几个抽象函数问题的粗浅分析
刘敏分享
抽象函数是一种重要的数学概念．我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f(x)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数．由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身．这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力．
解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高．所以近几年来高考题中不断出现，在2009年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花．但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心．下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法．
一、抽象函数的定义域
例1已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a) （a＞0）的定义域．
解析：由由a＞0 知只有当0＜a＜1时，不等式组才有解，具体为{x|1+a＜x≤3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0＜a＜1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为（1+a,3-a]．
点评：1.已知f(x)的定义域为[a,b]，则f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；
2.已知f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域即是g(x)在x [a,b]上的值域． 二、抽象函数的值域
解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定．
例2若函数y=f(x+1)的值域为[-1，1]求y=(3x+2)的值域．
解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则 完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1，1]．
三、抽象函数的奇偶性
例3若y=f(x)是偶函数,y= f(x-1)是奇函数，求 f(2007)=?
解析：因为y=f(x-1)是奇函数,所以y=f(-x-1)=-f(x-1){为什么？}；因为 y=f(x)是偶函数，所以f(-x-1)=f(x+1){为什么？}；因为f(x+1)=-f(x-1), 所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x);因为y=f(x-1)是奇函数,所以f(0)=0=f(-1)=f(2007)
四、抽象函数的对称性
例4已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+ g(-x)的值为（ ）
A、 2 B、 0 C、 1 D、不能确定
解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=[f （x）-1]/2，∵ y=f(2x+1) 是奇函数，
∴y=[f （x）-1]/2也是奇函数，∴[f （x）-1]/2+[f （-x）-1]/2=0 ∴f （x）+f （-x）=2，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，∴g(x)+ g(-x)= f （x）+f （-x）故选A ．
五、抽象函数的周期性
例5、（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则( )
(A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数
(C) f(x)= f(x+2) (D) f(x+3)是奇函数
解: ∵f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，，
函数关于(-1,0)点，及点(1,0)对称，函数是周期为4的周期函数.，所以f(x+3)= f(x-1)，即f(x+3)是奇函数．故选D
关于抽象函数的周期性有如下的几个定理和性质，由于篇幅问题，推导就省略了．
定理1.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x＋a)=f (x－b)，则y=f (x) 是以T=a＋b为周期的周期函数．
定理2.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x＋a)= －f (x－b)，则y=f (x) 是以T=2（a＋b）为周期的周期函数．
定理3.若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 x=b （a≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b－a)为周期的周期函数． 转贴于 中国论文下载中
et 定理4.若函数y=f (x)的图像关于点（a,0)与点(b,0) , (a≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=2(b－a)为周期的周期函数．
定理5.若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 点(b,0),(a≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=4(b－a)为周期的周期函数．
性质1：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=f(b＋x) (a≠b,ab≠0),则函数f(x)有周期2(a－b)；
性质2：若函数f(x)满足f(a－x)= － f(a＋x)及f(b－x)=－ f(b＋x)，(a≠b,ab≠0),则函数有周期2(a－b).
特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a.
性质3：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)= － f(b＋x) (a≠b,ab≠0)， 则函数有周期4(a－b).
特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a．
从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高．但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手．
解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高．所以近几年来高考题中不断出现，在2009年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花．但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心．下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法．
一、抽象函数的定义域
例1已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a) （a＞0）的定义域．
解析：由由a＞0 知只有当0＜a＜1时，不等式组才有解，具体为{x|1+a＜x≤3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0＜a＜1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为（1+a,3-a]．
点评：1.已知f(x)的定义域为[a,b]，则f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；
2.已知f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域即是g(x)在x [a,b]上的值域． 二、抽象函数的值域
解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定．
例2若函数y=f(x+1)的值域为[-1，1]求y=(3x+2)的值域．
解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则 完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1，1]．
三、抽象函数的奇偶性
例3若y=f(x)是偶函数,y= f(x-1)是奇函数，求 f(2007)=?
解析：因为y=f(x-1)是奇函数,所以y=f(-x-1)=-f(x-1){为什么？}；因为 y=f(x)是偶函数，所以f(-x-1)=f(x+1){为什么？}；因为f(x+1)=-f(x-1), 所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x);因为y=f(x-1)是奇函数,所以f(0)=0=f(-1)=f(2007)
四、抽象函数的对称性
例4已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+ g(-x)的值为（ ）
A、 2 B、 0 C、 1 D、不能确定
解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=[f （x）-1]/2，∵ y=f(2x+1) 是奇函数，
∴y=[f （x）-1]/2也是奇函数，∴[f （x）-1]/2+[f （-x）-1]/2=0 ∴f （x）+f （-x）=2，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，∴g(x)+ g(-x)= f （x）+f （-x）故选A ．
五、抽象函数的周期性
例5、（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则( )
(A) f(x)是偶函数 (B) f(x)是奇函数
(C) f(x)= f(x+2) (D) f(x+3)是奇函数
解: ∵f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，，
函数关于(-1,0)点，及点(1,0)对称，函数是周期为4的周期函数.，所以f(x+3)= f(x-1)，即f(x+3)是奇函数．故选D
关于抽象函数的周期性有如下的几个定理和性质，由于篇幅问题，推导就省略了．
定理1.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x＋a)=f (x－b)，则y=f (x) 是以T=a＋b为周期的周期函数．
定理2.若函数y=f (x) 定义域为R，且满足条件f (x＋a)= －f (x－b)，则y=f (x) 是以T=2（a＋b）为周期的周期函数．
定理3.若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 x=b （a≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b－a)为周期的周期函数． 转贴于 中国论文下载中
et 定理4.若函数y=f (x)的图像关于点（a,0)与点(b,0) , (a≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=2(b－a)为周期的周期函数．
定理5.若函数y=f (x)的图像关于直线 x=a与 点(b,0),(a≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=4(b－a)为周期的周期函数．
性质1：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=f(b＋x) (a≠b,ab≠0),则函数f(x)有周期2(a－b)；
性质2：若函数f(x)满足f(a－x)= － f(a＋x)及f(b－x)=－ f(b＋x)，(a≠b,ab≠0),则函数有周期2(a－b).
特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a.
性质3：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)= － f(b＋x) (a≠b,ab≠0)， 则函数有周期4(a－b).
特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x) （a≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a．
从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高．但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手．
