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高三文科数学上学期期中试题

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  要把数学学好就得找到适合自己的学习方法,了解数学学科的特点,使自己进入数学的广阔天地中去,今天小编就给大家分享一下高三数学,一起来收藏哦

  高三数学上学期期中试题文科

  一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

  1.设全集U=R,集合 ,则∁UA等于(  )

  A.[1,2] B.[1,2) C.(1,2] D.(1,2)

  2.已知复数 ,则z的共轭复数 等于(  )

  A. B. C.1+i D.1﹣i

  3.已知 ,则 等于(  )

  A.7 B. C.3 D.

  4.2015是等差数列3,7,11…的第项(  )

  A.502 B.503 C.504 D.505

  5.函数y=lg(x2﹣2x)的单调增区间为(  )

  A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,1) D.(﹣∞,2)

  6.已知函数f(x)为奇函数,当x≥0时,f(x)=cosx,则 =(  )

  A. B. C. D.

  7.若等比数列前n项和为 ,则c等于(  )

  A.2 B.﹣2 C.1 D.0

  8.命题p:∀a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6相交.则¬p及¬p的真假为(  )

  A.¬p:∀a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交,¬p为真

  B.¬p:∀a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交,¬p为假

  C.¬p:∃a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交,¬p为真

  D.¬p:∃a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交,¬p为假

  9.函数 在某一个周期内的最低点和最高点坐标为 ,则该函数的解析式为(  )

  A. B. C. D.

  10.若点P(x,y)在以A(﹣3,1),B(﹣1,0),C(﹣2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界),则 的取值范围(  )

  A.[ ,1] B.( ,1) C.[ ,1] D.( ,1)

  11.已知f(x)=sinx﹣ x(x ,则f(x)的值域为(  )

  A.[0, ﹣ ] B.[1﹣ , ﹣ ] C.[0, ﹣ ] D.[1﹣ , ﹣ ]

  12.设F1、F2分别是椭圆 的左,右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(3,3),则|PM|﹣|PF2|的最小值为(  )

  A.5 B. C.1 D.

  二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

  13.椭圆 的离心率为      .

  14.框图如图所示,最后输出的a=      .

  15.设实数x,y满足约束条件 目标函数z=x+ay取最大值时有无穷多个最优解,则a=      .

  16.已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若P、F1、F2、是一个直角三角形的三个顶点,则P到x轴的距离为      .

  三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

  17.已知关于x的不等式 对于a∈(1,+∞)恒成立,求实数x的取值范围.

  18.已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣4)2=r2(r>0)

  (Ⅰ)若直线x﹣y+5=0与圆C相交所得弦长为 ,求半径r;

  (Ⅱ)已知原点O,点A(2,0),若圆C上存在点P,使得 ,求半径r的取值范围.

  19.已知△ABC中,D为AC的中点,AB=3,BD=2,cos∠ABC= .

  (Ⅰ)求BC;

  (Ⅱ)求sinA.

  20.已知数列{an}满足a1=3,an+1﹣3an=3n(n∈N*),数列{bn}满足bn= .

  (Ⅰ)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;

  (Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.

  21.已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左右顶点分别为A1,A2,过F1作斜率不为0的直线l与椭圆交于A,B两点,△ABF2的周长为8.椭圆上一点P与A1,A2连线的斜率之积 (点P不是左右顶点A1,A2).

  (Ⅰ)求该椭圆方程;

  (Ⅱ)已知定点M(0,m)(其中常数m>0),求椭圆上动点N与M点距离的最大值.

  22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).

  (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;

  (Ⅱ)当x∈(0,1)时,f(x)<0,求实数a的取值范围.

  参考答案与试题解析

  一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

  1.设全集U=R,集合 ,则∁UA等于(  )

  A.[1,2] B.[1,2) C.(1,2] D.(1,2)

  【考点】并集及其运算.

  【分析】先解不等式从而解出集合A,然后求∁UA.

  【解答】解:∵全集U=R,集合A={x| ≥0}={x|x≤1或x>2},

  ∴∁UA={x|1

  故选C.

  2.已知复数 ,则z的共轭复数 等于(  )

  A. B. C.1+i D.1﹣i

  【考点】复数代数形式的乘除运算.

  【分析】化简复数为a+bi,然后求解共轭复数即可.

  【解答】解:复数 = = .

  则z的共轭复数 = .

  故选:A.

  3.已知 ,则 等于(  )

  A.7 B. C.3 D.

  【考点】平面向量数量积的运算.

  【分析】直接利用向量的数量积,以及向量的模,求解即可.

  【解答】解: ,

  则 = = = .

  故选:B.

  4.2015是等差数列3,7,11…的第项(  )

  A.502 B.503 C.504 D.505

  【考点】等差数列的通项公式.

  【分析】由题意易得数列的通项公式,令其等于2015解n值即可.

  【解答】解:由题意可得等差数列的公差d=7﹣3=4,

  ∴通项公式an=3+4(n﹣1)=4n﹣1,

  令4n﹣1=2015可解得n=504

  故选:C

  5.函数y=lg(x2﹣2x)的单调增区间为(  )

  A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,1) D.(﹣∞,2)

  【考点】复合函数的单调性.

  【分析】令t=x2﹣2x>0,求得函数的定义域,根据y=g(t)=lgt,本题即求函数t在定义域内的增区间,再利用二次函数的性质,得出结论.

  【解答】解:令t=x2﹣2x>0,求得x<0,或 x>2,故函数的定义域为{x|x<0,或 x>2},

  根据y=g(t)=lgt,本题即求函数t在定义域内的增区间,

  再利用二次函数的性质求得函数t在定义域内的增区间为(2,+∞),

  故选:A.

  6.已知函数f(x)为奇函数,当x≥0时,f(x)=cosx,则 =(  )

  A. B. C. D.

  【考点】函数奇偶性的性质.

  【分析】直接利用函数的奇偶性以及特殊角的三角函数值 求解即可.

  【解答】解:函数f(x)为奇函数,当x≥0时,f(x)=cosx,

  则 =﹣f( )=﹣cos =﹣ .

  故选:D.

  7.若等比数列前n项和为 ,则c等于(  )

  A.2 B.﹣2 C.1 D.0

  【考点】等比数列的前n项和.

  【分析】求出an,求出a1,a2,a3,再由a22=a1•a3能够得到常数a的值.

  【解答】解:因为数列{an}的前n项和Sn=2n+1﹣c所以S1=4﹣c,S2=8﹣c,S3=16﹣c,

  又因为a1=s1,a2=s2﹣s1,a3=s3﹣s2,所以a1=4﹣c,a2=4,a3=8,

  根据数列{an}是等比数列,可知a1a3=a22,所以(4﹣c)×8=16,解得,c=2.

  故选:A.

  8.命题p:∀a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6相交.则¬p及¬p的真假为(  )

  A.¬p:∀a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交,¬p为真

  B.¬p:∀a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交,¬p为假

  C.¬p:∃a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交,¬p为真

  D.¬p:∃a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交,¬p为假

  【考点】命题的真假判断与应用;命题的否定.

  【分析】写出命题否定命题,然后判断真假即可.

  【解答】解:命题p:∀a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6相交.则¬p:∃a∈R,直线ax+y﹣2a﹣1=0与圆x2+y2=6不相交,

  直线系恒过定点(2,1),因为在圆x2+y2=6的内部,所以直线系恒与圆相交.

  所以否定命题是假命题.

  故选:D.

  9.函数 在某一个周期内的最低点和最高点坐标为 ,则该函数的解析式为(  )

  A. B. C. D.

  【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.

  【分析】由函数图象最高点和最低点纵坐标可得振幅A值,相邻最高和最低点间的横坐标之差为半个周期,即可求得函数的周期,进而得ω的值,利用点( ,2)在函数图象上,解得:φ=2kπ﹣ ,k∈Z,结合范围|φ| ,可得φ的值,从而得解.

  【解答】解:∵某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为 ,

  ∴A=2,T=2×( + )=π,

  ∴ω= = =2,

  ∴f(x)=2sin(2x+φ),

  ∵点( ,2)在函数图象上,可得:2sin(2× +φ)=2,sin( +φ)=1,解得:φ=2kπ﹣ ,k∈Z,

  ∵|φ| ,可得φ=﹣ .

  ∴该函数的解析式为2sin(2x﹣ ).

  故选:B.

  10.若点P(x,y)在以A(﹣3,1),B(﹣1,0),C(﹣2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界),则 的取值范围(  )

  A.[ ,1] B.( ,1) C.[ ,1] D.( ,1)

  【考点】直线的斜率.

  【分析】先有斜率公式得出式子 的几何意义是点P(x,y)和定点D(1,2)连线的斜率,由题意画出图形,根据图形求直线PD的斜率范围.

  【解答】解:式子 的几何意义是点P(x,y)和定点D(1,2)连线的斜率,

  根据题意画出图形如图:

  由图得,直线BD的斜率是 =1,直线AD的斜率是 = ,

  故直线PD的斜率

  故选D.

  11.已知f(x)=sinx﹣ x(x ,则f(x)的值域为(  )

  A.[0, ﹣ ] B.[1﹣ , ﹣ ] C.[0, ﹣ ] D.[1﹣ , ﹣ ]

  【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数的值域.

  【分析】利用利用导数研究闭区间上的函数的单调性极值与最值即可得出.

  【解答】解:f(x)=sinx﹣ x(x ,

  f′(x)=cosx﹣ ,

  则当 时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当 时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减.

  ∴当x= 时,函数f(x)取得最大值, = ﹣ .

  而f(0)=0,f( )=1﹣ .

  ∴f(x)的值域为 .

  故选:A.

  12.设F1、F2分别是椭圆 的左,右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(3,3),则|PM|﹣|PF2|的最小值为(  )

  A.5 B. C.1 D.

  【考点】椭圆的简单性质.

  【分析】由题意画出图形,利用椭圆定义把|PM|﹣|PF2|转化为|PM|﹣(2a﹣|PF1|)=(|PM|+|PF1|)﹣4.然后求出|MF1|得答案.

  【解答】解:如图,

  由椭圆方程 ,得a=2,2a=4.

  由椭圆定义知:|PF2|=2a﹣|PF1|,

  ∴|PM|﹣|PF2|=|PM|﹣(2a﹣|PF1|)=(|PM|+|PF1|)﹣4.

  连接MF1 交椭圆于P,则P为满足条件的点.

  此时|PM|+|PF1|最小,则(|PM|+|PF1|)﹣4最小.

  ∵F1(﹣1,0),M(3,3),

  ∴ ,

  ∴|PM|﹣|PF2|的最小值为1.

  故选:C.

  二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

  13.椭圆 的离心率为   .

  【考点】椭圆的标准方程.

  【分析】根据椭圆的标准方程,确定a,b的值,求出c的值,利用离心率公式可得结论.

  【解答】解:由题意,a=3,b= ,

  ∴ ,

  ∴ =

  故答案为:

  14.框图如图所示,最后输出的a=   .

  【考点】程序框图.

  【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的i,a的值,当i=3,时满足条件i≥3,退出循环,输出a的值为 .

  【解答】解:模拟执行程序框图,可得

  i=1,a=2

  i=2,a=﹣3

  不满足条件i≥3,i=3,a=﹣ ,

  满足条件i≥3,退出循环,输出a的值为 .

  故答案为: .

  15.设实数x,y满足约束条件 目标函数z=x+ay取最大值时有无穷多个最优解,则a= 0 .

  【考点】简单线性规划.

  【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,要使目标函数的最优解有无数个,则目标函数和其中一条直线平行,然后根据条件即可求出a的值.

  【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).

  若a=0,则x=z,此时满足条件最大值时有无穷多个最优解,此时a=0,

  若a>0,

  由z=x+ay得y=﹣ x+ ,

  若a>0,∴目标函数的斜率k=﹣ <0.

  平移直线y=﹣ x+ ,

  由图象可知当直线y=﹣ x+ 和直线AB:x+y=5平行时,此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个,此时不满足条件,

  若a<0,∴目标函数的斜率k=﹣ >0.

  平移直线y=﹣ x+ ,

  由图象可知直线y=﹣ x+ ,取得最大值的点只有一个,此时不满足条件,

  综上a=0,

  答案为:0

  16.已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若P、F1、F2、是一个直角三角形的三个顶点,则P到x轴的距离为   .

  【考点】椭圆的简单性质.

  【分析】设点P(x,y),表示出点P到x轴的距离为|y|,由哪一个角是直角来分类讨论,在第一类中直接令x=±4得结果,在第二类中要列出方程组,再用等面积法求|y|.

  【解答】解:设点P(x,y),则到x轴的距离为|y|

  由于a=5,b=3,∴c=4,

  (1)若∠PF1F2=90°或∠PF2F1=90°,

  令x=±4得y2=9 (1﹣ )= ,

  ∴|y|= ,即P到x轴的距离为 .

  (2)若∠F1PF2=90°,则

  ,

  ∴|PF1||PF2|= =18,

  ∵ |PF1||PF2|= |F1F2||y|,

  ∴|y|= ,

  由(1)(2)知:P到x轴的距离为 或,

  故答案为 或 .

  三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

  17.已知关于x的不等式 对于a∈(1,+∞)恒成立,求实数x的取值范围.

  【考点】其他不等式的解法.

  【分析】根据基本不等式的性质得到3≥|2x﹣1|+|x+1|,通过讨论a的范围,求出不等式的解集即可.

  【解答】解:设a﹣1=t>0,

  则 ,

  当且仅当t=1时取等号.

  所以3≥|2x﹣1|+|x+1|,

  (1)当 时,有3≥3x,得 ;

  (2)当 时,有3≥﹣x+2,得 ;

  (3)当x≤﹣1时,有3≥﹣3x,得x=﹣1.

  综上实数x的取值范围为[﹣1,1].

  18.已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣4)2=r2(r>0)

  (Ⅰ)若直线x﹣y+5=0与圆C相交所得弦长为 ,求半径r;

  (Ⅱ)已知原点O,点A(2,0),若圆C上存在点P,使得 ,求半径r的取值范围.

  【考点】直线与圆的位置关系.

  【分析】(Ⅰ)求出C到直线x﹣y+5=0的距离,根据直线x﹣y+5=0与圆C相交所得弦长为 ,利用勾股定理,即可求半径r;

  (Ⅱ)由 可得(x﹣4)2+y2=8,所以只需要圆C和圆(x﹣4)2+y2=8有公共点.

  【解答】解:(Ⅰ)C到直线x﹣y+5=0的距离为d= = ,直线与圆相交所得弦长为 ,所以 .

  (Ⅱ)设P(x,y),由 可得(x﹣4)2+y2=8,

  所以只需要圆C和圆(x﹣4)2+y2=8有公共点,两圆圆心距离为5,

  所以 .

  19.已知△ABC中,D为AC的中点,AB=3,BD=2,cos∠ABC= .

  (Ⅰ)求BC;

  (Ⅱ)求sinA.

  【考点】解三角形.

  【分析】(Ⅰ)作AE、DF垂直于BC,垂足分别为E、F,由和差角的三角函数可得sin∠ABD的值,由2S△ABD=S△ABC可得BC的方程,解方程可得;

  (Ⅱ)由余弦定理可得AC的值,再由余弦定理可得cosA,由同角三角函数基本关系可得sinA.

  【解答】解:(Ⅰ)作AE、DF垂直于BC,垂足分别为E、F,

  由题意可得sin∠ABC= = = ,

  ∴AE=ABsin∠ABC= ,由中位线可得DF= AE= ,

  ∴sin∠DBC= ,cos∠DBC= = ,

  ∴sin∠ABD=sin(∠ABC﹣∠DBC)= ﹣ = ,

  ∵D为AC的中点,∴2S△ABD=S△ABC,

  ∴2× AB•BD•sin∠ABD= AB•BC•sin∠ABC,

  ∴2× ×3×2× = ×3×BC× ,

  解得BC=2;

  (Ⅱ)由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC

  =9+4﹣2×3×2× =10,∴AC= ,

  ∴由余弦定理可得cosA= = ,

  ∴sinA= = .

  20.已知数列{an}满足a1=3,an+1﹣3an=3n(n∈N*),数列{bn}满足bn= .

  (Ⅰ)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;

  (Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn.

  【考点】数列递推式.

  【分析】(Ⅰ)利用条件,结合等差数列的定义,即可证明数列{bn}是等差数列,从而求数列{an}的通项公式;

  (Ⅱ)利用错位相减法求数列{an}的前n项和Sn.

  【解答】(I)证明:∵ , , ,

  ∴bn+1﹣bn= ,…

  ∴数列{bn}是等差数列,…

  ∵ ,∴ ,

  ∴数列{an}的通项公式 ;…

  (II)解:∵ ,

  ∴ ,

  当n≥2时,相减得:

  ∴ ,…

  整理得 ,

  当n=1时, ,…

  综上,数列{an}的前n项和 .…

  21.已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左右顶点分别为A1,A2,过F1作斜率不为0的直线l与椭圆交于A,B两点,△ABF2的周长为8.椭圆上一点P与A1,A2连线的斜率之积 (点P不是左右顶点A1,A2).

  (Ⅰ)求该椭圆方程;

  (Ⅱ)已知定点M(0,m)(其中常数m>0),求椭圆上动点N与M点距离的最大值.

  【考点】椭圆的简单性质.

  【分析】(Ⅰ)由△ABF2的周长为8求得a,然后结合 求得b点的值,则椭圆方程可求;

  (Ⅱ)设出N的坐标,利用两点间的距离公式得到|MN|关于N的纵坐标的函数,然后分类求出椭圆上动点N与M点距离的最大值.

  【解答】解:(Ⅰ)如图,由△ABF2的周长为8,得4a=8,即a=2.

  ∴A1(﹣2,0),A2(2,0),

  设P(x0,y0),则 .

  又 ,得 ,

  即 ,∴b2=1.

  则椭圆方程为: ;

  (Ⅱ)设椭圆上N(x0,y0)(﹣1≤y0≤1),又M(0,m),

  ∴|MN|= =

  = .

  若 ,即m>3时,则当y0=﹣1时,|MN|有最大值为m+1,

  若0 ,即0

  22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).

  (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;

  (Ⅱ)当x∈(0,1)时,f(x)<0,求实数a的取值范围.

  【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.

  【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可;

  (Ⅱ)根据(Ⅰ)通过讨论a的范围,确定出满足条件的a的范围即可.

  【解答】解:(Ⅰ)f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1),(x>0),

  f′(x)=﹣ ,

  ①a<﹣ 时,0<﹣ <1,

  令f′(x)<0,解得:x>1或00,解得:﹣

  ∴f(x)在 递减,在 递增;

  ②﹣ ﹣ 或00,解得:1

  ∴f(x)在 递减,在 递增;

  ③ ,f′(x)=﹣ ≤0,f(x)在(0,1),(1+∞)递减;

  ④a≥0时,2ax+1>0,令f′(x)>0,解得:01,

  ∴f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减;

  (Ⅱ)函数恒过(1,0),由(Ⅰ)得:a≥﹣ 时,符合题意,

  a<﹣ 时,

  f(x)在(0,﹣ )递减,在 递增,不合题意,

  故a≥﹣ .

  高三数学(文)上册期中试题

  一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项

  是符合题目要求的。

  1、设集合A={x| },B={y|y=x2},则A∩B=( )

  A.[﹣2,2] B.[0,2] C.[2,+∞) D.{(﹣2,4),(2,4)}

  2、已知条件p:关于 的不等式 有解;条件q:指数函数 为减函数,则p成立是q成立的( ).

  A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

  C.充 要条件 D.既不充分也不必要条件

  3、在△ 中, 为 边的中点,若 , ,则 ( )

  A. B. C. D.

  4、已知等差数列 的公差为 ,若 成等比数列, 则 ( )

  A. B. C. D.

  5、若函数 , , ,又 , ,且 的最小值为 ,则 的值 为( )

  A. B. C. D.2

  6、指数函数 且 在 上是减函数,则函数 在R上的单调性为( )

  A.单调递增 B.单调递减

  C.在 上递增,在 上递减 D .在 上递减,在 上递增

  7、已知 中, , ,D为边BC的中点,则 ( )

  A.3 B.4 C.5 D.6

  8、数列 是等差数列,若 ,且它的前n项和 有最大值,那么当 取得最小正值时,n等于( )

  A.17 B.16 C.15 D.14

  9、在 △ABC中,若 (tanB+tanC)=tanBtanC﹣1,则cos2A=( )

  A.﹣ B. C.﹣ D.

  10、函数 的单调增区间与值域相同,则实数 的取值为( )

  A. B. C. D.

  11、已知函数 ,其中 .若对于任意的 ,都有 ,则 的取值范围是( )

  A. B. C. D.

  12、

  ,则O是三角形的( )

  A.垂心 B.外心 C.重心 D.内心

  二、 填空题:本大题共4小题,每小题5分。

  13、正项等比数列 中的 是函数 的极值点,则 .

  14、已知:正数x,y满足3x+4y=xy 则3x+y的最小值是 .

  15、正方体 的棱长为3,点P是CD上一点,且 ,过点 三点的平面交底面ABCD于PQ,点Q在直线BC上,则PQ= .

  16、已知函数 则关于 的不等式 的解集为 。

  三、解答题:解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤.

  17、(本小题10分)设 、 , , 。若“对于一切实数 , ”是“对于一切实数 , ”的充分条件,求实数 的取值范围。

  18、(本小题12分)

  已知数列 满足 ,且 ,

  (I)求证:数列 是等比数列;

  (II)若不等式 对 恒成立,求实数 的取值范围.

  19、(本小题12分)设 的 所对边分别为 ,满足 且 的面积 .

  (1)求 ;

  (2)设 内一点 满足 ,求 的大小.

  20、(本小题12分)设函数f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R).

  (1)若函数在 处的切线过(0,1)点,求k的值;

  (2)当k∈(12,1]时,试问,函数f(x)在[0,k]是否存在极大值或极小值,说明理由.

  21、(本小题12分)已知椭圆 ( )的离心率为 ,且短轴长为2.

  (1)求椭圆的方程;

  (2)若与两坐标轴都不垂直的直线 与椭圆交于 两点, 为坐标原点,且 , ,求 直线 的方程.

  22、(本小题12分)已知函数 满足满足 ;

  (1)求 的解析式及单调区间;

  (2)若 ,求 的最大值.

  高三年级数学试卷(文)答案

  时间: 120分钟 满分:150分 命题人:牟欣 校对人:佟国荣

  一.选择题:CBADB BCCDB DA

  二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

  (13) 6 (14) 27 (15) (16)

  三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

  (17)(本小题10分)

  解:如果对于一切实数 , ,那么 …………2分

  解得 即 的取值范围为 …………3分

  如果对于一切实数 , ,那么有 。……5分

  得 ,即 的取值范围为 。 …………6分

  因为对于对一切实数 , 是“对于一切实数 , ”的充分条件,

  所以 且 , …………8分

  则有 。即 的取值范围是 。 …………10分

  18. (本小题12分)(1)证明:

  所以数列 是以1为首项,以3为公比的等比数列;……………………… ….6分

  (Ⅱ )解:由(1)知, ,由 得 ,即 ,…………9分设 ,所以数列 为减数列, , ……………… …………. 12分

  (19)(本小题12分)

  (Ⅰ)由余弦定理得 ,又因为 ,

  所以 ,所以 ,因为 ,所以 ,

  由正弦定理得 ,因为 所以 ,

  因为 ,所以 ; ………6分

  (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 所以 ,所以

  设 ,因为 ,所以

  因为 ,所以

  因为在 中 所以 ,

  因为在 中 所以 ,

  即 ,所以 ,即 ,即

  因为 ,所以 …………12分

  20. 解:(I) f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=xex-2kx=x(ex-2k),………………1分

  ,………………2分

  设切线方程为 ,把 代入得 ,………………4分

  (II)令f′(x)=0,得x1=0,x2=ln(2k).

  令g(k)=ln(2k)-k,k∈(12,1],………………5分

  则g′(k)=1k-1=1-kk≥0,

  所以g(k)在(12,1]上单调递增.………………7分

  所以g(k)≤g(1)=ln2-1=ln2-lne <0.

  从而ln(2k)

  所以当x∈(0,ln(2k))时,f′(x)<0;f(x)单调递减;

  当x∈(ln(2k),+∞)时,f′(x)>0.f(x)单调递增,………………10分

  所以函数f(x)在[0,k]存在极小值,无极大值。………………12分

  21.(1)短轴长 , …………………………1分

  又 ,所以 ,所以椭圆的方程为 …………………………4分

  (2)设直线 的方程为 ,

  ,消去 得,

  ,…………………………6分

  即 即 …………………………8分

  即 …………………………10分

  ,解得 ,所以 …

  22. 解:(1)

  令 得:

  得: (3分)

  在 上单调递增

  得: 的解析式为

  且单调递增区间为 ,单调递减区间为 ( 6分)

  (2) 得

  ①当 时, 在 上单调递增

  时, 与 矛盾

  ②当 时,

  ③当 时,

  得:当 时,

  令 ;则 当 时,

  当 时, 的最大值为 ( 12分)

  高三数学文期中试卷阅读

  参考公式:锥体的体积公式: ,其中 是锥体的底面积, 是锥体的高.

  第Ⅰ卷(共75分)

  一、选择题:本大题共1 5小题,每小题5 分,共75分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的.

  1.设集合 , ,则 等于( )

  A. B. C. D.

  2.若复数 的实部为 ,且 ,则复数 的虚部是( )

  A. B. C. D.

  3.若函数 , 则 ( )

  A. B. C. D.

  4.已知 则 , 的夹角是( )

  A. B. C. D.

  5.若变量 满足约束条件 的最大值和最小值分别为( )

  A. B. C. D.

  6. 在等比数列 中, , ,则 ( )

  A. B. C. D.

  7.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的 是(  )

  A. B. C. D.

  8.已知命题 对于 恒有 成立;命题 奇函数 的图像必过原点,则下列结论正确的是( )

  A. 为真 B. 为真 C. 为真 D. 为假

  9.已知函数 与 ,它们的图像有个交点的横坐标为 ,则 的值为( )

  A. B. C. D.

  10.若偶函数 在 上单调递减, ,则 满足( )

  A. B. C. D.

  11.将函数 的图象向右平移 个单位,再向上平移1个单位后得到的函数图象对应的解析式为

  A. B. C. D.

  12.在平行四边形ABCD中, ,点 分别在 边上,且 ,则 =( )

  A. B. C. D.

  13. 已知 , 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )

  A.若 , ,则 B.若 , ,则

  C.若 , ,则 D.若 , ,则

  14.点 从点 出发,按逆时针方向沿周长为 的图形运动一周, 两点连线的距离 与点 走过的路程 的函数关系如图,那么点 所走的图形是( )

  15. 已知函数 ,若函数 恰有4个零点,则 的取值范围是( )

  (A) (B) (C) (D)

  第Ⅱ卷(非选择题,共75分)

  二、填空题:本大题共5个小题,每小题5分,共25分.

  16.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为___________

  17.在平面直角坐标系中,角 终边过点 ,

  则 的值为. ________________.

  18.设 ,向量 , , ,且 , ,则 = .

  19.已知正数 , 满足 ,则 的最小值为____________.

  20.给出下列命题:

  ①“若 ,则 有实根”的逆否命题为真命题;

  ②命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是 ;

  ③ 命题“ ,使得 ”的否定是真命题;

  ④命题p:函数 为偶函数;命题q:函数 在 上为增函数,则 为真命题

  其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)

  三、解答题(本大题包括4小题,共75分,解答应写出文字说 明,证明过程或演算步骤) .

  21. (本小题满分12分)

  已知

  (Ⅰ)求 的最小值及此时 的取值集合;

  (Ⅱ)将 的图象向右平移 个单位后所得图象关于 轴对称,求 的最小值.

  22. (本小题满分12分)

  在等差数列 中, ,其前 项和为 ,等比数列 的各项均为正数, ,公比为 ,且 , .

  (Ⅰ)求 与 ;

  (Ⅱ)设数列 满足 ,求 的前 项和 .

  23. 某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥1 0)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?

  (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= )

  24. (本小题满分14分)

  设

  (Ⅰ)求 的单调区间和最小值;

  (Ⅱ)讨论 与 的大小关系;

  (Ⅲ)求 的取值范围,使得 < 对任意 >0成立.

  文科数学(答案)

  一、 选择题

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

  C D C B D A B C D B B C A C D

  二、 填空题

  16. 17. 18. 1 9. 20. ①③

  三、解答题

  21. (Ⅰ)

  ∴ 的最小值为-2,此时 , ,

  ∴ 的取值集 合为:

  (Ⅱ) 图象向右平移 个单位后所得图象对应的解析式为

  其为偶函数,那么图象关于直线 对称,故: ,

  ∴ ,所以正数 的最小值为

  22. 解:(Ⅰ)设 的公差为 ,

  因为 所以

  解得 或 (舍), .

  故 , .

  (Ⅱ)因为 ,

  所以 .

  故 .

  23. 解:设楼 房每平方米的平均综合费为f(x)元,则

  令 得

  当 时, ;当 时,

  因此 当 时,f(x)取最小值 ;

  答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为15层.

  24.解(Ⅰ)由题设知 ,

  ∴ 令 0得 =1,

  当 ∈(0,1)时, <0,故(0,1)是 的单调减区间。

  当 ∈(1,+∞)时, >0,故(1,+∞)是 的单调递 增区间,因此, =1是 的唯一值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为

  (II)

  设 ,则 ,

  当 时, 即 ,

  当 时 ,

  因此, 在 内单调递减,

  当 时,

  即

  当

  (III)由(I)知 的最小值为1,所以,

  ,对任意 ,成立


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