影子价格长短期划分及其计算
郑山水分享
摘要：影子价格对资源配置具有重要的指导意义。但是影子价格的定义方式通常与短期生产相联系，而长期生产多资源要素的变化往往被忽视。区分生产短、长期，通过方向导数来确定长期生产资源调整的影子价格。
关键词：线性规划；影子价格；方向导数；资源配置
引言
影子价格是运筹学、管理学和经济学中的一个重要概念。在实际计算中采用一般偏向求导法或者单纯形表可以衡量资源的影子价格。但是，长期生产所对应的影子价格的论述较为罕见。本项研究试图借助Aucamp与Steinberge等的研究成果，从对偶函数的极点值着手，利用Akgulm所提出的影子价格方向导数定义，计算短、长期生产所对应的影子价格。
一、问题的提出
影子价格与线性规划对偶理论渊源极深，考虑如下一对线性规划问题，原规划问题（1）。
maxcjxj=zs.t. aijxi≤bi，i=1，2，…，m xi≥0，j=1，2，…，n（1）
maxbiyi=fs.t. aijyi≤cj，j=1，2，…，n yi≥0，i=1，2，…，m（2）
如果y*=（y*1，y*2，…，y*m）T为对偶规划（2）的最优解，则最优值z*可看做是资源量bi（i=1，2，…，m）的一个函数，即z*=b1y*1+b2y*2+…+bmy*m（3），对bi求右向偏导数即为y*i：
y*i=，i=1，2，…，m（4）
显然，此影子价格仅对应于一个短期生产问题，其前提是其他资源数量保持不变，一般通过单纯形法求得。
考虑一个生产运作问题。设某工厂利用K、L两种资源生产甲、乙两种产品，资源要素量、产品的单位价格及可耗用的资源总量（如表1所示）：
表1 生产有关数据表
对于上述问题，为确定最优资源配置计划，以收益为目标函数，以可耗资源为约束，构造线性规划问题（5）。
max３x1+2x2=zs.t. 2x1+x2≤600 x1+3x2≤400 x1，x2≥0（5）
利用单纯形法对问题（5）求解，结果（如表2所示）。
表2初始线性规划的最优单纯形
根据表2，推断资源Ｋ的影子价格为，资源Ｌ的影子价格为。
但是，如果我们对资源K、L的数量同时进行调整的长期生产问题，上述计算方法难以确定资源影子价格，需要引进新的定义方式与计算方法。
二、影子价格的长期划分与计算
本文拟借助Aucamp与Steinberge 等的研究成果，从生产最优值函数的极点解进行分析，通过Akgulm的方向导数进而确定长期多资源变化的影子价格。
Akgulm定义了函数Z*（b1，…，bm）在资源组合点B处沿方向u=（u1，u2，…，um）T∈Rm的导数：
Duz*（b）=limt→0+ （6）
为资源组合u的影子价格。利用凸分析的一个结论，有Duz*（b）=min{uTy|y∈z*（b）}（7），通过（7）式我们可以求得多种资源变化时的影子价格，我们称之为资源的组合影子价格。
三、长期资源调整的计算示例
对于例题，原规划问题的对偶可行域的极点有三个，分别为（0，3）（，）（2，0），于是在短期生产范围内，给定b1=600不变，仅b2发生变化，即此时资源组合点B沿单位方向（0，1）方向发生变化：
=minb1，b23b2，b1+b2，2b1=0，3b1≤b2，b1≤b2≤3b13，0≤b2≤b1
（7）
在长期范围内，多种资源甚至所有资源投入都可进行调整，资源可以就任何方向进行调整。比如，假设当前要素组合沿单位方向=，进行调整，由于最优对偶解单一，此时资源组合的影子价格如下：
Dz*（b1，b2）=，1 800≤b1（a），300≤b2＜1 800（b），0≤b2＜300（c）（8）
结论
实际生产总表现出某种时期特性，不同时期特性下的影子价格定义方式、估计方法不尽相同。如果单纯考察给定要素变动对收益的影响，采用收益函数对该要素的右向偏导数即可。如果给定时间范围内涉及到至少两种以上生产要素的调整，则需采用方向导数方能测度投入要素对收益函数的影响，唯有如此才能根据影子价格合理指导资源配置。
参考文献：
[1]刘舒燕.关于资源影子价格不唯一性问题的讨论[J].运筹与管理，2001，(2)：33-36.
[2]D.C.Aucamp and D.I.Steinberg.The computation of shadow prices in linear Programming.The Journal the Operational Research Society[J]，Vol.33，No.6，1982：557-565.
[3]Akgulm.A note on shadow prices in linear programming.The Journal of the Operational Research Society[J]，Vol.35，No.5，1984：425-431.
[4]周永华，陈新，刘建斌，郑芳英.影子价格及其经济意义[J].浙江理工大学学报，2006，(3)：145-150.
关键词：线性规划；影子价格；方向导数；资源配置
引言
影子价格是运筹学、管理学和经济学中的一个重要概念。在实际计算中采用一般偏向求导法或者单纯形表可以衡量资源的影子价格。但是，长期生产所对应的影子价格的论述较为罕见。本项研究试图借助Aucamp与Steinberge等的研究成果，从对偶函数的极点值着手，利用Akgulm所提出的影子价格方向导数定义，计算短、长期生产所对应的影子价格。
一、问题的提出
影子价格与线性规划对偶理论渊源极深，考虑如下一对线性规划问题，原规划问题（1）。
maxcjxj=zs.t. aijxi≤bi，i=1，2，…，m xi≥0，j=1，2，…，n（1）
maxbiyi=fs.t. aijyi≤cj，j=1，2，…，n yi≥0，i=1，2，…，m（2）
如果y*=（y*1，y*2，…，y*m）T为对偶规划（2）的最优解，则最优值z*可看做是资源量bi（i=1，2，…，m）的一个函数，即z*=b1y*1+b2y*2+…+bmy*m（3），对bi求右向偏导数即为y*i：
y*i=，i=1，2，…，m（4）
显然，此影子价格仅对应于一个短期生产问题，其前提是其他资源数量保持不变，一般通过单纯形法求得。
考虑一个生产运作问题。设某工厂利用K、L两种资源生产甲、乙两种产品，资源要素量、产品的单位价格及可耗用的资源总量（如表1所示）：
表1 生产有关数据表
对于上述问题，为确定最优资源配置计划，以收益为目标函数，以可耗资源为约束，构造线性规划问题（5）。
max３x1+2x2=zs.t. 2x1+x2≤600 x1+3x2≤400 x1，x2≥0（5）
利用单纯形法对问题（5）求解，结果（如表2所示）。
表2初始线性规划的最优单纯形
根据表2，推断资源Ｋ的影子价格为，资源Ｌ的影子价格为。
但是，如果我们对资源K、L的数量同时进行调整的长期生产问题，上述计算方法难以确定资源影子价格，需要引进新的定义方式与计算方法。
二、影子价格的长期划分与计算
本文拟借助Aucamp与Steinberge 等的研究成果，从生产最优值函数的极点解进行分析，通过Akgulm的方向导数进而确定长期多资源变化的影子价格。
Akgulm定义了函数Z*（b1，…，bm）在资源组合点B处沿方向u=（u1，u2，…，um）T∈Rm的导数：
Duz*（b）=limt→0+ （6）
为资源组合u的影子价格。利用凸分析的一个结论，有Duz*（b）=min{uTy|y∈z*（b）}（7），通过（7）式我们可以求得多种资源变化时的影子价格，我们称之为资源的组合影子价格。
三、长期资源调整的计算示例
对于例题，原规划问题的对偶可行域的极点有三个，分别为（0，3）（，）（2，0），于是在短期生产范围内，给定b1=600不变，仅b2发生变化，即此时资源组合点B沿单位方向（0，1）方向发生变化：
=minb1，b23b2，b1+b2，2b1=0，3b1≤b2，b1≤b2≤3b13，0≤b2≤b1
（7）
在长期范围内，多种资源甚至所有资源投入都可进行调整，资源可以就任何方向进行调整。比如，假设当前要素组合沿单位方向=，进行调整，由于最优对偶解单一，此时资源组合的影子价格如下：
Dz*（b1，b2）=，1 800≤b1（a），300≤b2＜1 800（b），0≤b2＜300（c）（8）
结论
实际生产总表现出某种时期特性，不同时期特性下的影子价格定义方式、估计方法不尽相同。如果单纯考察给定要素变动对收益的影响，采用收益函数对该要素的右向偏导数即可。如果给定时间范围内涉及到至少两种以上生产要素的调整，则需采用方向导数方能测度投入要素对收益函数的影响，唯有如此才能根据影子价格合理指导资源配置。
参考文献：
[1]刘舒燕.关于资源影子价格不唯一性问题的讨论[J].运筹与管理，2001，(2)：33-36.
[2]D.C.Aucamp and D.I.Steinberg.The computation of shadow prices in linear Programming.The Journal the Operational Research Society[J]，Vol.33，No.6，1982：557-565.
[3]Akgulm.A note on shadow prices in linear programming.The Journal of the Operational Research Society[J]，Vol.35，No.5，1984：425-431.
[4]周永华，陈新，刘建斌，郑芳英.影子价格及其经济意义[J].浙江理工大学学报，2006，(3)：145-150.
