2017数学必修一函数应用题及答案(2)
16.有下列四个命题：
①函数f(x)=|x||x-2|为偶函数;
②函数y=x-1的值域为{y|y≥0};
③已知集合A={-1,3}，B={x|ax-1=0，a∈R}，若A∪B=A，则a的取值集合为{-1，13};
④集合A={非负实数}，B={实数}，对应法则f：“求平方根”，则f是A到B的映射.你认为正确命题的序号为：________.
【解析】 函数f(x)=|x||x-2|的定义域为(-∞，2)∪
(2，+∞)，它关于坐标原点不对称，所以函数f(x)=|x||x-2|既不是奇函数也不是偶函数，即命题①不正确;
函数y=x-1的定义域为{x|x≥1}，当x≥1时，y≥0，即命题②正确;
因为A∪B=A，所以B⊆A，若B=Ø，满足B⊆A，这时a=0;若B≠Ø，由B⊆A，得a=-1或a=13.因此，满足题设的实数a的取值集合为{-1,0，13}，即命题③不正确;依据映射的定义知，命题④正确.
【答案】 ②④
三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-3x-10的两个零点为x1，x2(x1
【解析】 A={x|x≤-2，或x≥5}.
要使A∩B=Ø，必有2m-1≥-2，3m+2≤5，3m+2>2m-1，
或3m+2<2m-1，
解得m≥-12，m≤1，m>-3，或m<-3，即-12≤m≤1，或m<-3.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2+2ax+2，x∈[-5,5].
(1)当a=-1时，求f(x)的最大值和最小值;
(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.
【解析】 (1)当a=-1时，
f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1，x∈[-5,5].
由于f(x)的对称轴为x=1，结合图象知，
当x=1时，f(x)的最小值为1，
当x=-5时，f(x)的最大值为37.
(2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图象的对称轴为x=-a，
∵f(x)在区间[-5,5]上是单调函数，
∴-a≤-5或-a≥5.
故a的取值范围是a≤-5或a≥5.
19.(本小题满分12分)(1)计算：27912+(lg5)0+(2764)-13;
(2)解方程：log3(6x-9)=3.
【解析】 (1)原式
=25912+(lg5)0+343-13
=53+1+43=4.
(2)由方程log3(6x-9)=3得
6x-9=33=27，∴6x=36=62，∴x=2.
经检验，x=2是原方程的解.
20.(本小题满分12分)有一批影碟机(VCD)原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售，甲商场用下面的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少?
【解析】 设购买x台，甲、乙两商场的差价为y，则去甲商场购买共花费(800-20x)x，由题意800-20x≥440.
∴1≤x≤18(x∈N).
去乙商场花费800×75%x(x∈N*).
∴当1≤x≤18(x∈N*)时
y=(800-20x)x-600x=200x-20x2，
当x>18(x∈N*)时，y=440x-600x=-160x，
则当y>0时，1≤x≤10;
当y=0时，x=10;
当y<0时，x>10(x∈N).
综上可知，若买少于10台，去乙商场花费较少;若买10台，甲、乙商场花费相同;若买超过10台，则去甲商场花费较少.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
【解析】 (1)由1+x>0，1-x>0，得-1
∴函数f(x)的定义域为(-1,1).
(2)定义域关于原点对称，对于任意的x∈(-1,1)，
有-x∈(-1,1)，
f(-x)=lg(1-x)-lg(1+x)=-f(x)
∴f(x)为奇函数.
22.(本小题满分14分)设a>0，f(x)=exa+aex是R上的偶函数.
(1)求a的值;
(2)证明：f(x)在(0，+∞)上是增函数.
【解析】 (1)解：∵f(x)=exa+aex是R上的偶函数，
∴f(x)-f(-x)=0.
∴exa+aex-e-xa-ae-x=0，
即1a-aex+a-1ae-x=0
1a-a(ex-e-x)=0.
由于ex-e-x不可能恒为0，
∴当1a-a=0时，式子恒成立.
又a>0，∴a=1.
(2)证明：∵由(1)知f(x)=ex+1ex，
在(0，+∞)上任取x1
f(x1)-f(x2)=ex1+1ex1-ex2-1ex2
=(ex1-ex2)+(ex2-ex1)•1ex1+x2.
∵e>1，∴0
∴ex1+x2>1，(ex1-ex2)1-1ex1+x2<0，
∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)
∴f(x)在(0，+∞)上是增函数.
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