高一必修三数学概率与统计专题训练试题及答案
文娟分享
考试是检测学习成效的重要手段，孰能生巧，考前一定要多做多练。以下是学习啦小编为大家收集整理的高一必修三数学概率与统计专题训练试题，请考生认真学习。
若甲、乙两位旅客打算从A城到B城，假设他们到达A城火车站侯车的时间分别是周六8：00和周日8：20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素)
(1)设乙侯车所需时间为随机变量X，求X的分布列和数学期望;
(2)求甲、乙二人候车时间相等的概率.
解 (1)X的所有可能取值为10、30、50、70、90(分钟)，其概率分布列如下
X的数学期望E(X)=10×2(1)+30×3(1)+50×36(1)+70×12(1)+90×18(1)=9(245)(分钟).
(2)甲、乙二人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为
P甲10=6(1)，P甲30=2(1)，P甲50=3(1);
P乙10=2(1)，P乙30=3(1)，P乙50=6(1)×6(1)=36(1).
所以所求概率P=6(1)×2(1)+2(1)×3(1)+3(1)×36(1)=108(28)=27(7)，
即甲、乙二人候车时间相等的概率为27(7).
2.(2014·皖南八校联考)从正方体的各个表面上的12条面对角线中任取2条，设ξ为2条面对角线所成的角(用弧度制表示)，如当2条面对角线垂直时，ξ=2(π).
(1)求概率P(ξ=0);
(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ).
解 (1)当ξ=0时，即所选的2条面对角线平行，则P(ξ=0)=12(2)=11(1).
(2)ξ的可能取值为0，3(π)，2(π).
则P(ξ=0)=12(2)=11(1)，P3(π)=12(2)=11(8)，P2(π)=12(2)=11(2).
ξ的分布列如下：
E(ξ)=0×11(1)+3(π)×11(8)+2(π)×11(2)=3(π).
3.(2014·广州调研)空气质量指数PM2.5(单位：μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重.PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：
从甲城市2014年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图所示.
(1)试估计甲城市在2014年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数;
(2)在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望.
解 (1)由茎叶图可知，甲城市在2014年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5.
所以可估计甲城市在2014年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10.
(2)X的所有可能取值为0,1,2，
因为P(X=0)=15(2)=7(3)，P(X=1)=15(2)=21(10)，P(X=2)=15(2)=21(2)，
所以X的分布列为：
数学期望E(X)=0×7(3)+1×21(10)+2×21(2)=3(2).
4.(2014·浙江名校联考)甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束.因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为2(1).据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元.
(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率;
(2)设总决赛中获得门票总收入为X，求X的均值E(X).
解 (1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列.
设此数列为{an}，则易知a1=40，an=10n+30，
所以Sn=2(n(10n+70))=300.
解得n=-12(舍去)或n=5，
所以总决赛共比赛了5场.
则前4场比赛中，一支球队共赢了3场，且第5场比赛中，领先的球队获胜，其概率为C4(1)2(1)4=4(1).
(2)随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即220,300,390,490.
又P(X=220)=2×2(1)4=8(1)，
P(X=300)=C4(1)2(1)4=4(1)，
P(X=390)=C5(2)2(1)5=16(5)，
P(X=490)=C6(3)2(1)6=16(5)，
所以X的分布列为
所以X的均值E(X)=377.5(万元).
5.自驾游从A地到B地有甲、乙两条线路，甲线路是A-C-D-B，乙线路是A-E-F-G-H-B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段.假设这三条路段堵车与否相互独立.这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示.经调查发现，堵车概率x在，1(2)上变化，y在2(1)上变化.在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元.而每堵车1小时，需多花汽油费20元.路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲路线的司机，得到表2数据.
(1)求CD段平均堵车时间a的值;
(2)若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率.
解 (1)a=2(1)×100(8)+2(3)×100(6)+2(5)×100(38)+2(7)×100(24)+2(9)×100(24)=3.
(2)设走甲线路所花汽油费为ξ元，则E(ξ)=500(1-x)+(500+60)x=500+60x.
设走乙线路多花的汽油费为η元，
∵EF段与GH段堵车与否相互独立，
∴P(η=0)=(1-y)×4(1)，
P(η=20)=(1-y)×4(1)，
P(η=40)=y×4(1)，
P(η=60)=4(1)y，
∴E(η)=0×(1-y)×4(1)+20×(1-y)×4(1)+40×y×4(1)+60×4(1)y=40y+5.
∴走乙线路所花的汽油费的数学期望为E(545+η)=545+E(η)=550+40y.
依题意，选择走甲线路应满足(550+40y)-(500+60x)≥0，
即6x-4y-5≤0，又3(2)<x<1,0<y<2(1)，
∴P(选择走甲线路)=2(1)=8(7).
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高一必修三数学概率与统计专题训练试题
1.(2014·保定调研)近年来，我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A、B两城之间开通高速列车，假设在试运行期间，每天8：00-9：00,9：00-10：00两个时段内各发一趟列车由A城到B城(两车发生情况互不影响)，A城发车时间及其概率如下表所示：| 发生时间 | 8：10 | 8：30 | 8：50 | 9：10 | 9：30 | 9：50 |
| 概率 | 6 | 2 | 3 | 6 | 2 | 3 |
(1)设乙侯车所需时间为随机变量X，求X的分布列和数学期望;
(2)求甲、乙二人候车时间相等的概率.
解 (1)X的所有可能取值为10、30、50、70、90(分钟)，其概率分布列如下
| X | 10 | 30 | 50 | 70 | 90 |
| P | 2 | 3 | 36 | 12 | 18 |
(2)甲、乙二人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为
P甲10=6(1)，P甲30=2(1)，P甲50=3(1);
P乙10=2(1)，P乙30=3(1)，P乙50=6(1)×6(1)=36(1).
所以所求概率P=6(1)×2(1)+2(1)×3(1)+3(1)×36(1)=108(28)=27(7)，
即甲、乙二人候车时间相等的概率为27(7).
2.(2014·皖南八校联考)从正方体的各个表面上的12条面对角线中任取2条，设ξ为2条面对角线所成的角(用弧度制表示)，如当2条面对角线垂直时，ξ=2(π).
(1)求概率P(ξ=0);
(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ).
解 (1)当ξ=0时，即所选的2条面对角线平行，则P(ξ=0)=12(2)=11(1).
(2)ξ的可能取值为0，3(π)，2(π).
则P(ξ=0)=12(2)=11(1)，P3(π)=12(2)=11(8)，P2(π)=12(2)=11(2).
ξ的分布列如下：
| ξ | 0 | 3 | 2 |
| P | 11 | 11 | 11 |
3.(2014·广州调研)空气质量指数PM2.5(单位：μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重.PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：
| PM2.5日均浓度 | 0～35 | 35～75 | 75～115 | 115～150 | 150～250 | >250 |
| 空气质量类别 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
(2)在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X为空气质量类别为优或良的天数，求X的分布列及数学期望.
解 (1)由茎叶图可知，甲城市在2014年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5.
所以可估计甲城市在2014年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10.
(2)X的所有可能取值为0,1,2，
因为P(X=0)=15(2)=7(3)，P(X=1)=15(2)=21(10)，P(X=2)=15(2)=21(2)，
所以X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 |
| P | 7 | 21 | 21 |
4.(2014·浙江名校联考)甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束.因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为2(1).据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元.
(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率;
(2)设总决赛中获得门票总收入为X，求X的均值E(X).
解 (1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列.
设此数列为{an}，则易知a1=40，an=10n+30，
所以Sn=2(n(10n+70))=300.
解得n=-12(舍去)或n=5，
所以总决赛共比赛了5场.
则前4场比赛中，一支球队共赢了3场，且第5场比赛中，领先的球队获胜，其概率为C4(1)2(1)4=4(1).
(2)随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即220,300,390,490.
又P(X=220)=2×2(1)4=8(1)，
P(X=300)=C4(1)2(1)4=4(1)，
P(X=390)=C5(2)2(1)5=16(5)，
P(X=490)=C6(3)2(1)6=16(5)，
所以X的分布列为
| X | 220 | 300 | 390 | 490 |
| P | 8 | 4 | 16 | 16 |
5.自驾游从A地到B地有甲、乙两条线路，甲线路是A-C-D-B，乙线路是A-E-F-G-H-B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段.假设这三条路段堵车与否相互独立.这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示.经调查发现，堵车概率x在，1(2)上变化，y在2(1)上变化.在不堵车的情况下，走甲线路需汽油费500元，走乙线路需汽油费545元.而每堵车1小时，需多花汽油费20元.路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲路线的司机，得到表2数据.
| CD段 | EF段 | GH段 | |
| 堵车概率 | x | y | 4 |
| 平均堵车时间(单位：小时) | a | 2 | 1 |
| 堵车时间(单位：小时) | 频数 |
| [0,1] | 8 |
| (1,2] | 6 |
| (2,3] | 38 |
| (3,4] | 24 |
| (4,5] | 24 |
(2)若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率.
解 (1)a=2(1)×100(8)+2(3)×100(6)+2(5)×100(38)+2(7)×100(24)+2(9)×100(24)=3.
(2)设走甲线路所花汽油费为ξ元，则E(ξ)=500(1-x)+(500+60)x=500+60x.
设走乙线路多花的汽油费为η元，
∵EF段与GH段堵车与否相互独立，
∴P(η=0)=(1-y)×4(1)，
P(η=20)=(1-y)×4(1)，
P(η=40)=y×4(1)，
P(η=60)=4(1)y，
∴E(η)=0×(1-y)×4(1)+20×(1-y)×4(1)+40×y×4(1)+60×4(1)y=40y+5.
∴走乙线路所花的汽油费的数学期望为E(545+η)=545+E(η)=550+40y.
依题意，选择走甲线路应满足(550+40y)-(500+60x)≥0，
即6x-4y-5≤0，又3(2)<x<1,0<y<2(1)，
∴P(选择走甲线路)=2(1)=8(7).
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