2017年包头中考数学练习试卷(2)
15.，在Rt△ABC中，∠C=30°，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E.若DE=a，则△ABC的周长用含a的代数式表示为 (6+2 )a .
【考点】含30度角的直角三角形;等边三角形的判定与性质;勾股定理.
【分析】先根据∠C=30°，∠BAC=90°，DE⊥AC可知BC=2AB，CD=2DE，再由AB=AD可知点D是斜边BC的中点，由此可用a表示出AB的长，根据勾股定理可得出AC的长，由此可得出结论.
【解答】解：∵∠C=30°，∠BAC=90°，DE⊥AC，
∴BC=2AB，CD=2DE=2a.
∵AB=AD，
∴点D是斜边BC的中点，
∴BC=2CD=4a，AB= BC=2a，
∴AC= = =2 a，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2a+4a+2 a=(6+2 )a.
故答案为：(6+2 )a.
三、解答题(一)(本大题共4题，满分31分)
16.先化简，再求值： ÷(1﹣ )，其中a= ﹣2.
【考点】分式的化简求值.
【分析】先通分，然后进行四则运算，最后将a= ﹣2代入计算即可.
【解答】解：原式= ×
= ，
当a= ﹣2时，
原式= = = .
17.，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD.求证：BC=DE.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】先证出∠CAB=∠DAE，再由SAS证明△BAC≌△DAE，得出对应边相等即可.
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴∠CAB=∠DAE，
在△BAC和△DAE中， ，
∴△BAC≌△DAE(SAS)，
∴BC=DE.
18.现代互联网技术的广泛应用.催生了快递行业的高速发展.据凋查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件.现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同.
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率.
(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的26名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务?如果不能，请问至少需要增加几名业务员?2•1•c•n•j•y
【考点】一元二次方程的应用.
【分析】(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论;
(2)根据五月份完成投递的快递总件数结合完成投递的快递总件数即可算出今年6月份的快递投递总件数，再根据投递快递总件数=每人投递件数×人数即可算出该公司现有的26名快递投递业务员最多能够完成的任务量，二者比较后即可得出结论.
【解答】解：(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，
根据题意得：10×(1+x)2=12.1，
解得：x1=10%，x2=﹣210%.
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%.
(2)12.1×(1+10%)=13.31(万件)，
26×0.6=15.6(万件).
∵15.6>13.31，
∴该公司现有的26名快递投递业务员能完成今年6月份的快递投递任务.
19.水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水量w(L)与滴水时间t(h)的关系用可以显示水量的容器做1的试验，并根据试验数据绘制出2的函数图象，结合图象解答下列问题.
(1)容器内原有水多少升?
(2)求w与t之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升?
【考点】一次函数的应用.
【分析】(1)根据图象可知，t=0时，w=0.3，即容器内原有水0.3升;
(2)设w与t之间的函数关系式为w=kt+b，将(0，0.3)，(1.5，0.9)代入，利用待定系数法求出w与t之间的函数关系式;计算即可求解.
【解答】解：(1)根据图象可知，t=0时，w=0.3，即容器内原有水0.3升;
(2)设w与t之间的函数关系式为w=kt+b，
将(0，0.3)，(1.5，0.9)代入，
得 ，
解得 ，
故w与t之间的函数关系式为w=0.4t+0.3;
由解析式可得，每小时滴水量为0.4L，一天的滴水量为：0.4×24=9.6L，
即在这种滴水状态下一天的滴水量是9.6升.
四、解答题(二)(本大题共4题，满分44分)
20.，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD.
(1)求证：四边形OBEC是矩形;
(2)若菱形ABCD的周长是4 ，tanα= ，求四边形OBEC的面积.
【考点】菱形的性质;矩形的判定;解直角三角形.
【分析】(1)利用菱形的对角线互相垂直结合平行线的性质得出∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，进而求出即可;
(2)利用菱形的性质结合勾股定理得出CO，BO的长，进而求出四边形OBEC的面积.
【解答】(1)证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴AC⊥BD，
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，
∴四边形OBEC是矩形;
(2)解：∵菱形ABCD的周长是4 ，
∴AB=BC=AD=DC= ，
∵tanα= ，
∴设CO=x，则BO=2x，
∴x2+(2x)2=( )2，
解得：x= ，
∴四边形OBEC的面积为： ×2 =4.
21.某中学需在短跑、跳远、乒乓球、跳高四类体育项目中各选一名同学参加中学生运动会，根据平时成绩，把各项目进入复选的人员情况绘制成不完整的统计图、表如下：
复选人员扇形统计图：
复选人员统计表：
项目/人数/性别 男 女
短跑 1 2
跳远 a 6
乒乓球 2 1
跳高 3 b
(1)求a、b的值;
(2)求扇形统计图中跳远项目对应圆心角的度数;
(3)用列表法或画树状图的方法求在短跑和乒乓球项目中选出的两位同学都为男生的概率.
【考点】列表法与树状图法;统计表;扇形统计图.
【分析】(1)根据短跑人数为1+2=3人占总人数的12%求得总人数，进一步求得跳远和和跳高的总人数，最后求得a、b的数值即可;
(2)用跳远所占总人数的百分比乘360°即可得出;
(3)画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解.
【解答】解：(1)总人数：
(1+2)÷12%
=3÷12%
=25(人)，
a=25×(1﹣36%﹣12%﹣12%)﹣6
=10﹣6
=4，
b=25×36%﹣3
=9﹣3
=6.
(2)360°×(1﹣36%﹣12%﹣12%)=144°.
(3)根据题意画出树状图如下：
一共有9种情况，恰好是两位男生的情况有2种，
P(两位男生)= .
22.，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.
(1)求证：直线PB与⊙O相切;
(2)PO的延长线与⊙O交于点E.若⊙O的半径为3，PC=4.求弦CE的长.
【考点】切线的判定.
【分析】(1)连接OC，作OD⊥PB于D点.证明OD=OC即可.根据角的平分线性质易证;
(2)设PO交⊙O于F，连接CF.根据勾股定理得PO=5，则PE=8.证明△PCF∽△PEC，得CF：CE=PC：PE=1：2.根据勾股定理求解CE.
【解答】(1)证明：连接OC，作OD⊥PB于D点.
∵⊙O与PA相切于点C，
∴OC⊥PA.
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴OD=OC.
∴直线PB与⊙O相切;
(2)解：设PO交⊙O于F，连接CF.
∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8.
∵⊙O与PA相切于点C，
∴∠PCF=∠E.
又∵∠CPF=∠EPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2.
∵EF是直径，
∴∠ECF=90°.
设CF=x，则EC=2x.
则x2+(2x)2=62，
解得x= .
则EC=2x= .
23.已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1，0)、C(0，3)，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D.
(1)求此二次函数解析式;
(2)连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形;
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形?若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)将A(﹣1，0)、B(3，0)代入二次函数y=ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式;www-2-1-cnjy-com
(2)分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可;
(3)分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论.运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解.
【解答】解：(1)∵二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A(﹣1，0)、C(0，3)，
∴根据题意，得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.
(2)由y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4得，D点坐标为(1，4)，
∴CD= = ，
BC= =3 ，
BD= =2 ，
∵CD2+BC2=( )2+(3 )2=20，BD2=(2 )2=20，
∴CD2+BC2=BD2，
∴△BCD是直角三角形;
(3)存在.
y=﹣x2+2x+3对称轴为直线x=1.
①若以CD为底边，则P1D=P1C，
设P1点坐标为(x，y)，根据勾股定理可得P1C2=x2+(3﹣y)2，P1D2=(x﹣1)2+(4﹣y)2，
因此x2+(3﹣y)2=(x﹣1)2+(4﹣y)2，
即y=4﹣x.
又P1点(x，y)在抛物线上，
∴4﹣x=﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1=0，
解得x1= ，x2= <1，应舍去，
∴x= ，
∴y=4﹣x= ，
即点P1坐标为( ， ).
②若以CD为一腰，
∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x=1对称，
此时点P2坐标为(2，3).
∴符合条件的点P坐标为( ， )或(2，3).
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