2017年鞍山中考数学模拟试题及答案(2)
解得：x1=3，x2=﹣7，
∴点B的坐标为(3，3)或(3，﹣7).
故答案为：(3，3)或(3，﹣7).
20.，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O，分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，连接EF，若OG=3，则EF为 4 .
【考点】三角形的外接圆与外心.
【分析】连接OA，根据勾股定理和垂径定理求出AC，根据三角形中位线定理求出EF.
【解答】解：连接OA，
∵OG⊥AC，
∴∠OGA=90°，AC=2AG，
∴AG= =4，
∴AC=2AG=8，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴AE=EB，CF=FB，
∴EF= AC=4，
故答案为：4.
三、解答题：(本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明，说理过程或演算步骤)
21.(1)计算：2﹣1﹣ tan60°+(π﹣2015)0+|﹣ |;
(2)解方程：x2﹣1=2(x+1).
【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;解一元二次方程﹣因式分解法;特殊角的三角函数值.
【分析】(1)原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果;
(2)方程整理后，利用因式分解法求出解即可.
【解答】解：(1)原式= ﹣ × +1+ =﹣1;
(2)方程整理得：x2﹣2x﹣3=0，即(x﹣3)(x+1)=0，
解得：x1=﹣1，x2=3.
22.，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB=DE.
(1)求证：BD=BC;
(2)若BD=6cm，求AC的长.
【考点】全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
【分析】(1)欲证明BD=BC，只要证明△ABC≌△EDB即可.
(2)由E是BC中点，BD=6cm，BD=BC，推出BE= BC= BD=3cm，由△ABC≌△EDB，得到AC=BE，即可解决问题.
【解答】(1)证明：∵DE⊥AB，
∴∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB，
∴BD=BC.
(2)解：∵E是BC中点，BD=6cm，BD=BC，
∴BE= BC= BD=3cm，
∵△ABC≌△EDB，
∴AC=BE=3cm.
23.为了解中考体育科目训练情况，某地从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次考前体育科目测试，把测试结果分为四个等级：A级：优秀;B级：良好;C级：及格;D级：不及格，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)请将两幅不完整的统计图补充完整;
(2)如果该地参加中考的学生将有4500名，根据测试情况请你估计不及格的人数有多少?
(3)从被抽测的学生中任选一名学生，则这名学生成绩是D级的概率是多少?
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图;概率公式.
【分析】(1)首先根据题意求得总人数，继而求得A级与D级占的百分比，求得C级与D级的人数;则可补全统计图;
(2)根据题意可得：估计不及格的人数有：4500×20%=900(人);
(3)由概率公式的定义，即可求得这名学生成绩是D级的概率.
【解答】解：(1)总人数为：12÷30%=40(人)，
A级占： ×100%=15%，D级占：1﹣35%﹣30%﹣15%=20%;
C级人数：40×35%=14(人)，D级人数：40×20%=8(人)，
补全统计图得：
(2)估计不及格的人数有：4500×20%=900(人);
(3)从被抽测的学生中任选一名学生，则这名学生成绩是D级的概率是：20%.
24.，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象相交于点A(﹣2，1)，点B(1，n).
(1)求此一次函数和反比例函数的解析式;
(2)请直接写出满足不等式kx+b﹣ <0的解集;
(3)在平面直角坐标系的第二象限内边长为1的正方形EFDG的边均平行于坐标轴，若点E(﹣a，a)，，当曲线y= (x<0)与此正方形的边有交点时，求a的取值范围.
【考点】反比例函数综合题;反比例函数图象上点的坐标特征;反比例函数与一次函数的交点问题;正方形的性质.
【分析】(1)由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数m，从而得出反比例函数解析式;由点B在反比例函数图象上，即可求出点B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式;
(2)根据两函数图象的上下关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集;
(3)过点O、E作直线OE，求出直线OE的解析式，根据正方形的性质找出点D的坐标，并验证点D在直线OE上，再将直线OE的解析式代入到反比例函数解析式中，求出交点坐标横坐标，结合函数图象以及点D、E的坐标即可得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出结论.
【解答】解：(1)∵点A(﹣2，1)在反比例函数y= 的图象上，
∴m=﹣2×1=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣ ;
∵点B(1，n)在反比例函数y=﹣ 的图象上，
∴﹣2=n，即点B的坐标为(1，﹣2).
将点A(﹣2，1)、点B(1，﹣2)代入y=kx+b中得：
，解得： ，
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣1.
(2)不等式﹣x﹣1﹣(﹣ )<0可变形为：﹣x﹣1<﹣ ，
观察两函数图象，发现：
当﹣21时，一次函数图象在反比例图象下方，
∴满足不等式kx+b﹣ <0的解集为﹣21.
(3)过点O、E作直线OE，所示.
∵点E的坐标为(﹣a，a)，
∴直线OE的解析式为y=﹣x.
∵四边形EFDG是边长为1的正方形，且各边均平行于坐标轴，
∴点D的坐标为(﹣a+1，a﹣1)，
∵a﹣1=﹣(﹣a+1)，
∴点D在直线OE上.
将y=﹣x代入y=﹣ (x<0)得：
﹣x=﹣ ，即x2=2，
解得：x=﹣ ，或x= (舍去).
∵曲线y=﹣ (x<0)与此正方形的边有交点，
∴﹣a≤﹣ ≤﹣a+1，
解得： ≤a≤ +1.
故当曲线y= (x<0)与此正方形的边有交点时，a的取值范围为 ≤a≤ +1.
25.已知二次函数y1=x2+mx+n的图象经过点P(﹣3，1)，对称轴是经过(﹣1，0)且平行于y轴的直线.
(1)求m，n的值.
(2)，一次函数y2=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式.
(3)直接写出y1>y2时x的取值范围.
【考点】二次函数与不等式(组);待定系数法求一次函数解析式;抛物线与x轴的交点.
【分析】(1)利用对称轴公式求得m，把P(﹣3，1)代入二次函数y=x2+mx+n得出n=3m﹣8，进而就可求得n;
(2)根据(1)得出二次函数的解析式，根据已知条件，利用平行线分线段成比例定理求得B的纵坐标，代入二次函数的解析式中求得B的坐标，然后利用待定系数法就可求得一次函数的表达式;
(3)结合图形解答即可.
【解答】解：∵对称轴是经过(﹣1，0)且平行于y轴的直线，
∴﹣ =﹣1，
∴m=2，
∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P(﹣3，1)，
∴9﹣3m+n=1，
∴n=3m﹣8=﹣2;
(2)∵m=2，n=﹣2，
∴二次函数为y=x2+2x﹣2，
作PC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则PC∥BD，
∴ = ，
∵P(﹣3，1)，
∴PC=1，
∵PA：PB=1：5，
∴PA：AB=1：6，
∴BD=6，
∴B的纵坐标为6，
代入二次函数为y=x2+2x﹣2得，6=x2+2x﹣2，
解得x1=2，x2=﹣4(舍去)，
∴B(2，6)，
则 ，
解得， ，
∴一次函数的表达式为y2=x+4;
(3)由图象可知，当x<﹣3或x>2时，y1>y2.
26.，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5.OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.
(1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由;
(2)若PC=2 ，求⊙O的半径和线段PB的长;
(3)若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围.
【考点】切线的性质;等腰三角形的性质;勾股定理;直线与圆的位置关系;相似三角形的判定与性质.
【分析】(1)连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可;
(2)延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，根据AB=AC推出52﹣r2= ﹣(5﹣r)2，求出r，证△DPB∽△CPA，得出 = ，代入求出即可;
(3)根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，求出OE
【解答】解：(1)AB=AC，理由如下：
连接OB.
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC，
∴AB=AC;
(2)延长AP交⊙O于D，连接BD，
设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，
则AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，
AC2=PC2﹣PA2= ﹣(5﹣r)2，
∴52﹣r2= ﹣(5﹣r)2，
解得：r=3，
∴AB=AC=4，
∵PD是直径，
∴∠PBD=90°=∠PAC，
又∵∠DPB=∠CPA，
∴△DPB∽△CPA，
∴ = ，
∴ = ，
解得：PB= .
∴⊙O的半径为3，线段PB的长为 ;
(3)作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出OE= AC= AB=
又∵圆O与直线MN有交点，
∴OE= ≤r，
≤2r，
25﹣r2≤4r2，
r2≥5，
∴r≥ ，
又∵圆O与直线相离，
∴r<5，
即 ≤r<5.
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