2017年初三数学中考模拟试卷答案(2)
【点评】本题考查的是旋转变换的性质，掌握对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、旋转前、后的图形全等是解题的关键.
三.解答题(本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分)
19.计算：2cos230°﹣sin30°+ .
【考点】特殊角的三角函数值.
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案.
【解答】解：原式=2×( )2﹣ +
=1+ + .
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.
20.，已知在平行四边形ABCD中，点E是CD上一点，且DE=2，CE=3，射线AE与射线BC相交于点F;
(1)求 的值;
(2)如果 = ， = ，求向量 ;(用向量 、 表示)
【考点】相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质;*平面向量.
【分析】(1)根据平行四边形的性质得出AB=5、AB∥EC，证△FEC∽△FAB得 = = ;
(2)由△FEC∽△FAB得 = ，从而知FC= BC，EC= AB，再由平行四边形性质及向量可得 = = ， = = ，最后根据向量的运算得出答案.
【解答】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，DE=2，CE=3，
∴AB=DC=DE+CE=5，且AB∥EC，
∴△FEC∽△FAB，
∴ = = ;
(2)∵△FEC∽△FAB，
∴ = ，
∴FC= BC，EC= AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，EC∥AB，
∴ = = ，
∴ = = ， = = ，
则 = + = .
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质及向量的运算，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
21.，在△ABC中，AC=4，D为BC上一点，CD=2，且△ADC与△ABD的面积比为1：3;
(1)求证：△ADC∽△BAC;
(2)当AB=8时，求sinB.
【考点】相似三角形的判定与性质;解直角三角形.
【分析】(1)作AE⊥BC，根据△ADC与△ABD的面积比为1：3且CD=2可得BD=6，即BC=8，从而得 ，结合∠C=∠C，可证得△ADC∽△BAC;
(2)由△ADC∽△BAC得 ，求出AD的长，根据AE⊥BC得DE= CD=1，由勾股定理求得AE的长，最后根据正弦函数的定义可得.
【解答】解：(1)，作AE⊥BC于点E，
∵ = = = ，
∴BD=3CD=6，
∴CB=CD+BD=8，
则 = ， ，
∴ ，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC;
(2)∵△ADC∽△BAC，
∴ ，即 ，
∴AD=AC=4，
∵AE⊥BC，
∴DE= CD=1，
∴AE= = ，
∴sinB= = .
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及勾股定理、等腰三角形的性质、三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
22.，是某广场台阶(结合轮椅专用坡道)景观设计的模型，以及该设计第一层的截面图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，宽为0.4米，轮椅专用坡道AB的顶端有一个宽2米的水平面BC;《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度应符合以下表中的规定：
坡度 1：20 1：16 1：12
最大高度(米) 1.50 1.00 0.75
(1)选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的?说明理由;
(2)求斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD.
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
【分析】(1)计算最大高度为：0.15×10=1.5(米)，由表格查对应的坡度为：1：20;
(2)作梯形的高BE、CF，由坡度计算AE和DF的长，相加可得AD的长.
【解答】解：(1)∵第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，
∴最大高度为0.15×10=1.5(米)，
由表知建设轮椅专用坡道AB选择符合要求的坡度是1：20;
(2)，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，
∴BE=CF=1.5，EF=BC=2，
∵ = ，
∴ = ，
∴AE=DF=30，
∴AD=AE+EF+DF=60+2=62，
答：斜坡底部点A与台阶底部点D的水平距离AD为62米.
【点评】本题考查了坡度坡角问题，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，利用三角函数的定义列等式即可.
23.，在△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC上的两个点，且BD=DE=EC，过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接FD并延长与AB交于点G;
(1)求证：AC=2CF;
(2)连接AD，如果∠ADG=∠B，求证：CD2=AC•CF.
【考点】相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.
【分析】(1)由BD=DE=EC知BE=2CE，由CF∥AB证△ABE∽△FCE得 =2，即AB=2FC，根据AB=AC即可得证;
(2)由∠1=∠B证△DAG∽△BAD得∠AGD=∠ADB，即∠B+∠2=∠5+∠6，结合∠B=∠5、∠2=∠3得∠3=∠6，再由CF∥AB得∠4=∠B，继而知∠4=∠5，即可证△ACD∽△DCF得CD2=AC•CF.
【解答】证明：(1)∵BD=DE=EC，
∴BE=2CE，
∵CF∥AB，
∴△ABE∽△FCE，
∴ =2，即AB=2FC，
又∵AB=AC，
∴AC=2CF;
(2)，
∵∠1=∠B，∠DAG=∠BAD，
∴△DAG∽△BAD，
∴∠AGD=∠ADB，
∴∠B+∠2=∠5+∠6，
又∵AB=AC，∠2=∠3，
∴∠B=∠5，
∴∠3=∠6，
∵CF∥AB，
∴∠4=∠B，
∴∠4=∠5，
则△ACD∽△DCF，
∴ ，即CD2=AC•CF.
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形外角性质和平行线的性质得出三角形相似所需要的条件是解题的关键.
24.已知顶点为A(2，﹣1)的抛物线经过点B(0，3)，与x轴交于C、D两点(点C在点D的左侧);
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)联结AB、BD、DA，求△ABD的面积;
(3)点P在x轴正半轴上，如果∠APB=45°，求点P的坐标.
【考点】抛物线与x轴的交点;待定系数法求二次函数解析式.
【分析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2﹣1，把(0，3)代入可得a=1，即可解决问题.
(2)首先证明∠ADB=90°，求出BD、AD的长即可解决问题.
(3)由△PDB∽△ADP，推出PD2=BD•AD=3 =6，由此即可解决问题.
【解答】解：(1)∵顶点为A(2，﹣1)的抛物线经过点B(0，3)，
∴可以假设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2﹣1，
把(0，3)代入可得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3.
(2)令y=0，x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，
∴C(1，0)，D(3，0)，
∵OB=OD=3，
∴∠BDO=45°，
∵A(2，﹣1)，D(3，0)，
∴∠ADO=45°，
∴∠BDA=90°，
∵BD=3 ，AD= ，
∴S△ABD= •BD•AD=3.
(3)∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，
∴∠DBP=∠APD，
∵∠PDB=∠ADP=135°，
∴△PDB∽△ADP，
∴PD2=BD•AD=3 =6，
∴PD= ，
∴OP=3+ ，
∴点P(3+ ，0).
【点评】本题考查二次函数与x轴的交点、待定系数法.三角形的面积、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型.
25.，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是射线CB上的动点，点F是射线CD上一点，且AF⊥AE，射线EF与对角线BD交于点G，与射线AD交于点M;
(1)当点E在线段BC上时，求证：△AEF∽△ABD;
(2)在(1)的条件下，联结AG，设BE=x，tan∠MAG=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围;
(3)当△AGM与△ADF相似时，求BE的长.
【考点】相似形综合题.
【分析】(1)首先证明△ABE∽△ADF，推出 = ，推出 = ，因为∠BAD=∠EAF，即可证明△AEF∽△ABD.
(2)连接AG.由△AEF∽△ABD，推出∠ABG=∠AEG，推出A、B、E、G四点共圆，推出∠ABE+∠AGE=180°，由∠ABE=90°，推出∠AGE=90°，推出∠AGM=∠MDF，推出∠AMG=∠FMD，推出∠MAG=∠EFC，推出y=tan∠MAG=tan∠EFC= ，由△ABE∽△ADF，得 = ，得DF= x，由此即可解决问题.
(3)分两种情形①2中，当点E在线段CB上时，②3中，当点E在CB的延长线上时，分别列出方程求解即可.
【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAD=∠EAF，
∴∠BAE=∠DAF，∵∠ABE=∠ADF=90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴ = ，
∴ = ，∵∠BAD=∠EAF，
∴△AEF∽△ABD.
(2)解：连接AG.
∵△AEF∽△ABD，
∴∠ABG=∠AEG，
∴A、B、E、G四点共圆，
∴∠ABE+∠AGE=180°，
∵∠ABE=90°，
∴∠AGE=90°，
∴∠AGM=∠MDF，
∴∠AMG=∠FMD，
∴∠MAG=∠EFC，
∴y=tan∠MAG=tan∠EFC= ，
∵△ABE∽△ADF，
∴ = ，
∴DF= x，
∴y= ，
即y= (0≤x≤4).
(3)解：①2中，当点E在线段CB上时，
∵△AGM∽ADF，
∴tan∠MAG= = ，
∴ = ，
解得x= .
②3中，当点E在CB的延长线上时，
由△MAG∽△AFD∽△EFC，
∴ = ，
∴ = ，
解得x=1，
∴BE的长为 或1.
【点评】本题考查相似形综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题.
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