高三理科数学上学期期末试卷题
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法，今天小编就给大家分享一下高三数学，欢迎大家看看哦
高三数学上学期期末模试题
一、单选题
1.集合 ，则实数 的范围
A. B. C. D.
2.设命题 函数 在 上递增，命题 中，则 ，下列命题为真命题的是
A. B. C. D.
3.函数 的值域为 ，则实数 的范围
A. B. C. D.
4.设 是非零向量，则 是 成立的
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
5.设函数 在 时取得最大值，则函数 的图象
A.关于点 对称B.关于点 对称
C.关于直线 对称 D.关于直线 对称
6.向量 ,若 ，则
A. B. C. D.
7.函数 在点 处的切线方程为
A. B. C. D.
8. 中，角 的对边分别为 ，若 ，则角
A. B. C. D.
9.将函数 的图象上每一个点向左平移 个单位，得到函数 的图象，则函数 的单调递增区间为
A. B.
C. D.
10.函数 是 上的偶函数，且 ，若 在 上单调递减，则函数 在 上是
A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数
11.设 为正数，且 ，则下列关系式能成立的是
A. B. C. D.
12.已知 是函数 的导函数， ，则不等式 的解集为
A. B. C. D.
二、填空题
13.单位向量 的夹角为 ，则 ____________.
14. 中，角 的对边分别为 ， ，则 的面积等于____________ .
15.已知 ,则 ___________ .
16.已知函数 ，其中是自然对数的底数, ，则实数 的取值范围是_________.
17.若函数 在 单调递增，则 的取值范围是__________.
三、解答题
18.已知函数 ，其图象两相邻对称轴间的距离为 .
(1)求 的值;
(2)在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ， ，面积 ，求 .
19.若对于函数 图像上的点 ，在函数 的图象上存在点 ，使得 与 关于坐标原点对称，求实数 的取范围.
20. .
(1)讨论函数 在 上的单调性;
(2)求函数 在 上的最大值.
21.设函数 .
(1)当 时，研究函数 的单调性;
(2)若对于任意的实数 ，求 的范围.
22.设函数 .
(1)讨论函数 极值点的个数;
(2)若函数有两个极值点 ，求证： .
2019届山东省师大附中高三上学期
第二次模拟考试数学(理)试题
数学答案
参考答案
1.B
【解析】
【分析】
解出集合M， ，即可转化为 在 很成立，分离参数法即可求得a.
【详解】
已知 ，则
因为
所以当 恒成立
即 恒成立
即
故选B
【点睛】
本题以集合为背景，综合考察了函数函数的性质及参数范围的求解，综合性较强，解决该题的关键是由 出发，得到 在 恒成立，再利用分离参数的方法求解a的范围，其主要应用的数学思想是转化的思想.
2.C
【解析】
【分析】
分析命题p 和命题q的真假，再由复合命题的真假判断.
【详解】
是复合函数，在R上不是单调函数，命题p是假命题，在 中，则 成立，命题 q是真命题
所以 为真
故选C
【点睛】
本题考查了复合函数单调性判断、三角形中三角函数关系、简易逻辑判定方法，综合性较强，意在考查学生的推理，计算能力,要求学生要熟练掌握所考察知识内容.
3.C
【解析】
【分析】
分段函数的值域为R，则函数y=f(x)在R上连续且单调递增，列出关于a的不等式组即可求解a的值.
【详解】
因为函数 的值域为
所以
解得：
故选C
【点睛】
本题考查了分段函数的单调性，其题干描述较为隐蔽，需要通过分析其值域为R得到该函数在R上是增函数，然后根据分段函数的单调性条件求解出a的范围.
4.B
【解析】
【分析】
是非零向量， ，则 方向相同，将 单位化既有 ，反之则不成立.
【详解】
由 可知： 方向相同， 表示 方向上的单位向量
所以 成立;反之不成立.
故选B
【点睛】
本题考查了相量相等、向量的单位化以及充分必要条件;判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q;二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想求解外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题来解决.
5.A
【解析】
【分析】
函数 在 ，可以求出 ，再由余弦函数的性质可得.
【详解】
因为 时， 取得最大值，
所以 即
对称中心：( ，0)对称轴：
故选A
【点睛】
本题考查三角函数解析式和三角函数性质，在确定三角函数解析式时需要根据三角函数性质列出方程组，解析式确定后，再利用解析式去研究三角函数性质，题目意在考查学生对三角函数基础知识的掌握程度.
6.B
【解析】
【分析】
根据向量平行的条件列出关于x的方程即可求解.
【详解】
已知 可得 =(12，14)
因为
所以14x+24=0
解得：x=
故选B
【点睛】
本题考查向量的坐标运算及向量平行的应用，题目思维难度不大，但运算是其难点，在代入数值时容易出错.
7.C
【解析】
【分析】
点 在曲线上，先求出点的纵坐标，再根据导数几何意义先求出切线的斜率，有直线的点斜式方程即可写出切线方程.
【详解】
，
又
切线方程是：
故选C
【点睛】
本题考查导数的应用，近几年高考对导数的考查几乎年年都有，利用导数的几何意义，求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，曲线 在点 的导数 就是曲线在该点的切线的斜率，我们通常用导数的这个几何意义来研究一些与曲线的切线有关的问题，用导数求切线方程的关键在于求切点坐标和斜率，分清是求在曲线某点处的切线方程，还是求过某点处的曲线切线方程.
8.B
【解析】
【分析】
利用正弦定理将角转化为边，化解后利用余弦定理求角A即可.
【详解】
已知
由正弦定理得：
A=
故选B
【点睛】
解三角形问题多为边角互化，主要用到的知识点是正、余弦定理以及三角形面积公式，在化解过程中要根据已知条件的提示进行合理转化，从而达到解决问题的目的.
9.D
【解析】
【分析】
首先确定平移后的函数解析式，在求函数的递增区间.
【详解】
由题意可知平移后的解析式：
函数 的单调递增区间：
解得：
【点睛】
本题考查了三角函数平移变换及三角函数性质，意在考查学生的变换能力、用算能力，三角函数平移变换前一定要分清变换前的函数和变换后的函数.
10.D
【解析】
【分析】
由 判断出函数f(x)周期为2，根据函数是偶函数可得函数在一个周期内的单调性即可解得函数在 上的单调性.
【详解】
已知 ，则函数周期T=2
因为函数 是 上的偶函数，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增
即函数在 先减后增的函数.
故选D
【点睛】
本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性的应用，意在考查学生的的转化能力和基础知识的应用能力，解题时需要仔细分析函数的“综合”性质后再做出判断.
11.C
【解析】
【分析】
先将 变形为
由对数运算性质可得 ，在结合对数函数图像即可.
【详解】
已知 则有
由图像(如图)可得
故选C
【点睛】
本题考查了对数的运算性质以及对数函数的图像性质，解决问题时首先要结合选项的结构特点，联系对数的运算性质对原式进行变形，也即构造与选项相似的对数函数，然后利用对数函数性质确定真数的大小关系，其中新构造对数函数的图像是本题的难点.
12.B
【解析】
【分析】
构造函数 由已知条件 可得F(x)是单调递减的函数，根据函数的单调性即可求得不等式 的解集.
【详解】
设 ，
因为
所以
即F(x)是单调递减的函数
又因为
所以
则不等式 的解集是：
故选B
【点睛】
本题考查了导数应用、抽象函数不等式解法、构造法解不等式;在解决此类问题时往往需要根据已知条件构造函数，通过研究新函数的单调性、奇偶性等性质解决方程的根(根的个数)抽象不等式,其中构造函数要联系函数的和、差、积、商导数公式.
13.
【解析】
【分析】
先将 平方，再利用向量数量积求解.
【详解】
因为
所以
【点睛】
本题考查向量数量积运算、向量的模的求解，再求解向量的模时，常用到： ，该公式的作用就是将向量和实数联系起来，便于二者的转化与计算.
14.
【解析】
【分析】
先由正弦定理得a=b，然后由余弦定理求得a、b，在用面积公式求得 的面积.
【详解】
化解得：
即：A=B
又
解得：a=b=
【点睛】
本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式，解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转化.
15.
【解析】
【分析】
利用三角函数诱导公式将正弦变为余弦，在根据二倍角公式即可求解.
【详解】
有三角函数诱导公式：
=- +1
=
【点睛】
本题考查三角函数诱导公式的应用，在解决此类问题时，先观察角，尽量通过变换使角相同或成为倍角，其次变三角函数名称，变换的方法是联系三角函数公式的结构特点.
16.
【解析】函数 的导数为 ，可得 在 上递增，又 ，可得 为奇函数，则 ，即有 ，即有 ，解得 ，故答案为 .
17. .
【解析】 在 上恒成立，
即：
， ，
令
只需 ，则 ，
则a的取值范围是 .
18.(1)1;(2) .
【解析】
【分析】
(1)先用三角函数二倍角、降幂公式等将函数表达式化解为 的形式，然后求 的值.
(2)由 可得角 ,由面积公式求得ab=2，利用余弦定理即可求得c.
【详解】
(1) ,
,
∵其图象两相邻对称轴间的距离为 .
∴最小正周期为T=π，
∴ω=1.
(2) ,
,
,
,
.
【点睛】
本题综合考查了三角函数的化解、性质以及解三角形问题，综合性较强，设计的知识点较多;三角函数化解中，常用到二倍角、降幂公式、辅助角公式等，一般要将解析式化为 的形式后再求解最值、周期、对称轴、单调性等.解三角形主要是应用正、余弦定理对边角转化.
19.
【解析】
【分析】
图像上的任意点P在函数y=g(x)上存在点Q，使得 与 关于坐标原点对称，等价于函数y=f(x)关于原点对称的函数图像与y=g(x)恒有交点,即可以通过参数分离求m的范围.
【详解】
先求 关于原点对称的函数，
问题等价于 ,
与 有交点，即方程 有解,
即 有解,
设
,
，当 时，方程 有解.
解法二：函数 是奇函数，其图象关于原点对称,
问题等价于函数 的图象与函数 的图象有交点,
即 有解,
设函数 ,
递增; 递减，
,
当 时，函数 的图象与函数 的图象有交点.
【点睛】
本题考查函数中参数的取值范围，注意运用参数分离法和转化的数学思想，解题中将g(x)存在点Q使其与P对称问题转化为关于原点对称的函数与g(x)恒有交点是本题的难点和关键突破点.
20.(1) 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ;(2) .
【解析】
【分析】
(1)求函数 的导数，利用导函数判断原函数 的单调区间.
(2)结合(1)知函数单调性，即可确定出在区间 上的最值.
【详解】
(1) ，
0
+ 0 _ 0 + 0 _
的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为
.
(2)由第一问的单调性可知 .
【点睛】
本题考查了导数的应用，在解题中首先要准确求解导函数，也是关键的步骤，其次是列表确定函数的单调性，利用函数单调性确定函数的最值.
21.(1)函数 在 上递增;(2) .
【解析】
【分析】
(1)利用导函数确定函数单调区间;
(2) 恒成立，确定a的范围可以先分离参数，然后求解新构造函数的最大值.
【详解】
(1) ,
函数 在 上递增 .
(2)对于任意的实数 ， 所以 ，
下面证明充分性：即当
当 ,
设
且 ,
所以 ,
综上： .
解法二： ，可化为 ，
设 ,
-1 0 2
+ 0 + 0
极大 极大
，所以 .
解法三当 ，与题设矛盾，
当 ，
设 ,
单调递减;
单调递增;
单调递减，
当 ,
,
,
综上： .
【点睛】
本题考查导数的应用和求参数范围;导数应用是每年高考必考题型，在解题中，首先要准确求解导函数，这是解题的关键，因此必须熟练掌握基本函数导数公式和和差积商的导数以及复合函数导数，其次参数范围问题也是高考热点之一，常用的方法是分离参数法和构造函数法.
22.(1)当 时， 无极值;当 时， 有两个极值点;当 时， 有一个极值点;(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)分类讨论判断导函数对应的方程根的个数来确定极值点个数;
(2)由(1)可知当 时， 有两个极值点，利用韦达定理可以构造出 关于a的函数，利用导数求最大值.
【详解】
(1) ,
设 ，
①若 即 ，
上单调递减， 无极值 .
② ， ,
在 上， 单调递减;
在 上 单调递增，函数 有两个极值点.
③当 ，
在 上， 单调递增; 上 单调递减,
函数 有一个极值点，
综上，当 ，函数 无极值;当 ，函数 有两个极值点;当 时，函数 有一个极值点 .
(2)由(1)知，当 时，有两个极值点， 且 ，
，
设 递增，
,
,
.
【点睛】
本题考查利用导数求解极值点个数、证明不等式;求解极值点个数其方法是利用导函数零点的个数结合原函数的单调性来确定，要注意导函数的零点并不一定是函数的极值点，要成为极值点其左右两边的单调性必须相异;不等式的证明其实质还是利用函数的单调性确定最值，当需要构造合理的函数，这是解题的难点和关键点.
高三数学上学期期中试卷理科
一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若全集U=R，集合 ，B={ }，则 =( )
A.{ } B.{ 或 }
C.{ } D.{ 或 }
2.若 ，则cos2α=( )
A. B. C. D.
3.若非零向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.已知函数 ，且 ，则 =( )
A. B. C. D.
5.设 是平面α内的两条不同直线， 是平面 内两条相交直线，则 的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
6.若直线 与圆 有公共点，则( )
A. B. C. D.
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
8.在等比数列{ }中，若 ， ，则 ( )
A.1 B. C. D.
9.已知 满足约束条件 ，且 的最小值为2，则常数 =( )
A.2 B.﹣2 C.6 D.3
10.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑 中， 平面 ，且 ， ，点 在棱 上运行，设 的长度为 ，若 的面积为 ，则 的图象大致是( )
A. B.
C. D.
11.已知圆 , ，考虑下列命题：①圆C上的点到(4，0)的距离的最小值为 ;②圆C上存在点P到点 的距离与到直线 的距离相等;③已知点 ，在圆C上存在一点 ，使得以 为直径的圆与直线 相切，其中真命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
12.定义在[0，+∞)上的函数 满足： .其中 表示 的导函数，若对任意正数 都有 ，则实数 的取值范围是( )
A.(0，4] B.[2，4]
C.(﹣∞，0)∪[4，+∞) D.[4，+∞)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上).
13.垂直于直线 并且与曲线 相切的直线方程是 。
14.曲线 ， 与直线 有两个公共点时，则实数 的取值范围是 。 .
15.已知 为数列{ }的前 项和， 且 .则{ }的通项公式为 。
16.已知菱形ABCD的边长为 ，∠D=60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C的余弦值为 ，则该四面体ABCD外接球的体积为 。
三.解答题(共6大题，17题10分，其余每题12分，共70分)
17.设 的内角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 的值;
(2)若 ，求 面积的最大值.
18.数列{ }中， ， ，且满足 ，
(1)设 ，求 ;
(2)设 ， ， ， ，是否存在最大的正整数 ，
使得对任意 均有 成立?若存在求出 的值;若不存在，请说明理由.
19.如图，在底面是正三角形的三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=2，PB=PC= .
(1)求证：PA⊥平面ABC;
(2)若点D在线段PC上，且直线BD与平面ABC所成角为 ，求二面角D﹣AB﹣C的余弦值.
20.已知圆 与 轴相切于点(0，3)，圆心在经过点(2，1)与点(﹣2，﹣3)的直线 上.
(1)求圆 的方程;
(2)圆 与圆 ： 相交于M、N两点，求两圆的公共弦MN的长.
21.如图，在斜三棱柱 中， ， ， ，侧面
与底面 所成的二面角为120°， 分别是棱 、 的中点
(1)求 与底面 所成的角;
( 2 )证明 平面 ;
(3)求经过 四点的球的体积.
22.已知函数 ， ，且曲线 在 处的切线方程为 .
(1)求 的值;
(2)求函数 在[0，1]上的最小值：
(3)证明：当 时， .
数学试卷答案
一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1--5 B C C A B 6--10 D B C B A 11--12 C C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.
13 . 3x+y+6=0 14. 15. an=n+1 16. 8 π
三.解答题(共6大题，17题10分，其余每题12分，共70分)
17.解：(1)△ABC中，3acosC=3b﹣2c，
由正弦定理得：3sinAcosC=3sinB﹣2sinC，
∴3sinAcosC=3sin(A+C)﹣2sinC，
∴3cosAsinC=2sinC，
∵sinC≠0，
∴ ，
∵A∈(0，π)，
∴ ----------------------5分
(2)由(1)知 ，可得： ，
由余弦定理得： ， ，
∴ ，
∴bc≤9(当且仅当b=c时取“=”号)
可得： ，
即△ABC面积的最大值为 .------------------10分。
18.解：(1)由 知数列{an}为等差数列，
设其公差为d，则 .
故an=a1+(n﹣1)d=10﹣2n.………………………(3分)
由an=10﹣2n≥0，解得n≤5.故
当n≤5时Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=9n﹣n2
当n>5时Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=
-----6分
-----------10分
从而
故数列Tn是单调递增数列，又因 是数列中的最小项，
要使 恒成立，故只需 成立即可，
由此解得m<8，由于m∈Z*，
故适合条件的m的最大值为7.-----------12分。
19.证明：(Ⅰ)∵在底面是正三角形的三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=2，PB=PC=2 .
∴PA2+AB2=PB2，PA2+AC2=PC2，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，
∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC.--------------------------------5分
(Ⅱ)以A为原点，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
B( ，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，
设D(0，b，c)， ，0≤λ≤1，则(0，b，c﹣2)=(0，2λ，﹣2λ)，
∴D(0，2λ，2﹣2λ)， =(﹣ ，2λ﹣1，2﹣2λ)，
∵直线BD与平面ABC所成角为 ，平面ABC的法向量 =(0，0，1)，
∴sin = = ，
解得 或λ=2(舍)，
∴D(0，1，1)，---------------------------------------------------8分
=( )， =(0，1，1)，
设平面ABD的法向量 =(x，y，z)，
则 ，取x=1，得 =(1，﹣ ， )，---------------10分
平面ABC的法向量 =(0，0，1)，
设二面角D﹣AB﹣C的平面角为θ，
则cosθ= = = .
∴二面角D﹣AB﹣C的余弦值为 .-------------------------------12分
20.解：(Ⅰ)经过点(2，1)与点(﹣2，﹣3)的直线方程为 ，
即y=x﹣1.
由题意可得，圆心在直线y=3上，
联立 ，解得圆心坐标为(4，3)，
故圆C1的半径为4.
则圆C1的方程为(x﹣4)2+(y﹣3)2=16;---------------------6分
(Ⅱ)∵圆C1的方程为(x﹣4)2+(y﹣3)2=16，
即x2+y2﹣8x﹣6y+9=0，
圆C2：x2+y2﹣2x+2y﹣9=0，
两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为3x+4y﹣9=0.
圆C1的圆心到直线3x+4y﹣9=0的距离d= .
∴两圆的公共弦MN的长为 .---------------------------12分
21.解：(Ⅰ)过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H.
连接AH，并延长交BC于G，于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角.
∵∠A1AB=∠A1AC，∴AG为∠BAC的平分线.
又∵AB=AC，∴AG⊥BC，且G为BC的中点.
因此，由三垂线定理A1A⊥BC.
∵A1A∥B1B，且EG∥B1B，∴EG⊥BC.
于是∠AGE为二面角A﹣BC﹣E的平面角，
即∠AGE.
由于四边形A1AGE为平行四边形，得∠A1AG=60°.-----------4分
(Ⅱ)证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点.连接PF.
在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1E∥FP.
而FP⊂平面B1FC，A1E⊄平面B1FC，所以A1E∥平面B1FC.-------- 7分
(Ⅲ)连接A1C.在△A1AC和△A1AB中，由于AC=AB，∠A1AB=∠A1AC，A1A=A1A，
则△A1AC≌△A1AB，故A1C=A1B.由已知得A1A=A1B=A1C=a.
又∵A1H⊥平面ABC，∴H为△ABC的外心.
设所求球的球心为O，则O∈A1H，且球心O与A1A中点的连线OF⊥A1A.
在Rt△A1FO中，A1O= = = .
故所求球的半径R= a，球的体积V= πR3= πa3.-------------12分
22.解：(1)∵f(x)=ex﹣ax2，
∴f′(x)=ex﹣2ax，
∴f′(1)=e﹣2a=b，f(1)=e﹣a=b+1，
∴a=1，b=e﹣2.
(2)由(1)得：f(x)=ex﹣x2，
∴f′(x)=ex﹣2x，[f′(x)]′=ex﹣2，
∴f′(x)在(0，ln2)上递减，在(ln2，+∞)上递增.
∴f′(x)≥f′(ln2)=2﹣2ln2>0，
∴f′(x)在[0，1]上递增，
∴f(x)max=f(1)=e﹣1，
∴f(x)在[0，1]上的最小值为e﹣1.
(3)证明：∵f(0)=0，由(2)得f(x)过(1，e﹣1)
且y=f(x)在x=1处的切线方程为y=(e﹣2)x+1，
故可猜测x>0，x≠1时，f(x)的图象恒在切线y=(e﹣2)x+1的上方，
下面证明当x>0时，f(x)>(e﹣2)x+1
设h(x)=f(x)﹣(e﹣2)x﹣1，x>0，
∴h′(x)=ex﹣2x﹣e+2，
[h′(x)]′=ex﹣2，
由(2)知：h′(x)在(0，ln2)上递减，在(ln2，+∞)上递增，
∵h′(0)=3﹣>0，h′(1)=0，0
∴h′(ln2)<0，
∴存在x0∈(0，1)，使得h′(x)=0，
∴x∈(0，x0)∪(1，+∞)时，h′(x)>0;
x∈(x0，1)时，h′(x)<0，
故h(x)在(0，x0)上递增，在(x0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，
又h(0)=h(1)=0，
∴h(x)≥0当且仅当x=1时等号成立.
故 ，x>0，
令φ(x)=lnx+1﹣x，则φ′(x)= ﹣1，
∴x∈(0，1)时，φ′(x)>0，x∈(1，+∞)时，φ′(x)<0，
∴φ(x)在(0，1)上递增，在(1，+∞)上递减，
∴φ(x)≤φ(1)=0，
∴lnx+1﹣x≤0，
即x≥1+lnx.
∴ ≥x≥1+lnx，
∴ex+(2﹣e)x﹣1≥xlnx+x，
即ex+(1﹣e)x﹣xlnx﹣1≥0成立，
∴x>0时，g(x)≤f(x)⇔xlnx﹣x2+(e﹣1)x+1≤ex﹣x2⇔ex+(1﹣e)x﹣xlnx﹣1≥0，
综上所述，x>0时，g(x)≤f(x).
高三数学理科上学期期中试卷
一.选择题(本题共12小题，每题5分，共60分.每题只有一个选项是正确的)
1. 已知集合 , ,求 ( )
A. B. C. D.
2. 若 ，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
3. 设 为向量，则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也必要条件
4. 点 位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.已知 >0， >0，且 ， 的等比中项是1，若m= ，n= ，则m+n的最小值是 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
7.将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 ，则 具有性质( )
A. 最大值为1，图象关于直线 对称 B. 在 上单调递增，为奇函数
C. 在 上单调递增，为偶函数 D. 周期为π，图象关于点 对称
8.已知 若 ,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.如图，在棱长为1的正方体中 ，点 在线段 上运动，则下列命题错误的是( )
A. 异面直线 和 所成的角为定值 B. 直线 和平面 平行
C. 三棱锥 的体积为定值 D. 直线 和平面 所成的角为定值
10. 若 为钝角三角形，其中角 为钝角，若 ，则 的取值范围是( )A. B. C. D.
11. 已知 ，若 的最大值最小值分别为 ,求 ( )
A. B. C. D.
12. 若方程 有四个不同的实数根 ，且 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 已知函数 ,求曲线 在 处的切线方程___.
14. 向量 与 夹角 ， , 在 方向上的投影为1，求 _______.
15. 已知实数 满足 ，求 的取值范围__________
16.已知数列 前 项和 ，且 ，
① ② ③ ④ ，则上面四个命题中真命题的序号为____.
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.)
17.(本小题满分12分)
在 中，角 所对的边分别是 ， 为其面积，若 .
(1)求角 的大小;
(2)设 的平分线 交 于 ， .求 的值
18.(本小题满分12分)已知数列 的前 项和为 ， .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ， = ，记数列 的前 项和 .若对 ， 恒成立，求实数 的取值范围. [来源:学,,网Z,X,
19.(本小题满分12分)已知 和 是函数 的两个零点.
(1)求实数 的值;
(2)设函数 ，若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围;
(3) ,若 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围.
20.(本小题满分12分)如图， 是 的中点，四边形 是菱形，平面 平面 , , , .
(1)若点 是线段 的中点，证明： 平面 ;
(2)求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.
21.(本小题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ)讨论函数 零点的个数;
(Ⅱ)对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
(二)选考题(共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分)
22.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 的参数程为 ( 为参数)，设直线 与 的交点为 ，当 变化时点 的轨迹为曲线 .
(1)求出曲线 的普通方程;
(2)以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，点 为曲线 的动点，求点 到直线 的距离的最小值.
23.已知函数 .
(1)当 时，解不等式 ;
(2)设不等式 的解集为 ，若 ，求实数 的取值范围.
高三 理科数学
一.选择题(本题共12小题，每题5分，共60分.每题只有一个选项是正确的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B C C B A B A D B A A
二.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13、 14、2 15、 16、②④
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.)
17. (本小题满分12分)
解：(1)由 得 ……….2分
得 ………4分
(2)在 中,由正弦定理得
所以 ………7分
…….9分
所以
所以 。……12分
18. (本小题满分12分)
解： (1)当 时， ，……1分
当 时， ……3分
即： ， 数列 为以2为公比的等比数列 ……5分
(2)由 bn=log2an得bn=log22n=n，则cn= = = - ，……7分
Tn=1- + - +…+ - =1- = .
∵ ≤k(n+4)，∴k≥ = . ……9分
∵n+ +5≥2 +5=9，当且仅当n= ，即n=2时等号成立，
∴ ≤ ，因此k≥ ，故实数k的取值范围为 ……12分
19. (本小题满分12分)
解：(1) ，j即 . ……2分
(2)由已知可得 ，
所以 在 上恒成立可化为 ，……4分
化为 ，令 ，则 ，……6分
因 ，故 ，
记 ，因为 ，故 ，
所以 的取值范围是 . ……8分
(3)原方程可化为 ，
令 则 有两个不等实根 且 或 ,
记 ，
则 或 ，……10分
两不等式组解集分别为 与 , 的取值范围是 . ……12分
20(本小题满分12分)
21(本小题满分12分)
(二)选考题(共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分)
22.(1)将 ， 的参数方程转化为普通方程;
，① ，②①×②消 可得： ，……3分
因为 ，所以 ，所以 的普通方程为 .……5分
(2)直线 的直角坐标方程为： .由(1)知曲线 与直线 无公共点，
由于 的参数方程为 ( 为参数， ， )，……7分
所以曲线 上的点 到直线 的距离为：
，……9分
所以当 时， 的最小值为 .……10分
23.解(1)当 时，原不等式可化为 ，
①当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 ;
②当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 .
③当 时，原不等式可化为 ，解得 ，所以 ，
综上所述，当 时，不等式的解集为 或 .……5分
(2)不等式 可化为 ，
依题意不等式 在 恒成立，……7分
所以 ，即
即 ，所以 ，
解得 ，故所求实数 的取值范围是 .……10分
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