九年级数学上册第一次月考试题(2)
20.(10分)(2015秋•江阴市校级月考)(1)计算：﹣24﹣ +|1﹣4sin60°|+(π﹣1)0;
(2)已知x2﹣4x+l=0，求 ﹣ 的值.
考点： 实数的运算;分式的化简求值;零指数幂;特殊角的三角函数值.
分析： (1)分别进行乘方、绝对值的化简、二次根式的化简、零指数幂等运算，然后合并;
(2)先根据题意求出x2﹣4x=﹣l，然后进行分式的化简，带入求解.
解答： 解：(1)原式=﹣16﹣2 +2 ﹣1+1
=﹣16;
(2)∵x2﹣4x+l=0，
∴x2﹣4x=﹣l，
∴ ﹣ =
=
=
=﹣23.
点评： 本题考查了实数的运算，涉及了乘方、绝对值的化简、二次根式的化简、零指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键.
21.已知方程x2﹣2mx+3m=0的两根x1、x2满足(x1+2)(x2+2)=22﹣m2，求m的值.
考点： 根与系数的关系.
专题： 计算题.
分析： 先根据根与系数的关系得到x1+x2=2m，x1x2=3m，再把已知条件变形可得3m+4m+4=22﹣m2，解得m1=﹣9，m2=2，然后利用根的判别式确定满足条件的m的值.
解答： 解：根据题意得x1+x2=2m，x1x2=3m，
∵(x1+2)(x2+2)=22﹣m2，
∴x1x2+2(x1+x2)+4=22﹣m2，
∴3m+4m+4=22﹣m2，
整理得m2+7m﹣18=0，解得m1=﹣9，m2=2，
当m=﹣9时，原方程变形为x2+18x﹣27=0，△>0，方程有两个不相等的实数解;
当m=2时，原方程变形为x2﹣4x+6=0，△<0，方程没有实数解，
∴m的值为﹣9.
点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2= ，x1x2= .
22.在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC;
(2)若AB=8，AD=6 ，AF=4 ，求AE的长.
考点： 相似三角形的判定与性质;勾股定理;平行四边形的性质.
专题： 压轴题.
分析： (1)利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC;
(2)利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度;然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.
解答： (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC.
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C.
在△ADF与△DEC中，
∴△ADF∽△DEC.
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8.
由(1)知△ADF∽△DEC，
∴ ，∴DE= = =12.
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE= = =6.
点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点.题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错.
23.⊙O的弦AB=8，直径CD⊥AB于M，OM：MD=3：2，E是劣弧CB上一点，连结CE并延长交CE的延长线于点F.求：
(1)⊙O的半径;
(2)求CE•CF的值.
考点： 垂径定理;勾股定理;相似三角形的判定与性质.
专题： 计算题.
分析： (1)连结OB，设OM=3k，则MD=2k，OD=5k，根据垂径定理由直径CD⊥AB得到BM=AM= AB=4，在Rt△OBM中，OB=5k，OM=3k，根据勾股定理得BM=4k，
则4k=4，解得k=1，于是得到圆O的半径为5;
(2)连结AE，在Rt△ACM中，CM=OC+OM=8，AM=4，由勾股定理计算出AC2=AM2+CM2=80，根据垂径定理由直径CD⊥AB得到弧AC=弧BC，在根据圆周角定理得∠AEC=∠CAF，易证得△CAE∽△CFA，得到相似比AC：CF=CE：AC，然后根据比例性质得CE•CF=AC2=80.
解答： 解：(1)连结OB，设OM=3k，则MD=2k，OD=5k，
∵直径CD⊥AB，
∴BM=AM= AB=4，
在Rt△OBM中，OB=5k，OM=3k，
∴BM= =4k，
∴4k=4，解得k=1，
∴圆O的半径为5;
(2)连结AE，
在Rt△ACM中，CM=OC+OM=5+3=8，AM=4，
∴AC2=AM2+CM2=16+64=80，
∵直径CD⊥AB，
∴弧AC=弧BC，
∴∠AEC=∠CAF，
又∵∠ACF=∠FCA，
∴△CAE∽△CFA，
∴AC：CF=CE：AC，
∴CE•CF=AC2=80.
点评： 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质.
24.某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度(结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11， ≈1.73)
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题;解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
分析： 根据矩形性质得出DG=CH，CG=DH，再利用锐角三角函数的性质求出问题即可.
解答： 解：过点D作DG⊥BC于GDH⊥CE于H，
则四边形DHCG为矩形.
故DG=CH，CG=DH，
在直角三角形AHD中，
∵∠DAH=30°，AD=6，
∴DH=3，AH=3 ，
∴CG=3，
设BC为x，
在直角三角形ABC中，AC= = ，
∴DG=3 + ，BG=x﹣3，
在直角三角形BDG中，∵BG=DG•tan30°，
∴x﹣3=(3 + )
解得：x≈13，
∴大树的高度为：13米.
点评： 本题考查了仰角、坡角的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并结合形利用三角函数解直角三角形是解题的关键.
25.随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆.
(1)求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率;
(2)为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，从2011年初起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆;另据估计，该市从2011年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数多不能超过多少万辆.
考点： 一元二次方程的应用;一元一次不等式的应用.
分析： (1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列出方程，不合题意的解，舍去即可;
(2)设全市每年新增汽车数量为y万辆，则得出2011年底和2012年底全市的汽车拥有量，从而列出不等式求解即可.
解答： 解：(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为x，
根据题意得，15(1+x)2=21.6，
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去).
答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%;
(2)设全市每年新增汽车数量为y万辆，
则2011年底全市的汽车拥有量为[21.6×(1﹣10%)+y]万辆，
2012年底全市的汽车拥有量为[21.6×(1﹣10%)+y]×(1﹣10%)+y万辆.
根据题意得：[21.6×(1﹣10%)+y]×(1﹣10%)+y≤23.196，
解得y≤3.
答：该市每年新增汽车数量最多不能超过3万辆.
点评： 本题考查了一元二次方程和不等式的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.
26.(10分)(2015•宁夏)是一副学生用的三角板，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°;在△A1B1C1中，∠C1=90°，∠A1=45°，∠B1=45°，且A1B1=CB.若将边A1C1与边CA重合，其中点A1与点C重合.将三角板A1B1C1绕点C(A1)按逆时针方向旋转，旋转过的角为α，旋转过程中边A1C1与边AB的交点为M，设AC=a.
(1)计算A1C1的长;
(2)当α=30°时，证明：B1C1∥AB;
(3)若a= ，当α=45°时，计算两个三角板重叠部分形的面积;
(4)当α=60°时，用含a的代数式表示两个三角板重叠部分形的面积.
(参考数据：sin15°= ，cos15°= ，tan15°=2﹣ ，sin75°= ，cos75°= ，tan75°=2+ )
考点： 几何变换综合题.
专题： 压轴题;创新题型.
分析： (1)在Rt△ABC中，由特殊锐角三角函数值，先求得BC的长，然后在Rt△A1B1C1中利用特殊锐角三角函数即可求得A1C1的长;
(2)利用三角形的外角的性质求得∠BMC=90°，然后利用同位角相等，两直线平行进行判定即可;
(3)两个三角板重叠部分形的面积=△A1B1C1的面积﹣△BC1M的面积;
(4)两个三角板重叠部分形的面积=△CC1B1的面积﹣三角形FB1C的面积﹣三角形DC1M的面积.
解答： 解：(1)在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=a，
由特殊锐角三角函数可知： ，
∴BC= .
∴B1C=
在Rt△A1B1C1，∠B1=∠45°，
∴ .
∴A1C1= = .
(2)∵∠ACM=30°，∠A=60°，
∴∠BMC=90°.
∴∠C1=∠BMC.
∴B1C1∥AB.
(3)如下：
由(1)可知：A1C1= = =3+
∴△A1B1C1的面积= =
∵∠A1B1C1=45°，∠ABC=30°
∴∠MBC1=15°
在Rt△BC1M中，C1M=BCtan15°=(3+ )(2﹣ )=3﹣ ，
∴Rt△BC1M的面积= = =3.
∴两个三角板重叠部分形的面积=△A1B1C1的面积﹣△BC1M的面积=3 +3.
(4)由(1)可知：BC= ，A1C1= ，
∴C1F=A1C1•tan30°= a，
∴ = = × a× a= a2，
∵∠MCA=60°，∠A=60°，
∴∠AMC=60°
∴MC=AC=MA=a.
∴C1M=C1A1﹣MC= .
∵∠MCA=60°，
∴∠C1A1B=30°，
∴∠C1MD=∠B+∠C1A1B=60°
在Rt△DC1M中，由特殊锐角三角函数可知：C1D=C1M•tan60°= a，
∴ = C1M•C1D= a2，
两个三角板重叠部分形的面积= ﹣ = C1M= a2﹣ a2= a2.
点评： 本题主要考查的是锐角三角函数和三角形的综合应用，难度较大，解答本题的关键是灵活应用锐角函数求得相关线段的长度.
27.(12分)(2012•北京)在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|;
若|x1﹣x2|<|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|.
例如：点P1(1，2)，点P2(3，5)，因为|1﹣3|<|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点).
(1)已知点A(﹣ ，0)，B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标;
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;
(2)已知C是直线y= x+3上的一个动点，
①2，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标;
②3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标.
考点： 一次函数综合题.
专题： 压轴题.
分析： (1)①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为(0，y).由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|=2，据此可以求得y的值;
②设点B的坐标为(0，y).因为|﹣ ﹣0|≥|0﹣y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣ ﹣0|= ;
(2)①设点C的坐标为(x0， x0+3).根据材料“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为﹣x0= x0+2，据此可以求得点C的坐标;
②当点E在过原点且与直线y= x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，即E(﹣ ， ).解答思路同上.
解答： 解：(1)①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为(0，y).
∵|﹣ ﹣0|= ≠2，
∴|0﹣y|=2，
解得，y=2或y=﹣2;
∴点B的坐标是(0，2)或(0，﹣2);
②点A与点B的“非常距离”的最小值为
(2)①2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答，此时|x1﹣x2|=|y1﹣y2|.即AC=AD，
∵C是直线y= x+3上的一个动点，点D的坐标是(0，1)，
∴设点C的坐标为(x0， x0+3)，
∴﹣x0= x0+2，
此时，x0=﹣ ，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|= ，
此时C(﹣ ， );
②当点E在过原点且与直线y= x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，设E(x，y)(点E位于第二象限).则
，
解得， ，
故E(﹣ ， ).
﹣ ﹣x0= x0+3﹣ ，
解得，x0=﹣ ，
则点C的坐标为(﹣ ， )，
最小值为1.
点评： 本题考查了一次函数综合题.对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件.本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键.
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