2017茂名中考数学模拟试卷及答案(2)
∴ ，
∴ ，
∴A1B= ，
∴A1B1=A1C=A1B+BC= ，
同理可得，A2B2= =( )2 ，
同理可得，A3B3=( )3 ，
同理可得，A2015B2015=( )2015 ，
∴S第2016个正方形的面积=S正方形C2015C2015B2015A2015=[( )2015 ]2=5×( )4030，
故答案为5×( )4030
三、解答题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)
19.关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)请选择一个整数k值，使方程的两根同号，并求出方程的根.
【考点】根与系数的关系;根的判别式.
【分析】(1)由方程的系数结合根的判别式即可得出△=9+4k>0，解之即可得出结论;
(2)由根与系数的关系结合方程两根同号即可得出k=﹣2或﹣1，取k=﹣2，利用分解因式法解一元二次方程即可得出结论.
【解答】解：(1)∵方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根，
∴△=(﹣3)2+4k=9+4k>0，
解得：k>﹣ .
(2)∵方程的两根同号，
∴﹣k>0，
∴k=﹣2或﹣1.
当k=﹣2时，原方程为x2﹣3x+2=(x﹣1)(x﹣2)=0，
解得：x1=1，x2=2.
20.计算： sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°+( )﹣2.
【考点】实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果.
【解答】解：原式= × ﹣4× + × +4= +1.
四、解答题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)
21.如图，某小区楼房附近有一个斜坡，小张发现楼房在水平地面与斜坡处形成的投影中，在斜坡上的影子长CD=6m，坡角到楼房的距离CB=8m.在D点处观察点A的仰角为60°，已知坡角为30°，你能求出楼房AB的高度吗?
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题;解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.
【分析】作DH⊥AB于H，根据正弦、余弦的定义求出DE、CE，根据正切的概念求出AH，计算即可.
【解答】解：作DH⊥AB于H，
在Rt△CDE中，DE= CD=3，CE= CD=3 ，
∴BE=3 +8，
在Rt△ADH中，AH=DH•tan∠ADH=9+8 ，
∴AB=AH+BH=12+8 ，
答：楼房AB的高度为(12+8 )米.
22.为了解某中学学生对“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”主题活动的参与情况.小强在全校范围内随机抽取了若干名学生并就某日午饭浪费饭菜情况进行了调查.将调查内容分为四组：A.饭和菜全部吃完;B.有剩饭但菜吃完;C.饭吃完但菜有剩;D.饭和菜都有剩.根据调查结果，绘制了如图所示两幅尚不完整的统计图.2•1•c•n•j•y
回答下列问题：
(1)这次被抽查的学生共有 120 人，扇形统计图中，“B组”所对应的圆心角的度数为 72° ;
(2)补全条形统计图;
(3)已知该中学共有学生2500人，请估计这日午饭有剩饭的学生人数;若按平均每人剩10克米饭计算，这日午饭将浪费多少千克米饭?
【考点】加权平均数;用样本估计总体;扇形统计图;条形统计图.
【分析】(1)用A组人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数;求出B组所占的百分比，再乘以360°即可得出“B组”所对应的圆心角的度数;
(2)用调查的总人数乘以C组所占的百分比得出C组的人数，进而补全条形统计图;
(3)先求出这餐晚饭有剩饭的学生人数为：2500×(1﹣60%﹣10%)=750(人)，再用人数乘每人平均剩10克米饭，把结果化为千克.
【解答】解：(1)这次被抽查的学生数=72÷60%=120(人)，
“B组”所对应的圆心角的度数为：360°× =72°.
故答案为120，72°;
(2)C组的人数为：120×10%=12;
条形统计图如下：
(3)这餐晚饭有剩饭的学生人数为：2500×(1﹣60%﹣10%)=750(人)，750×10=7500(克)=7.5(千克).
答：这餐晚饭将浪费7.5千克米饭.
五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
23.如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q的⊙O的切线交OA的延长线于R.求证：RP=RQ.
【考点】切线的性质.
【分析】首先连接OQ，由切线的性质，可得∴∠OQB+∠BQR=90°，又由OA⊥OB，可得∠OPB+∠B=90°，继而可证得∠PQR=∠BPO=∠RPQ，则可证得RP=RQ.
【解答】证明：连接OQ，
∵RQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥QR，
∴∠OQB+∠BQR=90°.
∵OA⊥OB，
∴∠OPB+∠B=90°.
又∵OB=OQ，
∴∠OQB=∠B.
∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ.
∴RP=RQ.
24.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.
(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大;
(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元;
方案B：每件文具的利润不低于为25元且不高于29元.
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由.
【考点】二次函数的应用;一元二次方程的应用.
【分析】(1)根据利润=(销售单价﹣进价)×销售量，列出函数关系式即可;
(2)根据(1)式列出的函数关系式，运用配方法求最大值;
(3)分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较.
【解答】解：(1)由题意得，销售量=250﹣10(x﹣25)=﹣10x+500，
则w=(x﹣20)(﹣10x+500)
=﹣10x2+700x﹣10000;
(2)w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10(x﹣35)2+2250.
∵﹣10<0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x=35时，w最大=2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大;
(3)A方案利润高.理由如下：
A方案中：20
故当x=30时，w有最大值，
此时wA=2000;
B方案中：
故x的取值范围为：45≤x≤49，
∵函数w=﹣10(x﹣35)2+2250，对称轴为直线x=35，
∴当x=35时，w有最大值，
此时wB=1250，
∵wA>wB，
∴A方案利润更高.
六、解答题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)
25.已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A，经过点B(0，3)和点(2，3)，与x轴交于C，D两点，(点C在点D的左侧)，且OD=OB.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)连接AB，BD，DA，试判断△ABD的形状;
(3)点P是BD上方抛物线上的动点，当P运动到什么位置时，△BPD的面积最大?求出此时点P的坐标及△BPD的面积.2-1-c-n-j-y
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)由点B的坐标可知OB=3，OD=3，故此可得到点D的坐标，然后利用待定系数法求解即可;
(2)先由抛物线的解析式求得点A的坐标，然后利用两点间的距离公式可求得AB、AD、BD的长，最后利用勾股定理的逆定理进行判断即可
(3)如图所示：连结OP.设点P的坐标为(x，﹣x2+2x+3).依据△DBP的面积=△OBP的面积+△ODP的面积﹣△BOD的面积，列出△DBP的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可.
【解答】解：(1)∵B(0，3)和点(2，3)的纵坐标相同，
∴抛物线的对称轴为x=1，OB=3.
∵OD=OB，
∴OD=3.
∵抛物线与x轴交于C，D两点，(点C在点D的左侧)，
∴D(3，0).
将点B(0，3)、(2，3)、(3，0)代入抛物线的解析式得： ，
解得：a=﹣1，b=2，c=3.
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.
(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，
∴点A的坐标为(1，4).
依据两点间的距离公式可知：AB2=(1﹣0)2+(4﹣3)2=2，AD2=(3﹣1)2+(4﹣0)2=20，BD2=(3﹣0)2+(0﹣3)2=18，【
∴AB2+BD2=AD2.
∴△ABD为直角三角形.
(3)如图所示：连结OP.
设点P的坐标为(x，﹣x2+2x+3).
△DBP的面积=△OBP的面积+△ODP的面积﹣△BOD的面积
= ×3×x+ ×3×(﹣x2+2x+3)﹣ ×3×3
=﹣ x2+ x
=﹣ (x﹣ )2+ .
∴当x= 时，△DBP的面积最大，最大值为 .
将x= 代入抛物线的解析式得y= ，
∴点P的坐标为( ， ).
26.如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF.
(1)求证：直线PA为⊙O的切线;
(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明;
(3)若BC=6，tan∠F= ，求cos∠ACB的值和线段PE的长.
【考点】切线的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质;解直角三角形.
【分析】(1)连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，继而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论.
(2)先证明△OAD∽△OPA，利用相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系，然后将EF=20A代入关系式即可.
(3)根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，利用勾股定理解出x的值，继而能求出cos∠ACB，再由(2)可得
OA2=OD•OP，代入数据即可得出PE的长.
【解答】解：(1)连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB，
又∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO(SAS)，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OA⊥PA，
∴直线PA为⊙O的切线.
(2)EF2=4OD•OP.
证明：∵∠PAO=∠PDA=90°
∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°，
∴∠OAD=∠OPA，
∴△OAD∽△OPA，
∴ = ，即OA2=OD•OP，
又∵EF=2OA，
∴EF2=4OD•OP.
(3)∵OA=OC，AD=BD，BC=6，
∴OD= BC=3(三角形中位线定理)，
设AD=x，
∵tan∠F= ，
∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得(2x﹣3)2=x2+32，
解之得，x1=4，x2=0(不合题意，舍去)，
∴AD=4，OA=2x﹣3=5，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
又∵AC=2OA=10，BC=6，
∴cos∠ACB= = .
∵OA2=OD•OP，
∴3(PE+5)=25，
∴PE= .
故答案为：
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