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2017年凉山州中考数学模拟真题及答案(2)

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  【分析】先根据三角形外角的性质求出∠ACA′=67°,再由△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C,得到△ABC≌△A′B′C,证明∠BCB′=∠ACA′,利用平角即可解答.

  【解答】解:∵∠A=27°,∠B=40°,

  ∴∠ACA′=∠A+∠B=27°+40°=67°,

  ∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C,

  ∴△ABC≌△A′B′C,

  ∴∠ACB=∠A′CB′,

  ∴∠ACB﹣∠B′CA=∠A′CB﹣∠B′CA,

  即∠BCB′=∠ACA′,

  ∴∠BCB′=67°,

  ∴∠ACB′=180°∠ACA′﹣∠BCB′=180°﹣67°﹣67°=46°,

  故答案为:46.

  【点评】本题考查了旋转的性质,解决本题的关键是由旋转得到△ABC≌△A′B′C.

  21.1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成.若较短的直角边BC=5,将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍,得到图2所示的“数学风车”,若△BCD的周长是30,则这个风车的外围周长是 76 .

  【考点】KR:勾股定理的证明.

  【分析】由题意∠ACB为直角,利用勾股定理求得外围中一条边,又由AC延伸一倍,从而求得风车的一个轮子,进一步求得四个.

  【解答】解:依题意,设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x,AC=y,则

  x2=4y2+52,

  ∵△BCD的周长是30,

  ∴x+2y+5=30

  则x=13,y=6.

  ∴这个风车的外围周长是:4(x+y)=4×19=76.

  故答案是:76.

  【点评】本题考查了勾股定理在实际情况中的应用,注意隐含的已知条件来解答此类题.

  22.,若双曲线y= 与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点,且OC=2BD.则实数k的值为 4  .

  【考点】G8:反比例函数与一次函数的交点问题;KK:等边三角形的性质.

  【分析】过点C作CE⊥x轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点F,设OC=2x,则BD=x,分别表示出点C、点D的坐标,代入函数解析式求出k,继而可建立方程,解出x的值后即可得出k的值.

  【解答】解:过点C作CE⊥x轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点F,

  设OC=2x,则BD=x,

  在Rt△OCE中,∠COE=60°,

  则OE=x,CE= x,

  则点C坐标为(x, x),

  在Rt△BDF中,BD=x,∠DBF=60°,

  则BF= x,DF= x,

  则点D的坐标为(5﹣ x, x),

  将点C的坐标代入反比例函数解析式可得:k= x2,

  将点D的坐标代入反比例函数解析式可得:k= x﹣ x2,

  则 x2= x﹣ x2,

  解得:x1=2,x2=0(舍去),

  故k= x2= ×4=4 .

  故答案为:4 .

  【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,解答本题关键是利用k的值相同建立方程,有一定难度.

  三.解答题(共8小题)

  23.(2016•温州)(1)计算: +(﹣3)2﹣( ﹣1)0.

  (2)化简:(2+m)(2﹣m)+m(m﹣1).

  【考点】2C:实数的运算;4A:单项式乘多项式;4F:平方差公式;6E:零指数幂.

  【分析】(1)直接利用二次根式的性质结合零指数幂的性质分别分析得出答案;

  (2)直接利用平方差公式计算,进而去括号得出答案.

  【解答】解:(1)原式=2 +9﹣1

  =2 +8;

  (2)(2+m)(2﹣m)+m(m﹣1)

  =4﹣m2+m2﹣m

  =4﹣m.

  【点评】此题主要考查了实数运算以及整式的混合运算,正确化简各数是解题关键.

  24.(2016•温州)为了解学生对“垃圾分类”知识的了解程度,某学校对本校学生进行抽样调查,并绘制统计图,其中统计图中没有标注相应人数的百分比.请根据统计图回答下列问题:

  (1)求“非常了解”的人数的百分比.

  (2)已知该校共有1200名学生,请估计对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有多少人?

  【考点】VB:扇形统计图;V5:用样本估计总体.

  【分析】(1)根据扇形统计图可以求得“非常了解”的人数的百分比;

  (2)根据扇形统计图可以求得对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有多少人.

  【解答】解:(1)由题意可得,

  “非常了解”的人数的百分比为: ,

  即“非常了解”的人数的百分比为20%;

  (2)由题意可得,

  对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有:1200× =600(人),

  即对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有600人.

  【点评】本题考查扇形统计图好、用样本估计总体,解题的关键是明确扇形统计图的特点,找出所求问题需要的条件.

  25.(2017•温州一模)在梯形ABCD中,AD∥BC,连结AC,且AC=BC,在对角线AC上取点E,使CE=AD,连接BE.

  (1)求证:△DAC≌△ECB;

  (2)若CA平分∠BCD,且AD=3,求BE的长.

  【考点】KD:全等三角形的判定与性质.

  【分析】(1)由平行可得到∠DAC=∠ECB,结合条件可证明△DAC≌△ECB;

  (2)由条件可证明DA=DC,结合(1)的结论可得到BE=CD,可求得BE的长.

  【解答】(1)证明:∵AD∥BC,

  ∴∠DAC=∠ECB,

  在△DAC和△ECB中,

  ,

  ∴△DAC≌△ECB(SAS);

  (2)解:∵CA平分∠BCD,

  ∴∠ECB=∠DCA,且由(1)可知∠DAC=∠ECB,

  ∴∠DAC=∠DCA,

  ∴CD=DA=3,

  又∵由(1)可得△DAC≌△ECB,

  ∴BE=CD=3.

  【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质,掌握全等三角形的判定方法(SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和性质(对应边、对应角相等)是解题的关键.

  26.(2016•温州),在方格纸中,点A,B,P都在格点上.请按要求画出以AB为边的格点四边形,使P在四边形内部(不包括边界上),且P到四边形的两个顶点的距离相等.

  (1)在图甲中画出一个▱ABCD.

  (2)在图乙中画出一个四边形ABCD,使∠D=90°,且∠A≠90°.(注:图甲、乙在答题纸上)

  【考点】L5:平行四边形的性质.

  【分析】(1)先以点P为圆心、PB长为半径作圆,会得到4个格点,再选取合适格点,根据平行四边形的判定作出平行四边形即可;

  (2)先以点P为圆心、PB长为半径作圆,会得到8个格点,再选取合适格点记作点C,再以AC为直径作圆,该圆与方格网的交点任取一个即为点D,即可得.

  【解答】解:(1)①:

  .

  (2)②,

  .

  【点评】本题主要考查了中垂线性质,平行四边形的判定、性质及圆周角定理的应用,熟练掌握这些判定、性质及定理并灵活运用是解题的关键.

  27.(2017•温州一模),点C在以AB为直径的⊙O上,过C作⊙O的切线交AB的延长线于E,

  AD⊥CE于D,连结AC.

  (1)求证:AC平分∠BAD.

  (2)若tan∠CAD= ,AD=8,求⊙O直径AB的长.

  【考点】MC:切线的性质;T7:解直角三角形.

  【分析】(1)连接OC,由DE为圆O的切线,得到OC垂直于CD,再由AD垂直于DE,得到AD与OC平行,得到一对内错角相等,根据OA=OC,利用等边对等角得到一对角相等,等量代换即可得证;2•1•c•n•j•y

  (2)在直角三角形ADC中,利用锐角三角函数定义求出CD的长,根据勾股定理求出AD的长,由三角形ACD与三角形ABC相似,得到对应边成比例,即可求出AB的长.www-2-1-cnjy-com

  【解答】证明:(1)连结OC,

  ∵DE是⊙O的切线,

  ∴OC⊥DE,

  ∵AD⊥CE,

  ∴AD∥OC,

  ∵OA=OC,

  ∴∠DAC=∠ACO=∠CAO,

  ∴AC平分∠BAD;

  (2)解:∵AD⊥CE,tan∠CAD= ,AD=8,

  ∴CD=6,

  ∴AC=10,

  ∵AB是⊙O的直径,

  ∴∠ACB=90°=∠D,

  ∵∠DAC=∠CAO,

  ∴△ACD∽△ABC,

  ∴AB:AC=AC:AD,

  ∴AB= .

  【点评】此题考查了切线的性质,以及解直角三角形,熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.

  28.(2012•温州)温州享有“中国笔都”之称,其产品畅销全球,某制笔企业欲将n件产品运往A,B,C三地销售,要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍,各地的运费所示.设安排x件产品运往A地.

  (1)当n=200时,①根据信息填表:

  A地 B地 C地 合计

  产品件数(件) x 2x 200

  运费(元) 30x

  ②若运往B地的件数不多于运往C地的件数,总运费不超过4000元,则有哪几种运输方案?

  (2)若总运费为5800元,求n的最小值.

  【考点】FH:一次函数的应用;CE:一元一次不等式组的应用.

  【分析】(1)①运往B地的产品件数=总件数n﹣运往A地的产品件数﹣运往B地的产品件数;运费=相应件数×一件产品的运费;

  ②根据运往B地的件数不多于运往C地的件数,总运费不超过4000元列出不等式组,求得正整数解的个数即可;

  (2)总运费=A产品的运费+B产品的运费+C产品的运费,进而根据函数的增减性及(1)中②得到的x的取值求得n的最小值即可.

  【解答】解:(1)①根据信息填表

  A地 B地 C地 合计

  产品件数(件) 200﹣3x

  运费 1600﹣24x 50x 56x+1600

  ②由题意,得 ,

  解得40≤x≤42 ,

  ∵x为正整数,

  ∴x=40或41或42,

  ∴有三种方案,分别是(i)A地40件,B地80件,C地80件;

  (ii)A地41件,B地77件,C地82件;

  (iii)A地42件,B地74件,C地84件;

  (2)由题意,得30x+8(n﹣3x)+50x=5800,

  整理,得n=725﹣7x.

  ∵n﹣3x≥0,

  ∴725﹣7x﹣3x≥0,

  ∴﹣10x≥﹣725,

  ∴x≤72.5,

  又∵x≥0,

  ∴0≤x≤72.5且x为正整数.

  ∵n随x的增大而减少,

  ∴当x=72时,n有最小值为221.

  【点评】考查一次函数的应用;得到总运费的关系式是解决本题的关键;注意结合自变量的取值得到n的最小值.

  29.(2017•温州一模),抛物线y=x2+bx经过原点O,与x轴相交于点A(1,0),

  (1)求该抛物线的解析式;

  (2)在抛物线上方构造一个平行四边形OABC,使点B在y轴上,点C在抛物线上,连结AC.

  ①求直线AC的解析式.

  ②在抛物线的第一象限部分取点D,连结OD,交AC于点E,若△ADE的面积是△AOE面积的2倍,这样的点D是否存在?若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由.

  【考点】HF:二次函数综合题.

  【分析】(1)把A点坐标代入y=x2+bx中求出b的值即可得到抛物线解析式;

  (2)①根据平行四边形的性质得BC=OA=1,BC∥OA,则C点的横坐标为﹣1,再计算对应的函数值即可得到C点坐标,然后利用待定系数法求直线AC的解析式;

  ②分别作DM⊥x轴于M,EN⊥x轴于N,,根据三角形面积公式可判断DE=2OE,再证明△ONE∽△OMD,则利用相似比可得 = = ,于是设E(t,﹣t+1),则D(3t,﹣3t+3),然后把D(3t,﹣3t+3)代入y=x2﹣x得关于t的一元二次方程,再解方程即可得到满足条件的D点坐标.

  【解答】解:(1)把A(1,0)代入y=x2+bx得1+b=0,解得b=﹣1,

  所以抛物线解析式为y=x2﹣x;

  (2)①∵四边形OABC为平行四边形,

  ∴BC=OA=1,BC∥OA,

  ∴C点的横坐标为﹣1,

  当x=﹣1时,y=x2﹣x=1﹣(﹣1)=2,则C(﹣1,2),

  设直线AC的解析式为y=mx+n,

  把A(1,0),C(2,﹣1)代入得 ,解得 ,

  所以直线AC的解析式为y=﹣x+1;

  ②存在.

  分别作DM⊥x轴于M,EN⊥x轴于N,,

  ∵△ADE的面积是△AOE面积的2倍,

  ∴DE=2OE,

  ∵EN∥DM,

  ∴△ONE∽△OMD,

  ∴ = = = ,

  设E(t,﹣t+1),则D(3t,﹣3t+3)

  把D(3t,﹣3t+3)代入y=x2﹣x得9t2﹣3t=﹣3t+3,解得t1= ,t2=﹣ (舍去),

  ∴点D的坐标为( ,﹣ +3).

  【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和平行四边形的性质;会利用待定系数法求函数的解析式;理解坐标与图形的性质;灵活利用相似比求线段之间的关系.

  30.(2012•河北),A(﹣5,0),B(﹣3,0),点C在y轴的正半轴上,∠CBO=45°,CD∥AB.∠CDA=90°.点P从点Q(4,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动,运动时时间t秒.

  (1)求点C的坐标;

  (2)当∠BCP=15°时,求t的值;

  (3)以点P为圆心,PC为半径的⊙P随点P的运动而变化,当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.

  【考点】MC:切线的性质;D5:坐标与图形性质;KQ:勾股定理;T7:解直角三角形.

  【分析】(1)由∠CBO=45°,∠BOC为直角,得到△BOC为等腰直角三角形,又OB=3,利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3,然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标;

  (2)需要对点P的位置进行分类讨论:①当点P在点B右侧时,2所示,由∠BCO=45°,用∠BCO﹣∠BCP求出∠PCO为30°,又OC=3,在Rt△POC中,利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长,由PQ=OQ+OP求出运动的总路程,由速度为1个单位/秒,即可求出此时的时间t;②当点P在点B左侧时,3所示,用∠BCO+∠BCP求出∠PCO为60°,又OC=3,在Rt△POC中,利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长,由PQ=OQ+OP求出运动的总路程,由速度为1个单位/秒,即可求出此时的时间t;

  (3)当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,分三种情况考虑:

  ①当⊙P与BC边相切时,利用切线的性质得到BC垂直于CP,可得出∠BCP=90°,由∠BCO=45°,得到∠OCP=45°,即此时△COP为等腰直角三角形,可得出OP=OC,由OC=3,得到OP=3,用OQ﹣OP求出P运动的路程,即可得出此时的时间t;

  ②当⊙P与CD相切于点C时,P与O重合,可得出P运动的路程为OQ的长,求出此时的时间t;

  ③当⊙P与AD相切时,利用切线的性质得到∠DAO=90°,得到此时A为切点,由PC=PA,且PA=9﹣t,PO=t﹣4,在Rt△OCP中,利用勾股定理列出关于t的方程,求出方程的解得到此时的时间t.

  综上,得到所有满足题意的时间t的值.

  【解答】解:(1)∵∠BCO=∠CBO=45°,

  ∴OC=OB=3,

  又∵点C在y轴的正半轴上,

  ∴点C的坐标为(0,3);

  (2)分两种情况考虑:

  ①当点P在点B右侧时,2,

  若∠BCP=15°,得∠PCO=30°,

  故PO=CO•tan30°= ,此时t=4+ ;

  ②当点P在点B左侧时,3,

  由∠BCP=15°,得∠PCO=60°,

  故OP=COtan60°=3 ,

  此时,t=4+3 ,

  ∴t的值为4+ 或4+3 ;

  (3)由题意知,若⊙P与四边形ABCD的边相切时,有以下三种情况:

  ①当⊙P与BC相切于点C时,有∠BCP=90°,

  从而∠OCP=45°,得到OP=3,此时t=1;

  ②当⊙P与CD相切于点C时,有PC⊥CD,即点P与点O重合,此时t=4;

  ③当⊙P与AD相切时,由题意,得∠DAO=90°,

  ∴点A为切点,4,PC2=PA2=(9﹣t)2,PO2=(t﹣4)2,

  于是(9﹣t)2=(t﹣4)2+32,即81﹣18t+t2=t2﹣8t+16+9,

  解得:t=5.6,

  ∴t的值为1或4或5.6.

  【点评】此题考查了切线的性质,坐标与图形性质,勾股定理,等腰直角三角形的判定与性质,锐角三角函数定义,利用了数形结合及分类讨论的思想,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.

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