湖北省高三数学一模试卷及答案

　　A.(﹣1，2) B.(﹣1，0) C.(0，1) D.(1，2)

　　【考点】并集及其运算.

　　【专题】计算题;集合思想;定义法;集合.

　　【分析】由A与B，求出两集合的并集即可.

　　【解答】解：集合A={x|﹣1

　　则A∪B=(﹣1，2)，

　　故选：A.

　　【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键.

　　2.cos( ﹣φ)= ，且|φ|< ，则tanφ为(　　)

　　A.﹣ B. C.﹣ D.

　　【考点】运用诱导公式化简求值;三角函数的化简求值.

　　【专题】三角函数的求值.

　　【分析】利用诱导公式化简已知表达式，通过同角三角函数的基本关系式求解即可.

　　【解答】解：cos( ﹣φ)= ，且|φ|< ，

　　所以sinφ=﹣ ，φ ，

　　cosφ= = ，

　　tanφ= = .

　　故选：C.

　　【点评】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力.

　　3.设a=2﹣2， ，c=log25，则a，b，c的大小关系为(　　)

　　A.a

　　【考点】对数值大小的比较.

　　【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.

　　【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解.

　　【解答】解：∵a=2﹣2= ，1=30< = <2，

　　c=log25>log24=2，

　　∴a

　　故选：D.

　　【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意利用指数函数、对数函数的单调性的合理运用.

　　4.函数f(x)=lnx﹣ 的零点所在的区间是(　　)

　　A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(e，+∞)

　　【考点】函数零点的判定定理.

　　【专题】函数的性质及应用.

　　【分析】根据函数零点的判断条件，即可得到结论.

　　【解答】解：∵f(x)=lnx﹣ ，则函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，

　　∵f(2)=ln2﹣1<0，f(3)=ln3﹣ >0，

　　∴f(2)f(3)<0，

　　在区间(2，3)内函数f(x)存在零点，

　　故选：B

　　【点评】本题主要考查方程根的存在性，利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键.

　　5.已知{an}是等差数列，公差d不为零，且a3+a9=a10﹣a8，则a5=(　　)

　　A.﹣1 B.0 C.1 D.2

　　【考点】等差数列的通项公式.

　　【专题】计算题;函数思想;数学模型法;等差数列与等比数列.

　　【分析】由已知条件利用等差数列通项公式得到a1=﹣4d，由此能求出a5的值.

　　【解答】解：在等差数列{an}中，由a3+a9=a10﹣a8，且公差d不为零，

　　得a1+2d+a1+8d=a1+9d﹣a1﹣7d，

　　解得a1=﹣4d，

　　∵d≠0，

　　∴a5=a1+4d=﹣4d+4d=0.

　　故选：B.

　　【点评】本题考查等差数列的通项公式，注意等差数列的性质的合理运用，是基础题.

　　6.已知x，y满足约束条件 ，则z=2x+y的最大值为(　　)

　　A.3 B.﹣3 C.1 D.

　　【考点】简单线性规划.

　　【专题】计算题.

　　【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可.

　　【解答】解：作图

　　易知可行域为一个三角形，

　　当直线z=2x+y过点A(2，﹣1)时，z最大是3，

　　故选A.

　　【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题.

　　7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，若f(x)的图象向左平移 个单位所得的图象与f(x)的图象右平移 个单位所得的图象重合，则ω的最小值为(　　)

　　A.2 B.3 C.4 D.5

　　【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

　　【专题】计算题;转化思想;数形结合法;三角函数的图像与性质.

　　【分析】由题意将f(x)的图象向左平移 个单位所得的图象与f(x)的图象右平移 个单位所得的图象重合，说明两个函数相位差是2π的整数倍，求出ω的值即可.

　　【解答】解：∵将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移 个单位，所得的图象解析式为：y=sin(ωx+ ω+φ)，

　　将函数f(x)的图象右平移 个单位所得的图象解析式为：y=y=sin(ωx﹣ ω+φ)，

　　若所得图象重合，

　　∴ ω+ ω=2kπ，k∈Z，解得ω=4k，k∈Z，

　　∵ω>0，可解得ω的最小值为4.

　　故选：C.

　　【点评】本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识，相位差是函数周期的整数倍，是本题解题关键.

　　8.数列{an}满足 ，则数列{log2an}的前10项和S10=(　　)

　　A.55 B.50 C.45 D.40

　　【考点】等比数列的前n项和;等比关系的确定.

　　【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列.

　　【分析】由已知得{an}是首项为2，公比为2的等比数列，从而 ，进而log2an=n，由此能求出数列{log2an}的前10项和S10.

　　【解答】解：∵数列{an}满足 ，

　　∴{an}是首项为2，公比为2的等比数列，

　　∴ ，∴log2an=n，

　　∴数列{log2an}的前10项和S10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55.

　　故选：A.

　　【点评】本题考查数列的前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和对数性质的合理运用.

　　9.△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sinA+cosA= ，a=7，3sinB=5sinC，则b+c的值为(　　)

　　A.12 B.8 C.8 D.8

　　【考点】正弦定理;余弦定理.

　　【专题】计算题;数形结合;数形结合法;解三角形.

　　【分析】将sinA+cosA= 两边平方，可解得sin2A=﹣ ，结合范围0

　　【解答】解：∵sinA+cosA= ，

　　∴两边平方，可得：1+sin2A= ，解得：sin2A=﹣ ，

　　∵0

　　∴解得：A= 或 (由sinA+cosA= 舍去)，可得：cosA=﹣ ，

　　∵3sinB=5sinC，可得：3b=5c①，

　　∴由a=7，根据余弦定理可得：49=b2+c2﹣2bccosA，

　　∴49=b2+c2+bc②，

　　∴由①②可解得：b=5，c=3，b+c=8.

　　故选：D.

　　【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，熟练掌握和灵活应用相关公式是解题的关键，属于中档题.

　　10.函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0，ω>0，|ϕ|< )的部分图象如图，且过点 ，则以下结论不正确的是(　　)

　　A.f(x)的图象关于直线 对称

　　B.f(x)的图象关于点 对称

　　C.f(x) 在 上是增函数

　　D.f(x) 在 上是减函数

　　【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.

　　【专题】计算题;数形结合;数形结合法;三角函数的图像与性质.

　　【分析】由图象可得A=2，由图象过点B(0，﹣1)，即2sinϕ=﹣1，结合|ϕ|< ，解得ϕ=﹣ .由图象过点A( ，0)，可得2sin( ω﹣ )=0，解得：ω= k+ ，k∈Z，解析式可为f(x)=2sin( x﹣ )，利用正弦函数的图象和性质即可逐一求解.

　　【解答】解：函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)图象最高点的纵坐标为2，所以A=2，

　　∵图象过点B(0，﹣1)，

　　∴2sinϕ=﹣1，

　　∴ϕ=2kπ+ ，k∈Z，或ϕ=2kπ+ ，k∈Z

　　∵|ϕ|< ，

　　∴ϕ=﹣ .

　　∵图象过点A( ，0)，

　　∴2sin( ω﹣ )=0，解得：ω= k+ ，k∈Z.

　　∴k=0时，可得：ω= ，故所求解析式为f(x)=2sin( x﹣ ).

　　则：A，由2sin[ ×(﹣ )﹣ ]=﹣2sin ≠±2，故错误;

　　B，2sin( × ﹣ )=﹣2sin ≠0，故错误;

　　C，由2k ≤ x﹣ ≤2kπ ，解得单调递增区间为：[7kπ﹣ ，7kπ+ ]，k∈Z，当k=0时， ⊂[﹣ ， ]，故正确;

　　D，由2k ≤ x﹣ ≤2kπ+ ，解得单调递减区间为：[7kπ+ ，7kπ+ ]，k∈Z，当k=0时，单调递减区间为[ ， ]，故错误.

　　故选：C.

　　【点评】本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力，属于中档题.

　　11.设a>b>0，当a2+ 取得最小值时，函数f(x)= +bsin2x的最小值为(　　)

　　A.3 B.2 C.5 D.4

　　【考点】基本不等式.

　　【专题】计算题;转化思想;分析法;不等式.

　　【分析】根据基本不等求出a，b的值，再利用换元法，求出f(t)的最小值即可.

　　【解答】解：a2+ =a2+b2﹣ab+b(a﹣b)+ ≥2ab﹣ab+2 =ab+4，

　　∴f(x)= +bsin2x≥2 ，

　　∵b(a﹣b)≤ = ，当且仅当a=2b时取等号，

　　∴a2+ ≥a2+ ≥2 =8，当且仅当a2=4时，即a=2时取等号，此时b=1，

　　∴f(x)= +bsin2x= +sin2x，

　　设sin2x=t，则t∈(0，1]，

　　∴y= +t，

　　∴y= +t在(0，1]上单调递减，

　　∴ymin= +1=3，

　　故选：A.

　　【点评】本题考查了基本不等式的应用和函数的单调性和最值的关系，属于中档题.

　　12.设f(x)是定义在R上的偶函数f(x)+f(2﹣x)=0.当x∈[0，1]时f(x)=x2﹣1，若关于x的方程f(x)﹣kx=0恰有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围是(　　)

　　A.(5﹣2 ，4﹣ ) B.(8﹣2 ，4﹣2 ) C.(5﹣2 ，4﹣2 ) D.(8﹣2 ，4﹣ )

　　【考点】根的存在性及根的个数判断.

　　【专题】数形结合;分类讨论;函数思想;数形结合法;函数的性质及应用.

　　【分析】根据函数奇偶性和对称性求出函数的周期，以及函数的解析式，利用函数与方程之间的关系，转化为函数f(x)与y=kx有三个不同的交点，利用数形结合，以及直线和抛物线相切的等价条件，利用判别式△=0，进行求解即可.

　　【解答】解：∵f(x)是定义在R上的偶函数f(x)+f(2﹣x)=0.

　　∴f(x)=﹣f(2﹣x)=﹣f(x﹣2)，

　　即f(x+2)=﹣f(x)，

　　则f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)，

　　即函数的周期是4的周期函数，

　　若x∈[﹣1，0]时，则﹣x∈[0，1]时，此时f(﹣x)=x2﹣1=f(x)，

　　即f(x)=x2﹣1，x∈[﹣1，0]，

　　综上f(x)=x2﹣1，x∈[﹣1，1]，

　　若x∈[﹣2，﹣1]时，则x+2∈[0，1]，

　　则由f(x+2)=﹣f(x)，得f(x)=﹣f(x+2)=﹣[(x+2)2﹣1]=1﹣(x+2)2，x∈[﹣2，﹣1]

　　若x∈[1，2]时，则﹣x∈[﹣2，﹣1]时，

　　则f(﹣x)=1﹣(﹣x+2)2=1﹣(x﹣2)2=f(x)，

　　即f(x)=1﹣(x﹣2)2，x∈[1，2]，

　　即函数在一个周期[﹣2，2]上的解析式为f(x)= ，

　　若关于x的方程f(x)﹣kx=0恰有三个不同的实数解，

　　等价为f(x)=kx=0恰有三个不同的实数解，

　　即函数f(x)与y=kx有三个不同的交点，

　　作出函数f(x)和y=kx的图象如图：

　　当x∈[1，2]时，由f(x)=1﹣(x﹣2)2=kx，得x2+(k﹣4)x+3=0，

　　由判别式△=(k﹣4)2﹣12=0得k﹣4=±2 ，即k=4±2 ，

　　由1< <2，解得0

　　则k=4﹣2 ，此时两个函数有2个交点.

　　当x∈[﹣4，﹣3]时，x+4∈[0，1]时，

　　则f(x)=f(x+4)=(x+4)2﹣1，x∈[﹣4，﹣3]，

　　此时当f(x)与y=kx相切时，即(x+4)2﹣1=kx，

　　即x2+(8﹣k)x+15=0，

　　判别式△=(8﹣k)2﹣4×15=0得k﹣8=±2 ，即k=8±2 ，

　　由﹣4<﹣ <﹣3，得0

　　即k=8﹣2 ，此时两个函数有4个交点.

　　故若关于x的方程f(x)﹣kx=0恰有三个不同的实数解，则正实数k满足8﹣2

　　故选：B

　　【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性和解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数的图象交点问题是解决本题的关键.综合性较强，难度较大.

　　二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中相应的横线上

　　13.函数 的定义域为　[﹣2，0)∪(3，5]　.

　　【考点】函数的定义域及其求法.

　　【专题】对应思想;定义法;函数的性质及应用.

　　【分析】根据函数 ，列出使函数有意义的不等式，求出解集即可.

　　【解答】解：∵函数 ，

　　∴1﹣lg(x2﹣3x)≥0，

　　即lg(x2﹣3x)≤1，

　　∴0

　　解得﹣2≤x<0或3

　　∴函数f(x)的定义域为[﹣2，0)∪(3，5].

　　故答案为：[﹣2，0)∪(3，5].

　　【点评】本题考查了对数函数的定义域，解题时要认真审题，注意对数函数性质的灵活运用与等价转化，是基础题.

　　14.在等比数列{an}中，a1=1，a2a4=16，则a7=　64　.

　　【考点】等比数列的通项公式.

　　【专题】计算题;函数思想;数学模型法;等差数列与等比数列.

　　【分析】由等比数列的性质结合已知求得a3=4，进一步求得公比，再代入等比数列的通项公式求得a7.

　　【解答】解：在等比数列{an}中，由a2a4=16，

　　得 ，则a3=4(与a1同号)，

　　则 ，

　　∴ .

　　故答案为：64.

　　【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题.

　　15.若函数 (a>0，a≠1)的值域是(﹣∞，﹣1]，则实数a的取值范围是　[ ，1)　.

　　【考点】函数的值域.

　　【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.

　　【分析】根据二次函数的性质求出f(x)在(﹣∞，2]的最大值，从而判断出a的范围即可.

　　【解答】解：x≤2时：f(x)=﹣x2+2x﹣2=﹣(x﹣1)2﹣1，

　　对称轴x=1，f(x)在(﹣∞，1)递增，在(1，2]递减;

　　∴f(x)的最大值是﹣1，而f(x)的值域是(﹣∞，﹣1]，

　　故0

　　∴ ≤﹣1，解得：a≥ ，

　　故答案为：[ ，1).

　　【点评】本题考查了分段函数问题，考查二次函数以及对数函数的性质，是一道基础题.

　　16.已知函数 ，若函数f(x)在区间[﹣2，a]上单调递增，则实数a的取值范围是　[1，+∞)　.

　　【考点】利用导数研究函数的单调性.

　　【专题】分类讨论;转化思想;综合法;函数的性质及应用;导数的综合应用.

　　【分析】f′(x)=x2+2x+a，由于函数f(x)在区间[﹣2，a]上单调递增，可得：f′(x)≥0在区间[﹣2，a]上恒成立.令g(x)=(x+1)2+a﹣1，x∈[﹣2，a].对a分类讨论即可得出.

　　【解答】解：f′(x)=x2+2x+a，

　　∵函数f(x)在区间[﹣2，a]上单调递增，

　　∴f′(x)=x2+2x+a≥0在区间[﹣2，a]上恒成立.

　　令g(x)=x2+2x+a，x∈[﹣2，a].

　　g(x)=(x+1)2+a﹣1，

　　①当﹣2

　　②当﹣1≤a时，函数g(x)在x=﹣1时取得最小值，∴必有g(x)≥g(﹣1)=1﹣2+a≥0，解得a≥﹣1，满足条件.

　　综上可得：a≥﹣1.

　　∴实数a的取值范围是[﹣1，+∞).

　　故答案为：[﹣1，+∞).

　　【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性、恒成立转化问题，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题.

　　三、解答题：本大题共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

　　17.已知函数f(x)= .

　　(1)当 时，求函数f(x)的取值范围;

　　(2)将f(x)的图象向左平移 个单位得到函数g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间.

　　【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.

　　【专题】计算题;数形结合;数形结合法;三角函数的求值;三角函数的图像与性质.

　　【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简可求f(x)=sin(2x﹣ )，由 ，可求2x﹣ ∈[﹣ ， ]，根据正弦函数的图象和性质可求f(x)的取值范围.

　　(2)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求g(x)=f(x+ )=sin(2x+ )，令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，即可解得g(x)的单调递增区间.

　　【解答】解：(1)∵f(x)= = =sin(2x﹣ )，

　　∵ 时，2x﹣ ∈[﹣ ， ]，

　　∴sin(2x﹣ )∈[﹣ ，1].

　　∴函数f(x)的取值范围为：[﹣ ，1]…6分

　　(2)∵g(x)=f(x+ )=sin[2(x+ )﹣ ]=sin(2x+ )，

　　∴令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，即可解得g(x)的单调递增区间为：[k ，kπ+ ]，k∈Z…12分

　　【点评】本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，正弦函数的图象和性质，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题.

　　18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 = ，sin(B﹣A)+cos(A+B)=0.

　　(1)求sinB的值;

　　(2)若△ABC的面积为3+ ，求a，c的值.

　　【考点】解三角形.

　　【专题】计算题;分类讨论;分类法;解三角形.

　　【分析】(1)将sin(B﹣A)+cos(A+B)=0化简得(sinB+cosB)(cosA﹣sinA)=0，然后分情况讨论解出B和A要注意角的范围.

　　(2)借助于(1)中的结论，利用正弦定理得出 = = ，由面积公式得出ac= =4 ，联立方程组即可解出答案.

　　【解答】解：(1)∵sin(B﹣A)+cos(A+B)=0.

　　∴sinBcosA﹣cosBsinA+cosAcosB﹣sinAsinB=0

　　cosA(sinB+cosB)﹣sinA(sinB+cosB)=0

　　(sinB+cosB)(cosA﹣sinA)=0

　　①若sinB+cosB=0，则sinB= ，cosB=﹣ ，B= ，C= ﹣A

　　∵ = ，

　　∴ = ，

　　即 = ，

　　整理得： cos2A﹣ sin2A﹣ sinAcosA=cosA.

　　∴ cos2A﹣ sin2A=cosA，

　　即cos(2A+ )=cosA

　　∴2A+ =A+2kπ或2A+ =﹣A+2kπ.k∈Z.

　　∴A=2kπ﹣ 或A=

　　又∵0 ，

　　∴上式无解.

　　②若cosA﹣sinA=0，则sinA=cosA= ，A= ，C= ﹣B.

　　∵ = ，

　　∴ = ，

　　即 = ，

　　整理得： ﹣ + sinBcosB+cosB=0

　　∴ + sin2B=﹣cosB，

　　即sin(2B+ )=﹣sin( )=sin(B﹣ )，

　　∴2B+ =B﹣ +2kπ或2B+ =π﹣(B﹣ )+2kπ.k∈Z.

　　∴B=2kπ﹣ 或B= + .

　　又∵0

　　∴B= .

　　∴sinB=sin( + )= = .

　　(2)由(1)可知A= ，B= ，∴C= .

　　∵S= acsinB=3+ ，

　　∴ac= =4 .

　　∵ = ，

　　∴ = = ，

　　∴a=2 ，c=2 .

　　【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，解三角形，涉及分情况讨论思想.

　　19.已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且a1=1，anan+1=2Sn.(n∈N*)

　　(1)求数列{an}的通项公式;

　　(2)求数列{ }的前n项和Tn.

　　【考点】数列的求和;数列递推式.

　　【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列.

　　【分析】(1)当n=1时，求出a2=2，当n≥2时，求出an+1﹣an﹣1=2，由此能求出an=n，n∈N*.

　　(2)由an=n， =n•2n，利用错位相减法能求出数列{ }的前n项和.

　　【解答】解：(1)∵数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且a1=1，anan+1=2Sn.(n∈N*)，

　　∴当n=1时，a1a2=2a1，解得a2=2，

　　当n≥2时，an﹣1an=2Sn﹣1，an(an+1﹣an﹣1)=2an，

　　∵an>0，∴an+1﹣an﹣1=2，

　　∴a1，a3，…，a2n﹣1，…，是以1为首项，2为公差的等差数列，a2n﹣1=2n﹣1，

　　a2，a4，…，a2n，…，是以2为首项，2为公差的等差数，a2n=2n，

　　∴an=n，n∈N*.

　　(2)∵an=n， =n•2n，

　　∴数列{ }的前n项和：

　　Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①

　　2Tn=1•22+2•23+…+(n﹣1)•2n+n•2n+1，②

　　②﹣①，得：

　　Tn=n•2n+1﹣(2+22+23+…+2n)

　　=n•2n+1﹣

　　=(n﹣1)•2n+1+2.

　　【点评】本题考查数列通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用.

　　20.某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机，以每年22万元的价格出租给工程队.基建公司负责挖掘机的维护，第一年维护费为2万元，随着机器磨损，以后每年的维护费比上一年多2万元，同时该机器第x(x∈N*，x≤16)年末可以以(80﹣5x)万元的价格出售.

　　(1)写出基建公司到第x年末所得总利润y(万元)关于x(年)的函数解析式，并求其最大值;

　　(2)为使经济效益最大化，即年平均利润最大，基建公司应在第几年末出售挖掘机?说明理由.

　　【考点】基本不等式在最值问题中的应用.

　　【专题】函数思想;转化思想;数学模型法;不等式的解法及应用.

　　【分析】(1)由题意可得总利润y等于总收入减去总成本(固定资产加上维护费)，结合二次函数的最值求法，即可得到最大值;

　　(2)求得年平均利润为 ，再由基本不等式，结合x为正整数，加上即可得到最大值，及对应的x的值.

　　【解答】解：(1)y=22x+(80﹣5x)﹣100﹣(2+4+…+2x)=﹣20+17x﹣ x(2+2x)

　　=﹣x2+16x﹣20=﹣(x﹣8)2+44(x≤16，x∈N)，

　　由二次函数的性质可得，当x=8时，ymax=44，

　　即有总利润的最大值为44万元;

　　(2)年平均利润为 =16﹣(x+ )，设f(x)=16﹣(x+ )，x>0，

　　由x+ ≥2 =4 ，当x=2 时，取得等号.

　　由于x为整数，且4<2 <5，f(4)=16﹣(4+5)=7，f(5)=7，

　　即有x=4或5时，f(x)取得最大值，且为7万元.

　　故使得年平均利润最大，基建公司应在第4或5年末出售挖掘机.

　　【点评】本题考查二次函数的模型的运用，考查最值的求法，注意运用单调性和基本不等式，考查运算能力，属于中档题.

　　21.已知函数f(x)满足对于任意x>0，都有f(x)+2f( )=logax+ + (a>0，a≠1).

　　(1)求f(x)的极值;

　　(2)设f(x)的导函数为f′(x)，试比较f(x)与f′(x)的大小，并说明理由.

　　【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.

　　【专题】综合题;分类讨论;综合法;导数的概念及应用.

　　【分析】(1)先利用方程组思想，求出f(x)的解析式，再利用导数，求f(x)的极值;

　　(2)构造函数，利用导数，确定函数的单调性，即可得出结论.

　　【解答】解：(1)∵f(x)+2f( )=logax+ + ①

　　∴f( )+2f(x)=﹣logax+ + ，②

　　由①②可得f(x)=﹣logax+ ，

　　∴f′(x)=﹣ + =0，

　　∴x=1，

　　a>1时，x=1取得极小值 ;0

　　(2)设h(x)=﹣logax+ + ﹣ ，

　　则h′(x)=﹣ + ﹣ = ，

　　a>1时，x= 取得极小值，h(x)≥h( )>0，∴f(x)>f′(x);

　　0

　　【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，确定函数的解析式是关键，属于中档题.

　　请考生在第(22)、(23)(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.【选修4-1：平面几何选讲】

　　22.如图，A，B，C，D四点共圆，BC，AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上，

　　(1)若 的值;

　　(2)若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD.

　　【考点】与圆有关的比例线段;相似三角形的性质.

　　【专题】证明题;转化思想;综合法;推理和证明.

　　【分析】(1)推导出△EDC∽△EBA，由此能求出 的值.

　　(2)推导出△FAE∽△FEB，从而∠FEA=∠EBF，再由四点共圆，能证明EF∥CD.

　　【解答】解：(1)∵A、B、C、D四点共圆，

　　∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，

　　∴△EDC∽△EBA，∴ ，

　　= = ，

　　∴ = .

　　证明：(2)∵EF2=FA•FB，∴ ，

　　∵∠EFA=∠BFE，

　　∴△FAE∽△FEB，

　　∴∠FEA=∠EBF，

　　∵A、B、C、D四点共圆，∠EDC=∠EBF，

　　∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD.

　　【点评】本题考查两线段比值的求法，考查两直线平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质、三角形相似的性质的合理运用.

　　选修4-4：坐标系与参数方程

　　23.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 .

　　(1)写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程;

　　(2)点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小.

　　【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.

　　【专题】计算题;转化思想;综合法;坐标系和参数方程.

　　【分析】(1)由已知得t=x﹣3，从而y= ，由此能求出直线l的普通方程;由 ，得 ，由此能求出圆C的直角坐标方程.

　　(2)圆C圆心坐标C(0， )，设P(3+t， )，由此利用两点间距离公式能求出点P的坐标，使P到圆心C 的距离最小.

　　【解答】解：(1)∵在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ，

　　∴t=x﹣3，∴y= ，

　　整理得直线l的普通方程为 =0，

　　∵ ，∴ ，

　　∴ ，

　　∴圆C的直角坐标方程为： .

　　(2)圆C： 的圆心坐标C(0， ).

　　∵点P在直线l： =0上，设P(3+t， )，

　　则|PC|= = ，

　　∴t=0时，|PC|最小，此时P(3，0).

　　【点评】本题考查直线的普通方程及圆的直角坐标方程的求法，考查直线上的点到圆心的距离最小的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用.

　　选修4-5：不等式选讲

　　24.设函数f(x)=|x+1|+|2x﹣1|的最小值为a.

　　(1)求a的值;

　　(2)已知m，n>0，m+n=a，求 的最小值.

　　【考点】绝对值不等式的解法;基本不等式.

　　【专题】计算题;转化思想;综合法;不等式.

　　【分析】(1)由条件化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数f(x)的最小值.

　　(2)根据 =( + )• ，利用基本不等式求得它的最小值.

　　【解答】解：(1)函数f(x)=|x+1|+|2x﹣1|= ，故函数的减区间为(﹣∞， ]，增区间为( ，+∞)，

　　故当x= 时，函数f(x)取得最小值为a= .

　　(2)已知m，n>0，m+n=a= ，∴ =( + )• = [1+ + +4]= + ( + )

　　≥ + •2 =6，当且仅当 = 时，取等号，

　　故 的最小值为6.

　　【点评】本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值，基本不等式的因公，属于中档题.

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