2017年北京市中考数学模拟试卷答案(2)
【解答】解：设AE=x，由折叠可知，EC=x，BE=4﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即32+(4﹣x)2=x2，
解得：x=
由折叠可知∠AEF=∠CEF，
∵AD∥BC，
∴∠CEF=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，即AE=AF= ，
∴S△AEF= ×AF×AB= × ×3= .
故答案为： .
三、解答题(本题共8小题，共86分)
17.计算：(﹣ )﹣1﹣| ﹣1|+2sin60°+(π﹣4)0.
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果.2•1•c•n•j•y
【解答】解：原式=2﹣ +1+2× +1
=2﹣ +1+ +1
=4.
18.先化简 ﹣ ÷ ，再求代数式的值，其中a= ﹣3.
【考点】分式的化简求值.
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题.
【解答】解： ﹣ ÷
=
=
= ，
当a= ﹣3时，原式= .
19.，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(4，2)，C(3，5)(每个方格的边长均为1个单位长度).
(1)请画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称;
(2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点B旋转到点B2所经过的路径长.www-2-1-cnjy-com
【考点】作图﹣旋转变换;作图﹣轴对称变换.
【分析】(1)根据网格特点，找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可;
(2)分别找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，观察可知点B所经过的路线是半径为 ，圆心角是90°的扇形，然后根据弧长公式进行计算即可求解.
【解答】解：(1)，△A1B1C1即为所求.
(2)，△A2B2C2即为所求.
点B旋转到点B2所经过的路径长为： = π.
故点B旋转到点B2所经过的路径长是 π.
20.一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°(B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计).求小岛高度AC(结果精确的1米，参考数值： )
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【分析】首先利用三角形的外角的性质求得∠BAD的度数，得到AD的长度，然后在直角△ADC中，利用三角函数即可求解.
【解答】解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=60°﹣30°=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD=62(米).
在直角△ACD中，AC=AD•sin∠ADC=62× =31 ≈31×1.7=52.7≈53(米).
答：小岛的高度约为53米.
21.某中学数学兴趣小组为了解本校学生对电视节目的喜爱情况，随机调查了部分学生最喜爱哪一类节目 (被调查的学生只选一类并且没有不选择的)，并将调查结果制成了如下的两个统计图(不完整).请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
(1)求本次调查的学生人数;
(2)请将两个统计图补充完整，并求出新闻节目在扇形统计图中所占圆心角的度数;
(3)若该中学有2000名学生，请估计该校喜爱电视剧节目的人数.
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)根据喜爱电视剧的人数是69人，占总人数的23%，即可求得总人数;
(2)根据总人数和喜欢娱乐节目的百分数可求的其人数，补全即可;利用360°乘以对应的百分比即可求得圆心角的度数;
(3)利用总人数乘以对应的百分比即可求解.
【解答】解：(1)69÷23%=300(人)
∴本次共调查300人;
(2)∵喜欢娱乐节目的人数占总人数的20%，
∴20%×300=60(人)，补全;
∵360°×12%=43.2°，
∴新闻节目在扇形统计图中所占圆心角的度数为43.2°;
(3)2000×23%=460(人)，
∴估计该校有460人喜爱电视剧节目.
22.植树节期间，某单位欲购进A、B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5颗，需2100元，若购进A种树苗4颗，B种树苗10颗，需3800元.
(1)求购进A、B两种树苗的单价;
(2)若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵?
【考点】一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用.
【分析】(1)设B树苗的单价为x元，则A树苗的单价为y元.则由等量关系列出方程组解答即可;
(2)设购买A种树苗a棵，则B种树苗为(30﹣a)棵，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式解答即可.
【解答】解：设B树苗的单价为x元，则A树苗的单价为y元，可得： ，
解得： ，
答：B树苗的单价为300元，A树苗的单价为200元;
(2)设购买A种树苗a棵，则B种树苗为(30﹣a)棵，
可得：200a+300(30﹣a)≤8000，
解得：a≥10，
答：A种树苗至少需购进10棵.
23.，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D点，O是AB上一点，经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F.
(1)用尺规补全图形(保留作图痕迹，不写作法);
(2)求证：BC与⊙O相切;
(3)当AD=2 ，∠CAD=30°时，求劣弧AD的长.
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)作AD的垂直平分线交AC于O，以AO为半径画圆O分别交AB、AC于点E、F，则⊙O即为所求;
(2)连结OD，得到OD=OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAD=∠ODA，等量代换得到∠ODA=∠CAD，根据平行线的判定定理得到OD∥AC，根据平行线的性质即可得到结论;
(3)连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE=90°，根据三角形的内角和得到∠AOD=120°，根据三角函数的定义得到AE= =4，根据弧长个公式即可得到结论.
【解答】(1)解：所示，
(2)证明：连结OD，则OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
即BC⊥OD，
∴BC与⊙O相切;
(3)解：连接DE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∵∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠AOD=120°，在
Rt△ADE中，
AE= = =4，
∴⊙O的半径=2，
∴劣弧AD的长= = π.
24.已知在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ +bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点，
(1)求抛物线的表达式;
(2)如果点P，Q在抛物线上(P点在对称轴左边)，且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐标;
(3)动点M在直线y=x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式;
(2)根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得P、Q关于直线x=﹣1对称，根据PQ的长，可得P点的横坐标，Q点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案;
(3)根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得CM的长，根据等腰直角三角形的性质，可得MH的长，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案.
【解答】解：(1)当x=0时，y=4，即C(0，4)，
当y=0时，x+4=0，解得x=﹣4，即A(﹣4，0)，
将A、C点坐标代入函数解析式，得
，
解得 ，
抛物线的表达式为y= ﹣x+4;
(2)PQ=2AO=8，
又PQ∥AO，即P、Q关于对称轴x=﹣1对称，
PQ=8，﹣1﹣4=﹣5，
当x=﹣5时，y= ×(﹣5)2﹣(﹣5)+4=﹣ ，即P(﹣5，﹣ );
﹣1+4=3，即Q(3，﹣ );
P点坐标(﹣5，﹣ )，Q点坐标(3，﹣ );
(3)∠MCO=∠CAB=45°，
①当△MCO∽△CAB时， = ，即 = ，
CM= .
1 ，
过M作MH⊥y轴于H，MH=CH= CM= ，
当x=﹣ 时，y=﹣ +4= ，
∴M(﹣ ， );
当△OCM∽△CAB时， = ，即 = ，解得CM=3 ，
2 ，
过M作MH⊥y轴于H，MH=CH= CM=3，
当x=﹣3时，y=﹣3+4=1，
∴M(﹣3，1)，
综上所述：M点的坐标为(﹣ ， )，(﹣3，1).
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