2017年凉山州中考数学模拟真题及答案(2)
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠ACA′=67°，再由△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，得到△ABC≌△A′B′C，证明∠BCB′=∠ACA′，利用平角即可解答.
【解答】解：∵∠A=27°，∠B=40°，
∴∠ACA′=∠A+∠B=27°+40°=67°，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴∠ACB=∠A′CB′，
∴∠ACB﹣∠B′CA=∠A′CB﹣∠B′CA，
即∠BCB′=∠ACA′，
∴∠BCB′=67°，
∴∠ACB′=180°∠ACA′﹣∠BCB′=180°﹣67°﹣67°=46°，
故答案为：46.
【点评】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由旋转得到△ABC≌△A′B′C.
21.1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成.若较短的直角边BC=5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是 76 .
【考点】KR：勾股定理的证明.
【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个.
【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC=y，则
x2=4y2+52，
∵△BCD的周长是30，
∴x+2y+5=30
则x=13，y=6.
∴这个风车的外围周长是：4(x+y)=4×19=76.
故答案是：76.
【点评】本题考查了勾股定理在实际情况中的应用，注意隐含的已知条件来解答此类题.
22.，若双曲线y= 与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点，且OC=2BD.则实数k的值为 4 .
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题;KK：等边三角形的性质.
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设OC=2x，则BD=x，分别表示出点C、点D的坐标，代入函数解析式求出k，继而可建立方程，解出x的值后即可得出k的值.
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
设OC=2x，则BD=x，
在Rt△OCE中，∠COE=60°，
则OE=x，CE= x，
则点C坐标为(x， x)，
在Rt△BDF中，BD=x，∠DBF=60°，
则BF= x，DF= x，
则点D的坐标为(5﹣ x， x)，
将点C的坐标代入反比例函数解析式可得：k= x2，
将点D的坐标代入反比例函数解析式可得：k= x﹣ x2，
则 x2= x﹣ x2，
解得：x1=2，x2=0(舍去)，
故k= x2= ×4=4 .
故答案为：4 .
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题关键是利用k的值相同建立方程，有一定难度.
三.解答题(共8小题)
23.(2016•温州)(1)计算： +(﹣3)2﹣( ﹣1)0.
(2)化简：(2+m)(2﹣m)+m(m﹣1).
【考点】2C：实数的运算;4A：单项式乘多项式;4F：平方差公式;6E：零指数幂.
【分析】(1)直接利用二次根式的性质结合零指数幂的性质分别分析得出答案;
(2)直接利用平方差公式计算，进而去括号得出答案.
【解答】解：(1)原式=2 +9﹣1
=2 +8;
(2)(2+m)(2﹣m)+m(m﹣1)
=4﹣m2+m2﹣m
=4﹣m.
【点评】此题主要考查了实数运算以及整式的混合运算，正确化简各数是解题关键.
24.(2016•温州)为了解学生对“垃圾分类”知识的了解程度，某学校对本校学生进行抽样调查，并绘制统计图，其中统计图中没有标注相应人数的百分比.请根据统计图回答下列问题：
(1)求“非常了解”的人数的百分比.
(2)已知该校共有1200名学生，请估计对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有多少人?
【考点】VB：扇形统计图;V5：用样本估计总体.
【分析】(1)根据扇形统计图可以求得“非常了解”的人数的百分比;
(2)根据扇形统计图可以求得对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有多少人.
【解答】解：(1)由题意可得，
“非常了解”的人数的百分比为： ，
即“非常了解”的人数的百分比为20%;
(2)由题意可得，
对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有：1200× =600(人)，
即对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有600人.
【点评】本题考查扇形统计图好、用样本估计总体，解题的关键是明确扇形统计图的特点，找出所求问题需要的条件.
25.(2017•温州一模)在梯形ABCD中，AD∥BC，连结AC，且AC=BC，在对角线AC上取点E，使CE=AD，连接BE.
(1)求证：△DAC≌△ECB;
(2)若CA平分∠BCD，且AD=3，求BE的长.
【考点】KD：全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)由平行可得到∠DAC=∠ECB，结合条件可证明△DAC≌△ECB;
(2)由条件可证明DA=DC，结合(1)的结论可得到BE=CD，可求得BE的长.
【解答】(1)证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ECB，
在△DAC和△ECB中，
，
∴△DAC≌△ECB(SAS);
(2)解：∵CA平分∠BCD，
∴∠ECB=∠DCA，且由(1)可知∠DAC=∠ECB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴CD=DA=3，
又∵由(1)可得△DAC≌△ECB，
∴BE=CD=3.
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法(SSS、SAS、ASA、AAS和HL)和性质(对应边、对应角相等)是解题的关键.
26.(2016•温州)，在方格纸中，点A，B，P都在格点上.请按要求画出以AB为边的格点四边形，使P在四边形内部(不包括边界上)，且P到四边形的两个顶点的距离相等.
(1)在图甲中画出一个▱ABCD.
(2)在图乙中画出一个四边形ABCD，使∠D=90°，且∠A≠90°.(注：图甲、乙在答题纸上)
【考点】L5：平行四边形的性质.
【分析】(1)先以点P为圆心、PB长为半径作圆，会得到4个格点，再选取合适格点，根据平行四边形的判定作出平行四边形即可;
(2)先以点P为圆心、PB长为半径作圆，会得到8个格点，再选取合适格点记作点C，再以AC为直径作圆，该圆与方格网的交点任取一个即为点D，即可得.
【解答】解：(1)①：
.
(2)②，
.
【点评】本题主要考查了中垂线性质，平行四边形的判定、性质及圆周角定理的应用，熟练掌握这些判定、性质及定理并灵活运用是解题的关键.
27.(2017•温州一模)，点C在以AB为直径的⊙O上，过C作⊙O的切线交AB的延长线于E，
AD⊥CE于D，连结AC.
(1)求证：AC平分∠BAD.
(2)若tan∠CAD= ，AD=8，求⊙O直径AB的长.
【考点】MC：切线的性质;T7：解直角三角形.
【分析】(1)连接OC，由DE为圆O的切线，得到OC垂直于CD，再由AD垂直于DE，得到AD与OC平行，得到一对内错角相等，根据OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证;2•1•c•n•j•y
(2)在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，根据勾股定理求出AD的长，由三角形ACD与三角形ABC相似，得到对应边成比例，即可求出AB的长.www-2-1-cnjy-com
【解答】证明：(1)连结OC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥CE，
∴AD∥OC，
∵OA=OC，
∴∠DAC=∠ACO=∠CAO，
∴AC平分∠BAD;
(2)解：∵AD⊥CE，tan∠CAD= ，AD=8，
∴CD=6，
∴AC=10，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°=∠D，
∵∠DAC=∠CAO，
∴△ACD∽△ABC，
∴AB：AC=AC：AD，
∴AB= .
【点评】此题考查了切线的性质，以及解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.
28.(2012•温州)温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费所示.设安排x件产品运往A地.
(1)当n=200时，①根据信息填表：
A地 B地 C地 合计
产品件数(件) x 2x 200
运费(元) 30x
②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案?
(2)若总运费为5800元，求n的最小值.
【考点】FH：一次函数的应用;CE：一元一次不等式组的应用.
【分析】(1)①运往B地的产品件数=总件数n﹣运往A地的产品件数﹣运往B地的产品件数;运费=相应件数×一件产品的运费;
②根据运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元列出不等式组，求得正整数解的个数即可;
(2)总运费=A产品的运费+B产品的运费+C产品的运费，进而根据函数的增减性及(1)中②得到的x的取值求得n的最小值即可.
【解答】解：(1)①根据信息填表
A地 B地 C地 合计
产品件数(件) 200﹣3x
运费 1600﹣24x 50x 56x+1600
②由题意，得 ，
解得40≤x≤42 ，
∵x为正整数，
∴x=40或41或42，
∴有三种方案，分别是(i)A地40件，B地80件，C地80件;
(ii)A地41件，B地77件，C地82件;
(iii)A地42件，B地74件，C地84件;
(2)由题意，得30x+8(n﹣3x)+50x=5800，
整理，得n=725﹣7x.
∵n﹣3x≥0，
∴725﹣7x﹣3x≥0，
∴﹣10x≥﹣725，
∴x≤72.5，
又∵x≥0，
∴0≤x≤72.5且x为正整数.
∵n随x的增大而减少，
∴当x=72时，n有最小值为221.
【点评】考查一次函数的应用;得到总运费的关系式是解决本题的关键;注意结合自变量的取值得到n的最小值.
29.(2017•温州一模)，抛物线y=x2+bx经过原点O，与x轴相交于点A(1，0)，
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在抛物线上方构造一个平行四边形OABC，使点B在y轴上，点C在抛物线上，连结AC.
①求直线AC的解析式.
②在抛物线的第一象限部分取点D，连结OD，交AC于点E，若△ADE的面积是△AOE面积的2倍，这样的点D是否存在?若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由.
【考点】HF：二次函数综合题.
【分析】(1)把A点坐标代入y=x2+bx中求出b的值即可得到抛物线解析式;
(2)①根据平行四边形的性质得BC=OA=1，BC∥OA，则C点的横坐标为﹣1，再计算对应的函数值即可得到C点坐标，然后利用待定系数法求直线AC的解析式;
②分别作DM⊥x轴于M，EN⊥x轴于N，，根据三角形面积公式可判断DE=2OE，再证明△ONE∽△OMD，则利用相似比可得 = = ，于是设E(t，﹣t+1)，则D(3t，﹣3t+3)，然后把D(3t，﹣3t+3)代入y=x2﹣x得关于t的一元二次方程，再解方程即可得到满足条件的D点坐标.
【解答】解：(1)把A(1，0)代入y=x2+bx得1+b=0，解得b=﹣1，
所以抛物线解析式为y=x2﹣x;
(2)①∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC=OA=1，BC∥OA，
∴C点的横坐标为﹣1，
当x=﹣1时，y=x2﹣x=1﹣(﹣1)=2，则C(﹣1，2)，
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A(1，0)，C(2，﹣1)代入得 ，解得 ，
所以直线AC的解析式为y=﹣x+1;
②存在.
分别作DM⊥x轴于M，EN⊥x轴于N，，
∵△ADE的面积是△AOE面积的2倍，
∴DE=2OE，
∵EN∥DM，
∴△ONE∽△OMD，
∴ = = = ，
设E(t，﹣t+1)，则D(3t，﹣3t+3)
把D(3t，﹣3t+3)代入y=x2﹣x得9t2﹣3t=﹣3t+3，解得t1= ，t2=﹣ (舍去)，
∴点D的坐标为( ，﹣ +3).
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和平行四边形的性质;会利用待定系数法求函数的解析式;理解坐标与图形的性质;灵活利用相似比求线段之间的关系.
30.(2012•河北)，A(﹣5，0)，B(﹣3，0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB.∠CDA=90°.点P从点Q(4，0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒.
(1)求点C的坐标;
(2)当∠BCP=15°时，求t的值;
(3)以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，求t的值.
【考点】MC：切线的性质;D5：坐标与图形性质;KQ：勾股定理;T7：解直角三角形.
【分析】(1)由∠CBO=45°，∠BOC为直角，得到△BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标;
(2)需要对点P的位置进行分类讨论：①当点P在点B右侧时，2所示，由∠BCO=45°，用∠BCO﹣∠BCP求出∠PCO为30°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t;②当点P在点B左侧时，3所示，用∠BCO+∠BCP求出∠PCO为60°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t;
(3)当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，分三种情况考虑：
①当⊙P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出∠BCP=90°，由∠BCO=45°，得到∠OCP=45°，即此时△COP为等腰直角三角形，可得出OP=OC，由OC=3，得到OP=3，用OQ﹣OP求出P运动的路程，即可得出此时的时间t;
②当⊙P与CD相切于点C时，P与O重合，可得出P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t;
③当⊙P与AD相切时，利用切线的性质得到∠DAO=90°，得到此时A为切点，由PC=PA，且PA=9﹣t，PO=t﹣4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到此时的时间t.
综上，得到所有满足题意的时间t的值.
【解答】解：(1)∵∠BCO=∠CBO=45°，
∴OC=OB=3，
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标为(0，3);
(2)分两种情况考虑：
①当点P在点B右侧时，2，
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，
故PO=CO•tan30°= ，此时t=4+ ;
②当点P在点B左侧时，3，
由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，
故OP=COtan60°=3 ，
此时，t=4+3 ，
∴t的值为4+ 或4+3 ;
(3)由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，
从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1;
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4;
③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°，
∴点A为切点，4，PC2=PA2=(9﹣t)2，PO2=(t﹣4)2，
于是(9﹣t)2=(t﹣4)2+32，即81﹣18t+t2=t2﹣8t+16+9，
解得：t=5.6，
∴t的值为1或4或5.6.
【点评】此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键.
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