初三数学上学期期末测试卷(2)
初三数学上学期期末测试卷参考答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)
1.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是( )
A.y=(x+2)2+2 B.y=(x﹣2)2﹣2 C.y=(x﹣2)2+2 D.y=(x+2)2﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可.
【解答】解：函数y=x2﹣4向右平移2个单位，得：y=(x﹣2)2﹣4;
再向上平移2个单位，得：y=(x﹣2)2﹣2;
故选B.
2.下列关于函数 的图象说法：①图象是一条抛物线;②开口向下;③对称轴是y轴;④顶点(0，0)，其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【考点】二次函数的性质.
【分析】函数 是一种最基本的二次函数，画出图象，直接判断.
【解答】解：①二次函数 的图象是抛物线，正确;
②因为a=﹣ <0，抛物线开口向下，正确;
③因为b=0，对称轴是y轴，正确;
④顶点(0，0)也正确.
故选D.
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A.﹣1
【考点】二次函数与不等式(组).
【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c<0的解集.
【解答】解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为(5，0)，
∴图象与x轴的另一个交点坐标为(﹣1，0).
利用图象可知：
ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集，
∴x<﹣1或x>5.
故选：D.
4.抛物线y=(x+2)2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是( )
A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
【考点】二次函数图象与几何变换.
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可.
【解答】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=(x+2)2，
抛物线y=(x+2)2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=(x+2)2﹣3.
故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位.
故选：B.
5.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB; ②CD，∠ACB，∠ADB;③EF，DE，BD;④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B间距离的有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【考点】相似三角形的应用;解直角三角形的应用.
【分析】根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可.所以借助于相似三角形的性质，根据 = 即可解答.
【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，
①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长;
②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB;
③，因为△ABD∽△EFD可利用 = ，求出AB;
④无法求出A，B间距离.
故共有3组可以求出A，B间距离.
故选C.
6.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于( )
A.6 B.5 C.9 D.
【考点】位似变换.
【分析】位似是特殊的相似，位似比就是相似比，相似形对应边的比相等.
【解答】解：根据题意，△ABC与△DEF位似，且AB：DE=2：3，AB=4
∴DE=6
故选A.
7.如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则cos∠OBC的值为( )
A. B. C. D.
【考点】圆周角定理;勾股定理;锐角三角函数的定义.
【分析】连接CD，由∠COD为直角，根据90°的圆周角所对的弦为直径，可得出CD为圆A的直径，再利用同弧所对的圆周角相等得到∠CBO=∠CDO，在直角三角形OCD中，由CD及OC的长，利用勾股定理求出OD的长，然后利用余弦函数定义求出cos∠CDO的值，即为cos∠CBO的值.
【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠COD=90°，
∴CD为圆A的直径，即CD过圆心A，
又∵∠CBO与∠CDO为 所对的圆周角，
∴∠CBO=∠CDO，
又∵C(0，5)，
∴OC=5，
在Rt△CDO中，CD=10，CO=5，
根据勾股定理得：OD= =5 ，
∴cos∠CBO=cos∠CDO= = = .
故选B
8.在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是( )
A.2 B.3 C. D.
【考点】锐角三角函数的定义.
【分析】根据勾股定理求出AC，根据正切的概念计算即可.
【解答】解：设BC=x，则AB=3x，
由勾股定理得，AC= =2 x，
则tanB= =2 ，
故选：A.
9.如图，点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，则∠BOC是( )
A.100° B.110° C.120° D.130°
【考点】圆周角定理;圆内接四边形的性质.
【分析】首先在优弧 上取点E，连接BE，CE，由点B、D、C是⊙O上的点，∠BDC=130°，即可求得∠E的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案.
【解答】解：在优弧 上取点E，连接BE，CE，如图所示：
∵∠BDC=130°，
∴∠E=180°﹣∠BDC=50°，
∴∠BOC=2∠E=100°.
故选：A.
10.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(﹣1，0).以点C为位似中心，在x轴的下作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点A′的对应点A的纵坐标是1.5，则点A'的纵坐标是( )
A.3 B.﹣3 C.﹣4 D.4
【考点】位似变换;坐标与图形性质.
【分析】根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，进而得出点A'的纵坐标.
【解答】解：∵点C的坐标是(﹣1，0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，
并把△ABC的边长放大到原来的2倍.
点A′的对应点A的纵坐标是1.5，
则点A'的纵坐标是：﹣3.
故选：B.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11.已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b= ﹣4 .
【考点】二次函数的性质.
【分析】可直接由对称轴公式﹣ =2，求得b的值.
【解答】解：∵对称轴为x=2，
∴﹣ =2，
∴b=﹣4.
12.若△ADE∽△ACB，且 = ，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是 .
【考点】相似三角形的性质.
【分析】根据题意求出△ADE与△ACB的相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可.
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，且 = ，
∴△ADE与△ACB的面积比为： ，
∴△ADE与四边形BCED的面积比为： ，又四边形BCED的面积是2，
∴△ADE的面积是 ，
故答案为： .
13.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2 ，则sin = .
【考点】特殊角的三角函数值.
【分析】根据在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2 ，可以求得∠A正弦值，从而可以求得∠A的度数，进而可求得sin 的值.
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2 ，
∴sinA= ，
∴∠A=60°，
∴sin =sin30°= ，
故答案为： .
14.如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 80π﹣160 .
【考点】相似三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质.
【分析】首先连接AC，则可证得△AEM∽△CFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，则可求得正方形与圆的面积，则问题得解.
【解答】解：连接AC，
∵AE丄EF，EF丄FC，
∴∠E=∠F=90°，
∵∠AME=∠CMF，
∴△AEM∽△CFM，
∴ ，
∵AE=6，EF=8，FC=10，
∴ ，
∴EM=3，FM=5，
在Rt△AEM中，AM= =3 ，
在Rt△FCM中，CM= =5 ，
∴AC=8 ，
在Rt△ABC中，AB=AC•sin45°=8 • =4 ，
∴S正方形ABCD=AB2=160，
圆的面积为：π•( )2=80π，
∴正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80π﹣160.
故答案为：80π﹣160.
三、计算题(本大题共1小题，共8分)
15.计算：(﹣1)2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0.
【考点】实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式(﹣1)2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0的值是多少即可.
【解答】解：(﹣1)2016+2sin60°﹣|﹣ |+π0
=1+2× ﹣ +1
=1+ ﹣ +1
=2
四、解答题(本大题共7小题，共68分)
16.已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(3，0)，B(﹣1，0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点坐标.
【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质.
【分析】(1)根据抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(3，0)，B(﹣1，0)，直接得出抛物线的解析式为;y=﹣(x﹣3)(x+1)，再整理即可，
(2)根据抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，即可得出答案.
【解答】解：(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(3，0)，B(﹣1，0).
∴抛物线的解析式为;y=﹣(x﹣3)(x+1)，
即y=﹣x2+2x+3，
(2)∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，
∴抛物线的顶点坐标为：(1，4).
17.某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动.如图，他们在河东岸边的A点测得河西岸边的标志物B在它的正西方向，然后从A点出发沿河岸向正北方向行进550米到点C处，测得B在点C的南偏西60°方向上，他们测得的湘江宽度是多少米?(结果保留整数，参考数据： ≈1.414， ≈1.732)
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】根据题意，∠BAC=90°，AC=550，∠ACB=60°，求AB.由三角函数定义可建立关系式后求解.
【解答】解：由题意得：△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=60°，
AC=550，AB=AC•tan∠ACB=550 ≈952.6≈953(米).
答：他们测得湘江宽度为953米.
18.已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD.
求证：(1)PO平分∠BPD;
(2)PA=PC.
【考点】垂径定理;全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;勾股定理.
【分析】(1)过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，根据AB=CD可知OE=OF，进而可知PO平分∠BPD;
(2)先根据全等三角形的判定定理得出Rt△POE≌Rt△POF，再由垂径定理可得出AE=CF，再根据PE﹣AE=PF﹣CF即可得出结论.
【解答】证明：(1)过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，
∵AB=CD，
∴OE=OF，
∴PO平分∠BPD;
(2)在Rt△POE与Rt△POF中，
∵OP=OP，OE=OF，
∴Rt△POE≌Rt△POF，
∴PE=PF，
∵AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，E、F分别为垂足，
∴AE= ，
CF= ，
∴AE=CF，
∴PE﹣AE=PF﹣CF，即PA=PC.
19.如图，△ABC中，E是AC上一点，且AE=AB，∠EBC= ∠BAC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交EB于点F.
(1)求证：BC与⊙O相切;
(2)若AB=8，sin∠EBC= ，求AC的长.
【考点】切线的判定;相似三角形的判定与性质.
【分析】(1)首先连接AF，由AB为直径，根据圆周角定理，可得∠AFB=90°，又由AE=AB，∠EBC= ∠BAC，根据等腰三角形的性质，可得∠BAF=∠EBC，继而证得BC与⊙O相切;
(2)首先过E作EG⊥BC于点G，由三角函数的性质，可求得BF的长，易证得△CEG∽△CAB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案.
【解答】(1)证明：连接AF.
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°.
∵AE=AB，
∴△ABE为等腰三角形.
∴∠BAF= ∠BAC.
∵∠EBC= ∠BAC，
∴∠BAF=∠EBC，
∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°.
∴∠ABC=90°.
即AB⊥BC，
∴BC与⊙O相切.
(2)解：过E作EG⊥BC于点G，
∵∠BAF=∠EBC，
∴sin∠BAF=sin∠EBC= .
在△AFB中，∠AFB=90°，
∵AB=8，
∴BF=AB•sin∠BAF=8× =2，
∴BE=2BF=4.
在△EGB中，∠EGB=90°，
∴EG=BE•sin∠EBC=4× =1，
∵EG⊥BC，AB⊥BC，
∴EG∥AB，
∴△CEG∽△CAB，
∴ .
∴ ，
∴CE= ，
∴AC=AE+CE=8+ = .
20.如图，直线y=﹣x+b与反比例函数y= 的图象相交于A(1，4)，B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB.
(1)求k和b的值;
(2)直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围;
(3)在y轴上是否存在一点P，使S△PAC= S△AOB?若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)由待定系数法即可得到结论;
(2)根据图象中的信息即可得到结论;
(3)过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，由(1)知，b=5，k=4，得到直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为： 列方程 ，求得B(4，1)，于是得到 ，由已知条件得到 ，过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P(0，t)，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论.
【解答】解：(1)将A(1，4)分别代入y=﹣x+b和
得：4=﹣1+b，4= ，解得：b=5，k=4;
(2)一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x>4或0
(3)过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，
由(1)知，b=5，k=4，
∴直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：
由 ，解得：x=4，或x=1，
∴B(4，1)，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
过A作AE⊥y轴，过C作CD⊥y轴，设P(0，t)，
∴S△PAC= OP•CD+ OP•AE= OP(CD+AE)=|t|=3，
解得：t=3，t=﹣3，
∴P(0，3)或P(0，﹣3).
21.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D.
(1)求证：BC是⊙O切线;
(2)若BD=5，DC=3，求AC的长.
【考点】切线的判定.
【分析】(1)要证BC是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥BC即可.
(2)过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的长，再通过证明△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质得出AC的长.
【解答】(1)证明：连接OD;
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠3.
∵OA=OD，
∴∠1=∠2.
∴∠2=∠3.
∴ ∥AC.
∴∠ODB=∠ACB=90°.
∴OD⊥BC.
∴BC是⊙O切线.
(2)解：过点D作DE⊥AB，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴CD=DE=3.
在Rt△BDE中，∠BED=90°，
由勾股定理得： ，
∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC.
∴ .
∴ .
∴AC=6.
22.一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，前2分钟其速度v(米/分)与时间t(分)满足二次函数v=at2，后三分钟其速度v(米/分)与时间t(分)满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分，求：
(1)二次函数和反比例函数的关系式.
(2)弹珠在轨道上行驶的最大速度.
(3)求弹珠离开轨道时的速度.
【考点】反比例函数的应用.
【分析】(1)二次函数图象经过点(1，2)，反比例函数图象经过点(2，8)，利用待定系数法求函数解析式即可;
(2)把t=2代入(1)中二次函数解析式即可;
(3)把t=5代入(1)中反比例函数解析式即可求得答案.
【解答】解：(1)v=at2的图象经过点(1，2)，
∴a=2.
∴二次函数的解析式为：v=2t2，(0≤t≤2);
设反比例函数的解析式为v= ，
由题意知，图象经过点(2，8)，
∴k=16，
∴反比例函数的解析式为v= (2
(2)∵二次函数v=2t2，(0≤t≤2)的图象开口向上，对称轴为y轴，
∴弹珠在轨道上行驶的最大速度在2秒末，为8米/分;
(3)弹珠在第5秒末离开轨道，其速度为v= =3.2(米/分).
五、综合题(本大题共1小题，共14分)
23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣ 且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.
(1)①直接写出点B的坐标;②求抛物线解析式.
(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC.求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标.
(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)①先求的直线y= x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标;②设抛物线的解析式为y=y=a(x+4)(x﹣1)，然后将点C的坐标代入即可求得a的值;
(2)设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ= m2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC= ×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标;
(3)首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M(0，2)时，△MAN∽△BAC;②根据抛物线的对称性，当M(﹣3，2)时，△MAN∽△ABC; ④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系.
【解答】解：(1)①y= 当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4，
∴C(0，2)，A(﹣4，0)，
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣ 对称，
∴点B的坐标为1，0).
②∵抛物线y=ax2+bx+c过A(﹣4，0)，B(1，0)，
∴可设抛物线解析式为y=a(x+4)(x﹣1)，
又∵抛物线过点C(0，2)，
∴2=﹣4a
∴a=
∴y= x2 x+2.
(2)设P(m， m2 m+2).
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，
∴Q(m， m+2)，
∴PQ= m2 m+2﹣( m+2)
= m2﹣2m，
∵S△PAC= ×PQ×4，
=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣(m+2)2+4，
∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是4，
此时P(﹣2，3).
(3)方法一：
在Rt△AOC中，tan∠CAO= 在Rt△BOC中，tan∠BCO= ，
∴∠CAO=∠BCO，
∵∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠CAO+∠OBC=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC∽△ACO∽△CBO，
如下图：
①当M点与C点重合，即M(0，2)时，△MAN∽△BAC;
②根据抛物线的对称性，当M(﹣3，2)时，△MAN∽△ABC;
③当点M在第四象限时，设M(n， n2 n+2)，则N(n，0)
∴MN= n2+ n﹣2，AN=n+4
当 时，MN= AN，即 n2+ n﹣2= (n+4)
整理得：n2+2n﹣8=0
解得：n1=﹣4(舍)，n2=2
∴M(2，﹣3);
当 时，MN=2AN，即 n2+ n﹣2=2(n+4)，
整理得：n2﹣n﹣20=0
解得：n1=﹣4(舍)，n2=5，
∴M(5，﹣18).
综上所述：存在M1(0，2)，M2(﹣3，2)，M3(2，﹣3)，M4(5，﹣18)，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.
方法二：
∵A(﹣4，0)，B(1，0)，C(0，2)，
∴KAC×KBC=﹣1，
∴AC⊥BC，MN⊥x轴，
若以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，
则 ， ，
设M(2t，﹣2t2﹣3t+2)，
∴N(2t，0)，
①| |= ，
∴| |= ，
∴2t1=0，2t2=2，
②| |= ，
∴| |=2，∴2t1=5，2t2=﹣3，
综上所述：存在M1(0，2)，M2(﹣3，2)，M3(2，﹣3)，M4(5，﹣18)，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.
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