

　　则△A1B1C1为等腰直角三角形，

　　∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中高为3，AC=2，A1F=1

　　∴AB=BC= ，AF=2，FB1= ，B1C= ，CF=2 ，

　　满足B1F2+CF2=B1C2，

　　即CF⊥B1F，

　　∵CF⊥DB1，DB1∩B1F=B1，

　　∴CF⊥平面B1DF;

　　(2)∵CF⊥平面B1DF，B1F⊂平面B1DF，DF⊂平面B1DF，

　　∴CF⊥B1F，CF⊥DF，

　　∵DB1⊥平面AA1CC1.

　　∴∠B1FD是平面B1FC与平面AFC所成的锐二面角的平面角，

　　则B1D=1，DF= ，

　　则cos∠B1FD= = = ，

　　即平面B1FC与平面AFC所成的锐二面角的余弦值为 .

　　20.已知椭圆C： + =1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.

　　(1)求椭圆的方程.

　　(2)设P为椭圆上一点，若过点M(2，0)的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足 (O为坐标原点)，求实数t的取值范围.

　　【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.

　　【分析】(1)写出满足条件的圆的方程，再由直线与圆相切得到d=a，再由等腰直角三角形得到b=c，解方程即可得到a，b的值;

　　(2)设P(x0，y0)，设出直线l：y=k(x﹣2)，联立椭圆方程消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量加法运算得到x0，y0的关系，代入椭圆方程，结合判别式大于0，即可得到t的范围.

　　【解答】解：(1)由题意得，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径

　　的圆的方程为(x﹣c)2+y2=a2，

　　∴圆心到直线x+y+1=0的距离d= *，

　　∵椭圆C： + =1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，

　　则b=c， ，代入*式得b=c=1即a= b= ，

　　故所求椭圆方程为 +y2=1;

　　(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k(x﹣2)，设P(x0，y0)，

　　将直线方程代入椭圆方程得：(1+2k2)x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，

　　∴△=64k4﹣4(1+2k2)(8k2﹣2)=﹣16k2+8>0

　　∴ ，

　　设S(x1，y1)，T(x2，y2)则 ，

　　当k=0时，直线l的方程为y=0，此时t=0， 成立，故t=0符合题意.

　　当t≠0时

　　得tx0=x1+x2= ，ty0=y1+y2=k(x1+x2)﹣4k= ，

　　∴ ， ，

　　将上式代入椭圆方程得： ，

　　整理得：

　　由 知0

　　所以t∈(﹣2，2).

　　21.已知函数

　　(1)求函数f(x)的单调区间;

　　(2)若关于x的函数 有且只有一个零点，求a的值(e为自然对数的底数)

　　【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的零点.

　　【分析】(1)求出f(x)的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;

　　(2)把方程化为 =x2﹣2ex+a，求得 h(x)= 的最大值为 h(e)= ，再求得m(x)=x2﹣2ex+a 的最小值 m(e)=a﹣e2，根据 a﹣e2= 求出a的值.

　　【解答】解：(1)f(x)的定义域是(0，+∞)，

　　f′(x)= ，

　　①△=1+4a≤0即a≤﹣ 时，x2+x﹣a≥0，

　　则f′(x)≥0，

　　∴f(x)在(0，+∞)递增，

　　②①△=1+4a>0即a>﹣ 时，

　　令f′(x)=0，解得：x1= <0，x2= ，

　　若﹣

　　∴f(x)在(0，+∞)递增，

　　若a>0，x∈(0， )时，f′(x)<0，x∈( ，+∞)，f′(x)>0，

　　∴f(x)在(0， )递减，在( ，+∞)递增;

　　(2)关于x的方程g(x)= ﹣f(x)+lnx+2e，可化为 =x2﹣2ex+a，

　　令h(x)= ，令h′(x)=0，得x=e，故 h(x)的最大值为 h(e)= .

　　令m(x)=x2﹣2ex+a，可得：x=e时，m(x)的最小值 m(e)=a﹣e2，

　　由 a﹣e2= 可得 a=e2+ .

　　【选修4-1几何证明选讲】

　　22.如图，半径为 的△ABC的外接圆圆O的直径为AB，直线CE为圆O的切线且相切于点C，AD⊥CE于点D，AD=1.

　　(1)求证：△ABC相似于△ACD;

　　(2)求AC的长.

　　【考点】相似三角形的判定.

　　【分析】(1)利用已知可得△ABC，△ACD为直角三角形，利用圆周角定理可得∠ABC=∠ACD，从而可证△ABC∽△ACD.

　　(2)由(1)可得△ABC∽△ACD，利用相似三角形的性质可得 = ，进而即可解得AC的值.

　　【解答】解：(1)证明：∵AB是圆O的直径，

　　∴BC⊥AC，

　　∴△ABC直角三角形，

　　∴△ACD为直角三角形，∵直线CE与圆O相切于点C，

　　∴∠ABC=∠ACD，

　　∴△ABC∽△ACD，得证.

　　(2)∵由(1)可得△ABC∽△ACD.

　　∴ = ，

　　∴AC2=AB•AD，

　　∵AB=9，AD=1，

　　∴AC2=9，解得AC=3.

　　【选修4-4坐标系与参数方程】

　　23.在极坐标系中，已知直线 与圆O：ρ=4.

　　(1)分别求出直线l与圆O对应的直角坐标系中的方程;

　　(2)求直线l被圆O所截得的弦长.

　　【考点】简单曲线的极坐标方程.

　　【分析】(1)先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标方程，

　　(2)利用直角坐标中直线与圆的关系求出截得的弦长即可.

　　【解答】解：(1)∵ρsin(θ+ )=2，

　　∴ρsinθ+ρcosθ=2 ，

　　∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，

　　∴化成直角坐标方程为：x+y﹣2 =0，

　　圆ρ=4化成直角坐标方程为x2+y2=16，

　　(2)圆心到直线的距离为：d= =2，

　　∴截得的弦长为：2 =4 .

　　【选修4-5不等式选讲】

　　24.已知a>0，b>0，且a+b=1.

　　(1)若ab≤m恒成立，求m的取值范围;

　　(2)若 恒成立，求x的取值范围.

　　【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式.

　　【分析】(1)由基本不等式可得;(2)问题转化为|2x﹣1|﹣|x+1|≤4，去绝对值化为不等式组，解不等式组可得.

　　【解答】解：(1)∵a>0，b>0，且a+b=1，

　　∴ab = ，当且仅当a=b= 时“=”成立，

　　由ab≤m恒成立，故m≥ ;

　　(2)∵a，b∈(0，+∞)，a+b=1，

　　∴ + =( + )(a+b)=2+ + ≥4，

　　当且仅当a=b= 时“=”成立，

　　若 恒成立，

　　则只需|2x﹣1|﹣|x+1|≤4即可，

　　只需 或 或 ，

　　解得：﹣2≤x≤6.

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